精品解析：河南省南阳市民进学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度高一上学期数学期中考试 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 若幂函数为奇函数，则实数（ ） A. 4 B. 3 C. D. 或4 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，求出的值，再根据函数为奇函数确定的值. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，，是奇函数， 当时，，，是偶函数， 所以. 故选：C 2. 已知函数，且对于任意的，有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件得到分段函数在上单调递增，从而要求每段上都单调递增，且分段点左侧函数的函数值小于等于右侧函数的函数值，列出不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：B 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，又， 所以. 故选：A. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定函数有意义列出不等式组，再求解即得定义域. 【详解】由函数有意义，得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：B 5. 设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数定义得到方程，结合函数图象经过原点求得函数解析式，由不等式的性质得到的大小关系，利用函数的单调性即可得结果. 【详解】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以． 故选：A． 6. 小张、小胡两人解关于x的不等式，小张写错了常数b，得到的解集为；小胡写错了常数c，得到的解集为，则原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，结合韦达定理即可得解. 【详解】因为小张写错了常数，得到的解集为，所以， 小胡写错了常数，得到的解集为，所以，解得， 所以原不等式为，解得， 即原不等式的解集为. 故选：B. 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. （2，3） D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式不等式解法计算即可求解. 【详解】原不等式等价于，即， 因为，所以， 即，解得或， 所以不等式解集为. 故选：D. 8. 设实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，再通过同号，和异号，利用基本不等式即可求解. 【详解】由，则， 当同号时，由，当且仅当时，取等号， 当异号时，由，当且仅当时，取等号， 综上的范围为， 故选：A 二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分） 9. 对于实数，，，正确的命题是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则， D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，.故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ABD 10. 已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和对称性逐一推理判断各选项即可. 【详解】对于A，由可得，故的图象关于中心对称，即A正确； 对于B，在中，取，，解得， 因是上的偶函数，故，故B正确； 对于C，因是上的偶函数，则， 由可得，故有， 假设是偶函数，则，故有， 即，也即恒成立，而由题意此式并不一定恒成立，故假设不成立，即C错误； 对于D，由，故为奇函数，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　） A. B. C. 8 D. 16 【答案】CD 【解析】 【分析】将方程有根问题转化为函数交点问题，在结合图象建立不等式，求解参数值即可. 【详解】如图，作出函数的大致图象， 由，可得. 由图可知，与有且两个不同的交点， 即方程有两个不等的实根， 而方程有三个不等的实根 得到方程有且只有一个实根， 即与有且只有一个交点， 故或，解得或. 故选：CD. 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分） 12. 已知函数且，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数奇偶性性质和定义可以得到 ,，代入不等式后，利用换元法将不等式化为在上恒成立，再借助双勾函数的图像性质可以得到的最大值，进而得到. 【详解】由已知得，为奇函数，为偶函数， 所以， 联立解得 ,， 代入不等式得：在上恒成立． 令，则， 则不等式可化为，即， 恒成立． 令，则， 所以在单调递增，所以， 所以，，即，即有． 故答案为：． 13. 已知，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，将条件代入所求，即可得答案. 【详解】由题意， 由，得， 又， 故，即． 故答案为： 14. 不等式的解集是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式与一元二次不等式之间的转化，即可根据一元二次不等式进行求解. 【详解】由，得，解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），的值分别为，，或，. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得值； （2）由判别式可得． 【小问1详解】 由题意可知，，1是方程的两根， 所以，， 解得，或，. 故，的值分别为，，或，. 【小问2详解】 当时，， 若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点， 则， 即，解得， 故的取值范围是. 16. 已知函数是奇函数，且． （1）求和的值， （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）在上单调递增，证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数和即可求得和的值； （2）根据函数单调性的定义即可证明函数单调性； （3）运用函数的单调性和奇函数的性质，结合常变量分离法、换元法、构造函数法进行求解即可. 【小问1详解】 由题意知是定义在上的奇函数，所以， 解得， 当时，，所以， 所以是奇函数，满足题意． 又，即，解得（舍去）或． 【小问2详解】 在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 又，所以，，，所以，即，所以在上单调递增． 【小问3详解】 若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令， 令，由（2）可知为增函数，又， 所以，所以，所以， 所以， 解得，即的取值范围是． 17. 已知函数的定义域为D，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为（），则称为的一个“k倍值区间”. （1）若函数的一个“1倍值区间”为，且，请写出一个满足题意的的解析式； （2）若为函数的一个“4倍值区间”，求实数a的取值集合； （3）判断函数是否存在“k倍值区间”，若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用幂函数的性质结合新定义分析即可； （2）利用二次函数的图象与性质结合新定义建立方程组计算即可； （3）利用反比例函数的图象与性质结合图象变换作出函数大致图象，分类讨论将问题化为的解问题，根据一元二次方程根的分布计算即可. 【小问1详解】 由新定义，不妨取，该函数R上单调递增， 即当时，， 所以满足题意的的解析式可以为.（答案不唯一，满足题意即可） 【小问2详解】 因为为函数的一个“4倍值区间”， 所以当时，的值域为， 又的图象开口向下，对称轴为，所以， 所以，所以. 所以在上单调递增，则，解得，， 所以实数a的取值集合为. 【小问3详解】 函数存在“k倍值区间”. 易知，作出的大致图象如下， 显然的定义域为， 在上单调递减，在，上单调递增，且. 不妨设的“k倍值区间”为（）， 则当时，的值域为（）. 由的定义域可知，所以，即，所以， 显然在的单调增区间内，即，或， 所以， 所以c，d为方程，即关于x的方程的两个不同的实数根， 因为，对称轴， 所以关于x的方程在上有两个不同的实数根， 所以，解得. 所以函数存在“k倍值区间”，且k的取值范围是. 18. 函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）证明：任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得，求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. 19. 已知函数为奇函数. （1）求； （2）判断的单调性并证明； （3）若使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由求得，并验证即可； （2）由单调性的定义即可求证； （3）由函数单调性得到，，再结合讨论二次函数单调性求最值即可求解. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，且定义域为， ， ， 当时，，满足，故. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增. 证明：，且， ， 在上单调递增，， 又， ，即， 在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知在上单调递增， ，即， 设，则由题意知时，. 当，即时，在上单调递增， ， 由得， . 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， ， 由得， . 当，即时，在上单调递减， ， 由得， . 综上,的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一上学期数学期中考试 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 若幂函数为奇函数，则实数（ ） A. 4 B. 3 C. D. 或4 2. 已知函数，且对于任意的，有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 小张、小胡两人解关于x的不等式，小张写错了常数b，得到的解集为；小胡写错了常数c，得到的解集为，则原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. （2，3） D. 8. 设实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分） 9. 对于实数，，，正确的命题是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则， D. 若，，则 10. 已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 11. 已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　） A. B. C. 8 D. 16 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分） 12. 已知函数且，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 13. 已知，，则的取值范围为________． 14. 不等式的解集是_____. 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 16. 已知函数是奇函数，且． （1）求和的值， （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围． 17. 已知函数的定义域为D，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为（），则称为的一个“k倍值区间”. （1）若函数的一个“1倍值区间”为，且，请写出一个满足题意的的解析式； （2）若为函数的一个“4倍值区间”，求实数a的取值集合； （3）判断函数是否存在“k倍值区间”，若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 18. 函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 19. 已知函数为奇函数. （1）求； （2）判断的单调性并证明； （3）若使成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $