专题6.4 数列的通项公式（复习讲义）（全国通用）-2027年高考数学一轮复习培优系列

专题6.4 数列的通项公式（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　公式法求通项（等差数列与等比数列） 4 知识点2　累加法与累乘法求通项 5 知识点3　构造法求通项（一阶线性递推 ） 6 知识点4　取倒数法与取对数法求通项 6 知识点5　 与 的关系法求通项 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　由 求 （含 检验）　★★ 9 重难点培优02　累加法求通项　★★ 10 重难点培优03　累乘法求通项　★★★ 11 重难点培优04　构造法（ 型）　★★★ 12 重难点培优05　构造法（ 型，同除 ）　★★★ 14 重难点培优06　取倒数法求通项　★★★ 15 重难点培优07　取对数法求通项（含根式型）　★★★★ 16 重难点培优08　新定义数列求通项　★★★★ 17 五、过关检测 20 一、单选题 20 二、多选题 21 三、填空题 22 四、解答题 22 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 数列的概念与通项公式 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；能根据递推关系式或前 项的特征写出通项公式，并会用通项公式研究数列的性质 求通项的基本方法 掌握公式法、累加法、累乘法、构造法、取倒数法、取对数法等求通项的通性通法，能"看式子、定方法" 与 的关系 掌握由 求 的"两步一检验"，牢记 必须单独验证，杜绝漏解与错并 数列的交汇与创新 能用通项公式研究数列的单调性、最值，并与函数、不等式、新定义问题交汇，发展数学抽象、逻辑推理与数学运算素养 近三年高考真题对数列通项板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T3 一百零八塔分组，每组两数之和构成等差数列求公差 ★★★ 2026 全国一卷 T11 存在性构造，某连续 项成等比数列求最值 ★★★★ 2026 全国二卷 T9 等比数列公比、通项与前 项和（多选） ★★ 2026 全国二卷 T13 等差数列前 项和与通项互化 ★★ 2026 天津卷 T21 由等差数列与等比数列的条件求通项公式 ★★★ 2025 全国一卷 T16 由递推关系证明等差数列并求通项 ★★★ 2025 全国二卷 T6 等差数列前 项和与通项公式 ★★ 2025 北京卷 T5 等差数列与等比数列的交汇 ★★ 2025 上海卷 T7 由等比数列前 项和求公比 ★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T19 新定义"—可分数列"（压轴） ★★★★ 2024 全国甲卷·理 T18 由 与 的关系求通项 ★★★ 2024 天津卷 T19 公比为正值条件的等比数列求通项 ★★★ 考情分析 数列是高考的"必考主干"，通项公式更是数列问题的"钥匙"——近三年各卷对数列的考查几乎都遵循"先求通项、再求和或研究性质"的主线。2026 年全国一卷以"一百零八塔"为背景考查分组求和，全国二卷以多选考查等比数列的通项与前 项和；2025 年全国一卷以递推关系为载体考查等差数列的判定与通项；2024 年新课标Ⅰ卷更以新定义"—可分数列"压轴，全国甲卷以 与 的混合式考查通项的求法。本板块核心素养指向"数学抽象、逻辑推理与数学运算"。预测 2027 年高考仍将以"递推关系化归为等差、等比数列"为核心，并以"新定义、 与 混合"提升区分度。 复习目标 1．熟练掌握等差、等比数列的通项公式，做到"给出条件、秒定基本量"； 2．掌握累加法、累乘法、构造法（含同除 ）、取倒数法、取对数法五大求通项模型，能"看式子、定方法"； 3．牢记由 求 的"两步一检验"， 必须单独验证，杜绝漏解与错误合并； 4．能综合运用通项公式研究数列的单调性、最值与交汇问题，提升"从特殊到一般"的探究能力与创新意识。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　数列的通项公式知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　公式法求通项（等差数列与等比数列） 若数列 为等差数列，首项为 ，公差为 ，则其通项公式为 ，也可写成 ，即当 时通项是关于 的一次函数。 若数列 为等比数列，首项为 ，公比为 ，则其通项公式为 ，当 时又有 ，即通项是"指数型"的。 求通项的第一步永远是"定位数列类型"：若已知 是等差（等比）数列，只需用方程（组）求出 与 （或 ），代入公式即可。常用基本量关系如下表： 数列类型 通项公式 基本量关系 等差数列 等比数列 【方法技巧】 1．"定基本量"三步走：列出关于 、（或 ）的方程（组）→ 解方程 → 代回通项公式； 2．等比数列求公比时，优先使用 作商，可巧妙避开首项符号的讨论； 3．若 是关于 的一次式，则 是等差数列；若 形如 ，则 是等比数列——由通项的结构可反推数列的类型。 【易错清单】 1．等差数列公差 时仍是等差数列，不可随意约去 ； 2．等比数列中 ，且涉及前 项和时必须把 与 分开讨论； 3．由 求 时必须检验 的情形，凡出现 就自带 的前提。 知识点2　累加法与累乘法求通项 当递推关系形如 时，把 对应的各式相加，中间项两两相消，得 ，即 ，称为累加法。 当递推关系形如 （） 时，把各式相乘，分子分母两两相消，得 ，称为累乘法。 两种方法的共同点是"把递推式化为相邻两项之差（商），再逐项叠加（叠乘）"，特别适合处理 、 为可求和（可求积）的整式、分式或指数式的情形。 【方法技巧】 1．累加法的核心是"消去中间项"，求和时务必先求出 的前 项和； 2．遇 为 、 等分式时，先约分再叠乘，最后的通项要化为最简形式； 3．累加时若 、 等，先裂项再叠加，结果往往可以大量相消。 【易错清单】 1．累加（乘）的终点是 ，首项 必须保留，不可一并计入； 2．累乘法中若 有可能取到 ，必须先说明 才可作商； 3．累加求和常需借助等差数列、等比数列的前 项和公式，注意项数（从 到 共 项）。 知识点3　构造法求通项（一阶线性递推 ） 对于形如 （ 且 ，） 的一阶线性递推关系，可两边同加常数 ，化为 ，从而数列 是公比为 的等比数列。 其思想是"待定系数、构造等比"：设 ，展开后与原式对比系数，解得 。常见的构造方向归纳如下： 递推形式 变形手段 转化目标 两边同加 为等比数列 两边同除 转化为线性递推 两边同加一次式 为等比数列 【方法技巧】 1．构造法口诀："加常数、除指数、配一次式"，先按 的形状选定变形方向； 2． 型常两边同除 ，得 ，再按 型继续构造； 3．若 ，递推式退化为 ，此时直接用累加法更快。 【易错清单】 1．构造常数公式 只在 时可用， 时须改用累加； 2．同除 时，务必核对指数与项的下标是否对齐，如 应配 ； 3．构造出的新数列只保证为等比数列，须写出其首项并在最后还原成 。 知识点4　取倒数法与取对数法求通项 当递推关系形如 （） 时，两边取倒数得 ，令 ，则 满足一阶线性递推，可用构造法求通项，此法称为取倒数法。 当递推关系形如 或 （） 时，两边取对数得 ，令 ，即转化为一阶线性递推，此法称为取对数法。根式型（如 ）先化为分数指数幂，再取对数。 递推形式 变形手段 转化目标 两边取倒数 满足 两边取对数 为等比数列 两边取对数 满足 （根式型） 化为分数指数后取对数 指数化归为线性递推 【方法技巧】 1．取倒数法口诀："分式型取倒数，分母带上常数项"，取倒数后一定化为 的标准形； 2．取对数法口诀："幂型、根式型取对数"，取对数前先说明各项为正，否则对数无意义； 3．取对数时底数可任选，习惯上取常用对数 或自然对数 ，求出 后要指对互化还原 。 【易错清单】 1．取倒数前必须验证 （通常由首项与递推式为正保证）； 2．取对数前必须验证 （根式型自带非负，但要说明不为 ）； 3．还原时不要漏掉""这一步，指对互化是最后的关键。 知识点5　 与 的关系法求通项 数列的前 项和 ，由此可得 。 由 求 的标准流程是：先用 求出 ，再用 时的 求出 的通项，最后检验 是否满足；若满足则合并为一个式子，若不满足则分段写出。 若题给条件是 与 的混合式，通常用"退位相减"：写出 与 两个等式，作差消去 ，得到关于 、 的递推关系，再转入前面的方法。 【方法技巧】 1．"退位相减"两步走：先写出 的式子，再写出 的式子（），相减即得 的递推关系； 2．若得到的递推关系关于 与 是齐次的，两边同除 或作差构造新数列； 3．凡含 的式子，优先化为 的递推式，再选用累加、构造、取倒数等方法。 【易错清单】 1． 只在 时成立， 必须单独求； 2．用 时默认 ，若把 代入会出现 这种无意义记号； 3．检验 后若与 的通项不一致，答案必须写成分段形式，不可强行合并。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　由 求 （含 检验）　★★ 【例1-1】（2024·全国甲卷·理·高考真题改编）设 为数列 的前 项和，已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例1-2】（2026·全国二卷·高考真题改编）记 为等差数列 的前 项和，若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【例1-3】（2025·湖南·长沙·高三模拟）已知数列 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-1】已知数列 的前 项和 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-2】已知数列 的前 项和 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-3】已知数列 满足 ，且其前 项和 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-4】已知数列 的前 项和 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-5】已知数列 中 ，前 项和 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优02　累加法求通项　★★ 【例2-1】（2026·山东·济南·高三一模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2025·浙江·温州·高三二模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-1】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-2】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-3】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-4】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-5】在数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优03　累乘法求通项　★★★ 【例3-1】（2026·江苏·南京·高三二模）已知数列 满足 ，（），则 （　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2025·福建·厦门·高三三模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-1】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-2】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-4】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-5】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优04　构造法（ 型）　★★★ 【例4-1】（2025·全国一卷·高考真题改编）设数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【例4-2】（2026·山西·太原·高三二模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-1】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-2】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-3】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-4】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-5】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优05　构造法（ 型，同除 ）　★★★ 【例5-1】（2026·山西·太原·高三二模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【例5-2】（2025·山东·青岛·高三一模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-1】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-2】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-3】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-4】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-5】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优06　取倒数法求通项　★★★ 【例6-1】（2026·湖南·长沙·高三二模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【例6-2】（2025·陕西·西安·高三三模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-1】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-2】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-3】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-4】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-5】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优07　取对数法求通项（含根式型）　★★★★ 【例7-1】（2026·浙江·杭州·高三二模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【例7-2】（2025·湖北·武汉·高三一模）已知数列 满足 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-1】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-2】已知数列 满足 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-3】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-4】已知数列 满足 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-5】已知数列 满足 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优08　新定义数列求通项　★★★★ 【例8-1】（2024·新课标Ⅰ卷·T19·高考真题改编）设 为正整数，数列 是公差不为 的等差数列，若从中删去两项 与 （）后，剩余的 项可被平均分为 组，且每组的 个数都能构成等差数列，则称该数列是 —可分数列。对于数列 ，下列 中不能使其成为 —可分数列的是（　　） A． B． C． D． 【例8-2】（2026·全国一卷·高考真题改编）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。该塔群共有 座塔，依山势自上而下排成 行，将第 行中塔的座数记为 ，其中 ，，，，，，且从第 行起每行的座数依次为 。现将 分为 组，每组 个数，使得每组的 个数之和构成一个项数为 、公差为 的等差数列，则 （　　） A． B． C． D． 【例8-3】（2026·湖南·长沙·高三联考）定义"等和数列"：若数列 满足 （ 为常数，），则称 为等和数列。已知等和数列 中 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·上海·高考真题）下列数列中，既是等差数列又是等比数列的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】定义"等积数列"：若数列 满足 （ 为非零常数），则称 为等积数列。已知等积数列 中 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-3】定义"累加型数列"：若数列 满足 （）。已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-4】定义"衍生数列"：对数列 ，规定 。已知数列 的衍生数列 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-5】定义"均分数列"：若数列 的前 项和 满足 ，则称 为均分数列。已知均分数列 中 ，则 （　　） A． B． C． D． 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】已知等差数列 中 ，公差 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．【巩固】已知等比数列 中 ，公比 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．【巩固】（2024·天津·高考真题改编）已知 为公比大于 的等比数列，且 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．【巩固】已知数列 的前 项和 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．【进阶】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 6．【进阶】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 7．【进阶】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 8．【培优】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．【进阶】已知数列 满足 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． 是等比数列 C． D． 10．【进阶】（2025·全国二卷·高考真题改编）记 为等比数列 的前 项和，若 ，，且公比为正，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 11．【培优】已知数列 的前 项和 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 是等比数列 D． 12．【培优】已知数列 满足 ，，记 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． 是等差数列 C． D． 三、填空题 13．【巩固】已知数列 满足 ，，则 ______． 14．【进阶】已知数列 的前 项和 ，则 ______． 15．【进阶】已知数列 满足 ，，则 ______． 16．【培优】已知数列 满足 ，，则 ______． 四、解答题 17．【进阶】已知数列 的前 项和 ． (1) 求数列 的通项公式； (2) 设 ，求数列 的前 项和 ． 18．【进阶】已知数列 满足 ，． (1) 求数列 的通项公式； (2) 求 的值． 19．【培优】已知数列 满足 ，． (1) 证明数列 是等比数列，并求 的通项公式； (2) 设 ，求数列 的前 项和 ． 20．【培优】已知数列 满足 ，． (1) 求数列 的通项公式； (2) 求数列 的前 项和 ． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 数列的通项公式（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　公式法求通项（等差数列与等比数列） 4 知识点2　累加法与累乘法求通项 5 知识点3　构造法求通项（一阶线性递推 ） 6 知识点4　取倒数法与取对数法求通项 6 知识点5　 与 的关系法求通项 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　由 求 （含 检验）　★★ 9 重难点培优02　累加法求通项　★★ 12 重难点培优03　累乘法求通项　★★★ 14 重难点培优04　构造法（ 型）　★★★ 17 重难点培优05　构造法（ 型，同除 ）　★★★ 19 重难点培优06　取倒数法求通项　★★★ 22 重难点培优07　取对数法求通项（含根式型）　★★★★ 25 重难点培优08　新定义数列求通项　★★★★ 28 五、过关检测 32 一、单选题 32 二、多选题 34 三、填空题 35 四、解答题 36 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 数列的概念与通项公式 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；能根据递推关系式或前 项的特征写出通项公式，并会用通项公式研究数列的性质 求通项的基本方法 掌握公式法、累加法、累乘法、构造法、取倒数法、取对数法等求通项的通性通法，能"看式子、定方法" 与 的关系 掌握由 求 的"两步一检验"，牢记 必须单独验证，杜绝漏解与错并 数列的交汇与创新 能用通项公式研究数列的单调性、最值，并与函数、不等式、新定义问题交汇，发展数学抽象、逻辑推理与数学运算素养 近三年高考真题对数列通项板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T3 一百零八塔分组，每组两数之和构成等差数列求公差 ★★★ 2026 全国一卷 T11 存在性构造，某连续 项成等比数列求最值 ★★★★ 2026 全国二卷 T9 等比数列公比、通项与前 项和（多选） ★★ 2026 全国二卷 T13 等差数列前 项和与通项互化 ★★ 2026 天津卷 T21 由等差数列与等比数列的条件求通项公式 ★★★ 2025 全国一卷 T16 由递推关系证明等差数列并求通项 ★★★ 2025 全国二卷 T6 等差数列前 项和与通项公式 ★★ 2025 北京卷 T5 等差数列与等比数列的交汇 ★★ 2025 上海卷 T7 由等比数列前 项和求公比 ★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T19 新定义"—可分数列"（压轴） ★★★★ 2024 全国甲卷·理 T18 由 与 的关系求通项 ★★★ 2024 天津卷 T19 公比为正值条件的等比数列求通项 ★★★ 考情分析 数列是高考的"必考主干"，通项公式更是数列问题的"钥匙"——近三年各卷对数列的考查几乎都遵循"先求通项、再求和或研究性质"的主线。2026 年全国一卷以"一百零八塔"为背景考查分组求和，全国二卷以多选考查等比数列的通项与前 项和；2025 年全国一卷以递推关系为载体考查等差数列的判定与通项；2024 年新课标Ⅰ卷更以新定义"—可分数列"压轴，全国甲卷以 与 的混合式考查通项的求法。本板块核心素养指向"数学抽象、逻辑推理与数学运算"。预测 2027 年高考仍将以"递推关系化归为等差、等比数列"为核心，并以"新定义、 与 混合"提升区分度。 复习目标 1．熟练掌握等差、等比数列的通项公式，做到"给出条件、秒定基本量"； 2．掌握累加法、累乘法、构造法（含同除 ）、取倒数法、取对数法五大求通项模型，能"看式子、定方法"； 3．牢记由 求 的"两步一检验"， 必须单独验证，杜绝漏解与错误合并； 4．能综合运用通项公式研究数列的单调性、最值与交汇问题，提升"从特殊到一般"的探究能力与创新意识。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　数列的通项公式知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　公式法求通项（等差数列与等比数列） 若数列 为等差数列，首项为 ，公差为 ，则其通项公式为 ，也可写成 ，即当 时通项是关于 的一次函数。 若数列 为等比数列，首项为 ，公比为 ，则其通项公式为 ，当 时又有 ，即通项是"指数型"的。 求通项的第一步永远是"定位数列类型"：若已知 是等差（等比）数列，只需用方程（组）求出 与 （或 ），代入公式即可。常用基本量关系如下表： 数列类型 通项公式 基本量关系 等差数列 等比数列 【方法技巧】 1．"定基本量"三步走：列出关于 、（或 ）的方程（组）→ 解方程 → 代回通项公式； 2．等比数列求公比时，优先使用 作商，可巧妙避开首项符号的讨论； 3．若 是关于 的一次式，则 是等差数列；若 形如 ，则 是等比数列——由通项的结构可反推数列的类型。 【易错清单】 1．等差数列公差 时仍是等差数列，不可随意约去 ； 2．等比数列中 ，且涉及前 项和时必须把 与 分开讨论； 3．由 求 时必须检验 的情形，凡出现 就自带 的前提。 知识点2　累加法与累乘法求通项 当递推关系形如 时，把 对应的各式相加，中间项两两相消，得 ，即 ，称为累加法。 当递推关系形如 （） 时，把各式相乘，分子分母两两相消，得 ，称为累乘法。 两种方法的共同点是"把递推式化为相邻两项之差（商），再逐项叠加（叠乘）"，特别适合处理 、 为可求和（可求积）的整式、分式或指数式的情形。 【方法技巧】 1．累加法的核心是"消去中间项"，求和时务必先求出 的前 项和； 2．遇 为 、 等分式时，先约分再叠乘，最后的通项要化为最简形式； 3．累加时若 、 等，先裂项再叠加，结果往往可以大量相消。 【易错清单】 1．累加（乘）的终点是 ，首项 必须保留，不可一并计入； 2．累乘法中若 有可能取到 ，必须先说明 才可作商； 3．累加求和常需借助等差数列、等比数列的前 项和公式，注意项数（从 到 共 项）。 知识点3　构造法求通项（一阶线性递推 ） 对于形如 （ 且 ，） 的一阶线性递推关系，可两边同加常数 ，化为 ，从而数列 是公比为 的等比数列。 其思想是"待定系数、构造等比"：设 ，展开后与原式对比系数，解得 。常见的构造方向归纳如下： 递推形式 变形手段 转化目标 两边同加 为等比数列 两边同除 转化为线性递推 两边同加一次式 为等比数列 【方法技巧】 1．构造法口诀："加常数、除指数、配一次式"，先按 的形状选定变形方向； 2． 型常两边同除 ，得 ，再按 型继续构造； 3．若 ，递推式退化为 ，此时直接用累加法更快。 【易错清单】 1．构造常数公式 只在 时可用， 时须改用累加； 2．同除 时，务必核对指数与项的下标是否对齐，如 应配 ； 3．构造出的新数列只保证为等比数列，须写出其首项并在最后还原成 。 知识点4　取倒数法与取对数法求通项 当递推关系形如 （） 时，两边取倒数得 ，令 ，则 满足一阶线性递推，可用构造法求通项，此法称为取倒数法。 当递推关系形如 或 （） 时，两边取对数得 ，令 ，即转化为一阶线性递推，此法称为取对数法。根式型（如 ）先化为分数指数幂，再取对数。 递推形式 变形手段 转化目标 两边取倒数 满足 两边取对数 为等比数列 两边取对数 满足 （根式型） 化为分数指数后取对数 指数化归为线性递推 【方法技巧】 1．取倒数法口诀："分式型取倒数，分母带上常数项"，取倒数后一定化为 的标准形； 2．取对数法口诀："幂型、根式型取对数"，取对数前先说明各项为正，否则对数无意义； 3．取对数时底数可任选，习惯上取常用对数 或自然对数 ，求出 后要指对互化还原 。 【易错清单】 1．取倒数前必须验证 （通常由首项与递推式为正保证）； 2．取对数前必须验证 （根式型自带非负，但要说明不为 ）； 3．还原时不要漏掉""这一步，指对互化是最后的关键。 知识点5　 与 的关系法求通项 数列的前 项和 ，由此可得 。 由 求 的标准流程是：先用 求出 ，再用 时的 求出 的通项，最后检验 是否满足；若满足则合并为一个式子，若不满足则分段写出。 若题给条件是 与 的混合式，通常用"退位相减"：写出 与 两个等式，作差消去 ，得到关于 、 的递推关系，再转入前面的方法。 【方法技巧】 1．"退位相减"两步走：先写出 的式子，再写出 的式子（），相减即得 的递推关系； 2．若得到的递推关系关于 与 是齐次的，两边同除 或作差构造新数列； 3．凡含 的式子，优先化为 的递推式，再选用累加、构造、取倒数等方法。 【易错清单】 1． 只在 时成立， 必须单独求； 2．用 时默认 ，若把 代入会出现 这种无意义记号； 3．检验 后若与 的通项不一致，答案必须写成分段形式，不可强行合并。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　由 求 （含 检验）　★★ 【解题技巧】由 求 的"两步一检验"：第一步用 得 ；第二步用 时的 求通项；第三步检验 是否满足。凡出现 与 的混合式，一律"退位相减"消去 ，化归为相邻两项的递推关系。 【注意事项】本重难点最大的坑是忽略 的检验，把分段通项错误地合并成一个式子。当 的通项代入 与 不相等时，必须写成分段形式；另外，用 自带 的前提，不可把 代进去。 【例1-1】（2024·全国甲卷·理·高考真题改编）设 为数列 的前 项和，已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】写出 时的退位式，与原式作差得 与 的关系，再由 定出首项，判断为等比数列。 【解答过程】当 时，由 与 相减，得 ，即 。 当 时，，解得 。 所以 是首项为 、公比为 的等比数列，故 。故选 B。 【例1-2】（2026·全国二卷·高考真题改编）记 为等差数列 的前 项和，若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用等差数列前 项和公式求出公差，再写通项公式，最后用 验证。 【解答过程】设等差数列的公差为 。由 ，解得 。 所以 。故选 A。 【例1-3】（2025·湖南·长沙·高三模拟）已知数列 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把左端看作新数列 的前 项和，用退位相减求出 ，再除以 并检验 。 【解答过程】设 。 当 时，，所以 。 当 时，，满足上式。 所以 。故选 A。 【变式1-1】已知数列 的前 项和 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先用 求 ，再用 的作差法求通项，最后比较两者是否一致。 【解答过程】当 时，。 当 时，。 把 代入 得 ，不满足，故需分段：。故选 C。 【变式1-2】已知数列 的前 项和 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 ，再用作差法求 的通项，最后检验能否合并。 【解答过程】当 时，。 当 时，。 把 代入 得 ，与 一致，故可合并为 。故选 A。 【变式1-3】已知数列 满足 ，且其前 项和 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由 对 退一位得 ，两式作差得 与 的递推关系，注意起算点。 【解答过程】由 （），当 时，。 两式相减得 ，即 （）。 又 ，故 时 。 时 ，故 。故选 C。 【变式1-4】已知数列 的前 项和 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 ，再用作差法求 的通项，最后检验是否满足 。 【解答过程】当 时，。 当 时，。 把 代入 得 ，与 一致，故 。故选 A。 【变式1-5】已知数列 中 ，前 项和 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由条件退位相减得 与 的关系，再用累乘法求通项。 【解答过程】由 ，当 时，。 两式相减得 ，即 ，所以 （）。 由累乘法 。故选 A。 重难点培优02　累加法求通项　★★ 【解题技巧】累加法适用于 ：把 的各式相加，中间项两两相消，得 。求和是累加法的关键： 为整式用公式求和，为分式用裂项相消，为指数式用等比数列求和。 【注意事项】①首项 必须保留在结果中；②相加的项数是从 到 共 项，不要误写成 项；③求出通项后要用 （或 ）回代验证，防止求和公式记错。 【例2-1】（2026·山东·济南·高三一模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】识别为累加型，写出 ，用整式求和公式计算。 【解答过程】由 ，得 。 当 时，，符合。故选 A。 【例2-2】（2025·浙江·温州·高三二模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】识别为累加型且 为分式，先裂项再叠加。 【解答过程】由 ，得 。 当 时，，符合。故选 A。 【变式2-1】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】累加后用等比数列求和公式。 【解答过程】。 当 时，，符合。故选 A。 【变式2-2】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】累加后用等差数列求和公式，再通分整理。 【解答过程】。 当 时，，符合。故选 A。 【变式2-3】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】累加时利用对数的运算性质相消，先求通项再代入 。 【解答过程】。 所以 。故选 C。 【变式2-4】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】累加后需求 ，用错位相减法处理。 【解答过程】。 设 ，则 ，两式相减得 ， 所以 ，故 。 当 时，，符合。故选 A。 【变式2-5】在数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】累加后用等比数列求和公式，注意求和项数为 。 【解答过程】。 当 时，，符合。故选 A。 重难点培优03　累乘法求通项　★★★ 【解题技巧】当递推关系形如 时，一律累乘：由 逐项相乘，得 。作商前必须先说明 ，算完后要检验 并化为最简形式。 【注意事项】①作商前必须验证 ，否则变形不合法；②叠乘的项数同样是 个，首项 要保留；③结果中出现连乘（如 ）时要化简到最简，并用 或 验证；④若 分段（如奇偶不同），必须分奇偶讨论防止漏解。 【例3-1】（2026·江苏·南京·高三二模）已知数列 满足 ，（），则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】识别为累乘型，逐项相乘后约分。 【解答过程】因为 且 ，所以 。 由累乘法 。 当 时，，符合。故选 A。 【例3-2】（2025·福建·厦门·高三三模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化为商的形式后累乘，注意约分后首尾各留两项。 【解答过程】由 得 ，且 ，故 。 由累乘法 。 当 时，，符合。故选 A。 【变式3-1】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化为商的形式后累乘，指数相加用等差数列求和。 【解答过程】由 得 。 。 当 时，，符合。故选 A。 【变式3-2】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】累乘后约分，分母首尾各留两项。 【解答过程】。 当 时，，符合。故选 A。 【变式3-3】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化为商的形式后累乘，指数部分与阶乘部分分别处理。 【解答过程】由 得 。 。 当 时，，符合。故选 A。 【变式3-4】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】累乘后分子分母相消，只剩首尾。 【解答过程】。 当 时，，符合。故选 A。 【变式3-5】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】累乘时分出常数因子 的幂，再约分。 【解答过程】。 当 时，，符合。故选 A。 重难点培优04　构造法（ 型）　★★★ 【解题技巧】（，）的固定套路是"两边加常数 构造等比"：，则 是公比为 的等比数列。待定系数一定先设、后比、再解；若递推式中 的系数不对称（如 ），则移项得到的是"构造等差数列"。 【注意事项】① 时构造常数的方法失效，应改为累加；② 时数列本身即为等比，无需构造；③构造后要写出新数列的首项并在最后还原成 ，切勿漏掉"减 "这一步；④注意 的下标是 还是 ，代入 时系数必须与下标一致。 【例4-1】（2025·全国一卷·高考真题改编）设数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把 视为一个新数列，由递推式证明它是等差数列，求出 后再除以 。 【解答过程】由 得 。 所以数列 是首项为 、公差为 的等差数列， 故 ，即 。 当 时，，符合。故选 A。 【例4-2】（2026·山西·太原·高三二模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用待定系数法设 ，对比系数求出 ，构造等比数列。 【解答过程】设 ，即 ，与 对比得 。 所以 ，即 是首项为 、公比为 的等比数列。 故 ，所以 。故选 A。 【变式4-1】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设 求 ，构造等比数列后还原。 【解答过程】设 ，则 ，对比得 。 所以 ， 是首项为 、公比为 的等比数列， 故 ，即 。故选 A。 【变式4-2】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】待定系数求出常数，构造等比数列。 【解答过程】设 ，则 ，对比得 。 所以 ， 首项为 、公比为 ， 故 ，即 。故选 A。 【变式4-3】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】待定系数求出常数，构造公比为 的等比数列。 【解答过程】设 ，则 ，对比得 。 所以 ， 首项为 、公比为 ， 故 ，即 。故选 A。 【变式4-4】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先把递推式整理成标准形 ，再待定系数构造。 【解答过程】由 得 。 设 ，对比得 ，即 。 所以 首项为 、公比为 ，故 ， 即 。故选 A。 【变式4-5】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】待定系数求出常数，构造等比数列。 【解答过程】设 ，则 ，对比得 。 所以 ， 首项为 、公比为 ， 故 ，即 。故选 A。 重难点培优05　构造法（ 型，同除 ）　★★★ 【解题技巧】 型的固定操作是"两边同除 "：得 ，令 ，即化为 ，再用构造常数法。当 时， 恰为等差数列，可一步到位。 【注意事项】①同除的是 而非 ，指数必须与下标对齐；②若底数 与系数 相等，直接得等差数列，避免多绕一圈；③还原时 ，不要漏乘 ；④当 的底数与 不同时，别忘再构造一次等比。 【例5-1】（2026·山西·太原·高三二模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两边同除 ，令 ，转化为线性递推后构造等比。 【解答过程】两边同除 ，得 。 令 ，则 ，且 。 设 ，对比得 ，故 。 所以 ，即 。 故 。故选 A。 【例5-2】（2025·山东·青岛·高三一模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两边同除 后令 ，构造等比数列，最后还原。 【解答过程】两边同除 ，得 。 令 ，则 ，且 。 设 ，对比得 ，故 。 所以 ，即 。 故 。故选 A。 【变式5-1】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】，同除 后直接得等差数列。 【解答过程】两边同除 ，得 。 令 ，则 为首项 、公差 的等差数列， 故 ，所以 。故选 A。 【变式5-2】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】，同除 后得等差数列。 【解答过程】两边同除 ，得 。 令 ，则 首项 、公差 ， 故 ，所以 。故选 A。 【变式5-3】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】同除 化归为线性递推，再构造等比数列。 【解答过程】两边同除 ，得 。 令 ，则 ，。 设 ，对比得 ，故 。 又 ，所以 ， 所以 ，故 。故选 A。 【变式5-4】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】同除 得线性递推，再构造等比数列。 【解答过程】两边同除 ，得 。 令 ，则 ，。 设 ，对比得 ，故 ， 所以 ，即 。 故 。故选 A。 【变式5-5】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设 ，对比求出 、，构造等比数列。 【解答过程】设 ，展开得 。 与 对比，得 ，，即 ，。 所以 ，则 首项为 、公比为 ， 故 ，即 。故选 A。 重难点培优06　取倒数法求通项　★★★ 【解题技巧】形如 的分式递推，一律取倒数：，令 ，即化为 。取倒数的目的是把"分式"变成"线性"，随后套用构造法或累加法。 【注意事项】①取倒数前须说明 ，否则变形不合法；②不要漏掉 这个常数项，它是判断等差还是等比的依据；③求出 后要"再取一次倒数"还原为 ；④若分子中的 带系数，取倒数后系数要一并处理，防止算错。 【例6-1】（2026·湖南·长沙·高三二模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两边取倒数得等差数列，求出 后再取倒数。 【解答过程】由递推式与 知 ，可两边取倒数： 。 令 ，则 是首项为 、公差为 的等差数列， 故 ，所以 。故选 A。 【例6-2】（2025·陕西·西安·高三三模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取倒数后整理成等差数列，求出 再取倒数。 【解答过程】由 知 ，取倒数得 。 令 ，则 首项为 、公差为 ， 故 ，所以 。故选 A。 【变式6-1】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取倒数后化为一阶线性递推，再构造等比数列。 【解答过程】取倒数得 。令 ，则 ，。 设 ，对比得 ，故 ， 所以 ，即 ，故 。故选 A。 【变式6-2】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取倒数后直接得等差数列。 【解答过程】取倒数得 。 令 ，则 首项为 、公差为 ， 故 ，所以 。故选 A。 【变式6-3】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取倒数后得等差数列，再取倒数还原。 【解答过程】取倒数得 。令 ，则 首项为 、公差为 ， 故 ，所以 。故选 A。 【变式6-4】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取倒数后得线性递推，再构造等比数列。 【解答过程】取倒数得 。 令 ，则 ，。 设 ，对比得 ，故 ， 所以 ，即 ， 故 。故选 A。 【变式6-5】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取倒数后化为一阶线性递推，构造等比数列求 。 【解答过程】取倒数得 。令 ，则 ，。 设 ，对比得 ，故 ， 所以 ，即 ， 故 。故选 A。 重难点培优07　取对数法求通项（含根式型）　★★★★ 【解题技巧】形如 （各项为正）的递推，一律两边取对数：，令 ，即化为线性递推，再套用构造法。根式型先化成分数指数幂再取对数，如 化为 ；底数与指数都是变量的情形，也要先取对数把指数"拉下来"。 【注意事项】①取对数前必须说明各项为正，否则对数无意义；②根式化分数指数时不要写错指数（如 ）；③最后要指对互化还原 ，并用 检验首项；④幂指数为分数时，还原后指数形式易写错，务必回代验证。 【例7-1】（2026·浙江·杭州·高三二模）已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两边取常用对数，把幂型递推化为等比数列，再指对互化还原。 【解答过程】由 知 ，两边取常用对数得 。 令 ，则 是首项为 、公比为 的等比数列， 故 ，所以 。 当 时，，符合。故选 A。 【例7-2】（2025·湖北·武汉·高三一模）已知数列 满足 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取对数得 ，用构造法求 ，再还原。 【解答过程】两边取常用对数得 。令 ，则 ，。 设 ，对比得 ，故 。 所以 ，即 ， 故 。当 时，，符合。故选 A。 【变式7-1】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取对数后化为等比数列，再还原。 【解答过程】由 取对数得 ，令 ，则 ， 故 。当 时，，符合。故选 A。 【变式7-2】已知数列 满足 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取对数后构造等比数列，求出 再还原。 【解答过程】取对数得 。令 ，则 ，。 设 ，对比得 ，故 ， 所以 ，即 。当 时，，符合。故选 A。 【变式7-3】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取对数后化为等比数列，再指对互化还原。 【解答过程】取对数得 ，令 ，则 ， 故 。当 时，，符合。故选 A。 【变式7-4】已知数列 满足 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先把根式化为分数指数，取对数后化为等比数列，再还原。 【解答过程】由 ，取对数得 。 令 ，则 ， 故 。当 时，，符合。故选 A。 【变式7-5】已知数列 满足 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取对数后构造等比数列，求出 再还原。 【解答过程】取对数得 。令 ，则 ，。 设 ，对比得 ，故 ， 所以 ，即 。当 时，，符合。故选 A。 重难点培优08　新定义数列求通项　★★★★ 【解题技巧】新定义数列求通项的"三步译码"：①读定义（逐字圈出条件与运算）；②译符号（把新定义翻译成等差、等比、递推等旧结构）；③定方法（按结构选用累加、累乘、构造、取倒数、取对数等）。新定义只是"外衣"，内核仍是求通项的通性通法。 【注意事项】①切忌想当然地把新符号当成已知运算直接套公式；②定义中的每一个条件（如"每组的 个数都能构成等差数列"）都必须逐条落实，漏读一条即全盘失分；③由新定义得到的往往是递推关系，务必检验 与边界情形；④结论要回到原定义的语言中去回答。 【例8-1】（2024·新课标Ⅰ卷·T19·高考真题改编）设 为正整数，数列 是公差不为 的等差数列，若从中删去两项 与 （）后，剩余的 项可被平均分为 组，且每组的 个数都能构成等差数列，则称该数列是 —可分数列。对于数列 ，下列 中不能使其成为 —可分数列的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】 时删去两项后剩余 项须构成等差数列，只需讨论指标集是否为等差数列即可。 【解答过程】，所以 ，即删去 项后剩余的 项必须构成等差数列。 因为 是公差不为 的等差数列，故 构成等差数列等价于其下标 构成等差数列。 逐一检验： 删去 ，剩下下标 ，构成公差为 的等差数列，可分； 删去 ，剩下下标 ，构成公差为 的等差数列，可分； 删去 ，剩下下标 ，构成公差为 的等差数列，可分； 删去 ，剩下下标 ，相邻差依次为 ，不是等差数列，不可分。 故选 D。 【例8-2】（2026·全国一卷·高考真题改编）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。该塔群共有 座塔，依山势自上而下排成 行，将第 行中塔的座数记为 ，其中 ，，，，，，且从第 行起每行的座数依次为 。现将 分为 组，每组 个数，使得每组的 个数之和构成一个项数为 、公差为 的等差数列，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由总座数求出 行的座数，注意 个数全为奇数；再由"各组之和的总和为 "列出关于 的方程，结合奇偶性排除。 【解答过程】 行的座数依次为 ，其和为 。 设 组的和构成的等差数列首项为 ，则这 个和的总和为 ，故 ，即 。 因为 个数全部为奇数，所以每组的和都是偶数，即 与 均为偶数。 若 ，由 得 ，为奇数，矛盾； 若 ，由 得 ，为奇数，矛盾； 若 ，由 得 ，矛盾； 若 ，则 ，此时六个和为 ，且存在分组 ，，，，，， 恰好用完全部 个数，故 可行。 所以 。故选 B。 【例8-3】（2026·湖南·长沙·高三联考）定义"等和数列"：若数列 满足 （ 为常数，），则称 为等和数列。已知等和数列 中 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把新定义翻译成 ，用构造法（或奇偶讨论）求通项。 【解答过程】由定义 ，得 ，即 。 所以 是首项为 、公比为 的等比数列， 故 ，即 。 当 时，，符合。故选 A。 【变式8-1】（2026·上海·高考真题）下列数列中，既是等差数列又是等比数列的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】既是等差数列又是等比数列的只能是"非零常数列"，逐项检验即可。 【解答过程】A 中数列为等比数列但不是等差数列（相邻差为 不相等）； B 为等差数列但不是等比数列（ 作商不等于常数）； C 为各项相等的非零常数列，公差为 、公比为 ，既是等差数列又是等比数列； D 既不是等差数列也不是等比数列。 故选 C。 【变式8-2】定义"等积数列"：若数列 满足 （ 为非零常数），则称 为等积数列。已知等积数列 中 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由定义得 ，即数列以 为周期，再看 的奇偶性。 【解答过程】由 且 ，两式作商得 ，故 以 为周期。 又 ，所以 ，故奇数项为 、偶数项为 。 为偶数，所以 。故选 B。 【变式8-3】定义"累加型数列"：若数列 满足 （）。已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把新定义翻译成累加结构，用累加法求通项。 【解答过程】由 ，累加得 。 当 时，，符合。故选 A。 【变式8-4】定义"衍生数列"：对数列 ，规定 。已知数列 的衍生数列 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把新定义翻译为 ，再用累加法。 【解答过程】由定义 ，累加得 。 当 时，，符合。故选 A。 【变式8-5】定义"均分数列"：若数列 的前 项和 满足 ，则称 为均分数列。已知均分数列 中 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把新定义翻译成 与 的混合式，退位相减后用累乘法。 【解答过程】由 ，当 时 ，两式相减得 ，即 ，所以 （）。 由累乘法 。当 时，，符合。故选 A。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】已知等差数列 中 ，公差 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接代入等差数列通项公式。 【解答过程】。故选 A。 2．【巩固】已知等比数列 中 ，公比 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接代入等比数列通项公式。 【解答过程】。故选 A。 3．【巩固】（2024·天津·高考真题改编）已知 为公比大于 的等比数列，且 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 求公比，再由公比大于 确定 ，最后写通项。 【解答过程】由 得 ，解得 或 。 因为 ，所以 ，故 。故选 A。 4．【巩固】已知数列 的前 项和 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 ，再用 时的作差法，最后检验。 【解答过程】当 时，。 当 时，。 把 代入得 ，符合，故 。故选 A。 5．【进阶】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】累加后用等差数列求和公式。 【解答过程】。当 时，，符合。故选 A。 6．【进阶】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】累乘求出通项，再代入 。 【解答过程】，所以 。故选 C。 7．【进阶】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】待定系数构造等比数列。 【解答过程】设 ，对比得 ，故 。 所以 ，即 。故选 A。 8．【培优】已知数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两边同除 化归为线性递推，再构造等比数列。 【解答过程】两边同除 ，得 。 令 ，则 ，。 设 ，对比得 ，故 。 所以 ，即 ， 故 。故选 A。 二、多选题 9．【进阶】已知数列 满足 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． 是等比数列 C． D． 【答案】ABC 【解题思路】先用构造法求通项，再逐项验证。 【解答过程】由 ， 得 ，A 正确； ， 首项为 、公比为 ，是等比数列，B 正确； 故 ，，C 正确； ，D 错误。故选 ABC。 10．【进阶】（2025·全国二卷·高考真题改编）记 为等比数列 的前 项和，若 ，，且公比为正，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】由 与公比为正确定公比，再逐项验证。 【解答过程】由 ，且 ，得 ，A 正确； ，B 正确； ，C 正确； ，D 错误。故选 ABC。 11．【培优】已知数列 的前 项和 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 是等比数列 D． 【答案】ABC 【解题思路】先用 与 的关系求通项，再逐项验证。 【解答过程】当 时，，A 正确； 当 时，，且 时 ， 故 ，B 正确； 是首项为 、公比为 的等比数列，C 正确； ，D 错误。故选 ABC。 12．【培优】已知数列 满足 ，，记 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． 是等差数列 C． D． 【答案】ABC 【解题思路】取倒数后判断 的类型，再逐项验证。 【解答过程】由 取倒数得 ，即 ，，A 正确； 是首项为 、公差为 的等差数列，B 正确；，C 正确； ，D 错误。故选 ABC。 三、填空题 13．【巩固】已知数列 满足 ，，则 ______． 【答案】 【解题思路】识别为等差数列，直接用通项公式。 【解答过程】 是首项为 、公差为 的等差数列，故 。 14．【进阶】已知数列 的前 项和 ，则 ______． 【答案】 【解题思路】先求 ，再用作差法求 的通项，最后检验。 【解答过程】当 时，； 当 时，，且 时 ，故 。 15．【进阶】已知数列 满足 ，，则 ______． 【答案】 【解题思路】累加后用等差数列求和公式。 【解答过程】（ 时也成立）。 16．【培优】已知数列 满足 ，，则 ______． 【答案】 【解题思路】，同除 后得等差数列。 【解答过程】两边同除 得 ，令 。 则 首项为 、公差为 ，故 ，。 四、解答题 17．【进阶】已知数列 的前 项和 ． (1) 求数列 的通项公式； (2) 设 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 用 与 的关系（退位相减）求通项；(2) 用错位相减法求和。 【解答过程】(1) 当 时，，解得 。 当 时，由 与 相减得 ，即 。 故 是首项为 、公比为 的等比数列，（ 时也成立）。 (2) ，则 ， ， 两式相减得 ， 所以 。 18．【进阶】已知数列 满足 ，． (1) 求数列 的通项公式； (2) 求 的值． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 用累加法，先裂项再相消；(2) 代入 。 【解答过程】(1) 由 ，累加得 （ 时也成立）。 (2) 。 19．【培优】已知数列 满足 ，． (1) 证明数列 是等比数列，并求 的通项公式； (2) 设 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 用定义证明等比并求通项；(2) 先求 ，再用裂项相消求和。 【解答过程】(1) 由 得 。 又 ，所以 是首项为 、公比为 的等比数列， 故 ，即 。 (2) ， 则 ， 所以 。 20．【培优】已知数列 满足 ，． (1) 求数列 的通项公式； (2) 求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 同除 得等差数列；(2) 用错位相减法求和。 【解答过程】(1) 两边同除 得 。 令 ，则 首项为 、公差为 ， 故 ，所以 。 (2) ， ， 两式相减得 ， 所以 。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $