第6章 一题一课 构造法求数列的通项公式(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦构造法求数列通项公式这一核心考点，覆盖aₙ₊₁=Aaₙ+B、aₙ₊₁=paₙ+qn+c等五大递推类型，按“基础模型—变式拓展—综合应用”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法提炼、真题精讲环节，帮助学生构建转化化归思维框架。 讲义采用“类型化突破+素养导向”设计，如用待定系数法推导M值、取倒数转化分式递推，结合例题解析培养数学思维与创新意识。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈，保障高效突破难点，为教师把控复习节奏提供支撑，助力学生提升数列问题应考能力。

构造法求数列的通项公式是高考的一个热点内容，主、客观题均可出现．根据数列中的递推关系求数列的通项公式，往往使用构造法．通过构造法将复杂的递推关系转化为我们熟悉的数列模型，从而简化求解过程，此类问题的处理策略，充分体现了转化与化归的数学思想． 人教B版选择性必修第三册P58T6 已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，记bn＝an＋1，证明：{bn}是等比数列，并求an. 感悟　求关于an＋1＝Aan＋B(其中A，B为常数，AB(A－1)≠0)类型的数列的通项公式时，先把原递推公式转化为an＋1＋M＝A(an＋M)，再利用待定系数法求出M的值，最后用换元法转化为等比数列求解．其实对于这类式子，我们只需要记住在等式两侧同时加上一个常数M，构造成等比数列．常数M的值可以通过待定系数法推导出来．对于此类问题，我们还可以从以下几个角度进行研究． 探究一　形如an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0) 　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1，则通项公式an＝________． 【解析】　利用待定系数法构造新数列， an＋1＋k(n＋1)＋b＝3(an＋kn＋b)⇒an＋1＝3an＋2kn－k＋2b， 又an＋1＝3an＋2n－1，则 解得所以an＋1＋(n＋1)＝3(an＋n). 令bn＝an＋n，b1＝a1＋1＝3，所以{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列． bn＝3n，即an＋n＝3n，an＝3n－n. 【答案】　3n－n 【技法点拨】　形如an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)求an的一般步骤： (1)将递推公式改写为an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)的形式． (2)由待定系数法，求x，y的值． (3)写出数列{an＋xn＋y}的通项公式． (4)求出数列{an}的通项公式． 探究二　形如an＋1＝pan＋cqn(p，q≠0，1，c≠0)型 　在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2×3n+1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝(2n＋1)·3n B．an＝(n－1)·2n C．an＝(2n－1)·3n D．an＝(n＋1)·2n 【解析】　由an＋1＝3an＋2×3n+1得＝＋2，所以－＝2，又＝1，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，故an＝(2n－1)·3n. 【答案】　C 【技法点拨】　形如an＋1＝pan＋cqn(p，q≠0，1，c≠0)求an的一般步骤： 探究三　形如an＋1＝pan＋qan－1(n≥2，p，q≠0)型 　已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． 【解析】　等式两边同时加上λan得， an＋1＋λan＝(λ＋2)(an＋an－1)， 令λ＝，解得λ＝1或λ＝－3. 所以an＋1＋an＝3(an＋an－1)或an＋1－3an＝－(an－3an－1).又a2＋a1＝3，a2－3a1＝－1，所以数列{an＋1＋an}是首项为3，公比为3的等比数列；数列{an＋1－3an }是首项为－1，公比为－1的等比数列， 因此an＋1＋an＝3n，① an＋1－3an＝(－1)n，② 由①－②得4an＝3n－(－1)n， 故an＝. 【答案】　 【技法点拨】　形如an＋1＝pan＋qan－1(n≥2，p，q≠0)求an的一般步骤： (1)假设将递推公式改写成an＋1＋xan＝y(an＋xan－1). (2)由待定系数法求x，y的值． (3)求数列{an＋1＋xan}的通项公式． (4)根据数列{an＋1＋xan}的通项公式，求出数列{an}的通项公式． 探究四　形如an＋1＝(r，p，q为常数，r>0，p，q，an≠0)型 　在数列{bn}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N*，则数列{an}的通项公式为an＝________． 【解析】　递推公式an＋1＝两边同时取倒数，得＝，即＝3·＋2，因此＋1＝3(＋1)，又＋1＝2，故数列是以2为首项，3为公比的等比数列，所以＋1＝2×3n-1，可得an＝. 【答案】　 【技法点拨】　形如an＋1＝(r>0，p，q，an≠0)求an的一般步骤： (1)将递推公式两边取倒数得＝·＋. (2)利用构造法，求出{}的通项公式． (3)求出数列{an}的通项公式． 1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则a34＝(　　) A． B． C． D．100 解析：选C.因为a1＝1，an＋1＝，所以＝＝3＋，即－＝3，又＝1，所以是以1为首项，3为公差的等差数列，所以＝1＋3(n－1)＝3n－2，则an＝，所以a34＝＝. 2．已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝an＋2(n∈N*)，若{an}是递增数列，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，4) B．(－∞，3) C．(－∞，2) D．(－∞，1) 解析：选A.因为an＋1＝an＋2， 所以an＋1－4＝(an－4). 若a＝4，则an＝4，不符合题意． 若a≠4，则{an－4}是首项为a－4，公比为的等比数列，所以an＝(a－4)·()n-1＋4.当a>4时，{an}为递减数列，不符合题意；当a<4时，{an}为递增数列，符合题意．综上，a的取值范围为(－∞，4). 3．(2026·漳州质量检测)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，Sn＋1－2Sn＝n，则a10＝(　　) A．1 024 B．1 023 C．513 D．256 解析：选B.由Sn＋1－2Sn＝n， 得Sn＋1＋n＋2＝2(Sn＋n＋1)， 因为S1＝a1＝2，所以S1＋1＋1＝4， 所以Sn＋n＋1≠0，所以{Sn＋n＋1}是首项为4，公比为2的等比数列，所以Sn＋n＋1＝4×2n-1＝2n+1，所以Sn＝2n+1－n－1， 所以a10＝S10－S9＝1 023. 4．已知数列{an}满足a1＝2，a2＝6，且an＋2－2an＋1＋an＝2，则数列{an}的通项公式为_____________________________． 解析：由题设知，(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，a2－a1＝4， 故{an＋1－an}是首项为4，公差为2的等差数列，则an＋1－an＝4＋2(n－1)＝2(n＋1)， 则当n≥2时，an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a3－a2＋a2－a1＝an－a1＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]＝(n＋2)(n－1)，所以an＝n(n＋1)，当n＝1时，a1＝2符合上式，故an＝n(n＋1). 答案：an＝n(n＋1) 5．已知数列{an}满足an＋1＝5an＋3×5n+1，a1＝6，则数列{an}的通项公式为_____________________________． 解析：因为an＋1＝5an＋3×5n+1，所以＝＋3，即－＝3，又＝，所以是首项为，公差为3的等差数列，所以＝＋3(n－1)＝3n－，所以an＝(3n－)·5n. 答案：an＝(3n－)·5n 学科网（北京）股份有限公司 $