2026-2027学年上海市沪教版（五四制）数学八年级上册 期中培优卷

2026-2027学年 沪教版（五四制）八年级第一学期 数学期中培优卷 一、选择题 1. 据统计，某文化场馆在2024年全网数字文化服务中，累计线上浏览量超 亿人次，移动端互动量最高近 万人次．下列说法错误的是（　　） A. 亿用科学记数法表示为 B. 万用科学记数法表示为 C. 亿与 万的差用科学记数法表示为 D. 亿与 万的和用科学记数法表示为 2. 在非物质文化遗产竹编技艺的体验课上，同学们制作了一款圆形竹托盘，其盘面面积为 （注： 取 ）．下列关于这个竹托盘半径的说法正确的是（　　） A. 在 之间 B. 在 之间 C. 在 之间 D. 在 之间 3. 已知实数 满足 ，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 已知实数 满足 ，则代数式 的值为（　　） A. B. C. 或 D. 、 或 5. 在综合实践活动课上，同学们设计制作三角形模型。现有四组不同长度的细木条（单位：），其中能够首尾顺次相接围成三角形的是（　　） ，， ，， ，， ，， 6. 如图，一个由 个大小相同的小正方体拼成的大正方体积木玩具，已知该大正方体积木玩具的总体积为 ，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的棱长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 7. 在数轴上，表示实数 的点到原点的距离是________；实数 的相反数是________． 8. 计算：________． 9. 若关于 的方程 是一元二次方程，则 ________． 10. 已知实数 ，化简：________． 11. 已知下列命题： ①若实数 满足 ，则关于 的一元二次方程 必有两个不相等的实数根； ②若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则关于 的一元二次方程 也必有两个不相等的实数根； ③若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是 且 ； ④对任意实数 ，关于 的一元二次方程 总有两个不相等的实数根． 以上命题中，正确的是________．（填写所有正确命题的序号） 12. 已知 ，．若 ，则 ________． 13. 一只小虫在数轴上爬行，它从表示实数 的点 出发，沿数轴爬行 个单位长度到达点 ，则点 表示的实数是________． 14. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ________． 15. 规定一种新的运算符号：．例如：．若关于 的方程 ，则该方程的解为________． 16. 已知实数 、 满足 ，若一次函数 的图像经过点 ，则 ________． 17. 若代数式 有意义，则实数 的取值范围是________． 18. 为了简洁、明确地表示代数运算，我国近代数学家李善兰在与伟烈亚力合译《代数备旨》等著作时，首创了许多数学符号与译名，用“甲、乙、丙”代表已知正数 ，用“天、地、人”代表正数元 ，并用“根号”表示算术平方根．他在书中把图 1 所示题目翻译为：（化简后为 ）．按此规则，图 2 所示题目（字母代表正数）的最终计算结果为________． 三、计算题 19. 计算： （1）； （2）（其中 ，）． 20. 解下列不等式或方程： （1）解不等式：； （2）解方程：． 21. 先化简，再求值： （1），其中 ，； （2），其中 ，． 21. 用公式法解下列方程： （1）； （2）。 22. 用配方法解下列方程： （1）； （2）。 四、解答题 24. 已知关于 的一元二次方程 ，其中一个根为 。 （1）求 的值； （2）解关于 的一元二次方程：。 25. 现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图 1 所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为 ， 和 的正方形木板 ，，. （1）木板①中截出的正方形木板 的边长为________；（直接填写） （2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； （3）乙木工想采用如图 2 所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为 的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由. 五、综合与实践 26. 行车安全关乎生命财产安全．在交通安全综合实践活动中，某数学兴趣小组探究汽车刹车距离与车速的关系．查阅资料得知：某型号小汽车在某干燥路面上紧急刹车时，滑行距离 （单位：）与刹车前的车速 （单位：）近似满足公式：． （注：刹车滑行距离是指驾驶员踩下刹车到车辆完全停下所滑行的距离） （1）在一次测试中，测得该车的刹车滑行距离 ，求汽车刹车前的车速 ； （2）小明说：“如果车速翻倍，那么刹车滑行距离也会翻倍．”他的说法正确吗？请说明理由； （3）在某社区道路上，机动车限速为 ．实际驾驶中，驾驶员从发现危险到踩下刹车存在反应时间（记为 秒），在反应时间内汽车按原速匀速行驶，这一过程行驶的距离称为“反应距离”；从发现危险到汽车完全停下的全程距离称为“安全停车距离”，即：安全停车距离 反应距离 刹车滑行距离． 已知该车驾驶员的反应时间为 （提示：）． ① 若汽车以该路段最高限速 行驶，求该车的安全停车距离； ② 结合上述计算，请从交通安全的角度谈谈你得到的启示． 27. 某校初二年级“未来创客社团”开展“校园劳动实践基地设施优化与成本控制”综合实践活动．在方案设计环节中，同学们发现实际规划中的绿化覆盖面积、材料费用预算等指标均可转化为二次代数式，并可借助“配方法”探寻最优设计． 以下是社团数学探究小组整理的研讨材料片段： 对于二次代数式，可以通过配方转化为含有完全平方式的形式． 例如，代数式 ．因为不论 取何实数，总有 ，所以 ．当 时，该代数式取得最小值 4． 类似地，对于代数式 ，因为不论 取何实数，总有 ，所以 ．当 时，该代数式取得最大值 5． 利用完全平方式的“非负性”，不仅能确定代数式的最值，还可以通过“作差配方法”比较不同规划方案指标的大小． 请仔细阅读材料，运用其中的方法解决以下实践探究任务： （1）【信息提取与方法验证】在实践园地的自动喷灌系统设计中，喷头的有效覆盖面积与水压调节参数 （）满足关系式 ．请利用材料中的配方法，求当 为何值时，喷灌有效覆盖面积 取得最大值，最大值是多少？ （2）【数据分析与方案比较】为了美化园地，社团设计了甲、乙两种围栏修建方案．已知根据围栏周长 （单位：米，），方案甲的总预算费用为 （单位：元），方案乙的总预算费用为 （单位：元）．请利用作差配方法比较方案甲与方案乙的预算费用 与 的大小，并说明理由． （3）【方案决策与实践建议】基于上述分析，如果学校规划的围栏周长为 米，且已知方案甲使用的围栏材料具有更好的耐用性和防腐性能，请你从成本与性能的综合角度，向学校给出推荐方案并说明理由；若围栏周长 米，在资金预算严格受限的条件下，又应优先选择哪种方案？ 参考答案与解析 1. 答案：D. 亿与 万的和用科学记数法表示为 解析：由题意逐项分析： 对于 A 项， 亿 ，故 A 项说法正确； 对于 B 项， 万 ，故 B 项说法正确； 对于 C 项， 亿与 万的差为 万 万 万 ，故 C 项说法正确； 对于 D 项， 亿与 万的和为 万 万 万 。 科学记数法的表示形式为 （其中 ， 为整数），而 中 ，不符合科学记数法的要求，故 D 项说法错误。 故选 D。 2. 答案：C. 在 之间 解析：设圆形竹托盘的半径为 （）． 根据圆的面积公式得： 将 ， 代入，得： 解得： 因为 ，所以 ． 因为 ，，且 ， 所以 ，即 ． 因此，竹托盘的半径在 之间． 故选 C． 3. 答案：C. 解析：根据二次根式的性质，对任意实数 ，都有 。 因此，。 已知 ，由绝对值的性质可知，当 时，必有 。 所以 ，解得 。 故选 C。 4. 答案：A. 解析：由题意，原式有意义且等于 ，需满足： 第一步，分母不为零，即 ，解得 ； 第二步，二次根式被开方数非负，即 ，解得 ； 第三步，分式的值为零，则分子为零，即 。 由 得 或 ； 由 得 。 结合条件 且 ，可知 与 均需舍去，因此满足条件的实数解仅有 。 第四步，将 代入代数式计算： 故选 A。 5. 答案：，， 解析：根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边。 判断三条线段能否组成三角形，只需验证较小两边之和是否大于最大边即可。 对于 A 选项：因为 ，两短边之和为 ，因为 ，即 ，所以不能围成三角形； 对于 B 选项：因为 ，两短边之和为 ，因为 ，所以 ，所以不能围成三角形； 对于 C 选项：因为 ，两短边之和为 ，因为 ，所以 ，满足两短边之和大于第三边，所以能围成三角形； 对于 D 选项：因为 ，两短边之和等于第三边，所以不能围成三角形。 故选 C。 6. 答案： 解析：由题意可知，大正方体积木玩具由 个大小相同的小正方体组成，且总体积为 。 每个小正方体的体积为 。 设每个小正方体的棱长为 ，根据正方体的体积公式可得 。 由立方根的定义，解得 。 所以每个小正方体的棱长为 。 故选 A。 7. 答案：； 解析：因为 ，所以 ，可得 ． 在数轴上，表示一个数的点到原点的距离即为这个数的绝对值，所以表示数 的点到原点的距离为 ； 实数 的相反数是 ． 故答案依次为 ； ． 8. 答案： 解析：分别化简各项的值： 因为 ，， 且 ，所以 ． 代入原式计算： 原式 ． 故答案为 ． 9. 答案： 解析：根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为 ，且二次项系数不等于 。 由题意，得： 解方程 ，得 ，解得 或 。 由二次项系数 ，得 。 综上所述，。 10. 答案： 解析：由 ，得 ，。 根据二次根式的性质，得： 根据绝对值的代数意义，得： 根据立方根的性质，得： 代入原式化简，得： 故答案为 。 11. 答案：①②④ 解析：逐项分析如下： ① 因为实数 满足 ，所以 。 又因为 ，所以根的判别式 。 因此，关于 的一元二次方程 必有两个不相等的实数根，故①正确； ② 由方程 有两个不相等的实数根，可得 ，解得 。 对于方程 ，其根的判别式为 。 因为 ，所以 ，因此该方程也必有两个不相等的实数根，故②正确； ③ 当 ，即 时，原方程化为 ，解得 ，方程有实数根； 当 ，即 时，原方程是一元二次方程，有实数根需满足 ，解得 且 。 综合两种情况， 的取值范围应为 ，命题忽略了 的情形，故③错误； ④ 方程 的根的判别式为 。 因为无论 取何实数，都有 ，所以该方程总有两个不相等的实数根，故④正确。 综上所述，正确的命题序号是①②④。 12. 答案： 解析：因为 ，且 ，即立方根的小数点向右移动了 位．根据立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动 位，其立方根的小数点相应地向右（或向左）移动 位．因此，被开方数 的小数点应由 向右移动 位，即 ． 13. 答案： 或 解析：根据题意，点 到点 的距离为 个单位长度． 设点 表示的实数为 ，则 ． 分两种情况讨论： ① 若小虫沿数轴向右爬行，则点 在点 的右侧，此时 ； ② 若小虫沿数轴向左爬行，则点 在点 的左侧，此时 ． 综上所述，点 表示的实数是 或 ． 14. 答案： 解析：第一步，化简二次根式：第二步，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式。 因为 是最简二次根式，所以其被开方数应与 的被开方数相同，即第三步，解方程：解得当 时， 是最简二次根式，符合题意。 故答案为 。 15. 答案：， 解析：根据题意，由规定的新运算展开方程，得： 去括号，得： 移项、合并同类项，化为一元二次方程的一般形式，得： 将方程左边因式分解，得： 于是有 或 ， 解得：，． 故答案为 ，． 16. 答案： 解析：因为 ，，且 ，所以 且 ，解得 ，。 因此，该一次函数的解析式为 。 又因为一次函数的图像经过点 ，将 ， 代入解析式，得 。 17. 答案： 且 解析：要使代数式 有意义，需满足二次根式的被开方数非负且分式的分母不为零，即： 解不等式 ，得 ； 由 ，得 ． 综上，实数 的取值范围是 且 ． 18. 答案： 解析：解题步骤如下： 第一步（分析符号对应关系）： 根据题意与图 1 的范例可知，古代译著中的符号对应规则为：“根号”表示算术平方根，汉字“甲”代表正数 ，“天”代表正数 ，运算顺序与括号法则与现代代数一致． 第二步（翻译代数表达式）： 将图 2 所示的题目翻译为现代代数表达式： 第三步（化简并合并括号内的同类二次根式）： 因为 ，化简括号内的二次根式： ， ， 两项相加得： 第四步（计算二次根式的乘法）： 根据二次根式乘法运算法则，得： 由于 ，可得 ，因此： 第五步（化简后项并求差）： 化简后项得 ，进而整体计算得： 故最终计算结果为 ． 19. 答案：（1）；（2）． 解析：解：（1）原式 ． （2）原式 因为 ，，所以 ， 故原式 ． 20. 答案：（1）；（2），． 解析：（1）移项，得 ， 合并同类项，得 ． 因为 ，即 ， 所以不等式两边同除以 （不等号改变方向），得 分母有理化，得 故原不等式的解集为 ． （2）移项，得 ． 因式分解，得 由此可得 或 ， 解得 ，． 21. 答案：（1）；（2） 解析：（1）先化简代数式： 当 ， 时， 原式 ． （2）先化简代数式： 当 ， 时， 原式 ． 22. 答案：（1）；（2），。 解析：（1）方程为 。 这里 ，，。 计算判别式： 。 代入求根公式： ； 所以，原方程的解为 。 （2）方程为 。 这里 ，，。 计算判别式： 。 代入求根公式： ； 所以，原方程的解为 ，。 23. 答案：（1），；（2）， 解析：（1）移项，得 。 二次项系数化为 ，得 。 配方，得 即 两边开平方，得 解得 ，。 （2）移项，得 。 二次项系数化为 ，得 。 配方，得 即 两边开平方，得 解得 ，。 24. 答案：（1）；（2），。 解析：（1）因为 是关于 的一元二次方程 的一个根， 所以将 代入方程，得： 整理得： 移项得： 因为 ，所以 ， 方程两边同除以 ，得： （2）由（1）可知 ， 移项得： 因为 ，所以 ， 两边同除以 ，得： 将 与 代入方程 ，得： 这里二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ， 计算根的判别式： 根据一元二次方程的求根公式，得： 所以原方程的解为： 25. 答案：（1）；（2） （3）不能截出，理由见解析 解析：解：（1）因为正方形木板 的面积为 ， 所以正方形木板 的边长为 . 故答案为：. （2）因为正方形木板 的面积为 ，正方形木板 的面积为 ， 所以正方形木板 的边长为 ， 正方形木板 的边长为 . 由图 1 可得： 长方形木板①的长为 ， 长方形木板①的宽为 . 则长方形木板①的面积为： 所以木板①中剩余部分（阴影部分）的面积为： （3）不能截出. 理由如下： 因为截出的每个正方形木板的面积为 ， 所以正方形木板的边长为 . 若按图 2 所示的方式截出两个并排的正方形，所需长方形木板的长度至少为： 由题意可知，长方形木板②与木板①同样大小，其长为 . 因为 ，， 且 ， 所以 ，即长方形木板②的长度不足 . 因此，乙木工不能按图 2 所示的方式截出两个面积均为 的正方形木板. 26. （1）答案：汽车刹车前的车速为 ． 解析：由题意，将刹车滑行距离 代入公式 ，得： 所以，汽车刹车前的车速为 ． （2）答案：不正确，理由见解析． 解析：小明的说法不正确．理由如下： 由公式 ，两边平方可得 ，即 ． 设原车速为 ，对应的刹车滑行距离为 ． 当车速变为原来的 倍，即车速为 时，对应的滑行距离为： 因此，车速翻倍时，刹车滑行距离会变为原来的 倍，而不是 倍，故小明的说法不正确． （也可以举反例说明：由（1）可知车速为 时滑行距离为 ； 当车速翻倍为 时，代入公式解得 ，故小明说法错误）． （3） 答案：① 该车的安全停车距离为 ； ② 启示（写出一条即可）： （a）严禁超速行驶，因为车速增加会导致刹车滑行距离按速度平方倍数急剧增加； （b）行车时必须保持充足的安全车距； （c）驾驶员应保持专注，避免疲劳或分心驾驶，尽量缩短反应时间． 解析：① 由题意，车速 ． 先进行单位换算：． 反应距离为： 由经验公式 ，将 代入求滑行距离 ： 两边平方得： 解得： 所以该车的安全停车距离为： ② 启示合理即可，如：车速越快，刹车距离呈二次方迅速增大，因此在日常驾驶中切勿超速行驶，且一定要保持安全车距，集中注意力以保障交通安全． 27. （1）答案：当 时，喷灌有效覆盖面积 取得最大值，最大值是 16． 解析：由题意，对代数式 进行配方： 因为对于任意实数 ，都有 ， 所以 ， 从而 ，即 ． 当 ，即 时， 取得最大值 16． 答：当 时，喷灌有效覆盖面积 取得最大值，最大值是 16． （2）答案：当 时，（两方案预算费用相等）；当 且 时，（方案甲的预算费用大于方案乙）．理由见解析． 解析：利用作差配方法比较 与 的大小： 去括号并合并同类项，得： 利用完全平方公式配方，得： 因为对于任意实数 ，总有 ， 所以 ． 分类讨论如下： ① 当 ，即 时，，此时 ； ② 当 ，即 且 时，，此时 ． 综上所述，当 时，方案甲与方案乙的预算费用相等； 当 且 时，方案甲的预算费用大于方案乙的预算费用． （3）答案：建议方案： ① 当围栏周长 米时，推荐选择方案甲．理由：由（2）知当 时，两方案预算费用相等（），而方案甲耐用性与防腐性能更好，性价比更高； ② 当围栏周长 米时，优先选择方案乙．理由：由（2）知当 且 时，，即方案乙的预算费用更低，在资金受限时能有效节约开支． 解析：结合第（2）问的分析结论进行合理决策： ① 当 米时，根据第（2）问的结论可知 ，即两种方案的预算成本相同．在成本一致的前提下，方案甲具有更好的耐用性和防腐性能，长期维护效益更高，因此从性价比和综合效益出发，推荐选择方案甲； ② 当 米时，根据第（2）问的结论可知 ，即方案乙的预算费用严格低于方案甲．在学校预算严格受限的条件下，控制当前直接开支是首要目标，因此应优先选用造价更低廉的方案乙． 学科网（北京）股份有限公司 $