3.2 双曲线概念及方程导学案（ 含拓展内容）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

双曲线的概念及方程 定义 · 渐近线 · 焦点三角形 · 焦半径与焦点弦 · 点差法 · 离心率 · 位置关系 · 定值最值 双曲线难不在定义，而在结论多、条件严、陷阱密：同一个"焦点三角形"，面积公式只在顶角给定时好用；同一条"焦点弦"，交于一支与交于两支，倒数和是两个答案；"只有一个公共点"既可能相切，也可能平行于渐近线。 本学案拆成八块，每块按模型特征 → 原理推导 → 核心结论 → 易错提醒 → 大题书写与得分点展开，二级结论全部给出推导，不让任何人靠背公式上考场。 01 学习目标 1．能由判断轨迹，正确写出焦点在轴、轴的标准方程，熟练使用。 2．会求渐近线、共渐近线系与共轭双曲线，能用特征三角形（距离、垂足、面积）快速取值。 3．掌握焦点三角形面积、、内切圆切顶点三条结论，并能独立推导。 4．记住焦半径、通径、焦点弦长，能区分同支弦与异支弦的倒数和。 5．会用点差法求中点弦并验证，会由渐近线斜率、倾斜角、通径关系反求离心率，会判断直线与双曲线的公共点个数。 02 重点 · 难点 本节重点 本节难点 ·定义式与，焦点轴的判断。 ·渐近线三类问题：求、共系、共轭。 ·焦点三角形的面积、、内切圆。 ·焦半径、通径、焦点弦长与倒数和。 ·点差法与检验；离心率四通道。 ·"只有一个公共点"含平行渐近线，容易漏一类。 ·同支弦与异支弦的倒数和不是同一个定值。 ·点差法求出直线后必须验证。 ·通径最短只对同一支成立，异支弦可短至。 ·焦半径不加绝对值，会漏掉左支。 03 知识结构图MIND MAP ① 定义与标准方程 差的绝对值 2a；c²=a²+b²；看正项定焦点轴 双曲线 八 块 结 论 ⑤ 焦半径 · 焦点弦 |ex₀±a|、通径 2b²/a、弦长 2ab²/|c²sin²α−b²| ② 渐近线 令右边为 0 得 y=±(b/a)x；共渐近线设 λ ⑥ 中点弦点差法 ③ 特征三角形 焦点到渐近线距离 b，垂足到原点 a，面积 ab/2 ⑦ 离心率四通道 m→√(1+m²)；θ→secθ；通径=焦距→黄金比 ④ 焦点三角形 S=b²cot(θ/2)；内切圆切于顶点 (±a,0) ⑧ 位置 · 定值最值 平行渐近线只 1 个交点；min|PF|=c−a 看图口诀："看见差式想定义，看见渐近设，看见焦点画三角，看见弦长用倾斜角，看见中点先点差，看见唯一想平行。" 八块之间不是并列的八种技巧：②③ 服务于选填秒杀，④⑤ 是焦点弦问题的主线，⑥⑦⑧ 是大题与压轴的入口。一条主线：先把三个数抓准。 使用建议：每块先用三分钟读完"原理推导"，遮住"核心结论"自己推一遍，再做五道题。解析里朱红色是答案， 加粗处是阅卷给分的那一步。学生版不含解析，务必先独立写完整过程再对答案。 块一 定义与标准方程DEFINITION 模型特征 题干出现"到两定点距离之差的绝对值等于常数"，或给出一个含两个根号之差的关系式；也可能反过来给出方程，问焦点坐标、、实轴虚轴长。 原理推导 ① 定义。平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数（）的点的轨迹叫双曲线。去掉绝对值只剩一支；时轨迹是两条射线；时轨迹不存在。 ② 方程怎么来。以中点为原点、所在直线为轴建系，设、，由移项、平方两次，得 令，即得，同时得到——注意这里是加号，椭圆是减号，这是两章最容易混的一处。 ③ 焦点在哪条轴。看哪一项系数为正：项为正，焦点在轴；项为正，焦点在轴。谁正跟谁，不是谁在前跟谁。 核心结论 焦点在轴：，焦点，顶点； 焦点在轴：，焦点，顶点。 ，；实轴长，虚轴长，焦距。 由可知：越大，越大，渐近线越陡，开口越"张"。 易错提醒 ·把写成（椭圆习惯），一步错、全题错。 ·题目给"虚轴长"是，不是；给"焦距"是，不是。 ·距离之差忘记加绝对值：只是靠近的那一支。 ·焦点在轴时，跟的是，不要照抄在前的形式。 大题书写与得分点 ·第一行写"由定义，得"——定义式就是第一个得分点。 ·第二行写"，由得"，关系式写错整题不得分。 ·第三行必须落到"因为焦点在轴，所以方程为"——轴判断与标准形式是独立给分点。 ·若轨迹只是其中一支，补一句""或""，漏范围按不完整扣分。 例题精练 1．设动点满足，其中，，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的焦点为、，且实轴长为，则它的标准方程为（ ） A． B． C． D． 3．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 4．已知双曲线上一点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（ ） A． B．或 C． D．或 5．已知双曲线的焦距为，虚轴长为，焦点在轴上，则它的标准方程为（ ） A． B． C． D． 本块小结 这一块只干一件事：把三个数认准，把焦点轴定准。五道题里第 1、2、5 题是"给条件求方程"，第 3 题是"给方程求参数"，第 4 题是"给距离求距离"—— 第 4 题最容易只写一个答案，记住双曲线有两支，差式带绝对值。 块二 渐近线 · 特征三角形 · 距离积ASYMPTOTE 模型特征 题干出现"渐近线""共渐近线""共轭双曲线""等轴双曲线""焦点到渐近线的距离""点到两渐近线距离之积"。这类题几乎都在选填，用结论可以三秒出答案，但必须知道结论从哪来。 原理推导 ① 渐近线怎么求。把标准方程右边的换成：，因式分解即得。只换右边，不动左边。 ② 为什么它是渐近线。由方程解出，即。当时根号趋于，曲线无限贴近直线。 ③ 特征三角形。焦点到渐近线的距离 设垂足为，则，即；于是。这三条合称"特征三角形"：距离是，垂足是，面积是。 ④ 共渐近线系与共轭。与共渐近线的双曲线可设为，焦点在轴，焦点在轴。把与互换得共轭双曲线，两者焦距相同，、，于是。 ⑤ 距离积。设在双曲线上，则。到两条渐近线的距离之积 核心结论 渐近线：；等轴双曲线：，，渐近线且互相垂直。 共渐近线系：；共轭双曲线：。 特征三角形：焦点到渐近线距离，垂足到原点，面积。 双曲线上任一点到两渐近线距离之积为定值。 易错提醒 ·渐近线是，不是；焦点在轴时同理，仍是。 ·求渐近线只把右边的换成，不要移项后乱配方。 ·等轴双曲线的离心率是，不是。 ·共渐近线必须设，直接写标准式再代点会漏掉的那一支。 大题书写与得分点 ·求渐近线写"令，得"——"令右边为 0"这句话本身就是步骤分。 ·共渐近线题必须写"设所求双曲线方程为"，再代点求。 ·求离心率要同时写出与两个式子，缺一不可。 ·用到特征三角形时，把"距离、垂足"的来源写一句，避免被判定为"直接套结论"。 例题精练 1．双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则它的标准方程为（ ） A． B． C． D． 3．若双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A． B． C． D． 5．双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为（ ） A． B． C． D． 本块小结 五道题共用一句：渐近线是"的比值"，不是本身。第 1、4、5 题考直接结论，第 2 题考"设或设"的待定系数，第 3 题考等轴双曲线。 记住特征三角形：距离、垂足、面积，选填题可以省掉一次联立。 块三 焦点三角形FOCAL TRIANGLE 模型特征 在双曲线上，为两焦点，题干给出顶角、三角形面积、、内切圆或周长。 原理推导 ① 面积公式。设、、。在中由余弦定理 又由定义，即。两式相减得 于是。 ② 顶角为直角。时，故，。 ③ 内切圆切在哪。设内切圆切于。由切线长相等，（在右支）。以为起点向右量，得的横坐标为。内切圆与轴相切于顶点，与的位置无关。 ④ 周长。右支上，故周长。 核心结论 ；；时、。 内切圆与轴切于顶点；焦点三角形周长。 越靠近顶点，越接近，面积越小；越远，越小，面积越大，面积没有最大值。 易错提醒 ·面积公式分母是，不是；是顶角，不是底角。 ·就是，不要与混。 ·内切圆切点是，不是焦点，也不是原点。 ·算周长别忘了加上；只算两焦半径之和是常见失分。 大题书写与得分点 ·开口先设元："设，，由定义得"。 ·再写余弦定理那一行，把与同时保留，这是消元的关键。 ·消元后单独一行写"所以"，再一行写"所以"。 ·若题目问面积的最值，必须说明取等条件与是否存在，没有最大值也要写清"无最大值"。 例题精练 1．设是双曲线的两个焦点，在双曲线右支上，且，则的面积为（ ） A． B． C． D． 2．设是双曲线的两个焦点，在双曲线上，且，则的面积为（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的两焦点为，为双曲线上一点，若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的两焦点为，在右支上，则的内切圆与轴相切于（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的两焦点为，在右支上且横坐标为，则的周长为（ ） A． B． C． D． 本块小结 焦点三角形的四件套：面积、乘积、内切圆切顶点、周长。 五道题分别对应这四条，第 3 题是反求顶角——先写公式再解，比画图快得多。 块四 焦半径与焦点弦FOCAL RADIUS · CHORD 模型特征 题干给出的横坐标、过焦点的弦、通径、"过焦点且垂直于实轴的弦"、弦长或。这类题是大题第二问的常客。 原理推导 ① 焦半径。设在双曲线上，。由， 故，同理。在右支（）可直接去绝对值：，。 ② 通径。把代入方程，，故，通径长。它是同一支上最短的焦点弦。 ③ 焦点弦长。设过焦点的直线、，代入双曲线并整理： 由韦达定理算出，即得。当时恰为；当时恰为。 ④ 倒数和。由：若（弦比渐近线"陡"，交于同一支），则 若（交于两支），则，不再是定值。 核心结论 焦半径；右支，。 通径；同支最短焦点弦；过两顶点的弦。 焦点弦长；同支弦，异支弦为。 易错提醒 ·焦半径不加绝对值，只算右支，左支的点直接漏掉。 ·通径是，不是；椭圆也是这个式子，但含义不同。 ·"最短焦点弦为"只在同一支上成立，异支弦可以短到。 ·倒数和先判断"交于一支还是两支"，再选公式，直接套会错。 大题书写与得分点 ·设线优先用（避免讨论斜率不存在），并写"设，"。 ·联立后单独一行写韦达定理、，再写的范围。 ·弦长公式写成，不要直接跳到结果。 ·若用焦半径，先写"由在右支，"，把去绝对值的理由交代清楚。 例题精练 1．双曲线的通径长为（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，在右支上且横坐标为，则等于（ ） A． B． C． D． 3．过双曲线的右焦点作倾斜角为的弦，则等于（ ） A． B． C． D． 4．过双曲线的右焦点作垂直于实轴的弦，则等于（ ） A． B． C． D． 5．过双曲线的右焦点作平行于轴的弦，则等于（ ） A． B． C． D． 本块小结 第 1、2 题是"点"的问题，用通径与焦半径；第 3、4、5 题是"弦"的问题，用弦长公式与倒数和。分水岭只有一句：弦交于一支还是两支。 同一支（弦比渐近线陡）→ 倒数和是；两支（弦比渐近线缓）→ 倒数和随倾斜角变。 块五 中点弦 · 点差法MIDPOINT CHORD 模型特征 题干出现"以某点为中点的弦""弦的中点""过定点且被该点平分的弦""中点弦所在直线的斜率"。这是解析几何大题第二问出现频率最高的模型之一。 原理推导 ① 设点作差。设、在双曲线上，为中点。两式相减： 因式分解，并用、、，得 双曲线取正号，椭圆取负号，这是两者最容易混的一处。 ② 为什么必须验。点差法只保证"若中点弦存在，则斜率必为"，并没有保证弦真的存在。把直线代回双曲线，设，展开后一次项恰好消掉（这就是点差法的本质），只剩 要得到两个不同的交点，必须与常数项异号。记，则 或时存在中点弦；时不存在；时在渐近线上，也不存在。 ③ 两个陷阱。一是落在渐近线上（如之于），点差法仍能算出一个"斜率"，但那条直线与双曲线无交点；二是时公式分母为 0，此时弦是竖直的，要单独讨论。 核心结论 ，（双曲线为正）。 存在性：，或才有中点弦；在渐近线上时无中点弦。 求完直线方程务必联立，写出的表达式并判断。 易错提醒 ·只套斜率公式、不联立验，答案可能对应一条"空弦"。 ·把椭圆的负号搬到双曲线，得到，方向全反。 ·时公式失效，竖直弦要单独算。 ·中点在渐近线上时，斜率恰好等于渐近线斜率，看着"很像"，其实无解。 大题书写与得分点 ·第一行："设，，代入双曲线方程并作差。"——设点与作差是独立步骤分。 ·第二行："由中点坐标公式、，得。" ·第三行："所以直线的方程为。" ·第四行："联立消元得，"——这一步是阅卷人专门找的得分点，缺了按"未验证"扣分。 例题精练 1．已知双曲线的一条弦的中点为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 2．对于双曲线，以为中点的弦（ ） A．存在，且斜率为 B．不存在 C．存在，且斜率为 D．存在，且斜率为 3．已知双曲线的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 4．设是双曲线上的两点，为的中点，为坐标原点，若、都存在且不为，则等于（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的一条弦被点平分，则这条弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 本块小结 点差法三步：设点、作差、用中点，得。但真正决定对错的是第四步——联立验。 第 2 题是"渐近线上的中点"，第 4 题是"结论本身"，第 1、3、5 题都要在解析里把算出来，考场上也要写出来。 块六 离心率四通道ECCENTRICITY 模型特征 题干求或的取值范围，给出的条件可能是渐近线方程、渐近线倾斜角、通径与焦距的关系、焦半径之比、焦点三角形中的角或面积。 原理推导 ① 基本关系。，，相除得，即。 ② 由渐近线斜率。渐近线，则，故。 ③ 由渐近线倾斜角。倾斜角时，故 ④ 由通径与焦距。通径，即。代入得，（黄金比，选填直接记）。 ⑤ 由焦半径之比。右支上，解出，再由建立关于的不等式，即得的范围。 核心结论 （）；倾斜角时。 通径等于焦距；等轴双曲线。 越大，越大，渐近线越陡，开口越"张"；求范围时永远别忘。 易错提醒 ·把当成，与完全不同。 ·倾斜角取的是渐近线与轴正方向的锐角夹角，不是钝角。 ·由求时不必求，直接用更快。 ·求的范围必须写"因为"，端点的开闭也要交代。 大题书写与得分点 ·写"由题意，所以"，把关系式写全。 ·用通径条件要写"通径长为，由题意"，不能只写结果。 ·求范围时写"因为，所以"，最后单独一行给范围。 ·若用焦半径比，先说明在哪一支、的范围，再去绝对值。 例题精练 1．若双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．若双曲线的渐近线与轴正方向的夹角为，则它的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为，则它的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．若双曲线的通径长等于焦距，则它的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 本块小结 离心率题只有两条路：要么把条件翻成，要么把条件翻成的齐次式。第 1、2、5 题走第一条，第 3、4 题走第二条。 记住两个"熟脸"：等轴双曲线，通径等于焦距。 块七 直线与双曲线的位置关系POSITION 模型特征 题干出现"直线与双曲线有且只有一个公共点""有两个公共点""相切""相交弦""求的取值范围"。这类题错在漏情况，不在算不动。 原理推导 ① 联立。把代入，整理得 ② 二次项系数为 0。当，即直线平行于渐近线时，方程退化为一次方程，恰有一个公共点，但这不是相切。 ③ 二次项系数不为 0。有两个公共点（可能同支，也可能一支一个）；相切，只有一个公共点；没有公共点。 ④ 结论。"只有一个公共点"包含两类：相切与平行于渐近线。以过双曲线顶点的直线为例：切线 1 条 + 平行于两条渐近线的直线 2 条，共 3 条。 核心结论 平行于渐近线（）：1 个公共点，不相切。 ：相切，1 个公共点；：2 个；：0 个。 过双曲线上一点的"只有一个公共点"的直线共3 条（1 条切线2 条平行渐近线）。 易错提醒 ·把"只有一个公共点"直接等同于，漏掉平行渐近线那一类，答案少一半。 ·联立后不讨论二次项系数，直接写，遇到时分母为 0。 ·求的范围时忘记排除（它对应的是一次方程，不参与的判断）。 ·两个交点未必在同一支，判断同支/异支要用的符号。 大题书写与得分点 ·先写"联立消元得"，把二次项系数单独圈出来。 ·再分类："当，即时，方程为一元一次，恰有一个解。" ·另起一行："当时，。" ·最后"综上，的取值为"——分类讨论不写"综上"要扣分。 例题精练 1．直线与双曲线的公共点个数为（ ） A． B． C． D．无法确定 2．若直线与双曲线有且只有一个公共点，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 3．直线与双曲线的公共点个数为（ ） A． B． C． D． 4．过点且与双曲线只有一个公共点的直线共有（ ） A．条 B．条 C．条 D．条 5．直线与双曲线的公共点个数为（ ） A． B． C． D． 本块小结 判断公共点个数，永远先看两件事：① 斜率是否等于；② 二次项系数是否为 0。第 1、2、4 题考"平行渐近线"，第 3、5 题考。 记住那句口诀："看见唯一想平行"——"只有一个公共点"绝不只有相切一种。 块八 定值 · 最值 · 范围CONSTANT · EXTREMUM 模型特征 题干出现"求最小值""证明某式为定值""求取值范围""△ 面积的最大值"。通常要先把目标量写成某一个变量（多为）的函数，再用单调性或基本不等式。 原理推导 ① 焦半径的单调性。右支上随增大而增大，，故最小值为（在顶点取到），无最大值。同理最小值为。 ② 焦半径之和。右支上，最小值就是焦距，在顶点取到。 ③ 距离积定值。到两渐近线距离之积恒为，与无关。 ④ 焦点弦倒数和。同一支上的弦，是定值；交于两支时为，随倾斜角变化。 ⑤ 面积。，当沿支远离顶点时，面积无上界；当顶点时面积趋近，但取不到（此时共线）。所以面积只有下确界 0，没有最大值。 核心结论 ，（均在顶点取到）。 ；距离积定值；同支弦倒数和定值。 焦点三角形面积无最大值；若题目限定异于顶点，最值往往取不到，只能用极限说明。 易错提醒 ·最值在顶点取到，但有些题规定异于顶点，此时"最小值"实际取不到，要写"无最小值，下确界为…"。 ·把记成，量纲都不对。 ·同支弦与异支弦用同一个倒数和公式，结论直接错。 ·面积题里会随变化，不能把它当常数代入。 大题书写与得分点 ·设后立刻写"因为在右支，所以"——范围是后续最值的依据。 ·把目标量写成的函数，单独一行："于是，。" ·用单调性求最值，写出"当时取到最小值"，取等条件单独给分。 ·答句完整："所以最小值为，此时的坐标为。" 例题精练 1．已知是双曲线的右焦点，是双曲线上一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．设是双曲线的两个焦点，在右支上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．过双曲线的右焦点作一条与双曲线交于同一支的弦，则等于（ ） A． B． C． D． 4．双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为（ ） A． B． C． D． 5．过双曲线的右焦点作垂直于实轴的弦，为坐标原点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 本块小结 定值题问"与位置无关"，最值题问"何时取到"。第 3、4 题是定值，第 1、2、5 题是最值或面积。 做最值题只记一句：先把目标写成的函数，再用卡范围；做定值题只记一句：算完发现消掉了，就是定值。 04 方法对照总表SUMMARY 块别 识别关键词 一句话做法 一 定义与方程 距离之差、根号之差、求方程 比与，算，看正项定轴 二 渐近线 渐近线、共渐近线、等轴、共轭 令右边为；共系设；距离取 三 特征三角形 焦点到渐近线距离、垂足、面积 距离、垂足、面积 四 焦点三角形 顶角、面积、内切圆、周长 余弦定理加定义，得 五 焦半径与弦 横坐标、通径、焦点弦、倒数和 ；先判同支还是异支 六 点差法 中点弦、被定点平分、中点已知 设点作差得，再联立验 七 离心率 渐近线斜率、倾斜角、通径、焦半径比 翻成或的齐次式 八 位置与最值 公共点个数、唯一、定值、最小值 先查平行渐近线，再把目标写成的函数 05 核心结论速查13 CONCLUSIONS 序 结论（公式） 条件与用法 1 ， 所有题的第一步 2 渐近线 令方程右边为 3 等轴双曲线：， ，渐近线互垂 4 共渐近线系： ，代点求 5 共轭双曲线： 两双曲线焦距相同 6 特征三角形：距离，垂足， 焦点到渐近线的垂线 7 焦点三角形 8 ；时 余弦定理定义 9 内切圆切于顶点 切线长相等推出 10 焦半径；通径 右支可直接去绝对值 11 焦点弦 为弦的倾斜角 12 双曲线为正；必验 13 距离积 到两条渐近线，定值 最后三句话 一、双曲线的一切结论都从两个式子长出来：与。背不住结论时，回到这两个式子现场推。 二、结论都有"适用条件"：焦点弦的倒数和分同支与异支，面积公式要求顶角，点差法要求。用结论前先问一句"条件满足吗"。 三、大题的分不在最后那个数，而在定义式、联立式、韦达定理、、取等条件这五处。每一步单独成行，阅卷人才找得到分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 含 AI 生成 双曲线的概念及方程 定义 · 渐近线 · 焦点三角形 · 焦半径与焦点弦 · 点差法 · 离心率 · 位置关系 · 定值最值 双曲线难不在定义，而在结论多、条件严、陷阱密：同一个"焦点三角形"，面积公式只在顶角给定时好用；同一条"焦点弦"，交于一支与交于两支，倒数和是两个答案；"只有一个公共点"既可能相切，也可能平行于渐近线。 本学案拆成八块，每块按模型特征 → 原理推导 → 核心结论 → 易错提醒 → 大题书写与得分点展开，二级结论全部给出推导，不让任何人靠背公式上考场。 01 学习目标 1．能由判断轨迹，正确写出焦点在轴、轴的标准方程，熟练使用。 2．会求渐近线、共渐近线系与共轭双曲线，能用特征三角形（距离、垂足、面积）快速取值。 3．掌握焦点三角形面积、、内切圆切顶点三条结论，并能独立推导。 4．记住焦半径、通径、焦点弦长，能区分同支弦与异支弦的倒数和。 5．会用点差法求中点弦并验证，会由渐近线斜率、倾斜角、通径关系反求离心率，会判断直线与双曲线的公共点个数。 02 重点 · 难点 本节重点 本节难点 ·定义式与，焦点轴的判断。 ·渐近线三类问题：求、共系、共轭。 ·焦点三角形的面积、、内切圆。 ·焦半径、通径、焦点弦长与倒数和。 ·点差法与检验；离心率四通道。 ·"只有一个公共点"含平行渐近线，容易漏一类。 ·同支弦与异支弦的倒数和不是同一个定值。 ·点差法求出直线后必须验证。 ·通径最短只对同一支成立，异支弦可短至。 ·焦半径不加绝对值，会漏掉左支。 03 知识结构图MIND MAP ① 定义与标准方程 差的绝对值 2a；c²=a²+b²；看正项定焦点轴 双曲线 八 块 结 论 ⑤ 焦半径 · 焦点弦 |ex₀±a|、通径 2b²/a、弦长 2ab²/|c²sin²α−b²| ② 渐近线 令右边为 0 得 y=±(b/a)x；共渐近线设 λ ⑥ 中点弦点差法 ③ 特征三角形 焦点到渐近线距离 b，垂足到原点 a，面积 ab/2 ⑦ 离心率四通道 m→√(1+m²)；θ→secθ；通径=焦距→黄金比 ④ 焦点三角形 S=b²cot(θ/2)；内切圆切于顶点 (±a,0) ⑧ 位置 · 定值最值 平行渐近线只 1 个交点；min|PF|=c−a 看图口诀："看见差式想定义，看见渐近设，看见焦点画三角，看见弦长用倾斜角，看见中点先点差，看见唯一想平行。" 八块之间不是并列的八种技巧：②③ 服务于选填秒杀，④⑤ 是焦点弦问题的主线，⑥⑦⑧ 是大题与压轴的入口。一条主线：先把三个数抓准。 使用建议：每块先用三分钟读完"原理推导"，遮住"核心结论"自己推一遍，再做五道题。解析里朱红色是答案， 加粗处是阅卷给分的那一步。学生版不含解析，务必先独立写完整过程再对答案。 块一 定义与标准方程DEFINITION 模型特征 题干出现"到两定点距离之差的绝对值等于常数"，或给出一个含两个根号之差的关系式；也可能反过来给出方程，问焦点坐标、、实轴虚轴长。 原理推导 ① 定义。平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数（）的点的轨迹叫双曲线。去掉绝对值只剩一支；时轨迹是两条射线；时轨迹不存在。 ② 方程怎么来。以中点为原点、所在直线为轴建系，设、，由移项、平方两次，得 令，即得，同时得到——注意这里是加号，椭圆是减号，这是两章最容易混的一处。 ③ 焦点在哪条轴。看哪一项系数为正：项为正，焦点在轴；项为正，焦点在轴。谁正跟谁，不是谁在前跟谁。 核心结论 焦点在轴：，焦点，顶点； 焦点在轴：，焦点，顶点。 ，；实轴长，虚轴长，焦距。 由可知：越大，越大，渐近线越陡，开口越"张"。 易错提醒 ·把写成（椭圆习惯），一步错、全题错。 ·题目给"虚轴长"是，不是；给"焦距"是，不是。 ·距离之差忘记加绝对值：只是靠近的那一支。 ·焦点在轴时，跟的是，不要照抄在前的形式。 大题书写与得分点 ·第一行写"由定义，得"——定义式就是第一个得分点。 ·第二行写"，由得"，关系式写错整题不得分。 ·第三行必须落到"因为焦点在轴，所以方程为"——轴判断与标准形式是独立给分点。 ·若轨迹只是其中一支，补一句""或""，漏范围按不完整扣分。 例题精练 1．设动点满足，其中，，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 答案 C 由得，；，故。差带绝对值，两支都要；焦点在轴，方程为。 2．已知双曲线的焦点为、，且实轴长为，则它的标准方程为（ ） A． B． C． D． 答案 A 焦点在轴，；实轴长，，。必须写在下面，故方程为。 3．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 答案 D 焦点在轴，要求项系数为正、项系数为负：且，两个条件同时成立，解得。 4．已知双曲线上一点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（ ） A． B．或 C． D．或 答案 B ，。若在右支，，得；若在左支，，得。两种情形都满足或，故有两个答案。 5．已知双曲线的焦距为，虚轴长为，焦点在轴上，则它的标准方程为（ ） A． B． C． D． 答案 C 焦距，；虚轴长，；。焦点在轴，写在下面，方程为。 本块小结 这一块只干一件事：把三个数认准，把焦点轴定准。五道题里第 1、2、5 题是"给条件求方程"，第 3 题是"给方程求参数"，第 4 题是"给距离求距离"—— 第 4 题最容易只写一个答案，记住双曲线有两支，差式带绝对值。 块二 渐近线 · 特征三角形 · 距离积ASYMPTOTE 模型特征 题干出现"渐近线""共渐近线""共轭双曲线""等轴双曲线""焦点到渐近线的距离""点到两渐近线距离之积"。这类题几乎都在选填，用结论可以三秒出答案，但必须知道结论从哪来。 原理推导 ① 渐近线怎么求。把标准方程右边的换成：，因式分解即得。只换右边，不动左边。 ② 为什么它是渐近线。由方程解出，即。当时根号趋于，曲线无限贴近直线。 ③ 特征三角形。焦点到渐近线的距离 设垂足为，则，即；于是。这三条合称"特征三角形"：距离是，垂足是，面积是。 ④ 共渐近线系与共轭。与共渐近线的双曲线可设为，焦点在轴，焦点在轴。把与互换得共轭双曲线，两者焦距相同，、，于是。 ⑤ 距离积。设在双曲线上，则。到两条渐近线的距离之积 核心结论 渐近线：；等轴双曲线：，，渐近线且互相垂直。 共渐近线系：；共轭双曲线：。 特征三角形：焦点到渐近线距离，垂足到原点，面积。 双曲线上任一点到两渐近线距离之积为定值。 易错提醒 ·渐近线是，不是；焦点在轴时同理，仍是。 ·求渐近线只把右边的换成，不要移项后乱配方。 ·等轴双曲线的离心率是，不是。 ·共渐近线必须设，直接写标准式再代点会漏掉的那一支。 大题书写与得分点 ·求渐近线写"令，得"——"令右边为 0"这句话本身就是步骤分。 ·共渐近线题必须写"设所求双曲线方程为"，再代点求。 ·求离心率要同时写出与两个式子，缺一不可。 ·用到特征三角形时，把"距离、垂足"的来源写一句，避免被判定为"直接套结论"。 例题精练 1．双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 答案 D 令，得，即。，斜率是，不要写成。 2．已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则它的标准方程为（ ） A． B． C． D． 答案 B 由设，方程为。代入：，得，，故。点在轴方向更远，焦点在轴。 3．若双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 答案 A 两渐近线垂直，则，即，是等轴双曲线。。 4．双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A． B． C． D． 答案 C 焦点到渐近线的距离恒等于。这里，，故距离为。也可验算：到的距离。 5．双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为（ ） A． B． C． D． 答案 B 两渐近线为，距离之积。由在双曲线上，，故积为，与点的位置无关。 本块小结 五道题共用一句：渐近线是"的比值"，不是本身。第 1、4、5 题考直接结论，第 2 题考"设或设"的待定系数，第 3 题考等轴双曲线。 记住特征三角形：距离、垂足、面积，选填题可以省掉一次联立。 块三 焦点三角形FOCAL TRIANGLE 模型特征 在双曲线上，为两焦点，题干给出顶角、三角形面积、、内切圆或周长。 原理推导 ① 面积公式。设、、。在中由余弦定理 又由定义，即。两式相减得 于是。 ② 顶角为直角。时，故，。 ③ 内切圆切在哪。设内切圆切于。由切线长相等，（在右支）。以为起点向右量，得的横坐标为。内切圆与轴相切于顶点，与的位置无关。 ④ 周长。右支上，故周长。 核心结论 ；；时、。 内切圆与轴切于顶点；焦点三角形周长。 越靠近顶点，越接近，面积越小；越远，越小，面积越大，面积没有最大值。 易错提醒 ·面积公式分母是，不是；是顶角，不是底角。 ·就是，不要与混。 ·内切圆切点是，不是焦点，也不是原点。 ·算周长别忘了加上；只算两焦半径之和是常见失分。 大题书写与得分点 ·开口先设元："设，，由定义得"。 ·再写余弦定理那一行，把与同时保留，这是消元的关键。 ·消元后单独一行写"所以"，再一行写"所以"。 ·若题目问面积的最值，必须说明取等条件与是否存在，没有最大值也要写清"无最大值"。 例题精练 1．设是双曲线的两个焦点，在双曲线右支上，且，则的面积为（ ） A． B． C． D． 答案 A 。顶角为直角时。顺带记住此时。 2．设是双曲线的两个焦点，在双曲线上，且，则的面积为（ ） A． B． C． D． 答案 C ，。，不是。 3．已知双曲线的两焦点为，为双曲线上一点，若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 答案 D ，得，，故。 4．已知双曲线的两焦点为，在右支上，则的内切圆与轴相切于（ ） A． B． C． D． 答案 B 切线长相等给出，从向右量得。切点横坐标恒为，与的具体位置无关。 5．已知双曲线的两焦点为，在右支上且横坐标为，则的周长为（ ） A． B． C． D． 答案 D ，，。右支上，周长还要加上焦距，故为。 本块小结 焦点三角形的四件套：面积、乘积、内切圆切顶点、周长。 五道题分别对应这四条，第 3 题是反求顶角——先写公式再解，比画图快得多。 块四 焦半径与焦点弦FOCAL RADIUS · CHORD 模型特征 题干给出的横坐标、过焦点的弦、通径、"过焦点且垂直于实轴的弦"、弦长或。这类题是大题第二问的常客。 原理推导 ① 焦半径。设在双曲线上，。由， 故，同理。在右支（）可直接去绝对值：，。 ② 通径。把代入方程，，故，通径长。它是同一支上最短的焦点弦。 ③ 焦点弦长。设过焦点的直线、，代入双曲线并整理： 由韦达定理算出，即得。当时恰为；当时恰为。 ④ 倒数和。由：若（弦比渐近线"陡"，交于同一支），则 若（交于两支），则，不再是定值。 核心结论 焦半径；右支，。 通径；同支最短焦点弦；过两顶点的弦。 焦点弦长；同支弦，异支弦为。 易错提醒 ·焦半径不加绝对值，只算右支，左支的点直接漏掉。 ·通径是，不是；椭圆也是这个式子，但含义不同。 ·"最短焦点弦为"只在同一支上成立，异支弦可以短到。 ·倒数和先判断"交于一支还是两支"，再选公式，直接套会错。 大题书写与得分点 ·设线优先用（避免讨论斜率不存在），并写"设，"。 ·联立后单独一行写韦达定理、，再写的范围。 ·弦长公式写成，不要直接跳到结果。 ·若用焦半径，先写"由在右支，"，把去绝对值的理由交代清楚。 例题精练 1．双曲线的通径长为（ ） A． B． C． D． 答案 A ，，通径。通径是过焦点且垂直于实轴的弦，长。 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，在右支上且横坐标为，则等于（ ） A． B． C． D． 答案 B ，，。右支上。先判断在右支，再去绝对值。 3．过双曲线的右焦点作倾斜角为的弦，则等于（ ） A． B． C． D． 答案 C ，，，。分母取绝对值。 4．过双曲线的右焦点作垂直于实轴的弦，则等于（ ） A． B． C． D． 答案 D 此时，故倒数和为。同一支上的弦，倒数和是定值。 5．过双曲线的右焦点作平行于轴的弦，则等于（ ） A． B． C． D． 答案 B 弦过且平行于轴，交点为、，故、，倒数和。此弦交于两支，公式换成。 本块小结 第 1、2 题是"点"的问题，用通径与焦半径；第 3、4、5 题是"弦"的问题，用弦长公式与倒数和。分水岭只有一句：弦交于一支还是两支。 同一支（弦比渐近线陡）→ 倒数和是；两支（弦比渐近线缓）→ 倒数和随倾斜角变。 块五 中点弦 · 点差法MIDPOINT CHORD 模型特征 题干出现"以某点为中点的弦""弦的中点""过定点且被该点平分的弦""中点弦所在直线的斜率"。这是解析几何大题第二问出现频率最高的模型之一。 原理推导 ① 设点作差。设、在双曲线上，为中点。两式相减： 因式分解，并用、、，得 双曲线取正号，椭圆取负号，这是两者最容易混的一处。 ② 为什么必须验。点差法只保证"若中点弦存在，则斜率必为"，并没有保证弦真的存在。把直线代回双曲线，设，展开后一次项恰好消掉（这就是点差法的本质），只剩 要得到两个不同的交点，必须与常数项异号。记，则 或时存在中点弦；时不存在；时在渐近线上，也不存在。 ③ 两个陷阱。一是落在渐近线上（如之于），点差法仍能算出一个"斜率"，但那条直线与双曲线无交点；二是时公式分母为 0，此时弦是竖直的，要单独讨论。 核心结论 ，（双曲线为正）。 存在性：，或才有中点弦；在渐近线上时无中点弦。 求完直线方程务必联立，写出的表达式并判断。 易错提醒 ·只套斜率公式、不联立验，答案可能对应一条"空弦"。 ·把椭圆的负号搬到双曲线，得到，方向全反。 ·时公式失效，竖直弦要单独算。 ·中点在渐近线上时，斜率恰好等于渐近线斜率，看着"很像"，其实无解。 大题书写与得分点 ·第一行："设，，代入双曲线方程并作差。"——设点与作差是独立步骤分。 ·第二行："由中点坐标公式、，得。" ·第三行："所以直线的方程为。" ·第四行："联立消元得，"——这一步是阅卷人专门找的得分点，缺了按"未验证"扣分。 例题精练 1．已知双曲线的一条弦的中点为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 答案 C ，，。验存在性：，存在；联立得，。 2．对于双曲线，以为中点的弦（ ） A．存在，且斜率为 B．不存在 C．存在，且斜率为 D．存在，且斜率为 答案 B 把代入得，在渐近线上，此时。点差法算出的"斜率"正是渐近线斜率，该直线与双曲线无交点，故弦不存在。 3．已知双曲线的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 答案 A ，直线为，即。验：联立得，。 4．设是双曲线上的两点，为的中点，为坐标原点，若、都存在且不为，则等于（ ） A． B． C． D． 答案 D 点差法给出。双曲线是正号，与椭圆的相反。 5．已知双曲线的一条弦被点平分，则这条弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 答案 C ，，，直线为，即。验：联立得，。 本块小结 点差法三步：设点、作差、用中点，得。但真正决定对错的是第四步——联立验。 第 2 题是"渐近线上的中点"，第 4 题是"结论本身"，第 1、3、5 题都要在解析里把算出来，考场上也要写出来。 块六 离心率四通道ECCENTRICITY 模型特征 题干求或的取值范围，给出的条件可能是渐近线方程、渐近线倾斜角、通径与焦距的关系、焦半径之比、焦点三角形中的角或面积。 原理推导 ① 基本关系。，，相除得，即。 ② 由渐近线斜率。渐近线，则，故。 ③ 由渐近线倾斜角。倾斜角时，故 ④ 由通径与焦距。通径，即。代入得，（黄金比，选填直接记）。 ⑤ 由焦半径之比。右支上，解出，再由建立关于的不等式，即得的范围。 核心结论 （）；倾斜角时。 通径等于焦距；等轴双曲线。 越大，越大，渐近线越陡，开口越"张"；求范围时永远别忘。 易错提醒 ·把当成，与完全不同。 ·倾斜角取的是渐近线与轴正方向的锐角夹角，不是钝角。 ·由求时不必求，直接用更快。 ·求的范围必须写"因为"，端点的开闭也要交代。 大题书写与得分点 ·写"由题意，所以"，把关系式写全。 ·用通径条件要写"通径长为，由题意"，不能只写结果。 ·求范围时写"因为，所以"，最后单独一行给范围。 ·若用焦半径比，先说明在哪一支、的范围，再去绝对值。 例题精练 1．若双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为（ ） A． B． C． D． 答案 A ，。不用求的具体值。 2．若双曲线的渐近线与轴正方向的夹角为，则它的离心率为（ ） A． B． C． D． 答案 C ，；也可用。两种写法都行，结果一致。 3．已知双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为，则它的离心率为（ ） A． B． C． D． 答案 B 实轴长，；焦点到渐近线距离恒为。，是等轴双曲线，。 4．若双曲线的通径长等于焦距，则它的离心率为（ ） A． B． C． D． 答案 A ，即。又，得，两边除以：，取的根。 5．若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 答案 D 由得，渐近线。 本块小结 离心率题只有两条路：要么把条件翻成，要么把条件翻成的齐次式。第 1、2、5 题走第一条，第 3、4 题走第二条。 记住两个"熟脸"：等轴双曲线，通径等于焦距。 块七 直线与双曲线的位置关系POSITION 模型特征 题干出现"直线与双曲线有且只有一个公共点""有两个公共点""相切""相交弦""求的取值范围"。这类题错在漏情况，不在算不动。 原理推导 ① 联立。把代入，整理得 ② 二次项系数为 0。当，即直线平行于渐近线时，方程退化为一次方程，恰有一个公共点，但这不是相切。 ③ 二次项系数不为 0。有两个公共点（可能同支，也可能一支一个）；相切，只有一个公共点；没有公共点。 ④ 结论。"只有一个公共点"包含两类：相切与平行于渐近线。以过双曲线顶点的直线为例：切线 1 条 + 平行于两条渐近线的直线 2 条，共 3 条。 核心结论 平行于渐近线（）：1 个公共点，不相切。 ：相切，1 个公共点；：2 个；：0 个。 过双曲线上一点的"只有一个公共点"的直线共3 条（1 条切线2 条平行渐近线）。 易错提醒 ·把"只有一个公共点"直接等同于，漏掉平行渐近线那一类，答案少一半。 ·联立后不讨论二次项系数，直接写，遇到时分母为 0。 ·求的范围时忘记排除（它对应的是一次方程，不参与的判断）。 ·两个交点未必在同一支，判断同支/异支要用的符号。 大题书写与得分点 ·先写"联立消元得"，把二次项系数单独圈出来。 ·再分类："当，即时，方程为一元一次，恰有一个解。" ·另起一行："当时，。" ·最后"综上，的取值为"——分类讨论不写"综上"要扣分。 例题精练 1．直线与双曲线的公共点个数为（ ） A． B． C． D．无法确定 答案 B 该双曲线的渐近线为，直线与渐近线平行。联立得，即，只有一个解。平行渐近线，恰一交点，不相切。 2．若直线与双曲线有且只有一个公共点，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 答案 C 联立得。当时二次项为 0，一次方程只有一个解；当时令，得。两类合起来共四个值。 3．直线与双曲线的公共点个数为（ ） A． B． C． D． 答案 A 代入：，得，，两个交点。竖直线不与渐近线平行，也不相切。 4．过点且与双曲线只有一个公共点的直线共有（ ） A．条 B．条 C．条 D．条 答案 D 是右顶点。过顶点的切线只有 1 个公共点；过该点且平行于两条渐近线的直线也各只有 1 个公共点。1 条切线 + 2 条平行渐近线 = 3 条。 5．直线与双曲线的公共点个数为（ ） A． B． C． D． 答案 A 联立消元：，整理得，，无公共点。斜率大于渐近线斜率，方向"过陡"，整条直线落在双曲线开口之外。 本块小结 判断公共点个数，永远先看两件事：① 斜率是否等于；② 二次项系数是否为 0。第 1、2、4 题考"平行渐近线"，第 3、5 题考。 记住那句口诀："看见唯一想平行"——"只有一个公共点"绝不只有相切一种。 块八 定值 · 最值 · 范围CONSTANT · EXTREMUM 模型特征 题干出现"求最小值""证明某式为定值""求取值范围""△ 面积的最大值"。通常要先把目标量写成某一个变量（多为）的函数，再用单调性或基本不等式。 原理推导 ① 焦半径的单调性。右支上随增大而增大，，故最小值为（在顶点取到），无最大值。同理最小值为。 ② 焦半径之和。右支上，最小值就是焦距，在顶点取到。 ③ 距离积定值。到两渐近线距离之积恒为，与无关。 ④ 焦点弦倒数和。同一支上的弦，是定值；交于两支时为，随倾斜角变化。 ⑤ 面积。，当沿支远离顶点时，面积无上界；当顶点时面积趋近，但取不到（此时共线）。所以面积只有下确界 0，没有最大值。 核心结论 ，（均在顶点取到）。 ；距离积定值；同支弦倒数和定值。 焦点三角形面积无最大值；若题目限定异于顶点，最值往往取不到，只能用极限说明。 易错提醒 ·最值在顶点取到，但有些题规定异于顶点，此时"最小值"实际取不到，要写"无最小值，下确界为…"。 ·把记成，量纲都不对。 ·同支弦与异支弦用同一个倒数和公式，结论直接错。 ·面积题里会随变化，不能把它当常数代入。 大题书写与得分点 ·设后立刻写"因为在右支，所以"——范围是后续最值的依据。 ·把目标量写成的函数，单独一行："于是，。" ·用单调性求最值，写出"当时取到最小值"，取等条件单独给分。 ·答句完整："所以最小值为，此时的坐标为。" 例题精练 1．已知是双曲线的右焦点，是双曲线上一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 答案 B ，，。右支上，最小值在顶点处取到，为。 2．设是双曲线的两个焦点，在右支上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 答案 C ，，，在顶点处取到。 3．过双曲线的右焦点作一条与双曲线交于同一支的弦，则等于（ ） A． B． C． D． 答案 A 同支弦的倒数和为定值，与弦的倾斜角无关。 4．双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为（ ） A． B． C． D． 答案 D 定值。这个值与的位置无关，所以叫"定值"而不是"最值"。 5．过双曲线的右焦点作垂直于实轴的弦，为坐标原点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 答案 C 弦长，到直线的距离为，。 本块小结 定值题问"与位置无关"，最值题问"何时取到"。第 3、4 题是定值，第 1、2、5 题是最值或面积。 做最值题只记一句：先把目标写成的函数，再用卡范围；做定值题只记一句：算完发现消掉了，就是定值。 04 方法对照总表SUMMARY 块别 识别关键词 一句话做法 一 定义与方程 距离之差、根号之差、求方程 比与，算，看正项定轴 二 渐近线 渐近线、共渐近线、等轴、共轭 令右边为；共系设；距离取 三 特征三角形 焦点到渐近线距离、垂足、面积 距离、垂足、面积 四 焦点三角形 顶角、面积、内切圆、周长 余弦定理加定义，得 五 焦半径与弦 横坐标、通径、焦点弦、倒数和 ；先判同支还是异支 六 点差法 中点弦、被定点平分、中点已知 设点作差得，再联立验 七 离心率 渐近线斜率、倾斜角、通径、焦半径比 翻成或的齐次式 八 位置与最值 公共点个数、唯一、定值、最小值 先查平行渐近线，再把目标写成的函数 05 核心结论速查13 CONCLUSIONS 序 结论（公式） 条件与用法 1 ， 所有题的第一步 2 渐近线 令方程右边为 3 等轴双曲线：， ，渐近线互垂 4 共渐近线系： ，代点求 5 共轭双曲线： 两双曲线焦距相同 6 特征三角形：距离，垂足， 焦点到渐近线的垂线 7 焦点三角形 8 ；时 余弦定理定义 9 内切圆切于顶点 切线长相等推出 10 焦半径；通径 右支可直接去绝对值 11 焦点弦 为弦的倾斜角 12 双曲线为正；必验 13 距离积 到两条渐近线，定值 06 答案速查ANSWER KEY 块别 1 2 3 4 5 一 定义与方程 C A D B C 二 渐近线 D B A C B 三 焦点三角形 A C D B D 四 焦半径与弦 A B C D B 五 点差法 C B A D C 六 离心率 A C B A D 七 位置关系 B C A D A 八 定值最值 B C A D C 表中每行 1–5 对应本块中的五道例题，即全卷第 1–40 题。 最后三句话 一、双曲线的一切结论都从两个式子长出来：与。背不住结论时，回到这两个式子现场推。 二、结论都有"适用条件"：焦点弦的倒数和分同支与异支，面积公式要求顶角，点差法要求。用结论前先问一句"条件满足吗"。 三、大题的分不在最后那个数，而在定义式、联立式、韦达定理、、取等条件这五处。每一步单独成行，阅卷人才找得到分。 学科网（北京）股份有限公司 $