2026-2027学年高一数学上学期期中考试模拟卷（人教A版提优挑战适用 ）

2026-2027学年高一数学上学期期中考试模拟卷（人教A版提优挑战适用 ） 范围：高中数学人教A版必修一前三章+4.1及4.2 考试注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题：，，：，，若命题和有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知非零实数，，则“”是“”的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．已知，，若不等式恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．5 B．4 C．20 D．25 4．若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．函数在上的值域是，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 6．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 7．已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 8．设函数，则满足的实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列判断正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．下列命题正确的是 （   ） A．“”是“”的充分不必要条件， B．， 是真命题， C．如果集合 满足 ，则满足条件的集合 的个数为， D．“”的充要条件是，都不为. 11．下列选项正确的是（     ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 D．函数的值域为 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 13．若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 14．已知对任意，记表示不大于的最大整数，如，．设，若，则不等式的解集为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）计算: （2）计算: . 16．（15分）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．（15分）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)解不等式． 18．（17分）二次函数满足且． (1)求的解析式； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． (3)令，函数在区间上的最小值为，最大值为，求． 19．（17分）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中考试模拟卷（人教A版提优挑战适用 ） 范围：高中数学人教A版必修一前三章+4.1及4.2 考试注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题：，，：，，若命题和有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先结合判别式法求出命题真假时的参数范围，再分类一真一假计算求解. 【详解】命题：，，当命题为真时，，即； ：，，当命题为真时，， 即或； 当命题为假时，；当命题为假时，即； 命题是真命题，是假命题时，； 命题是真命题，是假命题时，； 若命题和有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围为 2．已知非零实数，，则“”是“”的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【详解】当时，，当时，，当时，，因此不能推出，充分性不成立， 反之，同理当时，，但当时，，因此不能推出，必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件. 3．已知，，若不等式恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．5 B．4 C．20 D．25 【答案】A 【分析】将原不等式变形为恒成立，利用基本不等式求出右侧表达式的最小值，即可得到的最大值. 【详解】已知，故，原不等式恒成立等价于恒成立. 设，展开得： ， 由基本不等式，对正实数，有，当且仅当即时等号成立. 因此的最小值为，故，解得，即的最大值为5. 4．若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，转化为不等式在区间上有解，利用基本不等式，求得最小值，得出的取值范围，即可得到答案. 【详解】由题意知，不等式在区间上有解， 即不等式在区间上有解， ， 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为， 所以，解得，所以实数的最小值为. 5．函数在上的值域是，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的图像和性质求解. 【详解】， 对称轴为，， 函数在上的值域是， 则必须在区间内，可得， 当时，解得， 解得或， 要保证最小值恰为（不更低），左端点处需满足， ， 则且，实数的取值范围为， 即实数的取值集合为. 6．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用题设条件推出4是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得. 【详解】因为为奇函数，则， 又因为为偶函数，所以，则有， 故得，即得， 故4是函数的一个周期. 又是上的奇函数，故，解得， 即当时，， 所以. 7．已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【详解】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 8．设函数，则满足的实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数、指数函数和对勾函数的性质可得函数在上单调递增，且有，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】当时， 单调递增，所以； 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 令，则， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以当时，单调递增，且， 所以函数在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 又因为，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列判断正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，因为在上单调递增， 由可得，故A正确； 对于B，，，， 所以，故B正确； 对于C，若，则， ，当且仅当， 即时取等，故C错误； 对于D，若， 则， 当且仅当时取等，即时取等，故D正确. 10．下列命题正确的是 （   ） A．“”是“”的充分不必要条件， B．， 是真命题， C．如果集合 满足 ，则满足条件的集合 的个数为， D．“”的充要条件是，都不为. 【答案】ACD 【详解】A项：，反之不成立（如 ）满足，不满足，充分不必要条件，正确； B项：，方程无解，命题为假，错误； C项： 必含 ，还可从 中任选若干个，共 个，去掉 等于全集的情形，得 个，正确； D项： 且 ，正确． 11．下列选项正确的是（     ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】选项A，根据抽象函数的定义域求解即可；选项B，采用换元法，结合二次函数的性质求解即可；选项C，根据函数的单调性列不等式组求解即可；选项D，通过分离常数法求值域即可. 【详解】选项A：已知的定义域为，则需满足， 解不等式得，故的定义域为，A正确. 选项B：令，则， 代入函数得，该二次函数开口向下，对称轴为， 当时取最大值，时， 故值域为，B正确. 选项C：由题意得，解得，故实数的取值范围为，C错误. 选项D：函数变形为，由于，故，值域为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 13．若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 【答案】 【详解】在同一坐标系内作出直线， 则函数的图象如图中实线部分所示， 观察图象得函数图象的最低点为， 所以函数的最小值为3. 14．已知对任意，记表示不大于的最大整数，如，．设，若，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】根据取整函数的定义，将定义域分为和两个区间讨论，分别代入不等式求解后取并集即可. 【详解】根据题意，因为，所以. 所以原不等式变为，即. 因为，所以分两种情况： 情况1：当时，不大于的最大整数， 此时小数部分，代入化简后的不等式得： ，整理得，解得. 结合，代入得，即. 结合当前区间，此部分解集为. 情况2：当时，不大于的最大整数，此时小数部分. 代入化简后的不等式，得. 结合当前区间，此部分的解集为. 综上：不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）计算: （2）计算: . 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据次根式的性质化简即可； （2）根据分数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】(1)由得： 故原式 (2) 原式== 16．（15分）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，结合和分情况列不等式（组）求解即可. （2）由是的充分不必要条件得到是的真子集，结合和分情况列不等式（组）求解即可. 【详解】（1）若时， ①当时，即，可得； ②当时，需满足或， 解得（舍）或，即. 所以时，实数的取值范围为或． （2）若是的充分不必要条件，所以是的真子集． ①当时，有，可得； ②当时，需满足，解得， 综上，实数的取值范围为． 17．（15分）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)解不等式． 【答案】(1) (2)当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【分析】（1）化为恒成立，分 与两种情况讨论，结合二次函数恒成立问题运算求解即可； （2）因式分解得，分类讨论最高项系数以及根的大小解不等式即可． 【详解】（1）由恒成立得，整理得， 当时，则恒成立，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述：实数的取值范围为． （2）不等式即，可得， 若，原不等式为，解得； 若，令，解得或， 当时，则，解得； 当时，则， 若，则，解得或； 若，可得，解得； 若，则，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 18．（17分）二次函数满足且． (1)求的解析式； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． (3)令，函数在区间上的最小值为，最大值为，求． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设出，求出，用待定系数法求出函数； （2）由恒成立，得到恒成立，利用对勾函数的性质求的最小值，即可得解； （3）根据题意，，分，和研究二次函数最值，进行求解. 【详解】（1）设，． 则． 从而，， 又， ， 又， ． （2）因为当时，不等式恒成立， 所以在上恒成立． 因为， 当且仅当，即时等号成立， 由于，所以在上单调递增， 所以在上， 所以. （3）根据题意，， 当时，函数在上单调递减， 所以，， 两式相减，得，代入解得， 所以区间为； 当时，函数在上单调递增， 所以，， 由于方程的两根为和， 而，故无解； 当时，函数在上先增后减， 则，所以， 此时， 所以，解得， 所以区间为， 综上所述，区间为或. 19．（17分）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2)在上单调递减， 证明：，设， , 因为，则，，， 所以，即，所以函数在上单调递减． (3) 【分析】（1）根据求出，再证明时，即可得解； （2）设，利用作差法证明，即可证明在上单调递减； （3）利用函数的奇偶性和单调性可将不等式化为，令，不等式化为，再令，不等式可化为，利用单调性求出的最小值，即可求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即，得， 当时，， ，为奇函数，符合题意， 故. （2）略. （3）不等式， 由奇函数得， 因为函数在上单调递减，所以， 令，则， 整理得，则恒成立， 设， 则，当且仅当，即时取等号， 因为，所以恒成立， 因为在上单调递增，所以， 所以的最大值是1，所以， 所以实数的取值范围是． 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $