精品解析：四川成都市棕北中学悦湖学校2026-2027学年八年级上学期9月数学定时训练

2026-2027学年上期八年级九月数学定时训练 A卷（共100分） 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列各数中无理数是（ ） A. B. 3.1415 C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组数中互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 2与 6. 在中，a、b、c分别是、、的对边，在满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的部分爬行路线在平面展开图中的表示如图的虚线，其中能说明爬行路线最短的是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 的算术平方根是______，的值是______． 10. 比较大小：______6，______．（填“＞”或“＜”）． 11. 的相反数是________；8的倒数是________． 12. 如图，在数轴上点A表示的实数是__________． 13. 如图，已知在矩形中，M是边的中点，将矩形分别沿、折叠，A、D两点刚好落在点E处，已知，，则的长为________． 三、解答题（共48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 解方程： （1） （2） 16. （1）若的立方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． （2）已知，，求的值． 17. 如图，有一块土地形状如图所示，，米，米，米，米， （1）求线段的大小； （2）请计算这块土地的面积． 18. 如图，为等边三角形，，点在射线上，连接，并将线段绕着点逆时针旋转至线段，再连接，； （1）如图1，若，时，求线段的长； （2）如图2，若把线段绕着点逆时针旋转到线段的位置，连接线段与线段相交于点，证明：点是线段的中点； （3）如图3，在（2）的条件下，若点在直线上运动，当最大时，请直接写出的面积． B卷（共50分） 一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则代数式的值为 __________． ． 20. 如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为__________． 21. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则中间小正方形的面积为________． 22. 如图，在中，平分，交边于点，若，，，则线段的长为___________． 23. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点E是△ABC内一点，点D是BC的中点，连接DE、AE，且DE＝DB，点F是DE的中点，则AE＋CF的最小值是___．（提示：连接CE，等腰三角形两腰上的中线相等） 二、解答题（共30分） 24. 阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求值． （2）化简：. 25. 综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 26. 已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． （1）如图1，点在线段上，连接，若，且，求线段的长； （2）如图2，点是延长线上一点，过点作于点，求证：； （3）如图3，若，点在射线上运动，取中点G，连接，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期八年级九月数学定时训练 A卷（共100分） 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列各数中无理数是（ ） A. B. 3.1415 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数，熟知无理数的定义是解题关键．根据无理数的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 是分数，属于有理数，不合题意； B. 是有限小数，属于有理数，不合题意； C. 是整数，属于有理数，不合题意； D. 是无理数，符合题意． 故选：D． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则进行判断便可． 【详解】解：A、不是同类二次根式不能合并，选项错误； B、不是同类二次根式不能合并，选项错误； C、，选项正确； D、，选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟记法则是解题的关键． 3. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义和性质，利用平方根的定义和性质求解即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行判断即可．满足下列两个条件是最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列各组数中互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 2与 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义，化简判断即可． 【详解】A、∵，∴与互为相反数，故该项正确，符合题意； B、∵，∴与不是相反数，故该项错误，不符合题意； C、∵与2互为相反数，∴与不是相反数，故该项错误，不符合题意； D、∵，∴2与不是相反数，故该项错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了相反数即只有符号不同的两个数，求一个数的算术平方根，立方根，熟练掌握相反数的定义，准确进行化简计算是解题的关键． 6. 在中，a、b、c分别是、、的对边，在满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据选项是角度比例还是边长比例，分别用三角形内角和定理、勾股定理逆定理判定是否为直角三角形. 【详解】解：A选项，设，， ∵ 三角形内角和为 ∴ 解得 ∴ 最大角，不是直角三角形，符合题意； B选项，设，， ∵ ∴ 是直角三角形，不符合题意； C选项，设，， ∵ ∴ 是直角三角形，不符合题意； D选项，设，， ∵ 解得 ∴ 最大角，是直角三角形，不符合题意. 7. 如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的部分爬行路线在平面展开图中的表示如图的虚线，其中能说明爬行路线最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于盒子为正方体，且A、C两点对称，故将其按任意方式展开，连接A、C即可求得蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，则沿线段AC爬行，就可以使爬行路线最短，是根据两点之间，线段最短． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，线段的性质的应用，注意：两点之间线段最短． 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题意明确线段长度是解题的关键． 设门的高为尺，则宽为尺，对角线长为尺，由勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设门的高为尺，则宽为尺， 由题意知，对角线长为尺， 由勾股定理得，， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 的算术平方根是______，的值是______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：的算术平方根是；的值是； 故答案为：，． 10. 比较大小：______6，______．（填“＞”或“＜”）． 【答案】 ①. ＜ ②. ＞ 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较是解题的关键；因此此题可根据二次根式的大小比较进行求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴ ∴； 故答案为＜，＞． 11. 的相反数是________；8的倒数是________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据相反数、倒数的定义计算对应数值，求代数式的相反数时需对整体取反后化简，避免漏去括号导致符号错误． 【详解】解：∵ 互为相反数的两个数相加和为0，任意数的相反数为， ∴ 当时，其相反数为． ∵ 互为倒数的两个数相乘积为1，非零数的倒数为， ∴ 当时，其倒数为． 12. 如图，在数轴上点A表示的实数是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 13. 如图，已知在矩形中，M是边的中点，将矩形分别沿、折叠，A、D两点刚好落在点E处，已知，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，得，由勾股定理得，由此解得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵点M是边中点， ∴， 设， ∵将矩形分别沿、折叠，A、D两点刚好落在点E处， ∴，， ，， 在中，， ∴， 解得， ． 三、解答题（共48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）7 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的运算及零次幂，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据算术平方根、立方根可进行求解； （2）根据二次根式的乘除法及减法可进行求解； （3）根据二次根式的乘法及加减运算可进行求解； （4）根据零次幂、分母有理化可进行求解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式； 【小问4详解】 解：原式． 15. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， ， 或， 当时，解得：；当时，解得：； ∴方程的解为或． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 16. （1）若的立方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）的平方根为；（2）的值为 【解析】 【分析】本题考查了立方根、平方根、无理数的估算、平方差公式和完全平方公式，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据题意可得，分别求出a和b的值，再根据c是的整数部分，求出c的值，再将a、b、c进行代入求解出的值，再根据平方根的定义求解即可； （2）先将式子变形为，再将x、y的值代入并结合完全平方公式和平方差公式进行求解即可． 【详解】解：（1）∵的立方根是， ∴ 解得， ∵的平方根是， ∴ 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴的平方根是； （2）根据题意得， ， ∵，， ∴ ． 17. 如图，有一块土地形状如图所示，，米，米，米，米， （1）求线段的大小； （2）请计算这块土地的面积． 【答案】（1）线段的长为米 （2）这块土地的面积为平方米 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出的长即可； （2）由勾股定理的逆定理判断出的形状，再由三角形面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 解：，米，米， (米)， 即线段的长为米； 【小问2详解】 解：米，米，米，， ， 是直角三角形，且， (平方米)， 即这块土地的面积为平方米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 18. 如图，为等边三角形，，点在射线上，连接，并将线段绕着点逆时针旋转至线段，再连接，； （1）如图1，若，时，求线段的长； （2）如图2，若把线段绕着点逆时针旋转到线段的位置，连接线段与线段相交于点，证明：点是线段的中点； （3）如图3，在（2）的条件下，若点在直线上运动，当最大时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，作交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴, ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是线段的中点； （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，利用“”证明即可得解； （2）作交于，证明，得出，再证明，得出，即可得证； （3）当、、在一条直线上时，由最大值为，求出，得到，，再由计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵将线段绕着点逆时针旋转至线段， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， 由三角形三边关系可得：， 如图，当、、在一条直线上时，由最大值为， ∵， ∴与重合， 由旋转的性质可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则代数式的值为 __________． ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，实数的运算，代数式求值，把所求式子可变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 20. 如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题，勾股定理的应用．作点D关于的对称点，连接，交于点Q，连接，小虫的爬行路径为最短，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，交于点Q，连接， ∴， ∴小虫的爬行路径为最短． 由对称可得， ∴， ∴在中，， ∴小虫爬行的最短路线长为． 故答案为： 21. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则中间小正方形的面积为________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，再求出的值，即可得出答案，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为： ， 故答案为：． 22. 如图，在中，平分，交边于点，若，，，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，作交延长线于点，在上截取，连接，根据角平分线的性质得到，，进而证出，得到，，利用勾股定理求出，由和三角形面积公式得到，设，利用线段的和差列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，作交延长线于点，在上截取，连接， ∵平分，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴线段的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形面积公式、二次根式的应用，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点E是△ABC内一点，点D是BC的中点，连接DE、AE，且DE＝DB，点F是DE的中点，则AE＋CF的最小值是___．（提示：连接CE，等腰三角形两腰上的中线相等） 【答案】 【解析】 【分析】取CD的中点G，根据等腰三角形两腰上的中线相等得到AE＋CF= AE＋EGAG，当点A、E、G共线时，AE＋CF有最小值，最小值为线段AG的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：取CD的中点G，连接CE、EG、AG， ∵点D是BC的中点，且DE＝DB， ∴DE＝DC，即△DEC是等腰三角形， ∵点CF、EG是等腰三角形△DEC两腰上的中线， ∴DG＝DF＝ED＝CD， 在△DEG和△DCF中，， ∴CF＝EG， ∴AE＋CF= AE＋EGAG， ∴当点A、E、G共线时，AE＋CF有最小值，最小值为线段AG的长， ∵点D是BC的中点，点G是DC的中点，且BC=4， ∴BG=3， 又AB=3，且∠B=90°， AG=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，得到当点A、E、G共线时，AE＋CF有最小值，最小值为线段AG的长是解题的关键． 二、解答题（共30分） 24. 阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求值． （2）化简：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）先分母有理化，再根据相互抵消计算． 【小问1详解】 解：∵； ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：原式 ． 25. 综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）千米；（3）20 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为:20 26. 已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． （1）如图1，点在线段上，连接，若，且，求线段的长； （2）如图2，点是延长线上一点，过点作于点，求证：； （3）如图3，若，点在射线上运动，取中点G，连接，请直接写出的最小值． 【答案】（1）的长为 （2） 证明：如图2，在上截取，连接， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）的最小值为 【解析】 【分析】本题属于三角形综合，考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，合理判定全等是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质推出，再利用勾股定理求解即可； （2）在上截取，连接，证出，，，，进而推导即可； （3）分析出当时，最短，结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， 如图1，过点作于点， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：如图3，连接，延长至点P， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 同（1）得：， ∴， ∴， ∴点在的外角的角平分线上运动， 由垂线段最短可知，当时，最短， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $