第22章 图形的相似 单元检测卷2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

华东师大版2026年九年级数学上册第22章 图形的相似 单元检测卷 解答卷 一、选择题 1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是（　　） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，4cm，6cm，8cm C．1cm，cm，cm，2cm D．2cm，3cm，4cm，6cm 【解答】解：A．1：2≠3：4，所以A选项不符合题意； B．2：4≠6：8，所以B选项不符合题意； C．1：≠：2，所以C选项不符合题意； D．2：3＝4：6，则2cm，3cm，4cm，6cm成比例线段，所以D选项符合题意． 故选：D． 2．下列各组图形中不一定是相似形的是（　　） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 【解答】解：A、两个等腰直角三角形一定相似，不符合题意； B、两个等边三角形一定相似，不符合题意； C、两个正方形一定相似，不符合题意； D、两个直角三角形不一定相似，符合题意， 故选：D． 3．若△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，则对应边上的高之比是（　　） A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．1：12 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3， ∴其相似比是1：3， ∴对应边上的高之比为1：3． 故选：A． 4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是（　　） A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D． 【解答】解：∵∠A＝∠A， A．∠ADE＝∠ACB，有两个角对应相等，能使△ADE与△ACB相似， 故该选项不符合题意； B．由DE∥BC得∠ADE＝∠B，有两个角对应相等，能使△ADE与△ACB相似， 故该选项不符合题意； C．，有两组对应边的比相等，且其夹角相等，能使△ADE与△ACB相似， 故该选项不符合题意； D． ，有两组对应边的比相等但夹角不一定相等，不能使△ADE与△ACB相似， 故该选项符合题意． 故选：D． 5．下面是花架实物及其对应的侧面示意图，若AB∥CD∥EF，，DF＝50cm，则BD的长为（　　） A．40cm B．45cm C．50cm D．60cm 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴， ∵DF＝50cm， ∴BF＝BD+DF＝（BD+50）cm， ∴， ∴BD＝40， 则BD的长为40cm． 故选：A． 6．如图，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形，O为位似中心，A'B'＝2AB，则OD：DD'为（　　） A．1：3 B．2：1 C．1：2 D．1：1 【解答】解：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形， ∴， ∵A′B′＝2AB， ∴，即OD′＝2OD， ∴DD′＝OD′﹣OD＝OD， ∴OD：DD′＝1：1， 故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣2，1）的对应点为A′（﹣4，2），则点B（﹣1，4）的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣2，12） B．（﹣2，8） C．（﹣2，6） D．（﹣4，8） 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O， 而点A（﹣2，1）的对应点为A′（﹣4，2）， ∴△ABC与△A′B′C′的位似比为1：2， ∴点B（﹣1，4）的对应点B′的坐标为（﹣2，8）． 故选：B． 8．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC＝100cm，则BC约为（　　） A．42cm B．38cm C．62cm D．70cm 【解答】解：由题意，得：，AC＝100cm， ∴AB≈61.8cm， ∴BC＝AC﹣AB≈38cm． 故选：B． 9．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD边上两点，BE＝AB，，连接AC，EF交于点P，若△AEP的面积为S，则△APF的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过E点作EM∥BC交AC于M点，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴EM∥AD， ∵EM∥BC， ∴△AEM∽△ABC， ∴＝， ∵BE＝AB， ∴AE＝AB， ∴＝， ∴EM＝BC＝AD， ∵EM∥AF， ∴△PEM∽△PFA， ∴＝＝＝， ∴＝＝， ∴S△APF＝S△AEP＝S． 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限内，点B（0，8），AB＝AO，CA＝CB，∠OAB＝∠ACB＝120°，将四边形OACB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第89次旋转结束时，点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意知，每旋转4次回到原位置． ∵89÷4＝22……1， ∴第89次旋转结束时，图形旋转了90°． 如图，旋转后的图形为四边形OA′C′B′． 过点C′作C′E⊥B′O于点E，过点A′作A′D⊥B′O于点D，则A′D∥C′E． ∵点B（0，8），AB＝AO，CA＝CB，且∠OAB＝∠ACB＝120°， ∴B′O＝BO＝8，，∠ABO＝， ∴∠CAB＝∠ABO＝30°，∠OBC＝∠CBA+∠ABO＝60°，，∠OBC+∠ACB＝180°， ∴AC∥BO，A′C′∥B′O，A′D＝DO•tan30°＝， ∴， ∴四边形A′C′ED是平行四边形，，， ∴则第89次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：A． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）到x轴的距离是 　3　 ． 【解答】解：点P（2，﹣3）到x轴的距离是|﹣3|＝3， 故答案为：3． 12．若，则的值为 　　 ． 【解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，若∠B＝50°，∠C＝80°，∠A＝100°，则∠D′＝　130　 度． 【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝80°，∠A＝100°， ∴∠D＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠A＝360°﹣50°﹣80°﹣100°＝130°． ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴∠D′＝∠D＝130°（相似多边形对应角相等）． 则∠D′的度数为130°， 故答案为：130． 14．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，，如果AD＝7，CF＝14，那么BE＝　9　 ． 【解答】解：如图，过点D作DN∥AC，交BE于点M，交CF于点N， ∵AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，AD＝7， ∴四边形ACND、四边形ABMD是平行四边形，△DME∽△DNF， ∴AD＝BM＝CN＝7，， ∵，CF＝14， ∴，NF＝CF﹣CN＝7， ∴， 解得ME＝2， ∴BE＝BM+ME＝7+2＝9． 故答案为：9． 15．如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，AE与BD交于点F．若AB＝5，BE＝3，则＝　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，BE＝3， ∴AD∥BC，DA＝AB＝5， ∵AD∥EB， ∴△DAF∽△BEF， ∴， 故答案为：． 16．黄金矩形是指宽与长的比值为黄金分割比的矩形，它因视觉上极具和谐美感，被广泛应用于古希腊帕特农神庙、蒙娜丽莎构图等经典艺术与建筑中，若从一个黄金矩形中裁去一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍为一个新的黄金矩形，这一特性被称为“黄金矩形的自相似性”．如图，若从原黄金矩形ABCD中依次裁去以宽为边长的正方形，设第n次裁去后剩余矩形的长为an（n≥2），则的值为　　 ，的值为　　 ． 【解答】解：设第（n﹣1）次裁去后剩余矩形的长为an﹣1，宽为bn﹣1，根据题意可知： 第（n﹣1）次剩余矩形满足宽与长之比为，即， ∵第n次裁剪是裁去以宽bn﹣1为边长的正方形， ∴第n次剩余矩形的长an等于第（n﹣1）次剩余矩形的宽bn﹣1， ∴an＝bn﹣1， ∴， 当n＝3时，， 故的值为，的值为． 故答案为：，． 三、解答题 17．（8分）图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC为格点三角形（三角形的顶点均在格点上）．请按下列要求画出图形． （1）在图1中画出格点△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，相似比为2：1； （2）在图2中画出格点△A2B2C2，使得△A2B2C2∽△ABC，面积比为2：1． 【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求． （2）由题意知，△A2B2C2与△ABC的相似比为， 如图2，△A2B2C2即为所求． 18．（8分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝∠C． （1）求证：△ABD∽△CBA； （2）若AB＝4，BD＝2，求BC的长． 【解答】（1）证明：∵在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝∠C，∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBA； （2）解：由（1）可得△ABD∽△CBA， ∴，即， 解得：BC＝8． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个△A′B′C′，使它与△ABC位似，且位似比是1：2． （1）请画出△A′B′C′； （2）△A′B′C′与△ABC的周长之比为　1：2　 ； （3）若△ABC内部一点M的坐标为（a，b），则点M的对应点M′的坐标是　　 ． 【解答】解：（1）与△ABC位似，且位似比是1：2的△A′B′C′，如图即为所求； （2）∵△A′B′C′与△ABC位似，且位似比是1：2． ∴△A′B′C′与△ABC的周长之比为1：2， 故答案为：1：2； （3）∵△A′B′C′与△ABC位似，且位似比是1：2． 又∵点M的坐标为（a，b）， ∴点M的对应点M′的坐标为． 故答案为：． 20．（8分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC上的点，ED的延长线与CB的延长线交于点F，且∠1＝∠A． （1）求证：FD2＝FB•FC； （2）若FB＝4，BC＝5，求FD的长． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠A，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠A， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠DCB+∠CBD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠CBD＝90°， ∴∠DCB＝∠A＝∠2． 又∵∠DFB＝∠CFD， ∴△FBD∽△FDC， ∴， ∴FD2＝FB•FC； （2）解：∵FB＝4，BC＝5， ∴FC＝9． 由（1）可知FD2＝FB•FC， ∴FD2＝36， ∴FD＝6． 21．（8分）张祥云烈士纪念碑位于温县城西8公里祥云镇广场东端，为纪念解放战争时期被国民党杀害的张祥云烈士而修建，已被列为县级重点文物保护单位（图1）．温县某数学兴趣小组参观该纪念碑时开展了测量纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤一：如图2，把长为2m的标杆垂直立于地面点D处，碑的顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面BD于点Q，测得QD＝3m； 步骤二：将标杆沿着水平面BD的方向平移到点F处，碑的顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面BD于点P，测得PF＝4m，FD＝6.5m． … … （1）求该纪念碑AB的高度； （2）另外一个小组在实际测量时出现了误差，请提出一条减少误差的建议． 【解答】解：（1）设AB＝xm，BD＝ym， 由题意得：EF∥AB， ∴△EFP∽△ABP， ∴， ∵EF＝2m，PF＝4m，PB＝PF+FD+BD＝4+6.5+y＝（10.5+y）m， ∴， 由题意得：CD∥AB， ∴△CDQ∽△ABQ， ∴， ∵CD＝2m，DQ＝3m，QB＝QD+DB＝（3+y）m， ∴， ∴， 解得y＝19.5， 经检验y＝19.5是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 解得x＝15． 经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意． 答：纪念碑的高度AB为15米． （2）多次测量求平均值或选用刻度更精准的卷尺进行长度测量． 22．（10分）阅读以下材料，并解答后面的问题． 黄金三角形的概念和性质 定义：顶角为36°的等腰三角形叫作黄金三角形． 性质：黄金三角形的底边与腰的比等于． 如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D． （1）求证：△BCD为黄金三角形； （2）若AC＝4，求DC的长．（结果保留根号） 【解答】（1）证明：由作图可知，BP平分∠ABC， ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∴∠BCD＝∠ABC＝36°， ∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴BC＝BD， ∴△BCD是顶角为36°的等腰三角形， ∴△BCD为黄金三角形； （2）解：∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴△ABC是黄金三角形， ∴． ∵AC＝4， ∴BC＝． ∵△BCD为黄金三角形， ∴， ∴CD＝． 23．（10分）已知菱形ABCD中，E，F，H分别是AD，CD，BC边上一点，，连接EF，AH，AF，HF．（1）如图1，当∠AEF＝∠C时， ①求证：∠B＝60°． ②当m＝3，以A，E，F为顶点的三角形和以F，C，H为顶点的三角形相似时，求AH：AB的值． （2）如图2，连接BE，EH，记S四边形ABHE：S菱形ABCD的值为k，当S△ABE＝S四边形EHCF，1＜m≤5时，请直接写出k的取值范围． 【解答】（1）①证明：∵菱形ABCD， ∴AD∥BC，AD＝CD，∠B＝∠D， ∴∠D+∠C＝180°， ∵∠AEF+∠FED＝180°，∠AEF＝∠C， ∴∠D＝∠FED， ∴EF＝FD， ∵AE＝CF， ∴AD﹣AE＝CD﹣CF，即DE＝DF， ∴DE＝DF＝EF， ∴△DEF是等边三角形， ∴∠D＝60°，即∠B＝60°； ②设菱形的边长为3a，即AD＝AB＝CD＝BC＝3a， 当m＝3时，， ∴DE＝AD﹣AE＝2a， ∴DE＝DF＝EF， ∴△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝2a， ∵∠AEF＝∠C， ∴当∠AFE＝∠FHC时，△AFE∽△FHC， ∴，即，解得：CH＝2a， ∴BH＝BC﹣CH＝a， 如图：连接AC，过A作AG⊥BC于G， ∵AB＝BC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， ∵AG⊥BC， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴当∠FAE＝∠FHC时，△FAE∽△FHC， ∴，即，解得：， 如图：连接AC，过A作AG⊥BC于G， ∵AB＝BC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， ∵AG⊥BC， ∴， ∴HG＝CG﹣CH＝a， ∴， ∴． 综上，AH：AB的值为或． （2）解：如图：设菱形的边长为b，菱形BC边上的高为h，过A作AG⊥BC于G，过B作BI⊥AD交AD延长线于I，过C作CJ⊥AD于J，则， S菱形ABCD＝bh， 如图：连接AC，则， ∵，∠EDF＝∠ADC， ∴△EDF∽△ADC， ∴，即，解得：， ∵S△ABE＝S四边形EHCF， ∴S△ABE＝S梯形EHCD﹣S△EFD， ∴，解得：， ∴， ∴，， 设，则，， ∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，且在范围内，k有最大值， ∵，， ∴当t＝1时，k有最小值，最小值为， ∴k的取值范围为． 24．（12分）【问题背景】 数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质． 已知，如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝10，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，CE，DE与AC交于点F． 【初步探究】 （1）如图1，在点D的运动过程中，试探究CE与BD的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，当点D运动到CD＝4时，求EF的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，点M为ED延长线上一点，且满足MC＝MF，当＝k（k＞1）时，求的值（用含k的式子表示）． 【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下： 由旋转得∠DAE＝90°，AD＝AE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAC+∠CAE＝∠DAC+∠BAD， ∴∠CAE＝∠BAD， ∵AB＝AC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴CE＝BD； （2）∵BC＝10，CD＝4， ∴BD＝BC﹣CD＝6， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵△ABD≌△ACE， ∴CE＝BD＝6，∠ACE＝∠B＝45°， ∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°， ∴， 在Rt△ADE 中，AD＝AE， ∴，∠AED＝∠ADE＝45°， ∴AD＝AE＝， 同理可求AB＝AC＝， ∵∠AEF＝∠B＝45°，∠EAF＝∠BAD＝90°﹣∠DAF， ∴△AEF∽△ABD， ∴， ∴， 解得； （3）由（1）可得，△ABD≌△ACE， ∴∠ECA＝∠B＝45°， ∵MC＝MF， ∴∠MCF＝∠MFC， ∴∠FCD+∠MCD＝∠ECF+∠FEC， ∵∠DCF＝∠ECF＝45°， ∴∠MCD＝∠MEC， ∵∠M＝∠M， ∴△MCD∽△MEC， ∴， ∵， ∴， ∵CM＝FM， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大版2026年九年级数学上册第22章 图形的相似 单元检测卷 满分：120分 考试时间：120分钟 学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 一、选择题 1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是（　　） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，4cm，6cm，8cm C．1cm，cm，cm，2cm D．2cm，3cm，4cm，6cm 2．下列各组图形中不一定是相似形的是（　　） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 3．若△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，则对应边上的高之比是（　　） A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．1：12 4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是（　　） A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D． 5．下面是花架实物及其对应的侧面示意图，若AB∥CD∥EF，，DF＝50cm，则BD的长为（　　） A．40cm B．45cm C．50cm D．60cm 6．如图，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形，O为位似中心，A'B'＝2AB，则OD：DD'为（　　） A．1：3 B．2：1 C．1：2 D．1：1 7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣2，1）的对应点为A′（﹣4，2），则点B（﹣1，4）的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣2，12） B．（﹣2，8） C．（﹣2，6） D．（﹣4，8） 8．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC＝100cm，则BC约为（　　） A．42cm B．38cm C．62cm D．70cm 9．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD边上两点，BE＝AB，，连接AC，EF交于点P，若△AEP的面积为S，则△APF的面积为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限内，点B（0，8），AB＝AO，CA＝CB，∠OAB＝∠ACB＝120°，将四边形OACB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第89次旋转结束时，点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）到x轴的距离是 _____ ． 12．若，则的值为 __________________ ． 13．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，若∠B＝50°，∠C＝80°，∠A＝100°，则∠D′＝________ 度． 14．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，，如果AD＝7，CF＝14，那么BE＝_____ ． 15．如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，AE与BD交于点F．若AB＝5，BE＝3，则＝__________________ ． 16．黄金矩形是指宽与长的比值为黄金分割比的矩形，它因视觉上极具和谐美感，被广泛应用于古希腊帕特农神庙、蒙娜丽莎构图等经典艺术与建筑中，若从一个黄金矩形中裁去一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍为一个新的黄金矩形，这一特性被称为“黄金矩形的自相似性”．如图，若从原黄金矩形ABCD中依次裁去以宽为边长的正方形，设第n次裁去后剩余矩形的长为an（n≥2），则的值为_________ ，的值为__________ ． 三、解答题 17．（8分）图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC为格点三角形（三角形的顶点均在格点上）．请按下列要求画出图形． （1）在图1中画出格点△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，相似比为2：1； （2）在图2中画出格点△A2B2C2，使得△A2B2C2∽△ABC，面积比为2：1． 18．（8分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝∠C． （1）求证：△ABD∽△CBA； （2）若AB＝4，BD＝2，求BC的长． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个△A′B′C′，使它与△ABC位似，且位似比是1：2． （1）请画出△A′B′C′； （2）△A′B′C′与△ABC的周长之比为________ ； （3）若△ABC内部一点M的坐标为（a，b），则点M的对应点M′的坐标是____________________ ． 20．（8分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC上的点，ED的延长线与CB的延长线交于点F，且∠1＝∠A． （1）求证：FD2＝FB•FC； （2）若FB＝4，BC＝5，求FD的长． 21．（8分）张祥云烈士纪念碑位于温县城西8公里祥云镇广场东端，为纪念解放战争时期被国民党杀害的张祥云烈士而修建，已被列为县级重点文物保护单位（图1）．温县某数学兴趣小组参观该纪念碑时开展了测量纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤一：如图2，把长为2m的标杆垂直立于地面点D处，碑的顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面BD于点Q，测得QD＝3m； 步骤二：将标杆沿着水平面BD的方向平移到点F处，碑的顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面BD于点P，测得PF＝4m，FD＝6.5m． … … （1）求该纪念碑AB的高度； （2）另外一个小组在实际测量时出现了误差，请提出一条减少误差的建议． 22．（10分）阅读以下材料，并解答后面的问题． 黄金三角形的概念和性质 定义：顶角为36°的等腰三角形叫作黄金三角形． 性质：黄金三角形的底边与腰的比等于． 如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D． （1）求证：△BCD为黄金三角形； （2）若AC＝4，求DC的长．（结果保留根号） 23．（10分）已知菱形ABCD中，E，F，H分别是AD，CD，BC边上一点，，连接EF，AH，AF，HF．（1）如图1，当∠AEF＝∠C时， ①求证：∠B＝60°． ②当m＝3，以A，E，F为顶点的三角形和以F，C，H为顶点的三角形相似时，求AH：AB的值． （2）如图2，连接BE，EH，记S四边形ABHE：S菱形ABCD的值为k，当S△ABE＝S四边形EHCF，1＜m≤5时，请直接写出k的取值范围． 24．（12分）【问题背景】 数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质． 已知，如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝10，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，CE，DE与AC交于点F． 【初步探究】（1）如图1，在点D的运动过程中，试探究CE与BD的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）如图2，当点D运动到CD＝4时，求EF的长． 【拓展延伸】（3）如图3，点M为ED延长线上一点，且满足MC＝MF，当＝k（k＞1）时，求的值（用含k的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $