2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中数学试卷4

2026-2027学年度九年级上期数学期中检测试卷4 (北师大版2024新版教材九年级上册第一章至第三章，120分钟，150分) A卷（100分） 一、选择题：（共8个小题，每题4分，共计32分。） 1．下列方程中是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（　　） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 3．下列各组线段中是成比例线段的是　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子由向走去，当她走到点处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得，，则旗杆的高度是　　 A． B． C． D． 5．如图，正方形中，以对角线为一边作菱形，则等于　　 A． B． C． D． 6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是　　 A． B．C． D． 7．某市去年房屋成交量比前年降低了12%，预计今年比去年还会降低7%，若设这两年房屋成交量平均降低率为x，由题意，得方程（ ） A．( 1－x )2＝( 1－12% )( 1－7% ) B．( 1+x )2＝( 1－12% )( 1－7% ) C． ( 1－x )2＝( 1－12% )( 1+7% ) D．( 1－x )2＝( 1+12% )( 1－7% ) 8．如图，在菱形中，，、分别是，的中点，、相交于点，连接，．有下列结论：①；②；③；④． 其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：（共5个小题，每题4分，共计20分） 9．如图，直线，直线和直线分别与三条平行线相交．已知，，则　　． 10．若α，β是方程x2+2x-2028=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为　　． 11．边长为的菱形，一条对角线长是，则菱形的面积是　 　． 12．如图，在△ABC中，，是的平分线，，垂足为点E．则线段BE、DE、AE的数量关系是　　　　 ． 13．如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接交于点G，则的长为 ．   三、解答题：（共48分） 14．（12分）（1）解方程：； （2）用配方法解方程：． 15．（8分）已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，． （1）若，，求的长；（2）求证：四边形是菱形． 16．（8分）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）． (1)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形，使新图与原图相似比为2：1； (3)求出的面积． 17．（10分）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：；（2）若正方形的边长为4，求的长． 18．（10分）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）． 【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝a，BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB＝a，BC＝b，AC＝c．求证：． 【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为 　　． B卷（50分） 一、填空题：（共5个小题，每题4分，共20分） 19．已知，且，若，则　　． 20．已知关于的方程有实数根，则整数的最大值是 　　． 21．如图，在一个改良版的飞镖盘中，、是线段上的两个黄金分割点，连接、．现向区域内随机投掷一枚飞镖，投中阴影部分的概率是 　　． 22．如图，在等边△ABC中，D在BA延长线上，E在BC上，AD＝BE，连接DE、DC，DE交AC于F．若EF＝，CF＝4，则AB＝__________．D B E C F A 23．阅读以下材料，并解答问题： (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即．这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法，则方程的一个正根为________． (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________． 二、解答题 24．（10分）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． （1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？ （2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？ （3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 25．（10分）【基础巩固】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E为AD边上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，延长EF交CD边于点G，求证：△BFG≌△BCG； 【尝试应用】（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，E为AD边上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，延长EF交BC边于点G，延长BF交CD边于点H，若FH＝CH，求AE的长， 【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，AB＝4，∠D＝60°，E为CD边上的三等分点，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，直接写出PC的长． B C 图1 E A D F G E A D B C 图2 H F G A B 图3 C D 26．（10分）综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A. （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值. 2026-2027学年度九年级上期数学期中检测试卷4参考答案 (北师大版2024新版教材九年级上册第一章至第三章，120分钟，150分) 1．【解析】根据一元二次方程的定义可得出方程为一元二次方程，故选． 2．【解析】A、菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意； B、矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意； C、正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意； D、平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意,故选C. 3．【解析】，选项不成比例；，选项成比例； ，选项不成比例；，选项不成比例，故选． 4．【解析】设旗杆高度为，由题意得，米．故选． 5．【解析】四边形是正方形，， 四边形是菱形，，故选． 6．【解析】设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，2，， 、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； 、因为三边分别为：1，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似； 、因为三边分别为：1，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； 、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选． 7．【解析】由题意，得( 1－x )2＝( 1－12% )( 1－7% ) .故选A ． 8．【解析】①由菱形的性质可得、是等边三角形，，故①正确； ②，，角所对直角边等于斜边一半）,，故可得出，即②也正确； ③首先可得对应边，因为，，故可得不全等，即③错误； ④，即④正确． 综上可得①②④正确，共3个．故选． 9．【解析】直线，，即，解得，故答案为4． 10．【解析】∵α，β是方程x2+2x-2028=0,∴ α2+2α -2028=0，α+β=-2,∴α2+2α=2028, ∴α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=2028-2=2026, 故答案为2026. 11．【解析】如图：设，，， ，，菱形的面积是：． 故答案为24． 12.【解析】∵是的平分线，∴.∵，∴. 又∵，∴，∴，而，∴， ∴，∴，∴．故答案为. 13．【解析】如图，取为的中点，    ∵菱形的边长为，∴， ∵为的中点，为的中点，∴是的中位线，∴，∴，∵，∴，∴， ∴，，， ，在和中，， ，， 在中，由勾股定理定理得：，故答案为． 14．（12分）解：（1），，，，，； （2），，，即， ，，． 15．（8分）解：（1）四边形是矩形，， ，，是等边三角形，， ，，，即的长是； （2）证明：，，四边形是平行四边形， 四边形是矩形，，四边形是菱形． 16．（8分）解：（1）如图,△O即为所求；（2）如图,△O即为所求； （3）△O的面积＝×5×（2+2）＝10． 17．（10分）（1）证明：四边形为正方形，，， ，， ，，，； （2）解：四边形为正方形，，， 又，正方形的边长为4，，，． 18．（10分） 【阅读理解】解：如图1， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，∴AC2＝AB2+BC2， ∵AB＝a，BC＝b，∴AC2+BD2＝2（AB2+BC2）＝2a2+2b2； 【探究发现】解：上述结论依然成立， 理由：如图②，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，且AB＝DC，∴∠ABE＝∠DCF， 在△ABE和△DCF中，， ∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF，BE＝CF， 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2+CE2＝AE2+（BC﹣BE）2…①， 在Rt△BDF中，由勾股定理，得BD2＝DF2+BF2＝DF2+（BC+CF）2＝DF2+（BC+BE）2…②， 由①②，得AC2+BD2＝AE2+DF2+2BC2+2BE2＝2AE2+2BC2+2BE2， 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＝AE2+BE2， ∴AC2+BD2＝2AE2+2BC2+2BE2＝2（AE2+BE2）+2BC2＝2AB2+2BC2＝2a2+2b2； 【拓展提升】证明：如图3，延长BO至点E，使BO＝OE， ∵BO是AC边上的中线，∴AO＝CO， 又∵AO＝CO，∴四边形ABCE是平行四边形， 由【探究发现】，可得BE2+AC2＝2AB2+2BC2， ∵BE＝2BO，∴BE2＝4BO2， ∵AB＝a，BC＝b，AC＝c，∴4BO2+c2＝2a2+2b2，∴． 【尝试应用】解：过P作PH⊥BC于H， 则四边形APHB和四边形PHCD是矩形，∴AB＝PH＝CD＝8，AP＝BH，PD＝CH， 设BH＝x，CH＝12﹣x， ∴PB2+PC2＝PH2+BH2+PH2+CH2＝82+x2+82+（12﹣x）2＝2x2﹣24x+272＝2（x﹣6）2+200， 故PB2+PC2的最小值为200， 方法二：以PB、PC为一组邻边构造平行四边形PBQC， 设AP＝x，则PQ＝2，由（2）得，PQ2+BC2＝2PB2+2PC2， ∴PB2+PC2＝（PQ2+BC2）＝[4×（82+（6﹣x）2+122]＝2x2﹣24x+272＝2（x﹣6）2+200， 故PB2+PC2的最小值为200，故答案为200． 19．【解析】，，， ，．故答案为6． 20．【解析】当时，原方程为，解得，符合题意； 当时，△，解得，且． 综上所述，．又为整数，的最大值为．故答案为． 21．【解析】、是线段上的两个黄金分割点，，， ，， 投中阴影部分的概率，故答案为． 22．【解析】过点D作DG∥AC交BC延长线于点G，作FM⊥BC于点M. 易知CG＝AD＝BE，MC＝ CF＝2. FM＝2，EM＝＝1，EC＝3.D B E C F G A M 设BE＝CG＝a，则EG＝a＋3，DG＝BG＝2a＋3. 易知△EFC∽△EDG， ＝ . ＝ ，a＝ ，AB＝BC＝ .故答案为. 23.【解析】（1）由得，∴，∴， ∴原方程的另一个根是．故答案为． （2）将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长，∴，即．故答案为． （3）∵中间围成的正方形面积为4，∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为，由题意,得，整理,得，，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长，∴，即． ∴方程的一个正根为．故答案为 a=2，．．     24．（8分）解：（1）设每个背包的售价为元，则月均销量为个， 依题意，得：，解得． 答：每个背包售价应不高于55元． （2）依题意，得，整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元． （3）依题意，得，整理，得． △，该方程无解，这种书包的销售利润不能达到3700元． 25．（10分） 解：（1）由题意，BF＝BA＝BC，BG＝BG，∠BFG＝∠C＝90° ∴△BFG≌△BCG （2）如图2，连接GH E A D B C H F G 图2 ∵FH＝CH，GH＝GH，∠HFG＝∠C＝90° ∴△HFG≌△HCG，∴FG＝CG 设FG＝CG＝x，则BG＝8－x 在Rt△BFG中，6 2＋x 2＝( 8－x )2 解得x＝ ，∴BG＝8－x＝ ∵AD∥BC，∴∠GBE＝∠AEB＝∠GEB ∴EG＝BG＝ ，∴AE＝EF＝EG－FG＝ （3）PC的长为1或 如图2，当CE＝2DE时，连接AC，CF A B C D E F P A B D E C P F 图2 图3 则∠PCA＝∠PFA＝120°，∠ACF＝∠AFC ∴∠PCF＝∠PFC，∴PC＝PF 设PC＝PF＝x，则PE＝EF＋PF＝DE＋PF＝ ＋x 解△CEP，可得x＝1 如图3，当DE＝2CE时，同理可证PC＝PF 设PC＝PF＝x，则PE＝EF－PF＝DE－PF＝ －x 解△CEP，可得x＝ .即PC=. 26．（12分） （1）解：如图，即为所求. ，，， ∴四边形是矩形，，故答案为：90. （2）证明：如图，过P作于点C. 由(1)知四边形是矩形，∵点P在的平分线上， ，，，∴矩形是正方形， ，，， ，又，， ，， ， . （3）①当M在线段上时，如图，延长、交于点G. 由（2）知，设，则，. ，，， ，，∵ AP//OB ，， ，，； ②当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G. 由（2）知，四边形是正方形， ，，，， ，又，， ，， ， ，，，∵ PC//AO ，， ，即， ，∵ PC//AO ，，∴， ，，. 综上，的值为或. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $