江苏省 2026-2027学年苏科版八年级上册期中测评 数学押题卷（四）

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ________ 班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026-2027学年江苏省 苏科版八年级（上） 期中测评 数学押题卷（四） 考试范围：第1~3章；考试时间：120分钟；总分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列四个图中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）的平方根是（　　） A．3 B．±3 C． D．81 3．（3分）下列实数5，3.14，0，，，，﹣π，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（3分）若（a﹣3）2+|b﹣7|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（　　） A．10 B．13 C．17 D．13或17 5．（3分）下列各组数是勾股数的是（　　） A．4，5，6 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．8，24，25 6．（3分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，BD＝CE，AD，BE交于点F，连结DE，CF．则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，将一根长18cm的吸管放进一个底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（　　） A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm 8．（3分）如图，在菱形ABCD中，已知AE＝AF＝CH＝CG，将△AEF，△CHG分别沿EF，HG折叠，若重叠部分面积为1，△CHG的面积为，则菱形ABCD的面积为（　　） A．8 B． C．16 D． 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 9．（3分）填空：的平方根是________________ ． 10．（3分）用四舍五入法将数25.2994精确到十分位的结果是_________ ． 11．（3分）已知：△BAD≌△ABC，AB＝7cm，BD＝6cm，AD＝5cm，则BC＝_____ cm． 12．（3分）小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝10m，在来人坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，AC⊥BD，此时测得点A到铅垂线BD的距离AC＝5m，当船头从A处摆动到A′处时发现船头处在最高位置处，此时，A′B⊥AB．求点A′到地面的距离_______ ． 13．（3分）如图，在Rt△ABC中，线段AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，连接AD，若∠CDE＝∠CAB+30°，BD＝9，则AC的长度是________ ． 14．（3分）有一棵树（将树看作一个圆柱）高14m，底面周长是4m，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀绕树7圈（如图），上端刚好与树顶端齐平，则这条藤的长度是_________________ m． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，点D在AB上，CD＝14，∠BDC＝60°，延长CB至点E，使CE＝AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若2DG＝AD，则DF＝__________________ ． 16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP，若∠ABP＝32°，∠ACP＝14°，则∠A的度数为________ ． 17．（3分）如图，周长为14的长方形ABCD，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为﹣1，CD＝6，若将长方形ABCD沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2025次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 _________ ． 18．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为△ABC外一点，且∠BDC＝45°，点O为AC的中点，连接OD，BD，CD，若OD＝25，BD＝17，则CD＝_______ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题，满分96分） 19．（10分）计算：． 20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，E为BC上一点．已知AB＝20，AE＝25，BC＝39，DC＝7，且AE＝DE．求证：△CDE为直角三角形． 21．（12分）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+MN+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） （1）作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； （2）AM+MN+NB最短，说明理由． 22．（12分）如图，已知AE、BD相交于点C，AC＝AD，BC＝BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点，求证： （1）HF＝HG； （2）若∠FHG＝88°，∠D＝ _______ °． 23．（12分）【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则103＝（10+x）2，即103＝100+20x+x2．因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，因为x2比较小可以忽略不计，所以103≈100+20x，解得x≈0.15，即的近似值为10.15． 【分析比较】小强看了小丽的解法，想到了是否可以用（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2求的近似值．他的做法如下： 解：设，则103＝（11﹣x）2，即… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高）． 【理解应用】请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 24．（12分）如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成．图2是其侧面结构示意图，面板AB固定在支撑轴端点C处，CD⊥AB，支撑轴长CD＝16cm，支撑轴CD与底座DE所成的角∠CDE＝45°． （1）求端点C到底座DE的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将CD绕点D逆时针旋转15°后，点B恰好落在直线DE上，问：端点C到底座DE的距离减少了多少？ 25．（14分）第14届数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图2验证勾股定理：c2＝a2+b2； 【知识迁移】（2）①如果满足等式a2+b2＝c2的a、b、c是三个正整数，我们称a、b、c为勾股数．已知m、n是正整数且m＞n．请证明2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数； ②根据①中的结论，写出一组符合条件的勾股数_____________ ； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由） 26．（14分）【问题情境】数学兴趣小组开展了一次折纸活动．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在边CD上，且CE＝2，点P是边BC上的一个动点（不与点B，C重合）． 小组进行了如下操作：将△ABP沿AP折叠，得到△AB′P，再将△ECP沿EP折叠，得到△EC′P． 【操作发现】 （1）如图①，当点B′恰好落在边AD上时，求线段B′C′的长； 【探究证明】 （2）如图②，在点P的运动过程中，小组成员发现存在特殊位置，使得点P，B′，C′恰好落在同一条直线上． ①求证：AP⊥PE； ②求此时BP的长； 【拓展应用】 （3）如图③，连接AE，AC′．在点P的运动过程中，△AEC′的形状和大小随之改变，请直接写出△AEC′面积的最大值． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026-2027学年江苏省 苏科版八年级（上） 期中测评 数学押题卷（四） 考试范围：第1~3章；考试时间：120分钟；总分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列四个图中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）的平方根是（　　） A．3 B．±3 C． D．81 3．（3分）下列实数5，3.14，0，，，，﹣π，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（3分）若（a﹣3）2+|b﹣7|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（　　） A．10 B．13 C．17 D．13或17 5．（3分）下列各组数是勾股数的是（　　） A．4，5，6 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．8，24，25 6．（3分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，BD＝CE，AD，BE交于点F，连结DE，CF．则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，将一根长18cm的吸管放进一个底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（　　） A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm 8．（3分）如图，在菱形ABCD中，已知AE＝AF＝CH＝CG，将△AEF，△CHG分别沿EF，HG折叠，若重叠部分面积为1，△CHG的面积为，则菱形ABCD的面积为（　　） A．8 B． C．16 D． 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 9．（3分）填空：的平方根是________________ ． 10．（3分）用四舍五入法将数25.2994精确到十分位的结果是_________ ． 11．（3分）已知：△BAD≌△ABC，AB＝7cm，BD＝6cm，AD＝5cm，则BC＝_____ cm． 12．（3分）小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝10m，在来人坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，AC⊥BD，此时测得点A到铅垂线BD的距离AC＝5m，当船头从A处摆动到A′处时发现船头处在最高位置处，此时，A′B⊥AB．求点A′到地面的距离_______ ． 13．（3分）如图，在Rt△ABC中，线段AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，连接AD，若∠CDE＝∠CAB+30°，BD＝9，则AC的长度是________ ． 14．（3分）有一棵树（将树看作一个圆柱）高14m，底面周长是4m，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀绕树7圈（如图），上端刚好与树顶端齐平，则这条藤的长度是_________________ m． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，点D在AB上，CD＝14，∠BDC＝60°，延长CB至点E，使CE＝AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若2DG＝AD，则DF＝__________________ ． 16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP，若∠ABP＝32°，∠ACP＝14°，则∠A的度数为________ ． 17．（3分）如图，周长为14的长方形ABCD，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为﹣1，CD＝6，若将长方形ABCD沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2025次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 _________ ． 18．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为△ABC外一点，且∠BDC＝45°，点O为AC的中点，连接OD，BD，CD，若OD＝25，BD＝17，则CD＝_______ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题，满分96分） 19．（10分）计算：． 20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，E为BC上一点．已知AB＝20，AE＝25，BC＝39，DC＝7，且AE＝DE．求证：△CDE为直角三角形． 21．（12分）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+MN+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） （1）作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； （2）AM+MN+NB最短，说明理由． 22．（12分）如图，已知AE、BD相交于点C，AC＝AD，BC＝BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点，求证： （1）HF＝HG； （2）若∠FHG＝88°，∠D＝ _______ °． 23．（12分）【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则103＝（10+x）2，即103＝100+20x+x2．因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，因为x2比较小可以忽略不计，所以103≈100+20x，解得x≈0.15，即的近似值为10.15． 【分析比较】小强看了小丽的解法，想到了是否可以用（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2求的近似值．他的做法如下： 解：设，则103＝（11﹣x）2，即… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高）． 【理解应用】请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 24．（12分）如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成．图2是其侧面结构示意图，面板AB固定在支撑轴端点C处，CD⊥AB，支撑轴长CD＝16cm，支撑轴CD与底座DE所成的角∠CDE＝45°． （1）求端点C到底座DE的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将CD绕点D逆时针旋转15°后，点B恰好落在直线DE上，问：端点C到底座DE的距离减少了多少？ 25．（14分）第14届数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图2验证勾股定理：c2＝a2+b2； 【知识迁移】（2）①如果满足等式a2+b2＝c2的a、b、c是三个正整数，我们称a、b、c为勾股数．已知m、n是正整数且m＞n．请证明2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数； ②根据①中的结论，写出一组符合条件的勾股数_____________ ； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由） 26．（14分）【问题情境】数学兴趣小组开展了一次折纸活动．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在边CD上，且CE＝2，点P是边BC上的一个动点（不与点B，C重合）． 小组进行了如下操作：将△ABP沿AP折叠，得到△AB′P，再将△ECP沿EP折叠，得到△EC′P． 【操作发现】 （1）如图①，当点B′恰好落在边AD上时，求线段B′C′的长； 【探究证明】 （2）如图②，在点P的运动过程中，小组成员发现存在特殊位置，使得点P，B′，C′恰好落在同一条直线上． ①求证：AP⊥PE； ②求此时BP的长； 【拓展应用】 （3）如图③，连接AE，AC′．在点P的运动过程中，△AEC′的形状和大小随之改变，请直接写出△AEC′面积的最大值． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江苏省 苏科版八年级（上） 期中测评 数学押题卷（四） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C B B A C 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列四个图中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，由此即可得到答案． 【解答】解：A、B、C的图形中，线段BE不是△ABC的高，故A、B、C不符合题意； D、线段BE是△ABC的高，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查三角形的角平分线’、中线和高，关键是掌握三角形的高的定义． 2．（3分）的平方根是（　　） A．3 B．±3 C． D．81 【答案】C 【分析】根据平方根，算术平方根的定义进行计算． 【解答】解：∵， ∴的平方根为． 故选：C． 【点评】本题考查了平方根，算术平方根，掌握相应的定义是关键． 3．（3分）下列实数5，3.14，0，，，，﹣π，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【解答】解：2， ，﹣π，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无理数，共3个． 故选：B． 【点评】本题考查的是无理数，算术平方根，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 4．（3分）若（a﹣3）2+|b﹣7|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（　　） A．10 B．13 C．17 D．13或17 【答案】C 【分析】先根据偶次方的非负性，绝对值的非负性，求出a，b的值，再根据等腰三角形的腰的不同，分两种情况求解． 【解答】解：由条件可知a﹣3＝0，b﹣7＝0，解得：a＝3，b＝7， 当腰长为3时，不能构成三角形； 当腰长为7时，7+7＝14＞3，能构成三角形，此时等腰三角形的周长为7+7+3＝17． 故选：C． 【点评】本题考查了偶次方的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的性质，解题关键是熟悉上述知识并能熟练运用求解． 5．（3分）下列各组数是勾股数的是（　　） A．4，5，6 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．8，24，25 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义逐项判断即可． 【解答】解：A．42+52≠62，这组数据不是勾股数，故选项A不符合题意； B．52+122＝132，这组数据是勾股数，故选项B符合题意； C．0.3、0.4，0.5不是正整数，这组数据不是勾股数，故选项C不符合题意； D．82+242≠252，这组数据不是勾股数，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 6．（3分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，BD＝CE，AD，BE交于点F，连结DE，CF．则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明△ABD和△BCE全等得∠ADB＝∠BEC，进而得△FBD∽△CBE，则，即，由此得△CBF∽△EBD，则，即，过点E作EH⊥BC于H，设CH＝a，则∠CEH＝30°，由此得CE＝2a，BD＝CE＝2a，BC＝AB＝6a，BH＝BC﹣CH＝5a，EH＝√3a，BE＝2√7a，则，据此可得的值． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BCA＝60°， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADB＝∠BEC，即∠FDB＝∠BEC， 又∴∠FBD＝∠CBE， ∴△FBD∽△CBE， ∴， 即， ∵∠CBF＝∠EBD， ∴△CBF∽△EBD， ∴， 即， 过点E作EH⊥BC于H，如图所示： 设CH＝a， ∵∠BCA＝60°，EH⊥BC， ∴∠CEH＝30°， ∴CE＝2a， ∴BD＝CE＝2a， ∵BD＝CEAB， ∴AB＝6a， ∴BC＝AB＝6a， ∴BH＝BC﹣CH＝6a﹣a＝5a， 在Rt△CEH中，由勾股定理得：EH， 在Rt△BEH中，由勾股定理得：BE， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 7．（3分）如图，将一根长18cm的吸管放进一个底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（　　） A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm 【答案】A 【分析】设吸管在杯内的长度为xcm，在杯口外的长度为ycm，则y＝18﹣x，分别计算吸管在杯内长度的最小值和最大值，从而确定杯外长度的取值范围即可得到答案． 【解答】解：设吸管在杯内的长度为xcm，在杯口外的长度为ycm， 当吸管竖直放置时，x取最小值12，此时y取最大值为：18﹣12＝6； 当吸管倾斜放置，x取最大值， 由勾股定理得：， 此时y取最小值为：18﹣13＝5； ∴5≤y≤6， ∴吸管在杯口外的长度不可能是7cm， 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 8．（3分）如图，在菱形ABCD中，已知AE＝AF＝CH＝CG，将△AEF，△CHG分别沿EF，HG折叠，若重叠部分面积为1，△CHG的面积为，则菱形ABCD的面积为（　　） A．8 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】如图（见详解），由菱形和轴对称的性质可得四边形MPNQ和EDHP是菱形，先证△MPQ∽△MHG，推出，进而可得，再证△CHG∽△CDB，根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出，即可求解． 【解答】解：如图，连接BD， 由菱形的性质和轴对称的性质可得P，Q在对角线BD上， 四边形MPNQ和EDHP是菱形，S菱形MPNQ＝1，，BD∥GH， ∴， ∴， ∵BD∥GH， ∴∠MPQ＝∠MHG，∠MQP＝∠MGH， ∴△MPQ∽△MHG， ∴， ∴， ∴， ∵DH＝PH，CH＝MH， ∴， ∴， 同理可证△CHG∽△CDB， ∴， ∴， ∴S菱形ABCD＝2S△CDB＝2×8＝16， 故选：C． 【点评】本题考查菱形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 9．（3分）填空：的平方根是　　 ． 【答案】． 【分析】先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【解答】解：，3的平方根为， 故的平方根是． 故答案为：． 【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握该知识点是关键． 10．（3分）用四舍五入法将数25.2994精确到十分位的结果是　25.3　 ． 【答案】25.3 【分析】根据四舍五入法进行求解即可． 【解答】解：25.2994精确到十分位的结果是25.3； 故答案为：25.3． 【点评】本题主要考查近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 11．（3分）已知：△BAD≌△ABC，AB＝7cm，BD＝6cm，AD＝5cm，则BC＝　5　 cm． 【答案】5． 【分析】根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵△BAD≌△ABC， ∴BC＝AD＝5cm（全等三角形对应边相等）． 故答案为：5． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 12．（3分）小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝10m，在来人坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，AC⊥BD，此时测得点A到铅垂线BD的距离AC＝5m，当船头从A处摆动到A′处时发现船头处在最高位置处，此时，A′B⊥AB．求点A′到地面的距离　5m ． 【答案】5m． 【分析】先过点A′作A′F⊥BD于点F，再证明△BFA′≌△ACB，可得AC＝BF＝5m，再由DF＝BD﹣BF可得答案． 【解答】解：过点A′作A′F⊥BD于点F， ∵A′B⊥AB，AC⊥BD， ∴∠FBA′+∠FBA＝∠CAB+∠FBA， ∴∠FBA′＝∠CAB， 在△BFA′与△ACB中， ， ∴△BFA′≌△ACB（AAS）， ∵AC＝5m， ∴AC＝BF＝5m（全等三角形对应边相等）， ∴DF＝BD﹣BF＝5m．即点A′到地面的距离为5m， 故答案为：5m． 【点评】本题考查的是全等三角形的应用，关键是全等三角形判定定理的应用． 13．（3分）如图，在Rt△ABC中，线段AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，连接AD，若∠CDE＝∠CAB+30°，BD＝9，则AC的长度是　4.5　 ． 【答案】4.5． 【分析】由线段垂直平分线的性质推出DA＝DB＝9，∠DEB＝90°，得到∠B＝∠DAB，由三角形的外角性质得到∠B+∠DEB＝90°﹣∠B+30°，求出∠B＝15°，得到∠ADC＝30°，由含30度角的直角三角形的性质推出ACAD＝4.5． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴DA＝DB＝9，∠DEB＝90°， ∴∠B＝∠DAB， ∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝2∠B， ∵∠C＝90°， ∴∠CAB＝90°﹣∠B， ∵∠CDE＝∠CAB+30°， ∴∠B+∠DEB＝90°﹣∠B+30°， ∴∠B＝15°， ∴∠ADC＝2×15°＝30°， ∵∠C＝90°， ∴ACAD＝4.5． 故答案为：4.5． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出DA＝DB．由三角形的外角性质求出∠B的度数． 14．（3分）有一棵树（将树看作一个圆柱）高14m，底面周长是4m，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀绕树7圈（如图），上端刚好与树顶端齐平，则这条藤的长度是　14　 m． 【答案】14． 【分析】把大树看作圆柱，其侧面展开图为矩形，则矩形的长为4m，缠木七周，则长为28m，再根据勾股定理列式计算即可． 【解答】解：把大树看作圆柱，其侧面展开图为矩形，则矩形的长为4m， 缠木七周，则长为28m， ∵大树高为14m， ∴这条腾条长度为（m）． 故答案为：14． 【点评】本题考查了勾股定理的应用以及圆柱的展开图，熟练掌握勾股定理和圆柱的展开图是解题的关键． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，点D在AB上，CD＝14，∠BDC＝60°，延长CB至点E，使CE＝AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若2DG＝AD，则DF＝　　 ． 【答案】． 【分析】过点C作CH⊥AB于点H，设DF＝x，则CF＝CD﹣DF＝14﹣x，求出∠DGF＝30°，利用直角三角形的性质得DG＝2DF＝2x，则AD＝2DG＝4x，同理得∠DCH＝30°，则DHCD＝7，AH＝AD+DH＝4x+7，再证∠A＝∠FCE，进而可依据“AAS”判定△ACH和△CFE全等，从而得AH＝CF，则4x+7＝14﹣x，由此解出x即可得DF的长． 【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示： 设DF＝x， ∵CD＝14， ∴CF＝CD﹣DF＝14﹣x， ∵EF⊥CD， 在Rt△DFG中，∠BDC＝60°， ∴∠DGF＝30°， ∴DG＝2DF＝2x， ∵2DG＝AD， ∴AD＝2DG＝4x， ∵CH⊥AB， 在Rt△CHD中，∠BDC＝60°， ∴∠DCH＝30°， ∴DHCD＝7， ∴AH＝AD+DH＝4x+7， ∵∠BDC＝∠A+∠ACD＝60°，∠ACB＝∠ACD+∠FCE＝60°， ∴∠A＝∠FCE， 又∵CH⊥AB，EF⊥CD， ∴∠AHC＝∠CFE＝90°， 在△ACH和△CFE中， ， ∴△ACH≌△CFE（AAS）， ∴AH＝CF， ∴4x+7＝14﹣x， 解得：x． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP，若∠ABP＝32°，∠ACP＝14°，则∠A的度数为　70°　 ． 【答案】70°． 【分析】根据垂直平分线得到PB＝PC，从而得到∠PBC＝∠PCB，结合角平分线及∠ABP＝32°得到∠ABC＝2×32°＝64°，∠PCB＝32°，结合∠ACP＝14°得到∠ACB＝32°+14°＝46°，再根据三角形内角和定理求解即可得到答案． 【解答】解：∵∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP，∠ABP＝32°， ∴∠PBC＝∠ABP＝32°，∠ABC＝2∠ABP＝2×32°＝64°，PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB＝32°， ∵∠ACP＝14°， ∴∠ACB＝∠PCB+∠ACP＝32°+14°＝46°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB═180°﹣64°﹣46°＝70°． 故答案为：70°． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 17．（3分）如图，周长为14的长方形ABCD，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为﹣1，CD＝6，若将长方形ABCD沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2025次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 　7090　 ． 【答案】7090． 【分析】此题是找规律的题，长方形的周长是14，长是6，宽则为1，翻滚2次的和为7，翻滚2024次的和为7084，再翻滚1次即翻滚2025次和为7085，然后得出数轴上表示的数即可． 【解答】解：长方形的周长是14，长为6，则宽为1，点A对应﹣1，点B对应5， 翻滚1次到达数轴上的点对应6，翻滚2次到达数轴上的点对应12； 翻滚3次到达数轴上的点对应13，翻滚4次到达数轴上的点对应19； 翻滚5次到达数轴上的点对应20，翻滚6次到达数轴上的点对应26； … 翻滚2023次到达数轴上的点对应7083，翻滚2024次到达数轴上的点对应7089； 翻滚2025次到达数轴上的点对应7090，故点P对应的数是7090． 故答案为：7090． 【点评】本题考查的是数轴的一个知识，解题的关键是找到规律． 18．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为△ABC外一点，且∠BDC＝45°，点O为AC的中点，连接OD，BD，CD，若OD＝25，BD＝17，则CD＝　14　 ． 【答案】14． 【分析】过B作BE⊥BD交DC的延长线于E．连接AE，取CE中点H，连接OH，根据三角形中位线定理得出，OH∥AE，证明△BDE是等腰直角三角形，得出，∠BED＝45°＝∠BDC，证明△ABE≌△CBD（SAS），得出AE＝CD＝2OH，则可求HD＝17+OH，在Rt△OHD中，根据勾股定理可求出OH，即可求解． 【解答】解：过B作BE⊥BD交DC的延长线于E．连接AE，取CE中点H，连接OH，如图， ∵点O为AC的中点， ∴OH∥AE，， ∵BE⊥BD，∠BDC＝45°， ∴∠BED＝45°＝∠BDC， ∴， ∴， ∵∠ABC＝90°，BE⊥BD， ∴∠ABE＝∠CBD＝90°﹣∠CBE， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴∠AEB＝∠BDC＝45°，AE＝CD＝2OH， ∴CE＝34﹣2OH，∠AED＝90°， ∵H为CE中点， ∴， ∴HD＝CD+HC＝17+OH， ∵∠AED＝90°，OH∥AE， ∴∠OHD＝90°， 在Rt△OHD中，OD2＝OH2+HD2， ∴252＝OH2+（17+OH）2， 解得OH＝7或OH＝﹣24（舍去）， ∴CD＝AE＝2OH＝14． 故答案为：14． 【点评】本题考查了中位线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟记有关定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分96分） 19．（10分）计算：． 【答案】． 【分析】分别计算乘方、绝对值、零次幂、负整数指数幂、立方根，再合并即可得到最终答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键． 20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，E为BC上一点．已知AB＝20，AE＝25，BC＝39，DC＝7，且AE＝DE．求证：△CDE为直角三角形． 【答案】∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理可知，， ∴EC＝BC﹣BE＝24． ∵DE＝AE，AE＝25， ∴DE＝25． ∴DC2+EC2＝72+242＝625，DE2＝252＝625． ∴DC2+EC2＝DE2． ∴△CDE为直角三角形． 【分析】由勾股定理可得BE＝15，则EC＝24，再证明DC2+EC2＝DE2．则由勾股定理的逆定理可证明△CDE为直角三角形． 【解答】证明：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理可知，， ∴EC＝BC﹣BE＝24． ∵DE＝AE，AE＝25， ∴DE＝25． ∴DC2+EC2＝72+242＝625，DE2＝252＝625． ∴DC2+EC2＝DE2． ∴△CDE为直角三角形． 【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，关键是由勾股定理的逆定理可证明△CDE为直角三角形解答． 21．（12分）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+MN+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） （1）作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； （2）AM+MN+NB最短，说明理由． 【答案】（1）如图所示：平移点A到A1，使得AA1等于河宽，连接A1B交河岸b于点N，作桥MN，连接AM即可； （2）如图，另任意作桥M1N1，连接AM1，BN1，AN1， 由平移的性质可得：AM1＝A1N1，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1， 故AM+MN+BN转化为AA1+A1B， 而AM1+M1N1+BN1转化为AA1+A1N+BN1， 在△A1N1B中，A1N1+BN1＞A1B， ∴AM1+M1N1+BN1＞AM+MN+BN， 故AM+MN+NB最短． 【分析】（1）平移点A到A1，使得AA1等于河宽，连接A1B交河岸b于点N，作桥MN，连接AM，此时AM+MN+NB最短； （2）另任意作桥M1N1，连接AM1，BN1，AN1，由平移的性质可得AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1，故AM+MN+BN转化为AA1+A1B，而AM1+M1N1+BN1转化为AA1+A1N+BN1，再结合在△A1N1B中，A1N1+BN1＞A1B，即可得解． 【解答】解：（1）平移点A到A1，使得AA1等于河宽，连接A1B交河岸b于点N，作桥MN，连接AM，此时AM+MN+NB最短，如图所示； （2）如图，另任意作桥M1N1，连接AM1，BN1，AN1， 由平移的性质可得：AM1＝A1N1，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1， 故AM+MN+BN转化为AA1+A1B， 而AM1+M1N1+BN1转化为AA1+A1N+BN1， 在△A1N1B中，A1N1+BN1＞A1B， ∴AM1+M1N1+BN1＞AM+MN+BN， 故AM+MN+NB最短． 【点评】本题考查了最短路径问题、平移的性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22．（12分）如图，已知AE、BD相交于点C，AC＝AD，BC＝BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点，求证： （1）HF＝HG； （2）若∠FHG＝88°，∠D＝ 　46　 °． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）46． 【分析】（1）连接AF，BG，根据等腰三角形的性质得AF⊥BD，BG⊥AE，则△ABF和△ABG均为直角三角形，然后再根据直角三角形斜边上中线的性质可得出结论； （2）设∠D＝α，∠CAB＝β，∠CBA＝θ，根据等腰三角形性质得∠D＝∠ACD＝∠BCE＝∠E＝α，再根据三角形外角性质得α＝β+θ，进而得∠HAF＝∠HFA＝90°﹣α+β，则∠AHF＝2（α﹣β），同理∠BHG＝2（α﹣θ），然后再根据∠AHF+∠FHG+∠BHG＝180°可得出α＝46°，由此可得∠D的度数． 【解答】（1）证明：连接AF，BG，如图所示： ∵AC＝AD，BC＝BE，F、G分别是DC、CE的中点， ∴AF⊥BD，BG⊥AE， ∴△ABF和△ABG均为直角三角形， 又∵点H是Rt△ABF和Rt△ABG的斜边AB上的中线， ∴HF＝AH＝BH，HG＝AH＝BH， ∴HF＝HG； （2）解：设∠D＝α，∠CAB＝β，∠CBA＝θ， ∵AC＝AD， ∴∠D＝∠ACD＝∠BCE＝α， ∵BC＝BE， ∴∠E＝∠BCE＝α， 又∵∠ACD＝∠CAB+∠CBA， ∴α＝β+θ， ∵AF⊥BD， ∴∠FAC＝90°﹣∠ACD＝90°﹣α， ∴∠HAF＝∠FAC+∠CAB＝90°﹣α+β， ∵HF＝AH， ∴∠HAF＝∠HFA＝90°﹣α+β， ∴∠AHF＝180°﹣2∠HAF＝180°﹣2（90°﹣α+β）＝2（α﹣β）， 同理：∠BHG＝2（α﹣θ）， ∵∠AHF+∠FHG+∠BHG＝180°，∠FHG＝88°， ∴2（α﹣β）+88°+2（α﹣θ）＝180°， ∴2α﹣（β+θ）＝46°， 又∵α＝β+θ， ∴α＝46°， ∴∠D＝α＝46°． 故答案为：46． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，灵活运用三角形内角和定理进行角度的计算是解决问题的关键． 23．（12分）【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则103＝（10+x）2，即103＝100+20x+x2．因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，因为x2比较小可以忽略不计，所以103≈100+20x，解得x≈0.15，即的近似值为10.15． 【分析比较】小强看了小丽的解法，想到了是否可以用（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2求的近似值．他的做法如下： 解：设，则103＝（11﹣x）2，即… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高）． 【理解应用】请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 【答案】【分析比较】10.18，小丽的精确度较高； 【理解应用】9.85． 【分析】【分析比较】利用题目所提供的方法进行计算即可； 【理解应用】估算无理数的大小，设9+m，得到97＝（9+m）2，忽略x2，求出m的值即可． 【解答】解：【分析比较】 设，则103＝（11﹣x）2， 即103＝121﹣22x+x2， 因为0＜x＜1， 所以0＜x2＜1， 因为x2比较小可以忽略不计， 所以103≈121﹣22x， 解得x≈0.82， 即的近似值为11﹣0.82＝10.18， 因为10.14889，而10.18﹣10.14889＞10.15﹣10.14889， 所以小丽的精确度较高； 【理解应用】 解：小丽的做法： 由于910，可设9+m， 所以97＝（9+m）2， 即97＝81+18m+m2， 由于0＜m＜1，所以0＜m2＜1， 由于m2较小，忽略不计， 所以97＝81+18m， 解得m≈0.89， ∴9.89． 小强的做法： 由于910，可设10﹣n， 所以（）2＝（10﹣n）2， 即97＝100﹣20n+n2， 由于0＜n＜1，所以0＜n2＜1， 由于n2较小，忽略不计， 所以97＝100﹣20n， 解得n≈0.15， ∴10﹣0.15＝9.85， ∵9.892﹣97＝0.8121，9.852﹣97＝0.0225，而0.8121＞0.0225， ∴小强的做法更准确， ∴9.85． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及题目所提供的计算方法是正确解答的关键． 24．（12分）如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成．图2是其侧面结构示意图，面板AB固定在支撑轴端点C处，CD⊥AB，支撑轴长CD＝16cm，支撑轴CD与底座DE所成的角∠CDE＝45°． （1）求端点C到底座DE的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将CD绕点D逆时针旋转15°后，点B恰好落在直线DE上，问：端点C到底座DE的距离减少了多少？ 【答案】（1）8cm； （2）（88）cm． 【分析】（1）过点C作CF⊥DE于点F，△CFD是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出CF的长； （2）过点C作CH⊥DE于点H，推出∠CDE＝30°，易求出CH的长，即可得出结果． 【解答】解：（1）如图2，过点C作CF⊥DE于点F， ∵∠CDE＝45°， ∴△CFD是等腰直角三角形， ∴CF＝DF， 在Rt△CFD中，由勾股定理得：CF2+DF2＝CD2， ∴2CF2＝CD2＝162， ∴CF＝8（cm）（负值已舍去）； （2）如图3，过点C作CH⊥DE于点H， ∵将CD绕点D逆时针旋转15°后，点B恰好落在直线DE上， ∴∠CDE＝45°﹣15°＝30°， ∴CHCD16＝8（cm）， ∴端点C到底座DE的距离减少了（88）cm． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构建直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 25．（14分）第14届数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图2验证勾股定理：c2＝a2+b2； 【知识迁移】（2）①如果满足等式a2+b2＝c2的a、b、c是三个正整数，我们称a、b、c为勾股数．已知m、n是正整数且m＞n．请证明2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数； ②根据①中的结论，写出一组符合条件的勾股数　20，48，52　 ； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由） 【答案】（1）∵正方形的面积为c2， 或 ＝2ab+b2﹣2ab+a2 ＝a2+b2， ∴a2+b2＝c2； （2）①∵（2mm）2＝4m2n2，（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，（m2﹣n2）2＝m4﹣2m2n2+n4， ∴（2mm）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2， ∴2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数； ②20，48，52（答案不唯一）； （3）这块菜园最少需要种植140棵青菜． 【分析】（1）用两种方法求正方形面积即可求证； （2）①分别求出（2mm）2＝4m2n2，（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，（m2﹣n2）2＝m4﹣2m2n2+n4，则有（2mm）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2，从而求证； ②取m＝6，n＝4即可求解； （3）由m、n是正整数且m＞n，则要使勾股数最小则有m＝2，n＝1，得出最小勾股数为3，4，5，又最短的边长为12米，则直角三角形三边为12米，16米，20米，所以这块菜园最少种植青菜4×（16+20）﹣4＝140（棵），从而求解． 【解答】（1）证明：∵正方形的面积为c2， 或 ＝2ab+b2﹣2ab+a2 ＝a2+b2， ∴a2+b2＝c2； （2）①证明：∵（2mm）2＝4m2n2，（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，（m2﹣n2）2＝m4﹣2m2n2+n4， ∴（2mm）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2， ∴2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数； ②解：取m＝6，n＝4， ∴2mn＝48，m2+n2＝52，m2﹣n2＝20， ∴勾股数为20，48，52， 故答案为：20，48，52（答案不唯一）； （3）解：这块菜园最少需要种植140棵青菜．理由如下： ∵m、n是正整数且m＞n， ∴要使勾股数最小则有m＝2，n＝1， ∴最小勾股数为3，4，5， ∵最短的边长为12米， ∴直角三角形三边为12米，16米，20米， 则这块菜园最少种植青菜4×（16+20）﹣4＝140（棵）． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了勾股定理及逆定理、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 26．（14分）【问题情境】数学兴趣小组开展了一次折纸活动．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在边CD上，且CE＝2，点P是边BC上的一个动点（不与点B，C重合）． 小组进行了如下操作：将△ABP沿AP折叠，得到△AB′P，再将△ECP沿EP折叠，得到△EC′P． 【操作发现】 （1）如图①，当点B′恰好落在边AD上时，求线段B′C′的长； 【探究证明】 （2）如图②，在点P的运动过程中，小组成员发现存在特殊位置，使得点P，B′，C′恰好落在同一条直线上． ①求证：AP⊥PE； ②求此时BP的长； 【拓展应用】 （3）如图③，连接AE，AC′．在点P的运动过程中，△AEC′的形状和大小随之改变，请直接写出△AEC′面积的最大值． 【答案】（1）4； （2）①∵将△ABP沿AP折叠，得到△AB′P， ∴∠APB′＝∠APB， ∴∠BPB′＝2∠APB， ∵将△ECP沿EP折叠，得到△EC′P， ∴∠EPC′＝∠EPC， ∴∠CPC′＝2∠EPC， ∵点P，B′，C′恰好落在同一条直线上， ∴∠BPB′+∠CPC′＝180°，即2∠APB+2∠EPC＝180°， ∴∠APB+∠EPC＝90°， ∴∠APE＝90°， ∴AP⊥PE； ②2或6； （3）． 【分析】（1）先证明四边形ABPB′是正方形，得到∠B′PB＝90°，B′P＝BP＝AB＝6，由折叠的性质得到C′P＝CP＝2，再证明B′，C′，P三点共线，最后利用线段的和差即可求解； （2）①根据折叠的性质得到∠BPB′＝2∠APB，∠CPC′＝2∠EPC，根据平角的定义得到∠BPB′+∠CPC′＝180°，则有∠APB+∠EPC＝90°，再根据垂直的定义即可证明； ②证明△ABP∽△PCE，得到，设BP＝a，进而得到关于a的方程，求出a的值即可解答； （3）过点C′作C′H⊥AE于点H，根据矩形的性质以及勾股定理求出，根据三角形的面积公式得到，当C′H取得最大值时，S△AEC′有最大值，由垂线段最短得到C′H≤C′E，分析可知当点H与点E重合时，C′H有最大值，最大值为2，即可求出△AEC′面积的最大值． 【解答】（1）解：在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8， ∴∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝6， ∵将△ABP沿AP折叠，得到△AB′P， ∴AB′＝AB，∠AB′P＝∠B＝90°， ∴∠AB′P＝∠B＝∠BAD＝90°， ∴四边形ABPB′是矩形， 又∵AB′＝AB， ∴矩形ABPB′是正方形， ∴B′P＝BP＝AB＝6，∠B′PB＝90°， ∴CP＝BC﹣BP＝8﹣6＝2，∠B′PC＝90°， ∵CE＝2＝CP，∠C＝90°， ∴△ECP是等腰直角三角形， ∴∠EPC＝45°， ∵将△ECP沿EP折叠，得到△EC′P， ∴∠EPC′＝∠EPC＝45°，C′P＝CP＝2， ∴∠C′PC＝45°+45°＝90°， ∴∠C′PC＝∠B′PC＝90°， ∴B′，C′，P三点共线， ∴B′C′＝B′P﹣C′P＝6﹣2＝4； （2）①证明：∵将△ABP沿AP折叠，得到△AB′P， ∴∠APB′＝∠APB， ∴∠BPB′＝2∠APB， ∵将△ECP沿EP折叠，得到△EC′P， ∴∠EPC′＝∠EPC， ∴∠CPC′＝2∠EPC， ∵点P，B′，C′恰好落在同一条直线上， ∴∠BPB′+∠CPC′＝180°，即2∠APB+2∠EPC＝180°， ∴∠APB+∠EPC＝90°， ∴∠APE＝90°， ∴AP⊥PE； ②解：∵四边形纸片ABCD为矩形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠APB+∠PAB＝90°， 由①得，∠APB+∠EPC＝90°， ∴∠PAB＝∠EPC， ∴△ABP∽△PCE， ∴， 设BP＝a，则CP＝BC﹣BP＝8﹣a， ∴， 解得：a1＝2，a2＝6（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴BP的长为2或6； （3）解：△AEC′面积的最大值为．理由如下： 如图③，过点C′作C′H⊥AE于点H， 则∠EHC′＝90°， ∵四边形纸片ABCD为矩形， ∴∠D＝90°，AD＝BC＝8，CD＝AB＝6， ∴DE＝CD﹣CE＝6﹣2＝4， 在直角三角形ADE中，由勾股定理得：， ∵将△ECP沿EP折叠，得到△EC′P， ∴C′E＝CE＝2， ∵， ∴当C′H取得最大值时，S△AEC′有最大值， ∵C′H≤C′E＝2， ∴当点H与点E重合时，C′H有最大值，最大值为2， 此时， ∴△AEC′面积的最大值为． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质，折叠的性质，平角的定义，垂直的定义，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握掌握相似三角形的判定与性质． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江苏省 苏科版八年级（上） 期中测评 数学押题卷（四）答题卡 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） 试卷类型：D 姓名：______________班级：______________ 准考证号 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题3分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）（请在各试题的答题区内作答） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三．解答题（共8小题，满分96分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 20.答： 21.答： 22.答： 23.答： 24.答： 25.答： 26.答： 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年江苏省苏科版八年级（上) 期中测评数学押题卷（四）答题卡 试卷类型：D 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][√][ 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分24分，每小题3分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 5.[A]B][C][D] 7.[A][B][C][D] 2.[A][B][C[D] 4.[A][B]IC][D] 6.[A]B][C[D] &.[A][B][C][D] 二. 填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）（请在各试题 的答题区内作答) 7. 8 9 9 2 13. 14. 1 16 三.解答题（共8小题，满分96分）（请在各试题的答题区内作 答) 19.答： 20.答： 2 A D ▣ B E C 21.答： A M a b N B 22.答： E D F G C A H B 3 23.答： 24.答： B B D 图 图2 图部 25.答： c a b b ICmE-14 三三国国 a 图1 图2 5 26.答： 女☒ 图① 6