3.3.1 抛物线及其标准方程导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.1 抛物线及其标准方程 教学目标： 1. 结合教材实例掌握抛物线的定义以及推导，焦点、准线方程的定义. 2. 掌握抛物线标准方程中参数p的几何意义，理解四种不同标准方程形式的特点. 3. 通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导，提高坐标法解决几何问题的能力. 4. 能应用定义解决最值问题、轨迹问题，掌握数形结合与坐标法解决综合问题，提升逻辑推理和数学运算素养. 教学过程： 课程导入： 足球比赛中，球员们尝试用不同的方式射门，其中“吊射破门”是一种非常赏心悦目的进球方式，只见球划出一道美丽的抛物线，高高的越过起跳的守门员，坠落进入球门．它对技术和心理都提出很高的要求，这样的进球太过优美，以致于球迷们都兴奋不已．事实上，我们在初中就已经初步学习过抛物线(二次函数)，我们能否像学习圆、椭圆、双曲线那样对抛物线进行更深入的研究呢？ 任务一 抛物线的定义 探究1：如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线，这条曲线是什么曲线？ 定义： 平面内与一个定点F和一条定直线l(l 点F)的 的点的轨迹叫做抛物线. 叫做抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线． 思考：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单? 让准线平行于y轴，过焦点且与准线垂直的直线为x轴，x轴与抛物线的交点是图中KF的中点，可将其设置为原点. 设，p的几何意义为 那么焦点的坐标为 ，准线的方程为 设是抛物线上任意一点，点到准线的距离为，由抛物线的定义，抛物线是点的集合． 因为MF= ，= 所以 ． 将上式两边平方并化简，得． 定义： 叫做抛物线的标准方程．它表示焦点在轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线． 探究2：在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程．抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表． 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 【例1】已知抛物线方程求焦点、准线、P (1) 求抛物线的准线 (2) 求抛物线的焦点 (3) 求抛物线的焦点到其准线的距离 练习1、分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. （1） 经过点（－3，－1）； （2） 焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点. （3） 焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程 总结：抛物线标准方程的求法 （1）定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程. （2）待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值. 任务二 抛物线定义的应用 【例2】抛物线焦点为，点在上，若.求点的坐标 总结：（方程思想通）过定义与方程，链接抛物线上点的坐标 练习2、抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标 ． 【例3】已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则 ． 总结：（数形结合）通过定义与几何图形性质，链接抛物线p的几何意义 练习3、抛物线，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为 . 任务三 焦半径公式应用最值问题 探究3：若点M（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段MF叫做抛物线的焦半径.试探求焦半径的长度与点M坐标的关系. 过点M作l的垂线段MH，由抛物线的定义可知｜MF｜＝｜MH｜＝ 总结：四种形式抛物线的焦半径公式为： 图形 方程 y2＝2px （p＞0） 焦半径 （｜MF｜） x0＋ 【例4】如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，求的周长的取值范围 练习4、已知抛物线的焦点为，为抛物线内侧一点，为上一动点，的最小值为6，则 ，该抛物线上一点（非顶点）处的切线与圆相切，则 ． 任务四 与抛物线相关的轨迹问题 【例5】在平面直角坐标系中，求到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程. 练习5、平面上动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程. 总结：解决轨迹为抛物线问题的方法 （1） 直译法求解 （2）定义法求解：找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，将条件转化后再利用抛物线的定义求解。 【例6】已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 练习6、若一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程为 ． 3.3.1 抛物线及其标准方程（答案） 教学目标： 1. 结合教材实例掌握抛物线的定义以及推导，焦点、准线方程的定义. 2. 掌握抛物线标准方程中参数p的几何意义，理解四种不同标准方程形式的特点. 3. 通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导，提高坐标法解决几何问题的能力. 4. 能应用定义解决最值问题、轨迹问题，掌握数形结合与坐标法解决综合问题，提升逻辑推理和数学运算素养. 教学过程： 课程导入： 足球比赛中，球员们尝试用不同的方式射门，其中“吊射破门”是一种非常赏心悦目的进球方式，只见球划出一道美丽的抛物线，高高的越过起跳的守门员，坠落进入球门．它对技术和心理都提出很高的要求，这样的进球太过优美，以致于球迷们都兴奋不已．事实上，我们在初中就已经初步学习过抛物线(二次函数)，我们能否像学习圆、椭圆、双曲线那样对抛物线进行更深入的研究呢？ 任务一 抛物线的定义 探究1：如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线，这条曲线是什么曲线？ 定义： 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 思考：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单? 让准线平行于y轴，过焦点且与准线垂直的直线为x轴，x轴与抛物线的交点是图中KF的中点，可将其设置为原点. 设，p的几何意义为 焦点到准线距离 那么焦点的坐标为 ，准线的方程为 设是抛物线上任意一点，点到准线的距离为，由抛物线的定义，抛物线是点的集合． 因为MF= ，= 所以 ． 将上式两边平方并化简，得． 定义： 叫做抛物线的标准方程．它表示焦点在轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线． 探究2：在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程．抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表． 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 【例1】已知抛物线方程求焦点、准线、P (1)求抛物线的准线 【详解】抛物线的标准方程为，所以所求准线方程为. (2)求抛物线的焦点 【详解】的标准形式为，其焦点在轴负半轴上，坐标为. （3）求抛物线的焦点到其准线的距离 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以所求距离为. 练习1、分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. （4） 经过点（－3，－1）； （1）因为点（－3，－1）在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px（p＞0）或x2＝－2py（p＞0）. 若抛物线的标准方程为y2＝－2px（p＞0）， 则由（－1）2＝－2p×（－3），解得p＝，此时抛物线的标准方程为y2＝－x； 若抛物线的标准方程为x2＝－2py（p＞0）， 则由（－3）2＝－2p×（－1），解得p＝，此时抛物线的标准方程为x2＝－9y. 故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y. （2）焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点. 2）对于直线方程3x－4y－12＝0， 令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， 所以抛物线的焦点为（0，－3）或（4，0）. 当焦点为（0，－3）时，＝3，所以p＝6， 此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为（4，0）时，＝4，所以p＝8， 此时抛物线的标准方程为y2＝16x. 故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. （3）焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程 设抛物线方程为x2＝2my（m≠0）， 由焦点到准线的距离为5， 知｜m｜＝5，m＝±5， 所以满足条件的抛物线有两条， 它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 总结：求抛物线标准用待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值. 任务二 抛物线定义的应用 【例2】抛物线焦点为，点在上，若.求点的坐标 【详解】依题意，抛物线的焦点为，准线方程为，由于，根据抛物线的定义可知，则，所以的坐标为、. 总结：（方程思想通）过定义与方程，链接抛物线上点的坐标 练习2、抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标 ． 【详解】由题意得抛物线的焦点，准线方程为，，解得． 【例3】已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则 ． 【详解】抛物线的焦点为，，准线方程为，因为，，三点共线，可得为圆的直径，如图示：设准线交x轴于E，所以，则 ， 由抛物线的定义可得，又是的中点，所以到准线的距离为,故答案为：2． 总结：（数形结合）通过定义与几何图形性质，链接抛物线p的几何意义 练习3、抛物线，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为 . 【详解】抛物线的准线的方程为：，焦点为,分别过，作，垂足为，在直角梯形中，，由抛物线的定义可知：，因此有，所以点的横坐标为.故答案为：2. 任务三 焦半径公式应用最值问题 探究3：若点M（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段MF叫做抛物线的焦半径.试探求焦半径的长度与点M坐标的关系. 过点M作l的垂线段MH，由抛物线的定义可知｜MF｜＝｜MH｜＝ x0＋. 总结：四种形式抛物线的焦半径公式为： 图形 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 焦半径 （｜MF｜） x0＋ －x0 y0＋ －y0 【例4】如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，求的周长的取值范围 【详解】过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得，故，故的周长的取值范围为， 练习5．已知抛物线的焦点为，为抛物线内侧一点，为上一动点，的最小值为6，则 ，该抛物线上一点（非顶点）处的切线与圆相切，则 ． 【详解】如图：设点在的准线上的射影为，则，要使得取得最小值，即取得最小值，当三点共线时，取得最小值，由4，得． 因为，所以.设，则切线的方程为，即．因为切线与圆相切，所以，化简得， 解得（舍去）或，因为，所以． 故答案为：4；8 任务四 与抛物线相关的轨迹问题 【例5】　在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出动点坐标，由给定条件列出方程并化简即得.【详解】设动点坐标为，依题意，，两边平方整理得，所以所求轨迹方程为. 故答案为： 练习5、平面上动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程. 解：设点P的坐标为（x，y），则有＝｜x｜＋1. 两边平方并化简，得y2＝2x＋2｜x｜. 所以y2＝ 即动点P的轨迹方程为y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0）. 总结：解决轨迹为抛物线问题的方法 （2） 直译法求解 （2）定义法求解：找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，将条件转化后再利用抛物线的定义求解。 【例6】已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】由题意得，直线l：，且圆N：，设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为．故答案为：. 练习6、若一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程为 ． 【详解】设动圆M的半径为r，依题意：，点M到定直线的距离为，所以动点M到定点的距离等于到定直线的距离，即M的轨迹为以F为焦点，为准线的抛物线，所以此动圆的圆心M的轨迹方程是 学科网（北京）股份有限公司 $