第20讲同角三角函数的基本关系与诱导公式专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦同角三角函数关系与诱导公式，以题载法构建“概念应用-原理推导-综合拓展”的解题体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-5题|诱导公式化简（负角/大角）、同角关系（sin²α+cos²α=1，tanα=sinα/cosα）|从三角函数定义出发，通过符号判断与公式直接应用，建立基本运算逻辑| |综合拓展|6-9题、11-13题|方程思想（cos²θ+cosθ-1=0）、弦切互化（tanθ→sinθ/cosθ）、公式变形（sin³β-cos³β因式分解）|结合函数定义与方程求解，深化同角关系的灵活转化，培养符号意识| |解答题突破|10、14题|化简求值（sin⁴x+cos⁴x）、多公式综合应用（诱导公式+同角关系）|整合诱导公式与同角关系，构建“化简-转化-求值”完整推理链，提升应用意识|

第20讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式 (时间:45分钟) 1.2cos(-840°)= (　 ) A.- B. C.1 D.-1 2.已知α为第四象限角,cos α=,则tan α=(　 ) A. B.- C. D.- 3.[2026·安徽师大附中质检] 设0<θ<,若tan θsin θ=1,则cos θ= (　 ) A. B. C. D. 4.[2026·河北张家口模拟] 已知2tan θ-1=0,则= (　 ) A. B.- C. D.- 5.已知角θ的终边过点P(3,4),则= (　 ) A.10 B.- C. D.-10 6.定义函数y=S(n),n∈N*,其函数值为n的正约数的个数,例如S(2)=2,S(6)=4.若n∈N*, cos=,则 sin= (　 ) A.- B.- C. D. 7.(多选题)cos= (　 ) A.sin B.sin C.cos D.cos 8.若-<α<且 cos=,则 tan=　　　　,sin=　　　　.  9.已知sin=,且0<x<,则sin-cos的值为　　　　.  10.[2025·陕西渭南质检] (1)化简:; (2)已知sin x+cos x=,求sin4x+cos4x. 11.[2026·湖北黄冈二模] 已知sin β+cos β=,β∈(0,π),则sin3β-cos3β的值为 (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)[2025·浙江杭州期末] 已知f(α)=-,则下列说法正确的是 (　 ) A.f(α)=-2sin αcos α B.f(α)=2sin αcos α C.若tan α=3,则f(α)= D.若sin α-cos α=,则f(α)= 13.若(sin x)ln 3+3ln(sin x)=,则cos=　　　　.  14.[2026·贵州遵义联考] 已知sin(θ+π)-cos+sin=0. (1)求tan θ的值; (2)求的值; (3)求sin θcos θ的值. 学科网（北京）股份有限公司 1.D　[解析] 2cos(-840°)=2cos 840°=2cos(360°×2+120°)=2cos 120°=-1.故选D. 2.D　[解析] 因为α为第四象限角,且cos α=,所以sin α<0,且sin α=-=-=-.所以tan α==-.故选D. 3.B　[解析] 因为tan θsin θ===1,所以cos2θ+cos θ-1=0,解得cos θ=或cos θ=(舍),故选B. 4.D　[解析] 由题意可得tan θ=,则===-.故选D. 5.A　[解析] 由角θ的终边过点P(3,4),得tan θ=,所以===10.故选A. 6.B　[解析] 由n2=n×n,得n必是n2的一个约数,若n2有其他的约数,则必会成对出现,所以S(n2)为正奇数,所以 sin=sin=-sin=-sin=-cos=-.故选B. 7.BD　[解析] 对于A,sin=sin=cos,故A错误;对于B,sin=sin=sin=cos,故B正确;对于C,cos=cos=cos=-cos,故C错误;对于D,cos=cos=cos=cos,故D正确.故选BD. 8. 2　　[解析] 因为-<α<,所以0<+α<,又cos=,所以sin==,所以tan==2, sin=sin=cos=. 9.　[解析] ∵0<x<,∴-<-x<,∵sin=,∴cos==.∴sin-cos=sin-cos=cos+cos=2cos=. 10.解:(1)==1. (2)由sin x+cos x=,得sin2x+cos2x+2sin xcos x=,则2sin xcos x=-, 所以sin4x+cos4x=-2sin2xcos2x=1-(2sin xcos x)2=1-×=. 11.C　[解析] 因为sin β+cos β=,所以(sin β+cos β)2=,即sin2β+2sin βcos β+cos2β=.因为sin2β+cos2β=1,所以1+2sin βcos β=,所以2sin βcos β=-1=-,则sin βcos β=-.因为β∈(0,π),且sin βcos β=-<0,所以sin β与cos β异号,又因为β∈(0,π)时sin β>0,所以cos β<0,所以sin β-cos β>0.因为(sin β-cos β)2=sin2β-2sin βcos β+cos2β=1-2×=1+=,所以sin β-cos β==,所以sin3β-cos3β=(sin β-cos β)(sin2β+sin βcos β+cos2β)=×=×=.故选C. 12.BCD　[解析] f(α)=-=2sin αcos α,故A错误,B正确; 若tan α=3,则f(α)=2sin αcos α===,故C正确;将sin α-cos α=两边平方,整理得1-2sin αcos α=,则sin αcos α=,所以f(α)=2sin αcos α=2×=,故D正确.故选BCD. 13.　[解析] 由已知可得,sin x>0,设t=ln(sin x),则sin x=et,代入(sin x)ln 3+3ln(sin x)=,可得+3t=+3t=2×3t=,所以3t=,解得t=-1,所以sin x=e-1,所以cos=sin x=e-1. 14.解:(1)由题意得,sin(θ+π)-cos+sin=-sin θ-sin θ-cos θ=0,即-2sin θ=cos θ. 若cos θ=0,则sin θ=0,不符合sin2θ+cos2θ=1, 故cos θ≠0,则tan θ=-. (2)===. (3)sin θcos θ====-. 学科网（北京）股份有限公司 $