29.2.1 垂直于弦的直径-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

数学 九年级上册（人教版） 29.2圆的有关性质 9.解：(1)货船不能顺利通过这座桥，理由如 29.2.1垂直于弦的直径 下：以D为坐标原点建立坐标系如图1，根据题意 【知识点】任何一条直径所在直线弦 得CD=18m,AD=BD=24m,:A(-24,0),B(24,0), 弦所对的两条弧垂直于弦所对的两条弧 C(0,18),设抛物线为y=2+18,代人点A的坐标， 得576a+18-0,解得仁2，抛物线为-立418， 1 1.BE BD BC2.⊥ 【例】解：由题意，得圆心O在EF上，四 边形ABCD是矩形，AD=BC=48m,EF⊥ 设MN=14m,MN上y轴于点H,MH=号MN=7m, AD,AP号4D=24m,设01=rm,E=EF 点M坐标为7，把一7代人y立8，得贸。 PF=4-2.8=1.2(m),.0P=0E-PE=(r-1.2)m, DH=527 32 m<16.5m,.货船不能顺利通过这座桥. 在Rt△A0P中，0A2=AP2+0P2,2=2.42+(r- 1.2)2,.r=3.∴.上部圆弧的半径O4的长是3m M 1.D2.D3.C4.5 5.45垂径定理(r-15)452+(r-15)275 H 6.解：AB是⊙0的直径，AB⊥CD,∠OED= D 90°，DE=】DC=4,在Rt△0ED中，OE=VOD-ED= 2 V5-4=3,0B=0D=5,∴BE=0B-0E=5-3=2 图1 图2 7.解：(1)如图1，连接OB,OC.设BF=EF=x, 第9题答图 OF=yAB∥CD,EF⊥AB,EF⊥CD,∠CEF= (2)①连接OA,根据题意，得CD=18m,AB= ∠BFO=90°，.AF=BF=x,DE=EC=2V6,根据勾股定 理，可得25， 4格m,则AD=子AB=24m,设这座拱标所在圆的半径 (2V6+(y)2-25 解得（舍去) 为xm,则0A=0C=xm,0D=0C-CD=(x-18)m,在 Rt△A0D中，0A2=0D+AD2,则x2=(x-18)2+24,解得 或K=4,,BF=4,AB=2BF=8. x=25,.该圆弧形拱桥所在圆的半径为25m. y=3. ②货船能顺利通过这座拱桥.理由如下：连接 0M,设MN=14m,0C1MN,Mh=号M7m,在 Rt△OMH中，0H=VOM-Mr=24(m),·OD=0C CD=25-18=7(m),·.0H-0D=24-7=17(m)>16.5m, .货船能顺利通过这座拱桥 10.1011.B 图1 图2 29.2.2圆心角 第7题答图 【知识点】顶点在圆心圆心旋转弧 (2)如图2，作CH⊥AB于点H.0B⊥OC, 弦 圆心角弦圆心角优弧劣弧 ∠A=号∠BOC=45°，AHLCH,△ACH是等腰直角 证明：证法1：：AB=CD,.∠AOB=∠COD, 2 ∴.∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB,即∠AOC= 三角形，AC=V2CH,AB∥CD,EF⊥AB,EF⊥ ∠BOD,AC=BD CD,∠CEF=∠EFH=∠CHF=90°，∴.四边形EFHC是矩 证法2：AB=CD,AB=CD,AB-BC 形，CH=EF,在Rt△OEC中，EC=V6,OC= CD-BC,即AC=BD. V30,.0E=V0C-EC=V30-6=2V6,∠E0C+ 【例】证明：连接OC,OD.AB∥CD, ∠OCE=90°，∠EOC+∠F0B=90°，.∴.∠FOB=∠EC0, ∠AOC=∠OCD,∠B0D=∠ODC..OC=OD, .OB=OC,.△0FB≌△CE0(AAS),.OF=EC=V6, ∠OCD=∠ODC,.∠AOC=∠BOD,AC=BD. ..CH=EF=3V6,.AC=V2 EF-6V3 1.C2.B3.D 8.解：如图，连接OA, 由题意，得0A=0C=1+0D, 4.∠A0OB=∠COD(答案不唯一) .0C⊥AB,.0D=0A-1, 5.证明：AB=AC,AB=AC,·0D⊥AB,0EI AD=BD=分AB=3(m), AC,AD=7AB,AE=4C,∠0D1=∠0E1S0, ∠AD0=90°，在Rt△AD0 D B 水面 AD=AE,AB⊥AC,.∠DAE=90°，四边形AE0D是 中，0A2=0D+AD,∴.0A2= 用 矩形，AD=AE,.四边形AEOD是正方形，.OD=OE. (0A-1)2+32,.0A=5(m), 6.(1)证明：BC=CD=DE=EA,.DE+EA= 即⊙0的半径为5m. 第8题答图 C⑦+DE,即AD=CE,AD=CE. 62数学 九年级上册（人教版） 29.2 圆的有关性质 29.2.1 垂直于弦的直径 知识梳理@形成联系 【知识点】垂径定理 ◎圆是轴对称图形， 都是圆的对称轴。 ©垂径定理：垂直于弦的直径平分 并且平分 ©推论：平分弦（不是直径）的直径 弦，并且平分 1.如图29.2-1，AB是⊙0的弦，CD是⊙O的直径，若CD LAB,垂 足为E,则AE= AD= AC= 2.如图29.2-1，AB是⊙0的弦，CD是⊙O的直径，AB与CD相交 于点E,若点E是AB的中点，则CD AB. 图29.2-1 例题点拔Q素养导向 【例】如图29.2-2，拱门的上部是一段圆弧AD,其圆心O在线段EF上，点E是弧AD 的中点，下部是宽BC为4.8m、高AB为2.8m的长方形，已知拱门最高处E距离地面的高 度EF为4m,EFLAD于点P,连接AO.求上部圆弧的半径OA的长. 【点拨】由垂径定理，可以求出APAD=24,设0A=,则0=-12，在R△A0p中 由勾股定理可列方程求得. 图29.2-2 夯实四基U达标闯关 1.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙0的弦，AB⊥CD,垂足为E,若 AB=26,CD=24,则BE的长为() A.13 B.12 C.10 D.8 第1题图 118 圆 第二十九章 2.如图，AB是⊙0的一条弦，OD⊥AB于点C,交⊙0于点D,连接OA.若AB=4, CD=1,则⊙0的半径为() A.5 B.V/5 C.3 D 3.如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点M.若CD=10,MC=2,则AB的长是() A.4 B.5 C.8 D.6 0 B 第2题图 第3题图 第4题图 4.如图，在⊙O中，直径AB经过CD的中点E,已知CD的长度为8，BE的长度为2， ⊙0的半径是 5.【问题情境】某博物馆展出一古代车轮，《周礼·考工记》记载：“故兵车之轮六尺 有六寸，田车之轮六尺有三寸.”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请 完善下面的推理过程，判断车轮类型 【抽象图形】如图，在车轮上取A,B两点，设AB所在圆的圆心为O,连接AB,作弦 AB的垂线OC,与弦AB交于点D. 【测量数据】测得AB=90cm,CD=15cm,计算AD的长度，AD= cm,并写出 依据： 【建构模型】设半径为rcm,用含r的代数式表示OD= cm. 在Rt△OAD中，由勾股定理，可列出关于r的方程为2= 【求解验证】解得r= cm 通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮 D 0 第5题图 ⑩ 数学 九年级上册（人教版） 能力提升钟综合拓展 一多 6.如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，AB LCD,垂足为E.若CD=8,OD=5,求 BE的长. 、E 第6题图 7.如图，点A,B,C,D在⊙O上，AB∥CD,经过圆心O的线段EF⊥AB于点F,与 CD交于点E. (1)如图1，当⊙O半径为5，CD=4V6,若EF=BF,求弦AB的长， (2)如图2，当⊙0半径为V30,CD=2V6,若OB1OC,求弦AC的长. 图1 图2 第7题图 8.简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧.如图， 当简车工作时，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心0(0在水面上方)为圆心的圆，已知⊙O 被水面截得的弦AB长为6m,点C为运行轨道的最低点，OCLAB于点D,点C到水面的 距离是1m,求⊙0的半径. DB了水面 第8题图 @ 圆 第二十九章 9.某地有一座抛物线形拱桥（如图1），桥下水面宽度AB为48m,拱顶高出水面18m (即CD=18m,CD⊥AB). (1)现有一艘宽14m,船舱顶部高出水面16.5m的货船要经过这里，此货船能顺利通 过这座桥吗？ (2)若此桥为圆弧形拱桥（如图2，其中点O为圆心，CD⊥AB) ①求出该圆弧形拱桥所在圆的半径的长度； ②那么宽14m,船舱顶部高出水面16.5m的货船能否通过这座桥？ D 图1（抛物线形拱桥） D ◆0 图2（圆弧形拱桥） 第9题图 中考链接©真题演练 10.(2026苏州)苏州园林中的月洞门，形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人 文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”.某月洞门示意图如图所示，其 内廓由ABC,线段CD,DE,EA四部分构成，AE,CD分别垂直于地面U.经测量，该月洞 门的最高点B到地面的距离为21dm,AE=CD=3dm,DE=12dm,则ABC所在圆的半径为 dm. 77777 77777777777 D E 第10题图 第11题图 11.(2026·南充)如图，AB为⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,OB=CD=2,则OE的长 为() A.1 B.V3 C.2 D.V5 ②