2026-2027学年苏科版八年级数学上册 期中测评押题卷（二）

2026-2027学年江苏省苏科版八年级（上) 期中测评数学押题卷（二）答题卡 试卷类型：B 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][√][ 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分24分，每小题3分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 5.[A]B][C][D] 7.[A][B][C][D] 2.[A][B][C[D] 4.[A][B]IC][D] 6.[A]B][C[D] &.[A][B][C][D] 二. 填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）（请在各试题 的答题区内作答) 7. 8 9 9 2 13. 14. 1 16 三.解答题（共8小题，满分96分）（请在各试题的答题区内作 答) 19.答： 20.答： 2 A A 、C ic : J-- 1--5- B 图① 图② 21.答： C A D B 22.答： E G B D C 23.答： 3 A E B D F C 24.答： A b C a C B 25.答： D E F A ⊙ 5 26.答： D A 图1 图2 D 图3 图4 6 2026-2027学年江苏省 苏科版八年级（上） 期中测评 数学押题卷（二）答题卡 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） 试卷类型：B 姓名：______________班级：______________ 准考证号 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题3分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）（请在各试题的答题区内作答） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三．解答题（共8小题，满分96分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 20.答： 21.答： 22.答： 23.答： 24.答： 25.答： 26.答： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ________ 班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026-2027学年江苏省 苏科版八年级（上） 期中测评 数学押题卷（二） 考试范围：第1~3章；考试时间：120分钟；总分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下面四个图中，线段AD是△ABC的高线的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列说法正确的是（　　） A． B．0的平方根是0 C． D．|﹣4|的平方根是2 3．（3分）给出下列四个数：，0，，0.1010010001，其中属于无理数的是（　　） A． B．0 C． D．0.1010010001 4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线DG，与边BC相交于点H．则∠CDH的大小为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 5．（3分）下列四组数中，不是勾股数的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝9，b＝12，c＝15 C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝3，b＝5，c＝7 6．（3分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，点D，E分别是边AB，AC上的动点，连结BE，CD交于点F，且∠BFD＝60°．作DG⊥BC于点G，EH⊥BC于点H．下列两条线段的和，不随D，E的运动而改变的是（　　） A．AE+BD B．DF+EF C．GH+AE D．DG+EH 7．（3分）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（　　） A．2cm＜x≤5cm B．3cm≤x≤6cm C．4cm＜x≤7cm D．5cm＜x≤8cm 8．（3分）如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，再将剪下的角展开，得到一个四边形，根据图中所给数据，下列判断正确的是（　　） 甲：展开后的图形是正方形； 乙：展开后的图形面积为36． A．甲、乙都不对 B．甲、乙都对 C．只有甲对 D．只有乙对 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 9．（3分）下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③a2的算术平方根是a；④（π﹣4）2的算术平方根是π﹣4；⑤算术平方根不可能是负数，其中，不正确的有 _________ （填序号）． 10．（3分）少年志在今年的积分卡兑礼活动中一共回收了1730468张积分卡，将1730468精确到千位可表示为______________ ． 11．（3分）已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长是15，那么△ABC的周长是_______ ． 12．（3分）如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是_____ 秒． 13．（3分）如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝8cm，△ABD的周长为25cm，求BC的长为 _________ ． 14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AB＝10，BC＝6时，阴影部分的面积为_______ ． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD与CE相交于点G，连接DE，过点D作DF⊥DE交CE于点F，连接AF，M为CE中点，连接DM．有下列四个结论：①AB＝CG；②BE＝DF；③S△DEG：S△DEB＝EG：BE；④AF＝2DM．其中正确的有 ________ （填写序号）． 16．（3分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，BC的垂直平分线分别交BC，DE于点F，G，且．若AE＝3，BE＝7，则DG的长为 _____ ． 17．（3分）如图，AB＝6，点C为线段AB上一个动点，在AB上方构造等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，∠ACD＝∠BCE＝90°，点F，G分别在边AD和BE上，且满足，则FG的最小值为 ________________ ． 18．（3分）如图，在数轴上点A表示的实数是_________________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题，满分96分） 19．（10分）（1）计算：； （2）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值． 20．（10分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，在网格中完成下列问题： （1）△ABC的面积为 _____ ； （2）仅用无刻度直尺完成作图． ①在图①中，在边BC上作出一点P，连接AP，使∠CAP＝∠ABC； ②在图②中，点Q在边BC上，请在BC上作出使AQBQ最小的Q点． 21．（12分）如图，在△ABC中，AB﹣AC＝1，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12． （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC的长． 22．（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点，CD＝AE． （1）求证：DG⊥CE． （2）若AF＝EF，求∠B的度数． 23．（12分）如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数； （2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30，则△ABE的面积为_______ ． 24．（12分）现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明a2+b2＝c2． （2）如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是4，求（a+b）2的值． 25．（14分）如图，点A，B，C三点在一直线上，在BC同侧作△BCD、△BCE，若BE，CE分别平分∠ABD，∠BCD，过点B作∠CBD的平分线交CE于点F． （1）若BE∥CD，求证：BE＝BC； （2）已知∠E＝32°，求∠D的度数； （3）若BE∥CD，BD＝4，BF＝3，求线段CD的长． 26．（14分）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下探究： 【模型探究】 （1）如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE，易证△CEB全等于_________ ，进而可求出∠AEB的度数为_______ °； 【类比探究】 （2）在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是射线BM上一点． 若∠ABC＝∠ADB＝40°， ①如图2，当射线BM在∠ABC内部时，∠BDC的度数为________ °； ②如图3，当射线BM在BC下方时，∠BDC的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形ABCD中，AD＝5，CD＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD2＝_______ ． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026-2027学年江苏省 苏科版八年级（上） 期中测评 数学押题卷（二） 考试范围：第1~3章；考试时间：120分钟；总分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下面四个图中，线段AD是△ABC的高线的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列说法正确的是（　　） A． B．0的平方根是0 C． D．|﹣4|的平方根是2 3．（3分）给出下列四个数：，0，，0.1010010001，其中属于无理数的是（　　） A． B．0 C． D．0.1010010001 4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线DG，与边BC相交于点H．则∠CDH的大小为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 5．（3分）下列四组数中，不是勾股数的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝9，b＝12，c＝15 C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝3，b＝5，c＝7 6．（3分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，点D，E分别是边AB，AC上的动点，连结BE，CD交于点F，且∠BFD＝60°．作DG⊥BC于点G，EH⊥BC于点H．下列两条线段的和，不随D，E的运动而改变的是（　　） A．AE+BD B．DF+EF C．GH+AE D．DG+EH 7．（3分）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（　　） A．2cm＜x≤5cm B．3cm≤x≤6cm C．4cm＜x≤7cm D．5cm＜x≤8cm 8．（3分）如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，再将剪下的角展开，得到一个四边形，根据图中所给数据，下列判断正确的是（　　） 甲：展开后的图形是正方形； 乙：展开后的图形面积为36． A．甲、乙都不对 B．甲、乙都对 C．只有甲对 D．只有乙对 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 9．（3分）下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③a2的算术平方根是a；④（π﹣4）2的算术平方根是π﹣4；⑤算术平方根不可能是负数，其中，不正确的有 _________ （填序号）． 10．（3分）少年志在今年的积分卡兑礼活动中一共回收了1730468张积分卡，将1730468精确到千位可表示为______________ ． 11．（3分）已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长是15，那么△ABC的周长是_______ ． 12．（3分）如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是_____ 秒． 13．（3分）如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝8cm，△ABD的周长为25cm，求BC的长为 _________ ． 14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AB＝10，BC＝6时，阴影部分的面积为_______ ． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD与CE相交于点G，连接DE，过点D作DF⊥DE交CE于点F，连接AF，M为CE中点，连接DM．有下列四个结论：①AB＝CG；②BE＝DF；③S△DEG：S△DEB＝EG：BE；④AF＝2DM．其中正确的有 ________ （填写序号）． 16．（3分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，BC的垂直平分线分别交BC，DE于点F，G，且．若AE＝3，BE＝7，则DG的长为 _____ ． 17．（3分）如图，AB＝6，点C为线段AB上一个动点，在AB上方构造等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，∠ACD＝∠BCE＝90°，点F，G分别在边AD和BE上，且满足，则FG的最小值为 ________________ ． 18．（3分）如图，在数轴上点A表示的实数是_________________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题，满分96分） 19．（10分）（1）计算：； （2）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值． 20．（10分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，在网格中完成下列问题： （1）△ABC的面积为 _____ ； （2）仅用无刻度直尺完成作图． ①在图①中，在边BC上作出一点P，连接AP，使∠CAP＝∠ABC； ②在图②中，点Q在边BC上，请在BC上作出使AQBQ最小的Q点． 21．（12分）如图，在△ABC中，AB﹣AC＝1，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12． （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC的长． 22．（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点，CD＝AE． （1）求证：DG⊥CE． （2）若AF＝EF，求∠B的度数． 23．（12分）如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数； （2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30，则△ABE的面积为_______ ． 24．（12分）现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明a2+b2＝c2． （2）如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是4，求（a+b）2的值． 25．（14分）如图，点A，B，C三点在一直线上，在BC同侧作△BCD、△BCE，若BE，CE分别平分∠ABD，∠BCD，过点B作∠CBD的平分线交CE于点F． （1）若BE∥CD，求证：BE＝BC； （2）已知∠E＝32°，求∠D的度数； （3）若BE∥CD，BD＝4，BF＝3，求线段CD的长． 26．（14分）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下探究： 【模型探究】 （1）如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE，易证△CEB全等于_________ ，进而可求出∠AEB的度数为_______ °； 【类比探究】 （2）在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是射线BM上一点． 若∠ABC＝∠ADB＝40°， ①如图2，当射线BM在∠ABC内部时，∠BDC的度数为________ °； ②如图3，当射线BM在BC下方时，∠BDC的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形ABCD中，AD＝5，CD＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD2＝_______ ． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江苏省 苏科版八年级（上） 期中测评 数学押题卷（二） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A B D D B C 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下面四个图中，线段AD是△ABC的高线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于选项A，根据AD⊥BC得线段AD是△ABC的高线，由此可对该选项进行判断； 对于选项B，根据AD⊥AC但AD与BC不垂直得线段AD不是△ABC的高线，由此可对该选项进行判断； 对于选项C，根据AD⊥BD但AD与BC不垂直得线段AD不是△ABC的高线，由此可对该选项进行判断； 对于选项D，根据AD与BC不垂直得线段AD不是△ABC的高线，由此可对该选项进行判断，综上所述即可得出结论． 【解答】解：对于选项A， ∵AD⊥BC， ∴线段AD是△ABC的高线， 故选项A符合题意； 对于选项B， ∵AD⊥AC，但是AD与BC不垂直， ∴线段AD不是△ABC的高线， 故选项B不符合题意； 对于选项C， ∵AD⊥BD，但是AD与BC不垂直， ∴线段AD不是△ABC的高线， 故选项C不符合题意； 对于选项D， ∵AD与BC不垂直， ∴线段AD不是△ABC的高线， 故选项D不符合题意， 故选：A． 【点评】此题主要考查了三角形高的定义，准确识图，熟练掌握三角形高的定义是解决问题的关键． 2．（3分）下列说法正确的是（　　） A． B．0的平方根是0 C． D．|﹣4|的平方根是2 【答案】B 【分析】选项A混淆了平方根与算术平方根；选项C算术平方根结果应为正；选项D忽略了负平方根；选项B正确． 【解答】解：∵平方根有正负两个值（a＞0时）或0（a＝0时）． A：表示算术平方根，应为8，而非±8，所以此项错误，不符合题意； B：0的平方根是0，正确，所以此项正确，符合题意； C：，而非﹣2，所以此项错误，不符合题意； D：|﹣4|＝4，4的平方根是±2，选项说“是2”不完整，所以此项错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查平方根和算术平方根的概念．算术平方根是非负的，平方根有两个值（0除外），正确进行计算是解题关键． 3．（3分）给出下列四个数：，0，，0.1010010001，其中属于无理数的是（　　） A． B．0 C． D．0.1010010001 【答案】A 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【解答】解：无理数只有． 故选：A． 【点评】本题考查的是无理数的定义，算术平方根，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线DG，与边BC相交于点H．则∠CDH的大小为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠ABC＝∠C＝40°，从而利用角平分线的定义可得∠ABD＝20°，然后利用三角形的外角性质可得∠BDC＝120°，再由作图可得：∠BDH＝90°，从而进行计算即可解答． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠ABC＝∠C40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD∠ABC＝20°， ∵∠BDC是△ABD的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝120°， 由作图可得：HD⊥BF， ∴∠BDH＝90°， ∴∠CDH＝∠BDC﹣∠BDH＝30°， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 5．（3分）下列四组数中，不是勾股数的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝9，b＝12，c＝15 C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝3，b＝5，c＝7 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、∵32+42＝25＝52， ∴3，4，5是勾股数，不符合题意； B、∵92+122＝225＝152， ∴9，12，15是勾股数，不符合题意； C、∵52+122＝169＝132， ∴5，12，13是勾股数，不符合题意； D、∵32+52＝34≠72， ∴3，5，7不是勾股数，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数称为勾股数是解题的关键． 6．（3分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，点D，E分别是边AB，AC上的动点，连结BE，CD交于点F，且∠BFD＝60°．作DG⊥BC于点G，EH⊥BC于点H．下列两条线段的和，不随D，E的运动而改变的是（　　） A．AE+BD B．DF+EF C．GH+AE D．DG+EH 【答案】D 【分析】设BG＝a，在Rt△BDG中，∠BDG＝30°，则BD＝2BG＝2a，DG，证明△ABE和△BCD全等得BD＝AE＝2a，则CE＝AC﹣AE＝1﹣2a，在Rt△CEH中，根据∠CEH＝30°得CHCE，进而由勾股定理得EH，则DG+EH，据此即可得出答案． 【解答】解：设BG＝a， ∵△ABC是等边三角形，且边长为1， ∴AB＝BC＝AC＝1，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵DG⊥BC，EH⊥BC， ∴△BDG和△CEH都是直角三角形， 在Rt△BDG中，∠BDG＝90°﹣∠ABC＝30°， ∴BD＝2BG＝2a， 由勾股定理得：DG， ∵∠BFD是△FBC的外角，且∠BFD＝60°， ∴∠FBC+∠BCD＝60°， ∵∠ABE+∠FBC＝∠ABC＝60°， ∴∠ABE＝∠BCD， 在△ABE和△BCD中， ， ∴△ABE≌△BCD（ASA）， ∴BD＝AE＝2a， ∴CE＝AC﹣AE＝1﹣2a， 在Rt△CEH中，∠CEH＝90°﹣∠ACB＝30°， ∴CHCE， 由勾股定理得：EH， ∴EH）， ∴DG+EH， ∴DG+EH的值不随D，E的运动而改变，始终是． 故选：D． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活利用含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 7．（3分）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（　　） A．2cm＜x≤5cm B．3cm≤x≤6cm C．4cm＜x≤7cm D．5cm＜x≤8cm 【答案】B 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差． 【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm， ∴AC15cm， ∵18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）． 这支铅笔在笔筒外面部分长度在3cm≤x≤6cm． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题即解决． 8．（3分）如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，再将剪下的角展开，得到一个四边形，根据图中所给数据，下列判断正确的是（　　） 甲：展开后的图形是正方形； 乙：展开后的图形面积为36． A．甲、乙都不对 B．甲、乙都对 C．只有甲对 D．只有乙对 【答案】C 【分析】通过观察发现剪下的部分为一个等腰直角三角形，进而得到展开后的图形是正方形；通过题中数据可求该三角形面积，然后由折叠2次可知，展开图象面积为该三角形面积的4倍，即可求得结果． 【解答】解：观察发现剪下的部分为一个等腰直角三角形， ∴展开后的图形是4个该等腰直角三角形拼接而成， ∴展开后的图形是正方形； 由折叠2次可知，展开图象面积为该三角形面积的4倍， 所以剪下部分展开得到的四边形的面积为， ∴只有甲对． 故选：C． 【点评】本题考查了折叠问题，直角三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 9．（3分）下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③a2的算术平方根是a；④（π﹣4）2的算术平方根是π﹣4；⑤算术平方根不可能是负数，其中，不正确的有 　①②③④　 （填序号）． 【答案】①②③④． 【分析】根据任何一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，特别地，零的算术平方根仍旧是零逐一进行判断即可． 【解答】解：①负数没有平方根，故①错误； ②反例：0的算术平方根是0，故②错误； ③当a＜0时，a2的算术平方根是﹣a，故③错误； ④（π﹣4）2的算术平方根是4﹣π，故④错误； ⑤算术平方根不可能是负数，故⑤正确． 所以不正确的是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点评】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． 10．（3分）少年志在今年的积分卡兑礼活动中一共回收了1730468张积分卡，将1730468精确到千位可表示为　1.730×106 ． 【答案】1.730×106． 【分析】根据把一个数精确到哪一位，就在哪一位的下一位利用四舍五入法，进行求解即可． 【解答】解：精确到千位可表示为1.730×106； 故答案为：1.730×106． 【点评】本题考查求一个数的近似数，解题的关键是掌握科学记数法． 11．（3分）已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长是15，那么△ABC的周长是　15　 ． 【答案】15． 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，周长相等． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF， ∴△ABC的周长＝△DEF的周长． ∵△DEF的周长为15， ∴△ABC的周长为15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应边相等解答． 12．（3分）如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是　4　 秒． 【答案】4． 【分析】先证明∠C＝∠DMB，利用AAS证明Rt△ACM≌Rt△BMD，根据全等三角形的性质得到BD＝AM＝12米，进而可 求出个人运动到点M所用时间． 【解答】解：∵∠CMD＝90°， ∴∠CMA+∠DMB＝90°， 又∵∠CAM＝90°， ∴∠CMA+∠C＝90°， ∴∠C＝∠DMB（同角的余角相等）． 在Rt△ACM和Rt△BMD中， ， ∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS）， ∵BD＝12米， ∴BD＝AM＝12米（全等三角形对应边相等）， ∴BM＝20﹣12＝8（米）， ∵该人的运动速度为2m/s， ∴他到达点M时，运动时间为3÷2＝4（s）． 故答案为：4． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是求得Rt△ACM≌Rt△BMD． 13．（3分）如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝8cm，△ABD的周长为25cm，求BC的长为 　17cm ． 【答案】17cm． 【分析】由线段垂直平分线的性质推出CD＝AD，得到△ABD的周长＝AB+BC＝25cm，即可求出BC的长． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴CD＝AD， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝25cm， ∵AB＝8cm， ∴BC＝17cm， 故答案为：17cm． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出CD＝AD． 14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AB＝10，BC＝6时，阴影部分的面积为　24　 ． 【答案】24． 【分析】根据勾股定理求出AC的长，再分别求出以AC为直径的半圆的面积、以BC为直径的半圆的面积、以AB为直径的半圆的面积以及△ABC的面积，即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴AC8， 以AC为直径的半圆的面积π×（）2＝8π， 以BC为直径的半圆的面积π×（）2＝4.5π， 以AB为直径的半圆的面积π×（）2＝12.5π， S△ABCAC•BC8×6＝24， ∴S阴影＝8π+4.5π+24﹣12.5π＝24， 故答案为：24． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用以及半圆面积的计算，正确得出阴影部分面积的计算方法是解题的关键． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD与CE相交于点G，连接DE，过点D作DF⊥DE交CE于点F，连接AF，M为CE中点，连接DM．有下列四个结论：①AB＝CG；②BE＝DF；③S△DEG：S△DEB＝EG：BE；④AF＝2DM．其中正确的有 　①③④　 （填写序号）． 【答案】①③④． 【分析】①先证明∠BAD＝∠GCD，再证明△ADC是等腰直角三角形得AD＝CD，由此依据“ASA”判定△ADB和△CDG全等得AB＝CG，据此可对结论①进行判断；②先证∠EAD＝∠FCD，进而依据“ASA”判定△EDA和△FDC全等得DE＝DF，根据CE是AB边上的高得点E不一定是AB边的中点，进而得DE与BE不一定相等，继而得BD与DF不一定相等，据此可对结论②进行判断； ③过点D作DP⊥CE于点P，DQ⊥AB于点Q，证明△DEF是等腰直角三角形得∠DEF＝45°，进而得DE是∠CEB的平分线，则DP＝DQ，再由三角形面积公式可得出S△DEG：S△DEB＝EG：BE；据此可对结论③进行判断； ④延长DM到H，使HM＝DM，连接EH，CH，先判定四边形CDEH是平行四边形得DE＝CH＝DF，∠MCH＝∠DEF＝45°，设∠BAD＝∠GCD＝α，则∠DCH＝α+45°，再求出∠DEA＝135°得∠EDA＝45°﹣α，进而得∠ADF＝α+45°，由此得∠ADF＝∠DCH＝α+45°，继而依据“SAS”判定△ADF和△DCH全等得AF＝DH＝2DM，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵AD、CE分别是BC、AB边上的高， ∴∠CEB＝∠CEA＝∠ADB＝∠CDG＝90°， ∴△ADB，△CDG和△CBE是直角三角形， 在Rt△ABD中，∠BAD+∠B＝90°， 在Rt△CBE中，∠GCD+∠B＝90°， ∴∠BAD＝∠GCD， 在△ADC中，∠CDG＝90°，∠ACB＝45°， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴AD＝CD， 在△ADB和△CDG中， ， ∴△ADB≌△CDG（ASA）， ∴AB＝CG， 故结论①正确； ②∵DF⊥DE， ∴∠EDF＝∠CDG＝90°， ∴∠EDF﹣∠GDF＝∠CDG﹣∠GDF， ∴∠EDA＝∠FDC， ∵∠BAD＝∠GCD， ∴∠EAD＝∠FCD， 在△EDA和△FDC中， ， ∴△EDA≌△FDC（ASA）， ∴DE＝DF， ∵CE是AB边上的高， ∴点E不一定是AB边的中点， ∴DE不一定是Rt△ABD斜边上的中线， ∴DE与BE不一定相等， ∴BD与DF不一定相等， 故结论②不正确； ③过点D作DP⊥CE于点P，DQ⊥AB于点Q，如图1所示： 在△DEF中，∠EDF＝90°，DE＝DF， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴∠DEF＝45°， ∴∠BED＝∠CEB﹣∠DEF＝45°， ∴∠DEF＝∠BED＝45°， ∴DE是∠CEB的平分线， ∴DP＝DQ， 又∵S△DEGEG•DP，S△DEBBE•DQ， ∴S△DEG：S△DEB＝EG：BE； 故结论③正确； ④延长DM到H，使HM＝DM，连接EH，CH，如图2所示： ∴DH＝HM+DM＝2DM， ∵点M为CE中点， ∴CM＝EM， ∴四边形CDEH是平行四边形， ∴DE＝CH，∠MCH＝∠DEF＝45°， ∵DE＝DF， ∴DF＝CH， 设∠BAD＝∠GCD＝α， ∴∠DCH＝∠GCD+∠MCH＝α+45°， 在△EAD中，∠DEA＝∠DEF+∠CEA＝45°+90°＝135°， ∴∠EDA＝180°﹣（∠DEA+∠BAD）＝180°﹣（135°+α）＝45°﹣α， ∴∠ADF＝∠EDF﹣∠EDA＝90°﹣（45°﹣α）＝α+45°， ∴∠ADF＝∠DCH＝α+45°， 在△ADF和△DCH中， ， ∴△ADF≌△DCH（ASA）， ∴AF＝DH＝2DM， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 16．（3分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，BC的垂直平分线分别交BC，DE于点F，G，且．若AE＝3，BE＝7，则DG的长为 　2　 ． 【答案】2． 【分析】连接BG，CG，作CH⊥ED交ED的延长线于点H，则∠H＝∠AED＝∠BEG＝90°，由FG是BC的垂直平分线，FGBC，得∠BFG＝∠CFG＝90°，BG＝GC，FG＝FB＝FCBC，可证明∠BGC＝90°，推导出∠EBG＝∠HGC，由D是AC的中点，得AD＝CD，可证明△ADE≌△CDH，得AE＝CH＝3，DE＝DH，再证明△BEG≌△GHC，得BE＝GH＝7，GE＝CH＝3，则EH＝GH+GE＝10，求得DE＝DHEH＝5，所以DG＝GH﹣DH＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BG，CG，作CH⊥ED交ED的延长线于点H， ∵DE⊥AB于点E， ∴∠H＝∠AED＝∠BEG＝90°， ∵FG是BC的垂直平分线，FGBC， ∴∠BFG＝∠CFG＝90°，BG＝GC，FG＝FB＝FCBC， ∴∠FGB＝∠FBG＝∠FGC＝∠FCG＝45°， ∴∠BGC＝2∠FGB＝90°， ∴∠EBG＝∠HGC＝90°﹣∠BGE， ∵D是AC的中点， ∴AD＝CD， 在△ADE和△CDH中， ， ∴△ADE≌△CDH（AAS）， ∴AE＝CH＝3，DE＝DH， 在△BEG和△GHC中， ， ∴△BEG≌△GHC（AAS）， ∴BE＝GH＝7，GE＝CH＝3， ∴EH＝GH+GE＝10， ∴DE＝DHEH＝5， ∴DG＝GH﹣DH＝2， 故答案为：2． 【点评】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 17．（3分）如图，AB＝6，点C为线段AB上一个动点，在AB上方构造等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，∠ACD＝∠BCE＝90°，点F，G分别在边AD和BE上，且满足，则FG的最小值为 　　 ． 【答案】． 【分析】过点F作FHAB于H，过点G作GK⊥AB于K，过点F作FL⊥GK于L，则四边形FHKL为矩形，证明△AHF∽△ACD得AH＝FHAC，同理得BK＝GKBC，设BC＝x，则AC＝AB﹣BC＝6﹣x，AH＝FH，BK＝GK，进而得FL＝HK，GL＝|GK﹣KL|＝|x﹣2|，再由勾股定理得FG2＝FL2+GL2，由此可得出FG2为最小，进而可得FG的最小值． 【解答】解：过点F作FHAB于H，过点G作GK⊥AB于K，过点F作FL⊥GK于L，如图所示： 则四边形FHKL为矩形， ∴FL＝HK，FH＝KL， ∵△ACD为等腰直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴AC＝DC，∠A＝45°， ∵FH⊥AB， ∴△AHF为等腰直角三角形，即FH＝AH， ∵FH⊥AB，∠ACD＝90°， ∴FH∥CD， ∴△AHF∽△ACD， ∴， ∴AH＝FHAC， 同理：△BKG∽△BCE， ∴， ∴BK＝GKBC， 设BC＝x，则AC＝AB﹣BC＝6﹣x， ∴AH＝FHAC，BK＝GKBC， ∴FL＝HK＝AB﹣AH﹣BK， GL＝|GK﹣KL||x﹣2|， 在Rt△FGL中，由勾股定理得：FG2＝FL2+GL2， 即FG2， 整理得：FG2， ∴当x＝3时，FG2为最小，最小值为10， ∴FG的最小值为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，设置适当的未知数，灵活运用勾股定理用代数式表示出FG是解决问题的关键． 18．（3分）如图，在数轴上点A表示的实数是　1　 ． 【答案】1． 【分析】先用勾股定理求出斜边（圆弧半径），圆心对应数轴数﹣1，点A表示的数等于圆心代表的数加上半径． 【解答】解：由题意，∵直角三角形两条直角边：1、2， 斜边， 圆弧半径就是． ∵圆心在数轴上的数﹣1，向右画圆弧交数轴A点． ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键． 三．解答题（共8小题，满分96分） 19．（10分）（1）计算：； （2）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）2． 【分析】（1）根据实数的运算法则，负整数指数幂的运算法则进行计算； （2）根据整式的运算法则进行计算． 【解答】解：（1）原式； （2） ， ∵x+2y﹣1＝0， ∴x+2 y ＝ 1， ∴． 【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，掌握相应的运算法则是关键． 20．（10分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，在网格中完成下列问题： （1）△ABC的面积为 　7　 ； （2）仅用无刻度直尺完成作图． ①在图①中，在边BC上作出一点P，连接AP，使∠CAP＝∠ABC； ②在图②中，点Q在边BC上，请在BC上作出使AQBQ最小的Q点． 【答案】（1）7； （2）①如图①， 且BC的中点，则∠CAP＝∠ABC； ②如图②，取格点D，连接BD，QE格点E，连接AE，交BC于Q， 则点Q就是求作的点． 【分析】（1）3×5的矩形的面积减去三个直角三角形的面积得出结果； （2）①可得出△ACP∽△BCA，此时AC2＝BC•CP，AC，BC＝2，从而得出CP，故取BC的中点即为点P； ②sin∠CBD，作QE⊥BD于点E，此时BQ＝EQ，故当A、Q、E共线时，AQBQ最小，过作AE⊥BD交BC于Q． 【解答】解：（1）S△ABC＝37， 故答案为：7； （2）①如图①， 且BC的中点，则∠CAP＝∠ABC； ②如图②，取格点D，连接BD，QE格点E，连接AE，交BC于Q， 则点Q就是求作的点． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数定义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 21．（12分）如图，在△ABC中，AB﹣AC＝1，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12． （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC的长． 【答案】（1）∵BC＝15，BD＝9，CD＝12， ∴BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2， ∴∠CDB＝90°， ∴CD⊥AB； （2）13． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵BC＝15，BD＝9，CD＝12， ∴BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2， ∴∠CDB＝90°， ∴CD⊥AB； （2）解：∵AB﹣AC＝1， ∴AC＝AB﹣1＝AD+BD﹣1＝AD+8， ∵∠ADC＝90°， ∴AC2＝AD2+CD2， ∴（AD+8）2＝AD2+122， ∴AD＝5， ∴AC＝5+8＝13． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 22．（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点，CD＝AE． （1）求证：DG⊥CE． （2）若AF＝EF，求∠B的度数． 【答案】（1）见解析； （2）36°． 【分析】（1）连接DE，根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等量代换得到DE＝CD，根据等腰三角形的性质得到结论． （2）根据余角的性质得到∠B+∠BAD＝90°，求得∠BAD＝90°﹣∠B，根据等腰三角形的性质得到∠AEF＝∠BAF＝90°﹣∠B，∠DEC＝∠ECD，设∠DEC＝∠ECD＝α，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接DE， ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADB＝90°， ∵DE是AB边上的中线， ∴BE， ∵AE＝CD， ∴DE＝CD， ∵点G为CE的中点， ∴DG⊥CE． （2）解：连接DE， 则DE＝AE＝CD， ∵点G为CE的中点， ∴DG⊥CE， ∵BE＝DE，EF＝AF， ∴∠B＝∠BDE， 设∠B＝∠BDE＝x，则∠AED＝2x，∠AEF＝y， ∴∠DEF＝2x﹣y， ∵DE＝DC， ∴∠DEF∠BDEx， ∴2x﹣yx， ∴yx， ∴xx＝90°， ∴x＝36°， ∴∠B＝36°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 23．（12分）如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数； （2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30，则△ABE的面积为　18　 ． 【答案】（1）22°； （2）18． 【分析】（1）根据角平分线的定义进行计算即可； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵AF⊥BC，∠BAF＝54°， ∴∠ABF＝90°﹣54°＝36°． ∵BE平分∠ABF， ∴∠ABE∠ABF＝18°． ∵∠BED＝40°， ∴∠BAD＝∠BED﹣∠ABE＝40°﹣18°＝22°； （2）∵AD是△ABC的中线且△ACD的面积是30， ∴S△ABD＝S△ACD＝30． ∵DE：AE＝2：3， ∴． 故答案为：18． 【点评】本题主要考查了角平分的性质，熟知角平分线的定义及性质是解题的关键． 24．（12分）现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明a2+b2＝c2． （2）如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是4，求（a+b）2的值． 【答案】（1）见解答； （2）20． 【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式． （2）根据完全平方公式的变形解答即可． 【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2， ∴c2＝4ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2； （2）由图可知，（b﹣a）2＝4，4ab＝12﹣4＝8， ∴ab＝4， ∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝4+16＝20． 【点评】本题考查了对勾股定理的证明以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． 25．（14分）如图，点A，B，C三点在一直线上，在BC同侧作△BCD、△BCE，若BE，CE分别平分∠ABD，∠BCD，过点B作∠CBD的平分线交CE于点F． （1）若BE∥CD，求证：BE＝BC； （2）已知∠E＝32°，求∠D的度数； （3）若BE∥CD，BD＝4，BF＝3，求线段CD的长． 【答案】（1）证明见解答． （2）64°． （3）． 【分析】（1）利用角平分线的定义，平分线的性质即可证明； （2）利用角平分线的性质即可解答． （3）延长BF交DC于G，作BH⊥EC于H，由勾股定理求出CF的长，列方程求出FG，再由勾股定理求出CG的长，即可解答． 【解答】（1）证明：∵CE平分∠BCD， ∴∠DCE＝∠BCE， ∵BE∥CD， ∴∠DCE＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BC＝BE． （2）解：∵BE，CE分别平分∠ABD，∠BCD， ∴∠EBD∠ABD，∠DCE∠BCD， ∵∠ABD＝∠D+∠DCB， ∴∠EBD∠D∠DCB， ∵∠E+∠EBD＝∠D+∠DCE， ∴∠E∠D∠DCB＝∠D∠BCD， ∴∠D＝2∠E＝64°． （3）解：如图，延长BF交DC于G，作BH⊥EC于H， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠DBE， ∵BE∥CD， ∴∠ABE＝∠BCD，∠DBE＝∠D， ∴∠BCD＝∠D， ∴BC＝BD＝4， ∵∠EBD∠ABD，∠DBF∠DBC． ∴∠EBD+∠DBF（∠ABD+∠DBC）． ∴∠EBF90°． ∴EF5． ∵EF•BH＝BE•BF． ∴5BH＝4×3． ∴BH， ∴EH， ∴， ∴， ∴， ∵CG2＝BC2﹣BG2＝FC2﹣FG2， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 26．（14分）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下探究： 【模型探究】 （1）如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE，易证△CEB全等于　△CDA ，进而可求出∠AEB的度数为　60　 °； 【类比探究】 （2）在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是射线BM上一点． 若∠ABC＝∠ADB＝40°， ①如图2，当射线BM在∠ABC内部时，∠BDC的度数为　100　 °； ②如图3，当射线BM在BC下方时，∠BDC的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形ABCD中，AD＝5，CD＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD2＝　66　 ． 【答案】（1）△CDA；60； （2）①100； ②改变；∠BDC＝80°； （3）66． 【分析】（1）根据“SAS”证明△CEB≌△CDA；求出∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，即可得出∠AEB＝∠CEB﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°； （2）①在BD上取点N，使AN＝AD，连接AN，证明△BAN≌△CAD（SAS），得出∠ADC＝∠ANB＝140°，即可求出结果； ②延长DB，在DB的延长线上取点N，使AN＝AD，连接AN，证明△BAN≌△CAD（SAS），得出∠ADC＝∠ANB＝40°，求出∠BDC＝∠ADC+∠ADB＝40°+40°＝80°； （3）过点A作AE⊥AD，截取AE＝AD＝5，连接CE、DE，证明△BAD≌△CAE（SAS），得出BD＝CE，证明△CDE为直角三角形，求出CE2＝CD2+DE2＝42+50＝66即可． 【解答】解：（1）∵△ABC和△DCE均为等边三角形， ∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°， ∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△CEB和△CDA中， ， ∴△CEB≌△CDA（SAS）； ∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°， ∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°， 故答案为：△CDA；60； （2）①在BD上取点N，使AN＝AD，连接AN，如图2， ∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∵AN＝AD， ∴∠AND＝∠ADN＝40°， ∴∠DAN＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∠ANB＝180°﹣40°＝140°， ∴∠BAC＝∠DAN， ∴∠BAN+∠NAD＝∠NAD+∠CAD， ∴∠BAN＝∠CAD， ∴△BAN≌△CAD（SAS）， ∴∠ADC＝∠ANB＝140°， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝140°﹣40°＝100°， 故答案为：100； ②∠BDC的度数会发生变化；理由如下： 延长DB，在DB的延长线上取点N，使AN＝AD，连接AN，如图3， ∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∵AN＝AD， ∴∠AND＝∠ADN＝40°， ∴∠DAN＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BAC＝∠DAN， ∴∠BAN+∠BAD＝∠BAD+∠DAC， ∴∠BAN＝∠DAC， ∴△BAN≌△CAD（SAS）， ∴∠ADC＝∠ANB＝40°， ∴∠BDC＝∠ADC+∠ADB＝40°+40°＝80°； （3）解：过点A作AE⊥AD，截取AE＝AD＝5，连接CE、DE，如图4， 则∠DAE＝90°，DE2＝AD2+AE2＝52+52＝50， ∵∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴AC＝AB，∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE， 即∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE， ∵AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝45°+45°＝90°， ∴△CDE为直角三角形， ∴CE2＝CD2+DE2＝42+50＝66， ∴BD2＝CE2＝66， 故答案为：66． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $