期中阶段学情自测卷（培优卷） 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

苏科版数学九年级上册 期中阶段学情自测卷（培优卷） （范围：第1章 一元二次方程～第3章 圆　时间：120分钟　满分：130分） 姓名：__________　班级：__________　学号：__________　得分：__________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项） 1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（　　） A．k＞1　　 B．k≠1　　 C．k＜1　 　D．k为任意实数 2．反比例函数的图象在每个象限内y随x增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＞3　　 B．m＜3　 　C．m＞−3　 　D．m＜−3 3．已知三角形三边长分别为3、4、5，则该三角形的外接圆半径为（　　） A．2　　 B．2.4　　 C．2.5　 　D．5 4．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，则△OAB的面积为（　　） A．1　　 B．2　 　C．3　 　D．4 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=120°，则∠BCD的度数为（　　） A．60°　 　B．100°　 　C．120° 　　D．150° 6．关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D．m为任意实数 7．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，PA=6，∠APB=60°，则AB的长为（　　） A．3　　 B． 　 　C．6　　 D．6 8．某商品进价为每件40元，售价为每件60元时，每星期可卖出300件．市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件．要使每星期利润为6090元，设每件涨价元，则可列方程为（　　） A．　 　B．　　 C．　　 D． 9．若一个圆锥的底面半径为3 cm，高为4 cm，则它的侧面展开图的圆心角为（　　） A．144°　　 B．180°　 　C．216° 　　D．240° 10．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A、B重合），CD⊥AB于D．设AD=a，BD=b，则下列关系正确的是（　　） A．　 　B．　 　C．　　 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．设、是方程的两根，则=__________． 12．已知反比例函数（k＞0）的图象经过点A(1, a)和B(2, b)，则a与b的大小关系为a__________b（填“＞”“＜”或“＝”）． 13．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，若AB=8，OC=3，则⊙O的半径为__________． 14．若正六边形内接于半径为4的⊙O，则正六边形的边长为__________，它的边心距为__________． 15．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了__________个人． 16．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于D，若⊙O半径为2，则CD=__________． 17．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则其内切圆半径r=__________． 18．定义：若关于的一元二次方程（a≠0）满足a+b+c=0，则称此方程为“友好方程”．若方程是“友好方程”，则m=__________，此方程的另一个根为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）解下列方程： （1） （2）（用配方法） 20．（本题满分8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若∠D=30°，BD=2，求⊙O的半径． 21．（本题满分8分）如图，反比例函数的图象与一次函数y=−x+6的图象交于A、B两点． （1）求A、B两点的坐标； （2）求△AOB的面积； （3）根据图象直接写出当时的取值范围． 22．（本题满分10分）已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为、，且，求k的值． 23．（本题满分10分）某商店购进一批商品，每件进价40元．市场调查发现：若按每件50元销售，一个月能售出500件；若销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件．设销售单价为元（x≥50）． （1）写出月销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当售价定为多少元时，月销售利润恰好为8000元？ （3）若物价部门规定售价不得高于每件70元，则月销售利润为8000元时，售价应定为多少元？ 24．（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，过点B作BE⊥CD于E，交⊙O于点F． （1）求证：BC平分∠ABE； （2）若∠D=30°，⊙O半径为2，求线段CE的长； （3）在(2)的条件下，求图中阴影部分（由BC、CE和弧BC围成）的面积． 25．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线经过矩形顶点B，且OA=2，OC=4． （1）求的值及双曲线的解析式； （2）若点D是双曲线在第一象限图象上的一个动点，且点D在B的右侧，过D作DE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，设矩形DEOF与矩形OABC重叠部分的面积为S，当S=6时，求点D的坐标． 26．（本题满分12分）如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，连接AC、BC，过C作CD⊥AB于D． （1）求证：∠PCA=∠B； （2）若AB=8，∠CPA=30°，求PC的长； （3）在点P运动过程中，∠CPA的平分线交AC于点E，交BC于点F．试判断的值是否为定值；若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 参考答案与解析 一、选择题 1．B　解析：由一元二次方程定义，二次项系数k−1≠0，故k≠1． 2．A　解析：图象在每个象限内y随x增大而减小，则，即m＞3． 3．C　解析：3、4、5是直角三角形，外接圆半径等于斜边的一半，即2.5． 4．B　解析：延长AB交y轴于点C，，，故． 5．C　解析：由圆周角定理，；圆内接四边形对角互补，故∠BCD=180°−60°=120°． 6．B　解析：Δ=(2m+1)²−4(m²−2)=4m+9≥0，解得． 7．C　解析：由切线长定理PA=PB=6，又∠APB=60°，故△PAB为等边三角形，AB=6． 8．A　解析：每件利润为(60+x−40)=20+x元，销量为(300−10x)件，利润方程为(20+x)(300−10x)=6090． 10．C　解析：连接OC，则OC=为半径；由射影定理，故．由均值不等式，等号当且仅当D与O重合时取得，故CD≤． 二、填空题 11．3　解析：由韦达定理． 12．＞　解析：k＞0时，在每个象限内y随x增大而减小，1＜2故a＞b． 13．5　解析：连接OA，AC=4，OC=3，故OA=． 14．4；　解析：正六边形边长等于半径4，边心距=4·sin60°=2． 15．7　解析：设每轮传染x人，则1+x+x(1+x)=64，即，解得x=7（舍去负根）． 16．　解析：连接CO并延长交⊙O于E，连接AE，则∠CEA=∠CBA=45°，CE=4，故（或由45°直接得AC=4×sin45°=2）；又∠CAB=30°，故CD=AC=． 17．2　解析：斜边=10，内切圆半径． 18．2；x=−3　解析："友好方程"满足x=1为根，代入得1+m−3=0，故m=2；方程为，因式分解(x−1)(x+3)=0，另一根为x=−3． 三、解答题 19．（1）因式分解：(x−5)(x+1)=0，故x₁=5，x₂=−1； （2）配方法：，即，配方得，故，即，． 20．（1）连接OC．∵OA=OC，∴∠A=∠OCA．∵∠BCD=∠A，∴∠OCA=∠BCD． ∵AB是直径，∴∠ACB=90°，即∠OCA+∠OCB=90°． ∴∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°，即OC⊥CD，故CD是⊙O的切线． （2）设半径为r，则OC=r，OD=r+BD=r+2．在Rt△OCD中∠D=30°，故OD=2OC，即r+2=2r，得r=2，故⊙O半径为2． 21．（1）解方程，得，解得x=2或x=4，故A(2, 4)，B(4, 2)； （2）直线y=−x+6与x轴交于(6, 0)，； （3）由图象可知，当或时，−x+6＞． 22．（1）Δ=(2k−1)²−4(k²−k−2)=4k²−4k+1−4k²+4k+8=9＞0，故无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）由韦达定理，． 由条件，整理得，解得． 23．（1）每件利润为(x−40)元，销量为500−10(x−50)=1000−10x（件），故 （x≥50）． （2）令y=8000，即，整理得，解得x=60或x=80，即售价定为60元或80元时利润为8000元； （3）因x≤70，故取x=60，即售价应定为60元． 24．（1）连接OC．∵CD是切线，∴OC⊥CD．又BE⊥CD，故OC∥BE，∴∠OCB=∠CBE． 由OC=OB得∠OCB=∠OBC，故∠OBC=∠CBE，即BC平分∠ABE． （2）在Rt△OCD中∠D=30°，OC=2，故OD=4，CD=2，∠COB=60°，△OBC为等边三角形，BC=2．在Rt△BCE中∠CBE=60°，故CE=BC·sin60°=． （3）BE=BC·cos60°=1，； ，； 故S阴影=S△BCE−(S扇形OCB−S△OBC)=． 25．（1）由OA=2，OC=4得B点坐标为(4, 2)，代入得k=8，故双曲线解析式为； （2）设D（d＞4），则重叠矩形长为4、宽为，由，得d=，此时=＜2，符合条件，故D点坐标为． 26．（1）连接OC．∵PC是切线，∴OC⊥PC，即∠PCO=90°，故∠PCA+∠OCA=90°． ∵AB是直径，∴∠ACB=90°，即∠B+∠OAC=90°． 由OC=OA得∠OCA=∠OAC，故∠PCA=∠B． （2）AB=8，故OC=OA=OB=4．在Rt△PCO中∠P=30°，PC==4． （3）为定值1．理由：∠CEF=∠A+∠APE（△APE外角），∠CFE=∠BCP+∠CPF（△CPF外角），由(1)知∠BCP=∠PCB=∠A，又PE平分∠CPA，故∠APE=∠CPF，从而∠CEF=∠CFE，即CE=CF，故． 学科网（北京）股份有限公司 $