精品解析：宁夏固原市第二中学2026-2027学年高三上学期第一次统测数学试题

固原二中2026—2027学年高三年级第一次统测 数 学 试 卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由全称量词命题的否定可得， 原命题的否定为：. 3. 二项式的展开式中的常数项是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为二项式展开式的通项公式为， 令，得到， 所以二项式的展开式中的常数项是. 4. 甲、乙等5人排成一列，要求甲在乙的前面，且甲、乙不相邻，则不同的排法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【详解】若乙排在第一位，则可知不符合题意； 若乙排在第二位，则甲在乙前，甲乙必相邻，因此不符合题意； 若乙排在第三位，则甲在乙前，甲乙不相邻，甲应在第一位，此时有种排列方法； 若乙排在第四位，同理，甲应在第一位或第二位，此时有种排列方法； 乙排在第五位，同理，甲应在第一位、第二位或第三位，此时有种排列方法； 故共有种排列方法. 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，可排除B、D项，再由的函数值的分布，可判定选项A符合题意，即可求解. 【详解】由函数，可得的定义域为， 且，所以函数为奇函数， 则函数的图象关于 轴对称，可排除B、D项； 当时，可得，所以； 当时，可得，所以， 所以选项A中的图象符合题意，故函数的图象为选项A. 故选：A. 6. 已知函数对任意的，，且，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析分段函数各段的单调性及分段点处的函数值关系，求出的取值范围. 【详解】依题意，对任意的，，且，满足， 所以函数在上单调递增， 需满足： 当时，单调递增，故对称轴； 当时，单调递增，故，即； 分段点处，解得. 综上，的取值范围为. 故选：C 7. 关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将不等式进行变式，将a的取值范围初步求出，再根据初步范围和不等式恰有2个整数解进行分类讨论，最终求出a的范围. 【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为， 故2个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 8. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题可知时，恒成立，分离常数后得，构造函数，利用函数的导数得到函数的单调性，从而求得函数最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】函数定义域，导数， 由题意可知当时，导数恒成立， 即，所以在时恒成立. 令函数， 则， 令函数，则导数， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以当，，所以函数在上单调递增， 所以， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数a、b满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可判断选项；将表示成，代入，利用二次函数即可求出的最小值；根据基本不等式“1”的应用，求的最小值即可判断选项；先求出的最大值，即可判断选项. 【详解】解：选项，由正实数a、b满足，则， 所以，当且仅当，即时取等号，因此的最大值为，选项正确； 选项，由，则，所以， 则当时，取最小值为，选项正确； 选项，由， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，选项错误； 选项，因为，由可知， 所以，当且仅当时取等号， 此时取最大值2，所以的最大值为，选项正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【解析】 【分析】结合函数的性质依次判断选项即可． 【详解】对于A，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项不正确； 对于D，由可得， 所以由可得，D选项正确. 11. 下列选项中，正确的是（ ） A. 不等式的解集为或 B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 已知关于x的不等式 的解集为， 则的解集是 【答案】ABD 【解析】 【详解】不等式即，解得或， 故不等式的解集为或，A正确； 不等式即，即，即， 解得，故不等式的解集为，B正确； 不等式即或，解得或， 即不等式的解集为或，C错误； 由关于x的不等式 的解集为知， 方程有两个实数根为1和5，且， 由韦达定理得，可得， 故，即，即， 即的解集是，D正确. 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 1、2、2、4、5、6、8、9的下四分位数_______. 【答案】2 【解析】 【详解】由，得1、2、2、4、5、6、8、9的下四分位数为. 13. 已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数的单调性求解不等式. 【详解】由函数是定义在区间上的增函数，得， 解得，所以所求的取值范围是. 故答案为： 14. 已知，，则的取值范围为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】先将变形为，再分别求出和的范围，利用同向不等式的可加性，即可得到的取值范围. 【详解】将原式变形： . 因为，所以 ①； 又，所以， 所以 ②； 将①和②相加可得， ，即， 故的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的单调区间． （1）. （2）. 【答案】（1）单调增区间：，；单调减区间：，. （2）单调增区间是，单调减区间是. 【解析】 【分析】（1）去绝对值写成分段函数，作出其图像，根据图像得出单调区间； （2）先求出的定义域，再令并得出其单调性，再根据复合函数单调性来判断的单调区间即可. 【小问1详解】 由题意，， 作出图像如下： 则的单调增区间：，； 单调减区间：，. 【小问2详解】 由题意可得， 解得， 所以函数的定义域是. 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上是增函数， 是和的复合函数， 所以 的单调增区间是，单调减区间是. 16. 已知为一次函数，且． （1）求的解析式； （2）若，若，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，结合待定系数法，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合基本不等式，求得的最小值，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式为， 因为，可得， 所以，解得且， 所以函数的解析式为 【小问2详解】 解：由（1）知：，可得， 因为对任意，恒成立，即 在上恒成立， 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围是. 17. 已知函数（），且的解集为． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）若在区间上单调，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）一元二次不等式解集的端点对应一元二次方程的两根，利用韦达定理列方程组求解参数得到函数解析式； （2）对二次函数配方，找到顶点，结合开口方向确定值域； （3）先求出二次函数对称轴；函数在开区间上单调，说明整个区间落在对称轴的同一侧，据此列出不等式求解范围． 【小问1详解】 因为的解集为，则1，3为方程的两根， 所以，解得，，所以． 【小问2详解】 配方：， 因为抛物线开口向上，最小值为，所以值域为． 【小问3详解】 由于的对称轴为， 因此若在区间上单调，则或， 解得，或，即． 18. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复合函数单调性确定函数的单调性即可得最值； （2）由题意可得恒成立，利用换元法可得，则在上恒成立，由对数函数的单调性及参变量分离法可得在上恒成立，利用基本不等式可得的最小值，从而可得的取值范围． 【小问1详解】 ，由于恒成立， 所以函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为； 【小问2详解】 若对于任意，存在，使得不等式成立， 则恒成立， 令，当时，， 所以，所以当时，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，则在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 19. 大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅．已知某大学只有甲、乙两个餐厅，小丁同学每天中午都在学校餐厅就餐，若他在甲餐厅就餐，则他满意的概率为80%；若他在乙餐厅就餐，则他满意的概率为30%．假设小丁每天中午去乙餐厅就餐的概率为10%． （1）求小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意的概率； （2）在统计调查中，小丁同学有n（，）天中午在学校餐厅就餐，每天中午在学校餐厅就餐是否满意相互独立，记满意的天数为X，（，1，2，3，…，）的概率记为P（），则当n为何值时，的值最大？ 【答案】（1）0.75 （2）当或时，的值最大 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式求得小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意的概率； （2）根据二项分布的知识求得的表达式，由此列不等式求得的取值范围，进而求得正确答案. 【小问1详解】 设事件A为“小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意”， 事件B为“小丁同学当天中午去乙餐厅就餐”，则为“小丁同学当天中午去甲餐厅就餐”． 由题意得，，， ． 根据全概率公式 . 【小问2详解】 由题意可知， 则（，1，2，…，）, 因此, 要使最大，需满足, 即, 化简第一个不等式,,,, 化简第二个不等式,,,, 因为且，所以或． 所以当或时，的值最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 固原二中2026—2027学年高三年级第一次统测 数 学 试 卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 二项式的展开式中的常数项是（    ） A. B. C. D. 4. 甲、乙等5人排成一列，要求甲在乙的前面，且甲、乙不相邻，则不同的排法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数对任意的，，且，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数a、b满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最大值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 11. 下列选项中，正确的是（ ） A. 不等式的解集为或 B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 已知关于x的不等式 的解集为， 则的解集是 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 1、2、2、4、5、6、8、9的下四分位数_______. 13. 已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的的取值范围是_____. 14. 已知，，则的取值范围为_____________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的单调区间． （1）. （2）. 16. 已知为一次函数，且． （1）求的解析式； （2）若，若，恒成立，求a的取值范围． 17. 已知函数（），且的解集为． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）若在区间上单调，求实数的取值范围； 18. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 19. 大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅．已知某大学只有甲、乙两个餐厅，小丁同学每天中午都在学校餐厅就餐，若他在甲餐厅就餐，则他满意的概率为80%；若他在乙餐厅就餐，则他满意的概率为30%．假设小丁每天中午去乙餐厅就餐的概率为10%． （1）求小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意的概率； （2）在统计调查中，小丁同学有n（，）天中午在学校餐厅就餐，每天中午在学校餐厅就餐是否满意相互独立，记满意的天数为X，（，1，2，3，…，）的概率记为P（），则当n为何值时，的值最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $