福建厦门市2026-2027学年高二上学期期中考试数学练习卷

2026—2027学年福建厦门高二期中考试练习卷（数学） （满分150分　考试时间120分钟） 姓名：____________　　班级：____________　　座号：____________ 注意事项：1．本卷满分150分，考试时间120分钟。2．答卷前，请将姓名、班级、座号填写在答题卡规定的位置。3．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的作答：将答案写在答题卡上，写在本卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线 l 经过点 A(1, 2)，B(3, 0)，则直线 l 的倾斜角为 A．30° B．45° C．120° D．135° 2．已知空间向量 a=(1, -2, 2)，b=(2, 2, 1)，则 a 与 b 的夹角为 A．30° B．45° C．60° D．90° 3．已知圆 C：x2+y2-2x+4y+m=0（m 为常数）的半径为 2，则 m= A．1 B．3 C．4 D．9 4．已知直线 l 的方向向量为 u=(1, 2, -1)，平面 α 的法向量为 n=(2, m, 4)。若 l∥α，则 m= A．-1 B．1 C．2 D．-2 5．在空间直角坐标系 O-xyz 中，点 P(1, -2, 3) 关于 xOy 平面的对称点的坐标为 A．(1, -2, -3) B．(-1, 2, 3) C．(1, 2, -3) D．(-1, -2, -3) 6．如图1所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱 BB1 的中点，则直线 AE 与 CD1 所成角的余弦值为 图1 A． B． C． D． 7．如图2所示，已知点 A(-1, 0)，B(1, 0)，点 P 是圆 C：(x-3)2+(y-4)2=4 上的动点，则 |PA|2+|PB|2 的最大值为 图2 A．98 B．100 C．102 D．96 8．如图3所示，点 P 在直线 l：x+y-4=0 上，过点 P 作圆 O：x2+y2=2 的两条切线，切点分别为 A，B，则四边形 PAOB 面积的最小值为 图3 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知空间向量 a=(1, -1, 2)，b=(2, 1, -1)，则下列结论正确的是 A．a·b=-1 B．a⊥b C．|a|=|b| D．a 与 b 夹角的余弦值为 10．已知圆 C：(x-1)2+(y-2)2=4，直线 l：kx-y+1=0，则下列结论正确的是 A．直线 l 恒过定点 (0, 1) B．当 k=1 时，直线 l 平分圆 C 的面积 C．存在实数 k，使得直线 l 与圆 C 相切 D．当 k=-1 时，直线 l 被圆 C 截得的弦长为 11．如图4所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，则下列结论正确的是 图4 A．AC1⊥BD B．AC1⊥平面 A1BD C．三棱锥 A1-ABD 的体积为 D．点 C 到平面 A1BD 的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间向量 a=(2, -1, 3)，b=(x, -2, 6)，若 a∥b，则 x=________． 13．如图5所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，异面直线 AB1 与 BC1 所成角的大小为________． 图5 14．已知圆 O：x2+y2=r2（r>0）被直线 l：3x+4y-5=0 截得的弦长为 4，则 r=________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题13分）已知圆 C 的圆心在直线 y=x 上，且圆 C 经过点 A(-1, 0)，B(3, 2)． 图6 （1）求圆 C 的标准方程； （2）如图6所示，直线 l：x-y+m=0 与圆 C 交于 M，N 两点，若 ，求 m 的值． 16．（本题15分）如图7所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD，PA=AB=2． 图7 （1）证明：BD⊥平面 PAC； （2）求二面角 B-PC-D 的余弦值． 17．（本题15分）已知圆 C：x2+y2-4x-4y+4=0，点 P(4, 4)． （1）求圆 C 的圆心坐标和半径，并判断点 P 与圆 C 的位置关系； （2）求过点 P 且与圆 C 相切的直线方程； （3）若过点 P 的直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，且 ，求直线 l 的方程． 18．（本题17分）已知点 A(-2, 0)，B(2, 0)，动点 P 满足 ，记点 P 的轨迹为曲线 E． （1）求曲线 E 的方程，并说明它是什么图形； （2）若直线 l：x-y+m=0 与曲线 E 交于 M，N 两点，且 ∠MEN=90°（E 为曲线 E 的圆心），求 m 的值； （3）若点 Q 是曲线 E 上的动点，求 △ABQ 面积的最大值． 19．（本题17分）如图8所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2． 图8 （1）证明：A1C⊥平面 ABC1； （2）求点 B1 到平面 A1BC 的距离； （3）求二面角 A1-BC-A 的余弦值． 参考答案与详细解析 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．答案：D 【考点】 直线的斜率与倾斜角。 【解析】 由斜率公式得 。设直线 l 的倾斜角为 α，则 tanα=-1，又 α∈[0°, 180°)，所以 α=135°。 【错因】 A 项 30°、B 项 45° 是把斜率的绝对值直接当作 tanα（误取 tanα=1）；C 项 120° 是混淆了 k=-1 与 ，只凭斜率符号为负就取钝角中的 120°。 2．答案：D 【考点】 空间向量的数量积与向量的夹角。 【解析】 a·b=1×2+(-2)×2+2×1=2-4+2=0，所以 a⊥b，a 与 b 的夹角为 90°。 【错因】 A、B、C 三项对应的角都要求 a·b≠0，是把坐标相乘相加时出错（漏掉负号或分量错位相乘）所得的错误值。 3．答案：A 【考点】 圆的一般方程与标准方程的互化。 【解析】 配方得 (x-1)2+(y+2)2=5-m，由半径 r=2 得 5-m=4，故 m=1。 【错因】 B 项 3 是把半径当作半径的平方（由 5-m=2 求解）；C 项 4 是直接把常数项 m 当成 r2=4；D 项 9 是配方时把右边写成 m-5，由 m-5=4 求得（移项时符号出错）。 4．答案：B 【考点】 空间向量的坐标运算；用方向向量与法向量判断直线与平面平行。 【解析】 l∥α 等价于方向向量 u 与法向量 n 垂直，即 u·n=1×2+2m+(-1)×4=2m-2=0，解得 m=1。 【错因】 A 项 -1、D 项 -2 是分量乘积算错（如把 2m 记作 -2m）所得；C 项 2 是把 l∥α 误用为 u 与 n 共线（强行令 u=λn 取值）。 5．答案：A 【考点】 空间直角坐标系中点的对称。 【解析】 点关于 xOy 平面对称时，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为相反数，故所求对称点为 (1, -2, -3)。 【错因】 B 项 (-1, 2, 3) 是关于原点对称的点；C 项 (1, 2, -3) 是关于 x 轴对称的点；D 项 (-1, -2, -3) 是关于 yOz 平面对称的点。 6．答案：A 【考点】 异面直线所成角（空间向量法）。 【解析】 以 A 为原点，AB、AD、AA1 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系（棱长为 1），则 A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 1, 0)，A1(0, 0, 1)，B1(1, 0, 1)，D1(0, 1, 1)。因为 E 为 BB1 的中点，所以 。于是 ，CD1=(-1, 0, 1)，，，。所以所成角的余弦值 。 【错因】 B 项 是漏掉 后计算所得；C 项 、D 项 是点的坐标或向量取错（如把 E 取成 BB1 的三等分点、把 CD1 取成 CB1）导致的错误值。 7．答案：B 【考点】 点与圆的位置关系；用中线长关系求距离平方和的最值。 【解析】 设 M 为 AB 的中点，则 M(0, 0)，|MA|=1。由 |PA|2+|PB|2=2|PM|2+2|MA|2 得 |PA|2+|PB|2=2|PM|2+2。又 ，故 |PA|2+|PB|2≤2×49+2=100，即最大值为 100。 【错因】 A 项 98 是漏掉常数项 2|MA|2=2（只算了 2|PM|2）；C 项 102 是把 2|MA|2 误算为 |AB|2=4；D 项 96 是在最大距离处错用减号（2×49-2）。 8．答案：A 【考点】 直线与圆的位置关系；切线长与四边形面积的最值。 【解析】 记 |OP|=d。因为 OA⊥PA，所以四边形 PAOB 由两个全等的直角三角形组成，其面积 。点 O 到直线 l 的距离 ，而 ，所以 d2≥8，。 【错因】 B 项 漏乘了 ；C 项 直接把点 O 到直线 l 的距离当作面积的最小值；D 项 是把 化简出错（把 记成了 ）。 二、多项选择题（每小题6分，共18分；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．答案：ACD 【考点】 空间向量的数量积、模与夹角。 【解析】 a·b=1×2+(-1)×1+2×(-1)=2-1-2=-1，A 正确；因为 a·b≠0，所以 a 与 b 不垂直，B 错误；，，C 正确；cos⟨a, b⟩=，D 正确。故选 ACD。 【错因提示】 B 项常因把 a·b 的分量乘积错位相加而误算为 0，从而误判垂直；D 项若把分母写成 |a|+|b| 或漏掉负号，就会得到错误结论。 10．答案：ABD 【考点】 直线过定点；直线与圆的位置关系、弦长公式。 【解析】 把 (0, 1) 代入 l 的方程得 0-1+1=0 恒成立，A 正确；k=1 时 l：x-y+1=0，圆心 C(1, 2) 满足 1-2+1=0，即 l 过圆心，故 l 平分圆 C 的面积，B 正确；圆心 C(1, 2) 到 l 的距离 ，若 l 与圆 C 相切，则 d=2，即 (k-1)2=4(k2+1)，整理得 3k2+2k+3=0，判别式 Δ=22-4×3×3=-32<0，无实数解，C 错误；k=-1 时 l：x+y-1=0，，弦长为 ，D 正确。故选 ABD。 【错因提示】 C 项常因把“相切”误算为“距离等于半径的平方”，或未检验判别式而错选；D 项若把弦长公式记成 （漏乘 2）就会误判为错误。 11．答案：ABD 【考点】 正方体中直线与直线、直线与平面的垂直关系；三棱锥的体积与点到平面的距离。 【解析】 以 A 为原点建系（棱长为 1）：A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 1, 0)，A1(0, 0, 1)。AC1=(1, 1, 1)，BD=(-1, 1, 0)，AC1·BD=-1+1+0=0，A 正确；A1B=(1, 0, -1)，A1D=(0, 1, -1)，AC1·A1B=1+0-1=0，AC1·A1D=0+1-1=0，即 AC1 与平面 A1BD 内两条相交直线都垂直，且 AC1 不在平面 A1BD 内，故 AC1⊥平面 A1BD，B 正确；三棱锥 A1-ABD 的体积 ，C 错误；平面 A1BD 的方程为 x+y+z=1（法向量为 (1, 1, 1)），点 C(1, 1, 0) 到它的距离为 ，D 正确。故选 ABD。 【错因提示】 C 项是把三棱锥体积公式中的 漏掉，或把 AA1 误当底面积代入，从而得到 。 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．答案：4 【考点】 空间向量共线（平行）的坐标表示。 【解析】 因为 a∥b 且 a≠0，所以存在实数 λ 使 b=λa。由第二个分量得 -2=λ×(-1)，即 λ=2（用第三个分量验证：6=3×2 成立），故 x=2λ=4。 【易错】 只能由分量对应成比例先确定 λ 再求 x，不能只比较前两个分量；若误把 a∥b 当作 a·b=0，则会得到错误结果。 13．答案：60° 【考点】 异面直线所成角（空间向量法）。 【解析】 以 A 为原点，AB、AD、AA1 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系（棱长为 2），则 A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，A1(0, 0, 2)，B1(2, 0, 2)，C1(2, 2, 2)。AB1=(2, 0, 2)，BC1=(0, 2, 2)，，故异面直线 AB1 与 BC1 所成角为 60°。 【易错】 异面直线所成角的范围是 (0°, 90°]，计算时必须取向量夹角余弦的绝对值，否则可能得到 120° 这一超出范围的结果。 14．答案： 【考点】 直线与圆的位置关系；弦长公式与点到直线的距离。 【解析】 圆心 O(0, 0) 到直线 l 的距离 。由弦长公式 得 r2-d2=4，即 r2-1=4，r2=5，又 r>0，所以 。 【易错】 弦长公式漏乘 2（写成 ）会得到矛盾结果；另外求根后不要漏掉 r>0 这一条件。 四、解答题（共77分，附分步得分点） 15．（1）答案：(x-1)2+(y-1)2=5 【解析】 因为圆心 C 在直线 y=x 上，可设 C(a, a)。由 |CA|=|CB| 得 (a+1)2+a2=(a-3)2+(a-2)2，展开得 2a2+2a+1=2a2-10a+13，解得 a=1，所以圆心 C(1, 1)，半径 ，故圆 C 的标准方程为 (x-1)2+(y-1)2=5。 【得分点】 设圆心 C(a, a)（1分）；由 |CA|=|CB| 列出方程（2分）；解得 a=1 并求出半径（1分）；写出标准方程（1分）。共 5 分。 （2）答案：m=2 或 m=-2 【解析】 圆心 C(1, 1) 到直线 l：x-y+m=0 的距离 。由弦长公式 得 ，即 ，m2=4，解得 m=2 或 m=-2。 【得分点】 写出圆心到直线的距离 d（3分）；套用弦长公式列出方程（2分）；解得 m2=4（2分）；写出 m 的两个值（1分）。共 8 分。 16．（1）证明：BD⊥平面 PAC 【证明】 因为 ABCD 是正方形，所以 AC⊥BD。因为 PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，所以 PA⊥BD。又 AC∩PA=A，且 AC、PA 都在平面 PAC 内，所以 BD⊥平面 PAC。 【得分点】 由正方形得 AC⊥BD（1分）；由 PA⊥平面 ABCD 得 PA⊥BD（1分）；指明 AC∩PA=A 且 AC、PA 均在平面 PAC 内（2分）；得出 BD⊥平面 PAC（1分）。共 5 分。 （2）答案： 【解析】 以 A 为原点，AB、AD、AP 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 2, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 2)。于是 PB=(2, 0, -2)，PC=(2, 2, -2)，PD=(0, 2, -2)。设平面 PBC 的法向量为 n1=(x, y, z)，由 n1·PB=0，n1·PC=0 得 2x-2z=0，2x+2y-2z=0，令 x=1 得 n1=(1, 0, 1)。设平面 PCD 的法向量为 n2=(x, y, z)，由 n2·PC=0，n2·PD=0 得 2x+2y-2z=0，2y-2z=0，令 y=1 得 n2=(0, 1, 1)。所以 cos⟨n1, n2⟩=。取 PC 的中点 Q(1, 1, 1)，则 QB=(1, -1, -1)，QD=(-1, 1, -1)，QB·QD=-1-1+1=-1<0，所以二面角 B-PC-D 为钝角，其余弦值为 。 【得分点】 建立坐标系并写出五个点的坐标（2分）；求平面 PBC 的法向量（2分）；求平面 PCD 的法向量（2分）；计算两法向量夹角的余弦值（2分）；判断二面角为钝角（1分）；得出余弦值 （1分）。共 10 分。 17．（1）答案：圆心 C(2, 2)，半径 r=2；点 P 在圆外 【解析】 配方得 (x-2)2+(y-2)2=4，所以圆心 C(2, 2)，半径 r=2。又 ，故点 P 在圆外。 【得分点】 配方（2分）；写出圆心与半径（1分）；判断点 P 在圆外（1分）。共 4 分。 （2）答案：x=4 或 y=4 【解析】 ① 当切线斜率不存在时，直线 x=4 到圆心 C(2, 2) 的距离为 |4-2|=2=r，故 x=4 是圆 C 的切线；② 当切线斜率存在时，设切线为 y-4=k(x-4)，即 kx-y+4-4k=0，由圆心到切线的距离等于半径得 ，即 ，两边平方整理得 4-8k+4k2=4k2+4，解得 k=0，此时切线为 y=4。综上，所求切线方程为 x=4 或 y=4。 【得分点】 讨论斜率不存在的情形并验证 x=4（2分）；设斜截式并列距离方程（2分）；解得 k=0 并写出两条切线方程（1分）。共 5 分。 （3）答案： 或 【解析】 设直线 l：y-4=k(x-4)，即 kx-y+4-4k=0，则圆心 C(2, 2) 到 l 的距离 。由 得 d2=2，即 (2-2k)2=2(k2+1)，整理得 2k2-8k+2=0，即 k2-4k+1=0，解得 或 。又直线 x=4 到圆心的距离为 2（此时 |AB|=0），不满足 ，所以所求直线为 或 ，即 或 。 【得分点】 设直线并写出圆心到直线的距离（2分）；由弦长条件列出方程（2分）；解得 k 的两个值（1分）；说明 x=4 不合题意并写出两条直线方程（1分）。共 6 分。 18．（1）答案：(x-6)2+y2=32，曲线 E 是以 (6, 0) 为圆心、 为半径的圆 【解析】 设 P(x, y)，由 得 ，两边平方得 (x+2)2+y2=2[(x-2)2+y2]，展开整理得 x2+y2-12x+4=0，配方得 (x-6)2+y2=32。所以曲线 E 是以 (6, 0) 为圆心、 为半径的圆。 【得分点】 写出距离等式（1分）；正确平方并整理（2分）；配方得 (x-6)2+y2=32（2分）；说明曲线的形状（1分）。共 6 分。 （2）答案： 或 【解析】 圆心 E(6, 0)，半径 。圆心到直线 l 的距离 。因为 ∠MEN=90°，所以弦 MN 所对的圆心角为 90°，。由 得 r2-d2=16，即 32-d2=16，d2=16。于是 ，解得 或 。 【得分点】 写出圆心到直线的距离（2分）；由 ∠MEN=90° 求得弦长 8（2分）；联立弦长公式解出 m（2分）。共 6 分。 （3）答案： 【解析】 因为 |AB|=4 且 A、B 都在 x 轴上，设 Q(x0, y0)，则 △ABQ 的面积 。由点 Q 在圆 (x-6)2+y2=32 上知 y02≤32，即 ，所以 。当 Q 的坐标为 或 时取到最大值 。 【得分点】 写出面积表达式 S=2|y0|（2分）；由圆的方程得到 （2分）；说明取等条件并给出最大值（1分）。共 5 分。 19．（1）证明：A1C⊥平面 ABC1 【证明】 因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱，所以 AA1⊥平面 ABC。又 AB⊂平面 ABC，所以 AA1⊥AB。因为 AB⊥AC，且 AC∩AA1=A，AC、AA1⊂平面 ACC1A1，所以 AB⊥平面 ACC1A1。又 A1C⊂平面 ACC1A1，所以 AB⊥A1C。因为 AC=AA1=2 且 AA1⊥AC，所以四边形 ACC1A1 是正方形，从而 AC1⊥A1C。因为 AB∩AC1=A，且 AB、AC1⊂平面 ABC1，所以 A1C⊥平面 ABC1。 【得分点】 由直三棱柱得 AA1⊥平面 ABC，进而得 AB⊥平面 ACC1A1（2分）；由 AB⊥平面 ACC1A1 得 AB⊥A1C（1分）；由正方形得 AC1⊥A1C（1分）；指明 AB∩AC1=A 并得出结论（1分）。共 5 分。 （2）答案： 【解析】 以 A 为原点，AB、AC、AA1 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则 B(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)，A1(0, 0, 2)，B1(2, 0, 2)。于是 A1B=(2, 0, -2)，A1C=(0, 2, -2)。设平面 A1BC 的法向量为 n=(x, y, z)，由 n·A1B=0，n·A1C=0 得 2x-2z=0，2y-2z=0，令 z=1 得 n=(1, 1, 1)。又 A1B1=(2, 0, 0)，所以点 B1 到平面 A1BC 的距离 。（也可由平面 A1BC 的方程 x+y+z-2=0 直接求得 。） 【得分点】 建立坐标系并写出点的坐标（2分）；求平面 A1BC 的法向量（2分）；用点到平面的距离公式得出结果（1分）。共 5 分。 （3）答案： 【解析】 因为 AA1⊥平面 ABC，所以平面 ABC 的一个法向量为 m=(0, 0, 1)。由（2）知平面 A1BC 的法向量 n=(1, 1, 1)，所以 cos⟨n, m⟩=。取 BC 的中点 Q(1, 1, 0)，则 QA=(-1, -1, 0)，QA1=(-1, -1, 2)，QA·QA1=1+1+0=2>0，这说明二面角 A1-BC-A 为锐角，故其余弦值为 。 【得分点】 写出平面 ABC 的法向量（2分）；求平面 A1BC 的法向量（1分，可引用第（2）问结果）；计算两法向量夹角的余弦值（3分）；判断二面角为锐角并给出结论（1分）。共 7 分。 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $