3.2 双曲线中的定点与定值问题 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

双曲线中的定点与定值问题 01 学习目标 1．说清"定点"与"定值"的本质：含参直线族中参数被约掉，或目标式中参数系数为。 2．掌握五种设元（斜截、倒斜、设点、参数点、点差），能按题干信号在两秒内选对一种。 3．把七步流程走成条件反射，尤其会写清二次项系数与。 4．背下六个模板：垂直定点、对称定点、斜率互补、中点弦、垂直弦、存在性定点。 5．会判断"双曲线特有"的两个坑： 才有垂直弦； 才有弦。 02 重点 · 难点 本节重点 本节难点 ·五种设元的选择标准。 ·韦达之后如何"提参数"。 ·六个模板的直接套用。 ·定点坐标的两种来源：分解因式、对称点截距。 ·符号：双曲线是、"减号"体系。 ·舍去退化支：弦过定点本身那一支。 ·存在性：先求，再算定值。 ·回检：、、。 03 知识结构图MIND MAP ① 本质与设元 、 两式 定点定值 六 类 模 型 ④ 斜率定值 ；中点弦取正号 ② 垂直定定点 ，，定点横坐标 ⑤ 垂直弦定值 时 ③ 对称定定点 过， 为对称点， 过 ⑥ 存在性定点 ， 看图形容：六类题型其实只有两个"出口"——②③ 是"定点出口"，④⑤⑥ 是"定值出口"；而入口永远相同：设元、联立、韦达、写成对称式。 ② 的关键动作是"因式分解后舍一支"，③ 的关键动作是"用截距公式"，④⑤⑥ 的关键动作是"让参数系数为"。 使用建议：第 3、4 页是"工具页"，做题卡住时回查；第 5 页十类模型是"索引表"。类型一至三只考套路，类型四至六需要自己判断存在性。 解析中加粗处是转折步。公式在浏览器中由 KaTeX 渲染，打印前请等公式显示完整。 04 基础知识速记 一、本质 定点是什么 一族直线（斜率 或截距 在变）都经过同一个点，这个点叫定点。判定标准只有一条：把直线方程整理成 或，参数被整体提出去。 所以"求定点"＝"求 与 的一次关系"；若得到的是 这种二次关系，通常不是定点题，而是范围或轨迹题。 定值是什么 目标量（斜率、面积、距离、数量积、模长）算出来是一个不含参数的常数。可操作的标准：把目标写成、（或、）的对称式，代入韦达， 若结果的分子、分母都是 的二次式，且对应系数成比例，则定值就是比例系数。不成比例 = 还没消干净，回去找漏用的条件。 双曲线为什么更容易错 椭圆是"和"体系（、中点弦带负号），双曲线是"差"体系（、中点弦带正号、）。 联立后二次项系数是 或，符号可能为负，韦达的分母也随之变号。凡与椭圆结论"长得像但符号反了"的，基本都是对的。 二、五种设元：选哪一种 设元 写法 题干信号 提醒 斜截式 给斜率、求斜率、垂直、面积 要单独讨论斜率不存在 倒斜式 直线过 轴上定点 就是横截距，不丢斜率 设点 在 上 中点弦、第三定义、对称点 必用 参数点 ， 两点对称、斜率积为定值 算完要回代验证 点差法 两交点 作差 中点、斜率、弦中点轨迹 只作差一次，不与韦达混用 三种设元的取舍口诀 过 轴定点用倒斜，问斜率用斜截，问中点用设点加点差。一条题里只允许一种主设元；混着用会把参数搞成两套，越算越乱。 三、联立后的"标准件"（务必背熟） 斜截式联立 把 代入，得 于是，。 倒斜式联立 把 代入，得 于是，。倒斜式的韦达更短，这就是过 轴定点一律用倒斜的原因。 04 通法流程与六种类型 四、七步流程 ①定曲线：写出，看清焦点在哪个轴，正项分母才是。 ②设元：按"五种设元"选一种，一条题只用一种。 ③联立：代入消元，把二次项系数单独写出来，并写出 的条件（这个条件后面要用）。 ④韦达：写、（倒斜式写 的两式），分母就是二次项系数，别抄错。 ⑤翻译：把题目的几何条件（垂直、斜率、面积、向量积）改写成只含 的对称式。 ⑥提参数：代入韦达，通分，让含参数的项系数为（求定值），或解出参数的一次关系（求定点）。 ⑦回检：、、定点是否落在曲线上、弦是否过顶点（退化支必须舍）。 五、六种类型 模板 1 · 垂直定定点 为顶点，弦 满足，则 恒过。 做法：设，把 展开，韦达代入后必分解成，第一支过 是退化支，舍掉。 模板 2 · 对称点定定点 交 于， 为 关于 轴的对称点，则 恒过。 做法：设，截距式；把 代入可化为，再用韦达， 全部约掉。 模板 3 · 斜率互补定斜率 在 上，，则（与 无关）。 做法：设，则，各自联立求另一点，斜率公式一除， 被约掉。 模板 4 · 中点弦 弦 的中点为，则（双曲线取正号）；反向： 与 所在定直线可互推。 模板 5 · 垂直弦 时，（ 为 到 的距离），且。前提是，否则两条射线不可能同时落在支内。 模板 6 · 存在性定值 ，若 轴上存在 使 为定值，则 ，定值 做法：把点积通分，分子形如，与分母 对应系数成比例，两个方程解两个未知数。 易错清单 ·忘记：韦达写出来了，但直线其实与双曲线无两个交点，整题作废。 ·对称点写错： 是，不是。 ·中点弦符号照抄椭圆：双曲线是，椭圆是。 ·垂直弦不判： 时，无解却硬算。 ·存在性题只求 不算定值：定值是，不是。 ·退化支没舍： 那一支就是"弦过 本身"，必须剔除。 05 十类模型清单 模型 识别信号与关键动作 ① 顶点垂直： ，弦过定点；点乘展开后分解，舍 ② 对称点： 过定点 过， 与 关于 轴对称，定点为；用截距式 ③ 斜率互补： ，与 无关；设 与 各交一点 ④ 中点弦：给中点求斜率 （正号）；点差法一步到位 ⑤ 第三定义： ；，轨迹仍是同族双曲线 ⑥ 定直线交点：中点在某直线上 由 反解；注意 时无弦 ⑦ 垂直弦： ；须 ⑧ 面积与模长最值 ；，取等时 ⑨ 存在性定点： 定值 ，定值 ⑩ 反求参数：给定值求 或 把定值当已知，回代模板公式，解一个一次方程即可 用法：读题时先在表里对号，对号成功就有公式可套，对号失败再回到七步流程硬推。十类模型覆盖了双曲线定点定值的绝大多数考法； 真正需要现场推导的，通常是把两个模型"接"在一起（如先垂直、再求面积）。 三个"仅双曲线成立"的提醒：①中点弦取正号；②垂直弦要求；③弦存在要求（ 时退化为渐近线方向，弦不存在）。 椭圆没有后两条限制，照搬会算出负数或"不存在的弦"。 类型一 设线提参数 · 垂直条件定定点 模型特征 曲线上的定点（多为顶点）与一条动弦，条件写成、、或以 为直径的圆过。 问"直线 是否过定点"或"过哪个定点"。条件是"垂直"，结论是"定点"，这是定点题的第一大来源。 通法三步 ①设线：，并注明" 不过"，这就是后面舍支的依据。 ②展开：，把 代入，全部化成、 与。 ③分解：韦达代入、通分、约去分母，得到一个关于 的二次齐次式，因式分解得两支：一支是（过，舍），另一支是一次关系，直接读出定点。 口诀：垂直先点乘，点乘必展开；展开用韦达，韦达后分解；分解两支，过 那支扔掉。 核心结论 ， 过 数值记忆： 时定点为； 时为； 时为。 若定点反过来给出，则""恒成立——定点与垂直是一对等价说法。 易错提醒 ·把 当成 代进公式：分子分母用的都是，只有最前面那个系数是。 ·忘了舍：这一支的弦恰好经过，此时" 两点重合"，谈不上垂直。 ·不写：定点求出来了，但某些 根本没有两个交点。 ·等轴双曲线（）分母为，此时不存在这样的定点，题目不会给。 例题精练 1．已知双曲线， 为右顶点，直线 与 交于 两点且不过。若，则直线 恒过定点（ ） A． B． C． D． 答案 B 设，代入得，故，。 由，并注意，通分整理得，即。 时 过，舍； 时，恒过。 2．已知双曲线， 为右顶点，弦 不过 且，则 恒过定点（ ） A． B． C． D． 答案 C 直接套模板：，，，定点横坐标为，即。注意分母是，不是，写成 会得到。 3．已知双曲线， 为右顶点，弦 不过 且，则 恒过（ ） A． B． C． D． 答案 A ，，，故定点为。先算 再约分，比直接展开联立快得多； 是把 误算成 的结果。 4．已知双曲线， 为右顶点，不过 的弦 满足，则 所过定点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 答案 C 设，联立得。 把 用韦达代入并通分，得， 分解为。舍（过），得， 于是，定点横坐标为。 5．已知双曲线，。若弦 过点 且与 交于 两点，则 的大小为（ ） A． B． C． D． 答案 D 这是第 1 题的逆命题：定点 正是 那一支，代回点乘式即得。 所以，。定点与垂直互为充要，这条在选择题里可以直接反用。 本类小结 看到"曲线上定点 + 垂直"就写模板：定点横坐标。真正需要动笔时只做三件事：设、把点乘展开成对称式、把得到的二次齐次式分解并舍去"过"那一支。 类型二 对称点模型 · 过定点 模型特征 直线 过 轴上一点，与双曲线交于；把 关于 轴翻到，问直线 过哪个定点。题干里必有"关于 轴对称"四个字，这是唯一识别信号。 通法三步 ①倒斜设线：（ 就是已知的横截距，不要用斜截式，否则 与 两套参数交叉）。 ②韦达：代入得，写出、。 ③截距式：、，令 与 轴交于，则；代入 可化为，再用韦达， 约掉，只剩。 核心结论 过， 与 关于 轴对称 过 记法："横截距与定点横坐标之积等于"，即。这条性质与、与斜率完全无关，是双曲线最"干净"的一个定点结论。 易错提醒 ·对称点写成：关于 轴对称是纵坐标变号。 ·截距公式符号：，分母是（因为）。 · 时直线过原点，此时 关于原点对称， 与 轴无交点，结论失效。 · 时直线过顶点， 过顶点，属于退化情形。 例题精练 1．已知双曲线，直线 与 交于 两点， 与 关于 轴对称，则直线 恒过（ ） A． B． C． D． 答案 D 代入 得，故，。 设 与 轴交于，则。 被约掉，说明与斜率无关。 2．已知双曲线，直线 过点 且与 交于， 与 关于 轴对称，则 恒过（ ） A． B． C． D． 答案 A ，，故定点横坐标，即。记住 就不必再联立。 3．已知双曲线，直线 过点 且与 交于， 与 关于 轴对称，则 恒过（ ） A． B． C． D． 答案 D ，即。定点一定在 轴上，且与 同号； 是把 与 除反了。 4．已知双曲线，直线 过 且与 交于，若（ 关于 轴对称）与 的连线恒过，则（ ） A． B． C． D． 答案 B 由 得。反求用同一关系式，不需重新联立；取 会让直线过顶点，属退化情形。 5．已知双曲线，直线 过 与曲线交于， 与 关于 轴对称，则直线 恒过（ ） A． B． C． D． 答案 B 由，代入韦达得，故。结论与、与 都无关，只由 与横截距 决定。 本类小结 见到"对称点"就用：已知横截距求定点，或已知定点反求横截距，都是一步除法。真正要写过程时，用倒斜式 + 截距式， 会自动消失。 类型三 斜率关系 · 和为零与积为定值 模型特征 题干给的是"斜率"：、、或直接问某条弦的斜率是否为定值。这类题不设点、不设线，而是"设斜率"——把两条动弦写成斜率 与（或 与），各自求交点，再算第三条弦的斜率。 通法三步 ①设斜率：，则；过 的直线写成。 ②求另一点：与双曲线联立， 本身是一根，另一根由韦达或直接解出；两点都算出来。 ③算：用两点斜率公式，化简后 必被约掉，只剩 一类常数。 口诀：斜率题不设线，设斜率；一条、一条；两点到手，斜率一比，参数消失。 核心结论 三条结论的符号要分清：互补取负、中点弦取正、第三定义为正。椭圆对应的是中点弦取负、第三定义为负，这是最容易抄错的地方。 易错提醒 ·把 写成：分子是，分母是。 · 必须在曲线上，否则公式不成立；题目给的 若不在曲线上，先验证。 ·（ 为顶点）时，MN 平行于 轴，可以验证结论。 ·第三定义要写" 异于"，否则斜率不存在。 例题精练 1．已知双曲线，点 在 上，过 的两条弦 满足，则（ ） A． B． C． D． 答案 A 验证 在曲线上：，成立。代入结论。 是只算了 再取负，漏掉了 这一步。 2．已知双曲线，、，点 在 上且异于，则（ ） A． B． C． D． 答案 D 设，则。 由 得，故乘积。第三定义的值就是。 3．已知双曲线，弦 的中点为，则（ ） A． B． C． D． 答案 C 由点差法，得。先验中点是否在支内：，确实存在这样的弦。 4．已知双曲线，点 在曲线上且，过 的两条弦 满足，则（ ） A． B． C． D． 答案 B 设（）。过 的直线与曲线联立，另一交点对应的参数为； 把 换成 得。两点斜率一除，得， 完全消失。 5．已知双曲线，点 在 上，过 的两条弦 满足，则（ ） A． B． C． D． 答案 A 验证：， 在曲线上。代入。先把 约出来，再乘，一步到位。 本类小结 三类斜率结论其实是一家人： 中的负号来自"互补"，去掉负号就是中点弦。做题时先判断是"两条弦斜率互为相反数"还是"给中点"，再决定正负。 类型四 设点与点差 · 中点、第三定义、存在性 模型特征 题干出现"中点"、"斜率之积为定值"、"弦的中点在某条定直线上"，或反过来问"某个斜率的弦是否存在"。这一类不联立、不解方程，只把两个端点作一次差，一步就能得到斜率与中点坐标的关系。 通法三步 ①设两端点：、 都在 上，写出两个方程。 ②作差：，用平方差把、 提出，得。 ③判存在：中点必须在某一支的内部，即，代入上式即得。若题目问"斜率积"，则由 反解。 核心结论 弦存在 第三条是本类最容易被忽略的：斜率等于 的弦不存在，因为它对应渐近线方向，弦的中点会落到渐近线上（），不可能在支内。 易错提醒 ·把公式抄成椭圆版：椭圆，双曲线没有负号。 ·只算 不验"中点在支内"，题目可能根本没有这样的弦。 ·第三定义反求轨迹时漏写（ 不能与 重合）。 ·把 记成：分母是，不是。 例题精练 1．已知双曲线，弦 的中点为，则（ ） A． B． C． D． 答案 A 点差法：。回验中点：，在支内，弦确实存在。 2．已知、，动点 满足，则 的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 答案 B 设，则，即，整理得，即。由 也能直接写出，还要补上。 3．已知双曲线，弦 的中点 在直线 上，则（ ） A． B． C． D． 答案 C 由中点 在 上得，代入。 是渐近线斜率，取到它时弦不存在，正好是干扰项。 4．在双曲线 中，下列斜率的弦一定存在的是（ ） A． B． C． D． 答案 D 弦存在的充要条件是。四个选项中只有，故选 D。 恰是渐近线斜率，此时中点满足，落在渐近线上，弦不存在。 5．已知双曲线，、，点 在 上且，则（ ） A． B． C． D． 答案 D 由第三定义，故。第三定义的好处是"不必求 的坐标"，只要 在曲线上，其余弦的斜率乘积就固定。 本类小结 点差法只做一件事：把"两个点在曲线上"作差，得到 与中点坐标的线性关系。它的三个出口是中点弦、第三定义和存在性判断（）。做题时先问"中点在哪"，再问"斜率够不够大"。 类型五 垂直弦 · 距离、面积与模长 模型特征 在双曲线上且（或写、），求、原点到 的距离、 面积或其最小值、 的最小值。只要看到"两支射线互相垂直"，就归到这一类。 通法三步 ①换方向：把 放在射线角 上， 就在 上，设、。 ②用极坐标式：点在双曲线上等价于；对 把 换成。 ③相加：两式相加，， 消失，得； 再由直角三角形 中 得。 核心结论 （） 推论：（当 时取等）；，其中 为 中点。 存在性前提：必须。因为两条互相垂直的射线要同时落在支内，需要渐近线斜率。 易错提醒 ·照抄椭圆的：双曲线是减号。 ·不判断，算出的，却硬说"距离平方为负"。 ·把 当成：只有当 时二者相等，一般情况。 ·面积最值取等条件写错：是，不是 之外的别的条件。 例题精练 1．已知双曲线， 在 上且，则（ ） A． B． C． D． 答案 A ，，故。先确认（），垂直弦才存在；若，此题无解。 2．已知双曲线， 在 上且， 为原点 到直线 的距离，则（ ） A． B． C． D． 答案 C ，故。注意题目问的是 不是，答 就掉进选项 B 的陷阱。 3．已知双曲线， 在 上且，若，则（ ） A． B． C． D． 答案 C 由 得，故。解完回验：，成立。 4．已知双曲线， 在 上且，则 面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 答案 D 记、，则，由均值不等式 得。 于是，当 时取等。 5．已知双曲线， 在 上且， 为线段 的中点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 答案 D 直角三角形中 是斜边中点，故。 由 得，又，故，即，取等时。 本类小结 垂直弦只有一个常数，但它同时是"倒数平方和"、""和"面积的下界"。做题时先把常数算出来，再按题目要的量取倒数或开方，并永远先检查。 类型六 存在性定点 · 与定值 模型特征 直线 过 轴上一点，与曲线交于；问" 轴上是否存在定点，使 为定值"，或给出定值反求、，或问。这是双曲线定点题里综合性最强的一类，因为它同时含"定点"和"定值"。 通法三步 ①倒斜设线：，写出、（含参数）。 ②写点积：。 ③通分成比例：通分后分子是 的二次式，分母是。要让结果与 无关，分子必须与分母成比例：比 的系数得定值，比常数项解出。 核心结论 定值 记法："分子分母系数成比例"给出两件事——定值是，而 由同一个二次方程的常数项定出。 若（直线过原点）， 的分母为，不存在这样的定点。 易错提醒 ·定值写成：符号反了，分子 的系数是。 ·只求 不写定值，或只写定值不说明 满足的方程。 · 时仍套公式：分母为零，结论不成立。 ·反求 时得到两个解要取舍：让直线过 本身的解是退化支（此时 中有一点就是，点积恒为）。 例题精练 1．已知双曲线，直线 与 交于 两点。若 轴上存在定点，使 为定值，则（ ） A． B． C． D． 答案 B ，，，，代入。 落在两支之间（），不需要在曲线上。 2．在第 1 题的条件下， 的定值为（ ） A． B． C． D． 答案 D 定值。定值一定是负数（因为 落在两支之间，）；若算出正数，说明 或公式用错了。 3．已知双曲线，直线 过 与 交于，若 轴上存在 使 为定值，则该定值为（ ） A． B． C． D． 答案 B ，，，：， 定值。先算 再算，两步都不能省。 4．已知双曲线，直线 过 与 交于。若 使 为定值，则（ ） A． B． C． D． 答案 C 反解 的公式：，即，，得 或。舍：此时直线过 本身， 中有一点与 重合，点积恒为，是退化支。 5．已知双曲线，直线 与曲线交于，若 轴上存在 使 为定值，则（ ） A． B． C． D． 答案 A 通分后分子为，要与 成比例，两个方程联立：比 得，比常数项解出。D 项分母少了，是量纲不对的干扰项。 本类小结 本类把"定点"与"定值"一次问完： 是定点， 是定值。做法固定为三步——倒斜设线、写出点积、让分子分母系数成比例。反求时注意用 或" 不过"剔掉退化支。 06 方法对照总表 类型 识别关键词 一句话做法 一 设线提参数 曲线上定点、、圆过 设，点乘展开 + 韦达，分解后舍，读出定点 二 对称点 关于 轴对称、 过定点 倒斜，截距式，得 三 斜率关系 、、求弦斜率 设 与，各交一点， 四 设点点差 中点、斜率积、中点在某直线上 作差得；存在性；第三定义 五 垂直弦 、距离、面积、 ，需，均值不等式求最值 六 存在性 轴上是否存在、 定值 倒斜 + 点积通分，分子分母系数成比例， 与 07 答案速查 类型 1 2 3 4 5 一 B C A C D 二 D A D B B 三 A D C B A 四 A B C D D 五 A C C D D 六 B D B C A 最后三句话：①定点定值题只有一条主线：设元、联立、韦达、写对称式、让参数系数为；②双曲线的符号与椭圆相反——中点弦取正、垂直弦是"减"、垂直弦还要求；③算完必检、、，并舍掉"过定点本身"的退化支。 学科网（北京）股份有限公司 $ 双曲线中的定点与定值问题 01 学习目标 1．说清"定点"与"定值"的本质：含参直线族中参数被约掉，或目标式中参数系数为。 2．掌握五种设元（斜截、倒斜、设点、参数点、点差），能按题干信号在两秒内选对一种。 3．把七步流程走成条件反射，尤其会写清二次项系数与。 4．背下六个模板：垂直定点、对称定点、斜率互补、中点弦、垂直弦、存在性定点。 5．会判断"双曲线特有"的两个坑： 才有垂直弦； 才有弦。 02 重点 · 难点 本节重点 本节难点 ·五种设元的选择标准。 ·韦达之后如何"提参数"。 ·六个模板的直接套用。 ·定点坐标的两种来源：分解因式、对称点截距。 ·符号：双曲线是、"减号"体系。 ·舍去退化支：弦过定点本身那一支。 ·存在性：先求，再算定值。 ·回检：、、。 03 知识结构图 ① 本质与设元 、 两式 定点定值 六 类 模 型 ④ 斜率定值 ；中点弦取正号 ② 垂直定定点 ，，定点横坐标 ⑤ 垂直弦定值 时 ③ 对称定定点 过， 为对称点， 过 ⑥ 存在性定点 ， 看图形容：六类题型其实只有两个"出口"——②③ 是"定点出口"，④⑤⑥ 是"定值出口"；而入口永远相同：设元、联立、韦达、写成对称式。 ② 的关键动作是"因式分解后舍一支"，③ 的关键动作是"用截距公式"，④⑤⑥ 的关键动作是"让参数系数为"。 使用建议：第 3、4 页是"工具页"，做题卡住时回查；第 5 页十类模型是"索引表"。类型一至三只考套路，类型四至六需要自己判断存在性。 解析中加粗处是转折步。公式在浏览器中由 KaTeX 渲染，打印前请等公式显示完整。 04 基础知识速记 一、本质 定点是什么 一族直线（斜率 或截距 在变）都经过同一个点，这个点叫定点。判定标准只有一条：把直线方程整理成 或，参数被整体提出去。 所以"求定点"＝"求 与 的一次关系"；若得到的是 这种二次关系，通常不是定点题，而是范围或轨迹题。 定值是什么 目标量（斜率、面积、距离、数量积、模长）算出来是一个不含参数的常数。可操作的标准：把目标写成、（或、）的对称式，代入韦达， 若结果的分子、分母都是 的二次式，且对应系数成比例，则定值就是比例系数。不成比例 = 还没消干净，回去找漏用的条件。 双曲线为什么更容易错 椭圆是"和"体系（、中点弦带负号），双曲线是"差"体系（、中点弦带正号、）。 联立后二次项系数是 或，符号可能为负，韦达的分母也随之变号。凡与椭圆结论"长得像但符号反了"的，基本都是对的。 二、五种设元：选哪一种 设元 写法 题干信号 提醒 斜截式 给斜率、求斜率、垂直、面积 要单独讨论斜率不存在 倒斜式 直线过 轴上定点 就是横截距，不丢斜率 设点 在 上 中点弦、第三定义、对称点 必用 参数点 ， 两点对称、斜率积为定值 算完要回代验证 点差法 两交点 作差 中点、斜率、弦中点轨迹 只作差一次，不与韦达混用 三种设元的取舍口诀 过 轴定点用倒斜，问斜率用斜截，问中点用设点加点差。一条题里只允许一种主设元；混着用会把参数搞成两套，越算越乱。 三、联立后的"标准件"（务必背熟） 斜截式联立 把 代入，得 于是，。 倒斜式联立 把 代入，得 于是，。倒斜式的韦达更短，这就是过 轴定点一律用倒斜的原因。 04 通法流程与六种类型 四、七步流程 ①定曲线：写出，看清焦点在哪个轴，正项分母才是。 ②设元：按"五种设元"选一种，一条题只用一种。 ③联立：代入消元，把二次项系数单独写出来，并写出 的条件（这个条件后面要用）。 ④韦达：写、（倒斜式写 的两式），分母就是二次项系数，别抄错。 ⑤翻译：把题目的几何条件（垂直、斜率、面积、向量积）改写成只含 的对称式。 ⑥提参数：代入韦达，通分，让含参数的项系数为（求定值），或解出参数的一次关系（求定点）。 ⑦回检：、、定点是否落在曲线上、弦是否过顶点（退化支必须舍）。 五、六种类型 模板 1 · 垂直定定点 为顶点，弦 满足，则 恒过。 做法：设，把 展开，韦达代入后必分解成，第一支过 是退化支，舍掉。 模板 2 · 对称点定定点 交 于， 为 关于 轴的对称点，则 恒过。 做法：设，截距式；把 代入可化为，再用韦达， 全部约掉。 模板 3 · 斜率互补定斜率 在 上，，则（与 无关）。 做法：设，则，各自联立求另一点，斜率公式一除， 被约掉。 模板 4 · 中点弦 弦 的中点为，则（双曲线取正号）；反向： 与 所在定直线可互推。 模板 5 · 垂直弦 时，（ 为 到 的距离），且。前提是，否则两条射线不可能同时落在支内。 模板 6 · 存在性定值 ，若 轴上存在 使 为定值，则 ，定值 做法：把点积通分，分子形如，与分母 对应系数成比例，两个方程解两个未知数。 易错清单 ·忘记：韦达写出来了，但直线其实与双曲线无两个交点，整题作废。 ·对称点写错： 是，不是。 ·中点弦符号照抄椭圆：双曲线是，椭圆是。 ·垂直弦不判： 时，无解却硬算。 ·存在性题只求 不算定值：定值是，不是。 ·退化支没舍： 那一支就是"弦过 本身"，必须剔除。 05 十类模型清单 模型 识别信号与关键动作 ① 顶点垂直： ，弦过定点；点乘展开后分解，舍 ② 对称点： 过定点 过， 与 关于 轴对称，定点为；用截距式 ③ 斜率互补： ，与 无关；设 与 各交一点 ④ 中点弦：给中点求斜率 （正号）；点差法一步到位 ⑤ 第三定义： ；，轨迹仍是同族双曲线 ⑥ 定直线交点：中点在某直线上 由 反解；注意 时无弦 ⑦ 垂直弦： ；须 ⑧ 面积与模长最值 ；，取等时 ⑨ 存在性定点： 定值 ，定值 ⑩ 反求参数：给定值求 或 把定值当已知，回代模板公式，解一个一次方程即可 用法：读题时先在表里对号，对号成功就有公式可套，对号失败再回到七步流程硬推。十类模型覆盖了双曲线定点定值的绝大多数考法； 真正需要现场推导的，通常是把两个模型"接"在一起（如先垂直、再求面积）。 三个"仅双曲线成立"的提醒：①中点弦取正号；②垂直弦要求；③弦存在要求（ 时退化为渐近线方向，弦不存在）。 椭圆没有后两条限制，照搬会算出负数或"不存在的弦"。 类型一 设线提参数 · 垂直条件定定点 模型特征 曲线上的定点（多为顶点）与一条动弦，条件写成、、或以 为直径的圆过。 问"直线 是否过定点"或"过哪个定点"。条件是"垂直"，结论是"定点"，这是定点题的第一大来源。 通法三步 ①设线：，并注明" 不过"，这就是后面舍支的依据。 ②展开：，把 代入，全部化成、 与。 ③分解：韦达代入、通分、约去分母，得到一个关于 的二次齐次式，因式分解得两支：一支是（过，舍），另一支是一次关系，直接读出定点。 口诀：垂直先点乘，点乘必展开；展开用韦达，韦达后分解；分解两支，过 那支扔掉。 核心结论 ， 过 数值记忆： 时定点为； 时为； 时为。 若定点反过来给出，则""恒成立——定点与垂直是一对等价说法。 易错提醒 ·把 当成 代进公式：分子分母用的都是，只有最前面那个系数是。 ·忘了舍：这一支的弦恰好经过，此时" 两点重合"，谈不上垂直。 ·不写：定点求出来了，但某些 根本没有两个交点。 ·等轴双曲线（）分母为，此时不存在这样的定点，题目不会给。 例题精练 1．已知双曲线， 为右顶点，直线 与 交于 两点且不过。若，则直线 恒过定点（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线， 为右顶点，弦 不过 且，则 恒过定点（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线， 为右顶点，弦 不过 且，则 恒过（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线， 为右顶点，不过 的弦 满足，则 所过定点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线，。若弦 过点 且与 交于 两点，则 的大小为（ ） A． B． C． D． 本类小结 看到"曲线上定点 + 垂直"就写模板：定点横坐标。真正需要动笔时只做三件事：设、把点乘展开成对称式、把得到的二次齐次式分解并舍去"过"那一支。 类型二 对称点模型 · 过定点 模型特征 直线 过 轴上一点，与双曲线交于；把 关于 轴翻到，问直线 过哪个定点。题干里必有"关于 轴对称"四个字，这是唯一识别信号。 通法三步 ①倒斜设线：（ 就是已知的横截距，不要用斜截式，否则 与 两套参数交叉）。 ②韦达：代入得，写出、。 ③截距式：、，令 与 轴交于，则；代入 可化为，再用韦达， 约掉，只剩。 核心结论 过， 与 关于 轴对称 过 记法："横截距与定点横坐标之积等于"，即。这条性质与、与斜率完全无关，是双曲线最"干净"的一个定点结论。 易错提醒 ·对称点写成：关于 轴对称是纵坐标变号。 ·截距公式符号：，分母是（因为）。 · 时直线过原点，此时 关于原点对称， 与 轴无交点，结论失效。 · 时直线过顶点， 过顶点，属于退化情形。 例题精练 1．已知双曲线，直线 与 交于 两点， 与 关于 轴对称，则直线 恒过（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线，直线 过点 且与 交于， 与 关于 轴对称，则 恒过（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线，直线 过点 且与 交于， 与 关于 轴对称，则 恒过（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线，直线 过 且与 交于，若（ 关于 轴对称）与 的连线恒过，则（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线，直线 过 与曲线交于， 与 关于 轴对称，则直线 恒过（ ） A． B． C． D． 本类小结 见到"对称点"就用：已知横截距求定点，或已知定点反求横截距，都是一步除法。真正要写过程时，用倒斜式 + 截距式， 会自动消失。 类型三 斜率关系 · 和为零与积为定值 模型特征 题干给的是"斜率"：、、或直接问某条弦的斜率是否为定值。这类题不设点、不设线，而是"设斜率"——把两条动弦写成斜率 与（或 与），各自求交点，再算第三条弦的斜率。 通法三步 ①设斜率：，则；过 的直线写成。 ②求另一点：与双曲线联立， 本身是一根，另一根由韦达或直接解出；两点都算出来。 ③算：用两点斜率公式，化简后 必被约掉，只剩 一类常数。 口诀：斜率题不设线，设斜率；一条、一条；两点到手，斜率一比，参数消失。 核心结论 三条结论的符号要分清：互补取负、中点弦取正、第三定义为正。椭圆对应的是中点弦取负、第三定义为负，这是最容易抄错的地方。 易错提醒 ·把 写成：分子是，分母是。 · 必须在曲线上，否则公式不成立；题目给的 若不在曲线上，先验证。 ·（ 为顶点）时，MN 平行于 轴，可以验证结论。 ·第三定义要写" 异于"，否则斜率不存在。 例题精练 1．已知双曲线，点 在 上，过 的两条弦 满足，则（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线，、，点 在 上且异于，则（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线，弦 的中点为，则（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线，点 在曲线上且，过 的两条弦 满足，则（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线，点 在 上，过 的两条弦 满足，则（ ） A． B． C． D． 本类小结 三类斜率结论其实是一家人： 中的负号来自"互补"，去掉负号就是中点弦。做题时先判断是"两条弦斜率互为相反数"还是"给中点"，再决定正负。 类型四 设点与点差 · 中点、第三定义、存在性 模型特征 题干出现"中点"、"斜率之积为定值"、"弦的中点在某条定直线上"，或反过来问"某个斜率的弦是否存在"。这一类不联立、不解方程，只把两个端点作一次差，一步就能得到斜率与中点坐标的关系。 通法三步 ①设两端点：、 都在 上，写出两个方程。 ②作差：，用平方差把、 提出，得。 ③判存在：中点必须在某一支的内部，即，代入上式即得。若题目问"斜率积"，则由 反解。 核心结论 弦存在 第三条是本类最容易被忽略的：斜率等于 的弦不存在，因为它对应渐近线方向，弦的中点会落到渐近线上（），不可能在支内。 易错提醒 ·把公式抄成椭圆版：椭圆，双曲线没有负号。 ·只算 不验"中点在支内"，题目可能根本没有这样的弦。 ·第三定义反求轨迹时漏写（ 不能与 重合）。 ·把 记成：分母是，不是。 例题精练 1．已知双曲线，弦 的中点为，则（ ） A． B． C． D． 2．已知、，动点 满足，则 的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线，弦 的中点 在直线 上，则（ ） A． B． C． D． 4．在双曲线 中，下列斜率的弦一定存在的是（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线，、，点 在 上且，则（ ） A． B． C． D． 本类小结 点差法只做一件事：把"两个点在曲线上"作差，得到 与中点坐标的线性关系。它的三个出口是中点弦、第三定义和存在性判断（）。做题时先问"中点在哪"，再问"斜率够不够大"。 类型五 垂直弦 · 距离、面积与模长 模型特征 在双曲线上且（或写、），求、原点到 的距离、 面积或其最小值、 的最小值。只要看到"两支射线互相垂直"，就归到这一类。 通法三步 ①换方向：把 放在射线角 上， 就在 上，设、。 ②用极坐标式：点在双曲线上等价于；对 把 换成。 ③相加：两式相加，， 消失，得； 再由直角三角形 中 得。 核心结论 （） 推论：（当 时取等）；，其中 为 中点。 存在性前提：必须。因为两条互相垂直的射线要同时落在支内，需要渐近线斜率。 易错提醒 ·照抄椭圆的：双曲线是减号。 ·不判断，算出的，却硬说"距离平方为负"。 ·把 当成：只有当 时二者相等，一般情况。 ·面积最值取等条件写错：是，不是 之外的别的条件。 例题精练 1．已知双曲线， 在 上且，则（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线， 在 上且， 为原点 到直线 的距离，则（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线， 在 上且，若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线， 在 上且，则 面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线， 在 上且， 为线段 的中点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 本类小结 垂直弦只有一个常数，但它同时是"倒数平方和"、""和"面积的下界"。做题时先把常数算出来，再按题目要的量取倒数或开方，并永远先检查。 类型六 存在性定点 · 与定值 模型特征 直线 过 轴上一点，与曲线交于；问" 轴上是否存在定点，使 为定值"，或给出定值反求、，或问。这是双曲线定点题里综合性最强的一类，因为它同时含"定点"和"定值"。 通法三步 ①倒斜设线：，写出、（含参数）。 ②写点积：。 ③通分成比例：通分后分子是 的二次式，分母是。要让结果与 无关，分子必须与分母成比例：比 的系数得定值，比常数项解出。 核心结论 定值 记法："分子分母系数成比例"给出两件事——定值是，而 由同一个二次方程的常数项定出。 若（直线过原点）， 的分母为，不存在这样的定点。 易错提醒 ·定值写成：符号反了，分子 的系数是。 ·只求 不写定值，或只写定值不说明 满足的方程。 · 时仍套公式：分母为零，结论不成立。 ·反求 时得到两个解要取舍：让直线过 本身的解是退化支（此时 中有一点就是，点积恒为）。 例题精练 1．已知双曲线，直线 与 交于 两点。若 轴上存在定点，使 为定值，则（ ） A． B． C． D． 2．在第 1 题的条件下， 的定值为（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线，直线 过 与 交于，若 轴上存在 使 为定值，则该定值为（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线，直线 过 与 交于。若 使 为定值，则（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线，直线 与曲线交于，若 轴上存在 使 为定值，则（ ） A． B． C． D． 本类小结 本类把"定点"与"定值"一次问完： 是定点， 是定值。做法固定为三步——倒斜设线、写出点积、让分子分母系数成比例。反求时注意用 或" 不过"剔掉退化支。 06 方法对照总表 类型 识别关键词 一句话做法 一 设线提参数 曲线上定点、、圆过 设，点乘展开 + 韦达，分解后舍，读出定点 二 对称点 关于 轴对称、 过定点 倒斜，截距式，得 三 斜率关系 、、求弦斜率 设 与，各交一点， 四 设点点差 中点、斜率积、中点在某直线上 作差得；存在性；第三定义 五 垂直弦 、距离、面积、 ，需，均值不等式求最值 六 存在性 轴上是否存在、 定值 倒斜 + 点积通分，分子分母系数成比例， 与 最后三句话：①定点定值题只有一条主线：设元、联立、韦达、写对称式、让参数系数为；②双曲线的符号与椭圆相反——中点弦取正、垂直弦是"减"、垂直弦还要求；③算完必检、、，并舍掉"过定点本身"的退化支。 学科网（北京）股份有限公司 $