第22章 图形的相似 质量评估-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

第22章质量评估 (时间：100分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其 中只有一个是正确的) 电5 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 1.下列各组图形相似的是 b品交☆ B 2.下列各组中的四条线段成比例的是 A.2 cm,3 cm,4 cm,1 cm B.1 cm,2 cm,2 cm,4 cm C.1.5cm,2.5cm,4.5cm,5.5cmD.1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cm le i 3.已知△ABC△DEF,对应中线之比为2：3.若△ABC的周长 物 为40，则△DEF的周长为 A.10 B.20 C.40 D.60 4.如图，AB∥CD∥EF,AD=4,BC=DF=3,则CE的长为( A 21 B. C.4 D.6 s V 夕。 E (第4题图)》 (第5题图) (第6题图) 5.如图，△ABC∽△DCA,∠B=33°，∠D=117°，则∠BAD的度 崇 数是 ( ) A.150° B.147° C.135 D.120° 6.如图，小明在游乐园做寻宝游戏，藏宝图上有几句话：一号宝藏 在坐标为M(3,2)处，二号宝藏在坐标为N(3,一2)处，三号宝 藏在坐标为(0,0)处.若M,N的位置如图所示，则三号宝藏的 位置应该在 A.点A处 B.点B处 C.点C处 D.点D处 7.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABPC∽△ACB,下 列添加的条件中，不正确的是 A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC c铝装 AP BP D. AB-BC 13 8.如图，在△ABC中，D,E分别在边AB,AC上， DE∥BC,AF⊥BC于点F,交DE于点G.若 △ADE与四边形DBCE的面积相等，则C的 B 值为 A司 B.√2-1 c日 D② 2 9.一种燕尾夹如图①所示，在闭合状态时的示意图（单位：mm)如 图②所示，在打开状态(AB∥CD)时的示意图（单位：mm)如图 ③所示.从图②闭合状态到图③打开状态，点B,D之间的距离 减少了 B 35 E A28E 35 B 28人20 20 A(C)28F 35 D C 28 F 35 D 图① 图② 图③ A.25 mm B.20 mm C.15 mm D.8 mm 10.如图①，在△ABC中，∠B=36°，动点P从点A出发，沿折线 A→B→C匀速运动至点C停止，点P的运动速度为2cm/s,设 点P的运动时间为t(s),AP的长度为y(cm),y与t的函数图 象如图②所示，当AP恰好平分∠BAC时t的值为() y/cm 8 t/s 图① 图② A.4√5-4B.4-2√5 C.4+25 D.2√5+2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.已知点P的坐标是（一2,3），则它关于y轴对称的点P'的坐 标是 12.如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，且OD= 2AD.若BC=6,则EF的长是 (第12题图) (第14题图) 13.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金 分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目 时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好.若舞台长AB= 20m,主持人从舞台一侧A进入，她至少走 m 时恰好站在舞台的黄金分割点上.（结果保留根号） -14 14.如图，在□ABCD中，连结AC,E是AD上一点，AE：DE= 1：2,连结BE,交AC于点F.若S△Cp=9,则四边形CDEF 的面积是 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 3,BC=4,点E,F分别在边AC,BC上， 连结EF,沿EF折叠该三角形，使点C 的对应点D落在边AB上.若△BDF 是直角三角形，则CF的长是 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(10分)1若号-号，且2a+6=18,求a的值. (2)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=15,CD=30,E,F 分别为AD,BC上一点，且EF∥AB.若梯形AEFB∽梯 形EDCF,求线段EF的长. 17.(9分)如图，AD,BC相交于点E,AB∥CD∥EF,B,F,D在 同一条直线上，AB=10,CD=15. 求票的值： (2)求EF的长. 18.(9分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分 别为A(2,1),B(1,-2),C(3,-1),P(m,n)是△ABC的边 AB上一点. (1)画出△A1BC1,使△A1BC1与△ABC关于点O成中心 对称，并写出点A,P的对应点A1,P1的坐标； -15 (2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧，画出将△ABC1放 大为原来的2倍后的△A2B2C2,并分别写出点A1,P1的 对应点A2,P2的坐标. y 19.(9分)如图，点B,D,E在一条直线上，BE与AC相交于点 架 (1)求证：∠BAD=∠CAE; (2)若∠BAD=21°，求∠EBC的度数. 20.(9分)如图，在△ABC中，BC>AC,点D在BC上，且DC= AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,E为AB的中点，连 结EF. (1)求证：EF∥BC: (2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积. —16 21.(9分)如图，在□ABCD中，点E在边AD上，BE,CD的延长 线交于点F,连结CE,已知CE=DE·BC 求证：(1)△ABE∽△EFC; (2)CE·CF=EF·AD. 22.(10分)小明家窗外有一盏路灯，每天晚上灯光都会透过窗户 照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这盏路灯的高.如 图①所示，路灯顶部A处发光，光线透过窗子DC照亮地面的 长度为EF,小明测得窗户距离地面高度DO=1m,窗高CD 1.5m,某一时刻，OE=1m,EF=4m,其中B,O,E,F四点 在同一条直线上，C,D,O三点在同一条直线上，且AB⊥BE, CO⊥OE. D D B OE 0 图① 图② (1)求出路灯的高度AB. (2)现在小明想让光线透过窗子DC照亮地面的最远端位置 离右墙角点F的距离为2m,如图②所示，需将路灯AB 的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离 点O的距离是多少米？（画出图形并解答） 17 23.(10分)(1)【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB 上(，点P不与点A,B重合)，∠A=∠B=∠DPC=90° 求证：△DAP∽△PBC (2)【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点 P不与点A,B重合)，∠A=∠B=∠DPC.若PD=4, PC=8,BC=6,求AP的长. (3)【拓展】如图③，在△ABC中，AC=BC=8,AB=12,点P 在边AB上（点P不与点A,B重合)，连结CP,作 ∠CPE=∠A,PE与边BC交于点E,当△CPE是等腰三 角形时，直接写出AP的长 P B P 图① 图② 图③ 18十22=-3十22，即(x-2)2=1.直接开平方，得x-2=±1，所以x=1,x2=3. 19.解：(1)易得BC的长为(30-3x)m..S=(30-3.x)x=-3x2十30x. :/x>0, 0303≤20，∴号x<10.“s与x的函数关系式为S=-3x+30x(号3 <10).(2)如果要围成面积为48m的花圃，即当S=48时，48=一3x2十30x,解得x1 =2,=8:号<<10，x=8答：要围成面积为48m的花图，AB的长是8m 20,解：1)：原方程有两个实数根△=[-(2k+1]-4(:+2k)≥0，解得k≤子 (2)不存在.理由如下：由题意，得x1十x2=2k十1，x1x2=k2十2k.:x1x2一x-x≥0， .3.x1x2-(x1十x2)2≥0，即3(k2+2k)-(2k十1)2≥0.整理，得-(k-1)2≥0.∴只有 当=1时，上式才能成立.由(1)知，k≤子k=1不符合题意.不存在实数k使得 x1x2一xi-x≥0成立.21.解：(1)设每千克茶叶降价x元，根据题意，(400-x一 240)(200十铝)）=41600，解得1=80=30.：尽可能让利于顾客，x=80.答： 每千克茶叶应降价80元，(2)不能，理由如下：由题意，得(40-x一240)(200+号) 50000,整理，得x2-110x+4500=0,.△=(-110)2-4×1×4500=12100-18000 =一5900<0，.方程无实数解，∴在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每 周获利不能刚好达到50000元.22.解：(1)设ts后，△PBQ的面积等于8cm.根据 题意，得AQ=tcm,QB=(6-)cm,BP=2tcm号×2a(6-)=8.解得有=2,6=4， 易得0t≤6，故2s或4s后，△PBQ的面积等于8cm2,(2)根据勾股定理，得PQ= QB+PB,当PQ的长度为3√5cm时，则有(3√5)=(6-t)十(2t)2,解得t1=3,t= -号（舍去）.故3s后，PQ的长度为3后cm,23.解：1)x=E,=-E,x=万， x1=一√3(2)：a≠b,分两种情况讨论：①当a≠b时，令a2=m,b2=n.∴.m≠n,则 2m2-7m十1=0,2n2-7n十1=0..m,n是方程2x2-7x十1=0的两个不相等的实数 根m十n=子mm=空a+6=m+r=(m十m-2mm-要：@当。2=，即a =一b时，a2=6=7±面，a+6=2a=2(a')y=5±7①.综上所述，a+的 4 值为9或57压(8)令六=a,-n=6,则心十a-7=06+6-7=0>0: 4 老，即a≠6.·a,b是方程z2十x一7=0的两个不相等的实数根 -1,ab=-7..原式=a2十=(a十b)2-2ab=15. 第22章质量评估 1.B2.B3.D4.A5.B6.B7.D8.B9.A10.D【解C 析】如答图，作∠BAC的平分线AP,由图②可知，AB=BC=2×4= 8(cm).∠B=36,∠BAC=∠C=号(180-∠B)=72.AP 平分∠BAC,∴.∠BAP=∠PAC=∠B=36°.∴.AP=BP,∠APC= 答图 72°=∠C.AP=AC=BP.∠PAC=∠B,∠C=∠C,△APC∽△BAC.6= 6AP=AB·PC=8(8-AP),“AP=45-4=BP.1=8十4V5-425 2 2.1.(2,3)12.413.(30-10同14.1115.号或号【解析】在R△ABC 中，∠C=90°，AC=3,BC=4,∴AB=√AC+BC=5.由折叠的性质，得DF=CF.分 两种情况讨论：①当∠DFB=90°时，△BDF是直角三角形.，∠DFB=∠C=90°，∠B =∠n.△DFBn△ACR器-既，e华=：CF=号：②当∠FDn=90 3 时，△BDF是直角三角形.·∠FDB=∠C=90°，∠B=∠B,∴.△BDF△BCA, 2儒号=CF=号综上所述，CF的长是导安号16解： -76 “号=号，设a=2,6=5k,则2a十6=4h十5k=18,∴k=2.∴a=4.(2):梯形AEFB 梯形BCP,票-ξ即导-需EF=15反.7，解：I):AB∥CD, △ABB△DCE器-提号-号又cD∥E器-器-号(2)CD ∥EE△BF△BCn既--BRDR=号EF=号CD=6,18解： (1)如图，△ABC即为所求，A(-2,-1),P1(-m,-n).(2)如图，△AB,C2即为 所求. y A2(-4,-2),P2(-2m,-2n).19.(1)证明： “器-能：△ABCO△ADE∠BAC=∠DAE,∠BAC-∠DAF ∠DAE-∠DAF,即∠BAD=∠CAE.(2)解：由(1)知△ABC∽△ADE,.∠ABC= ∠ADE.∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,∴.∠EBC=∠BAD =21°，20.(1)证明：，DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,.F为AD的中 点.：E为AB的中点，∴EF为△ABD的中位线.∴.EF∥BC.(2)解：：EF为△ABD 的中位线，EF=号BD,EF∥BD.△AEFO△ABD,Sar·SAUn=1:4. .SAAEF:S四边形mFE=1:3.,四边形BDFE的面积为6，∴.SAAEF=2..S△ABD= S△A5F十S四边形DFE=2十6=8.2L,证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥ CD.AD∥C∠DBC=∠BCE.CE=DE.BC-△DEC△BCB ∠FCE=∠EBC.AD∥BC,∴.∠AEB=∠EBC.∴.∠AEB=∠FCE.:AB∥CD, ∠ABE=∠F.∴.△ABE∽△EFC,(2)由(1)知，∠FCE=∠FBC,又∠F=∠F, △CEF△BCR器-需：四边形ABCD是平行四边形，BC=AD.票 CF.CE·CF=EF·AD.22.解：(1)：AB⊥BE,C0⊥OE,AB∥CO.△DOE E n△ABE,△c0rn△ABR,÷器能器=即-床品-品片 ∴.AB=BE=4m.答：路灯的高度AB为4m.(2)由(1)，得AB=BE=4m,BF=BE+ EF=4十4=8(m),BO=BE-OE=4-1=3(m).如图②，H 将路灯 A ND B OM N AB的高度升高至BH,由题意，得NF=2m.∴.BN=BF-NF=8-2=6(m).∴.ON= BN-BO=6-3=3(m).:BH∥CO,△CON∽△HBN,△DOM∽△HBM.G品 -器品器脚-音8”B=a0=号 m...AH= BH一AB=5一4=1(m).答：需将路灯AB的高度升高1m,此时光线照亮地面的最近 端位置离点0的距离是子m.23.(1)证明，”∠A=∠B=∠DPC=90,∠APD 十∠BPC=90°，∠APD+∠ADP=90°..∠BPC=∠ADP..△DAPc∽△PBC (2)解：：∠DPB是△APD的外角，·∠DPB=∠A十∠PDA,即∠DPC十∠CPB= ∠A+∠PDA.:∠A=∠DPC,∠PDA=∠CPB.又：∠A=∠B,∴.△DAPD △PBC光-能PD=4,PC=8C=6音AP=(3)解：AP的长 为4或碧.【解析】：AC=BC,∠A=∠B.:∠CPB是△APC的外角，∠CPB ∠A+∠PCA,即∠CPE十∠EPB=∠A十∠PCA,·∠A=∠CPE,∴.∠ACP= 77 ∠BPE.又∠A=∠B,∴△ACPc∽△BPE.①当CP=CE时，∠CPE=∠CEP. :∠CEP>∠B,∠CPE=∠A=∠B,.CP=CE不成立，②当PC=PE时，△ACP≌ △BPE,则PB=AC=8.∴.AP=AB-PB=12-8=4.③当EC=EP时，∠CPE= ∠CR.:∠B=∠CPE,∠ECP=∠BfC=PB:△ACP△BnE,S-能 器即品-1-远PB=兰AP=ABPB=129-9综上所 述，当△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或9 期中质量评估 1.B2.B3.D4.D5.A6.C7.B8.A9.B10.B【解析】由题意，得AB +AC=213,S△ABD=3.:AB=AC,∴.AB=AC=V√I3.:AD⊥BC,∴.∠ADB=90°， BC-2BD.AD+BD-AB-133AD,BD-3.AD,BD-6. .(AD十BD)2=AD2+2BD·AD+BD=13+2×6=25..AD十BD=5(负值已舍 去).AD2十BD=AB,.BD十(5-BD)2=13..BD=2或3.当BD=2时，AD= 5-BD=3(舍去)：当BD=3时，AD=5-BD=2..BC=2BD=6,故选B.11.x>-1 2.(2,3)13.-114815.(0,3)或4,0)或（子，0）【解析】分三种情况进行讨 论：①当PC∥OA时，△BPC∽△BOA.:C是AB的中点，.P是OB的中点.∴点P 的坐标为(0,3)；②当PC∥OB时，△ACP∽△ABO.:C是AB的中点，∴.P是OA的 中点.∴.点P的坐标为(4,0)：③当PC⊥AB时，∠ACP=∠AOB=90°.如答图， :∠cAp=∠0AB△APC△AB0,÷S=话：A8,0,B (0,6),∴.OA=8,OB=6..AB=√OA+OB=10.C是AB的中 点，AC-6“音-0：AP-华：0p=0A-AP=8-5- 子∴点P的坐标为（子0）综上所述，点P的坐标为(0,3）或(4 答图 0)或（子0）16，解：）原式=V483-2√行×30十8+3+45=4-26+8+ 3十4√6=15十2√6.(2)原方程可以变形为2x(x一3)十(x一3)=0.方程左边分解因 式，得(x-3)(2x十1)=0.所以x-3=0或2x十1=0.得x1=3,x=一之.17.解：由 图可得b<a<0<c,且b>a>|cl,.b+c<0,a-c<0,b-a<0..原式= √/(b+c)F+|a-c+√(b-a)F=|b+c+|a-c|+|b-a=-b-c十c-a+a-b= -2b.18.解：(1)如图，△OAB1即为所求. (2)如图， △O2AB2即为所求.(3)如图，△OAB,与△O2A2B2是位似图形，点M(2,-2)是位似 中心.19.解：(1)：x=2-√3，y=2十√5，∴x十y=2-√3+2十√3=4，xy=(2-√3) (2十3)=4-3=1..x2+y2-3xy=(x十y)2-5.xy=42-5×1=11.(2)x=2-V3, 且x的小数部分是a,a=2-√3.：y=2十√3，且y的整数部分是b,.b=3.∴ax- by=(2-√3)(2-√3)-3(2+3)=4-4√3+3-6-33=1-7√3.20.(1)证明：△ =[一(k十3)]一4×1×3k=k2-6k十9=(k-3)≥0，∴.无论k取何值，方程总有实数 根.(2)解：设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,则a十b=k十3>0，ab=3k>0,. k>0.a2+b=52,,.(a十b)2一2ab=25,即(k十3)2-2X3k=25,解得k=±4.k 0,∴.k=4.21.(1)证明：：∠ADB十∠AED=180°，∠AED十∠AEC=180°， 78