广东东莞市东莞中学松山湖学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

东莞中学松山湖学校 2026-2027学年度第一学期第一次阶段考试 九年级数学试卷 命题人：初三数学备课组 审题人：初三数学备课组 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题：共10小题，满分30分，每小题3分 1. 一元二次方程x²−3x+2=0的一次项系数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．−3 2. 下列各点中，在函数y=图象上的点是（ ） A．(1，1) B．(1，2) C．(2，1) D．(2，2) 3. 对于抛物线y=3(x−5)²−4，以下说法正确的是（） A．开口向下 B．对称轴为直线x=5 C．顶点坐标为(5，4) D．当x>5时，y随x的增大而减小 4. 已知a是方程x²−3x−3=0的解，则代数式3a−a²的值为（） A．3 B．−3 C．0 D．−6 5. 若抛物线y=x²−4x−m的图象与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是（） A．m≤4 B．m<4 C．m≥−4 D．m>−4 6. 已知点A(1，a)，点B(4，b)，点C(7，c)，都在反比例函数y= −的图象上，则a，b，c的关系是（） A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．c<b<a 7. 在平面直角坐标系中，将函数y=(x−1)²+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（） A．y=(x+1)²+5 B．y=(x+1)²+3 C．y=(x−3)²+3 D．y=(x−3)²+5 8. 已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)中x和y部分对应值如表，则关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根所在的范围的是（） x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y −2.8 −2.4 −1.2 0.1 1.8 A．0.10<x<0.11 B．0.11<x<0.12 C．0.12<x<0.13 D．0.13<x<0.14 9. 深耕黑土地，守护大粮仓．某水稻生产基地2023年平均每公顷产7000kg水稻，到2025年平均每公顷产8470kg水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为（） A．7000(1+2x)=8470 B．7000(1+x)²=8470 C．7000+7000(1+x)+7000(1+x)²=8470 D．7000×2(1+x)=8470 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程x²+8x=48为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x²的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×2²=64，则该方程的正数解为8−2×2=4．小美尝试用此方法解关于x的方程x²+12x+c=0，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程x²+12x+c=0的正数解是（） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题：共5小题，满分15分，每小题3分 11. 已知方程x²+3x+c=0的一个根是1，则c=______． 12. 反比例函数y=（k为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的k的值是__________． 13. 如下图，小王同学参加体育课实心球测试，实心球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系为y=−0.08(x−10)(x+4)，则他的实心球测试成绩是______m． 14. 如下图，抛物线y=ax²+bx与直线y=mx+n相交于点A(−4，−5)、B(1，−2)，则关于x的方程ax²+bx=mx+n的解为____________． 15. 如下图，P是反比例函数y=图象上一点，矩形OAPB的面积是6，则比例系数k=________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 请从−3，−1，1中任选一个数作为m的值，解关于x的一元二次方程x²−2x+m=0． 17. 如图，用篱笆（虚线部分）在墙角围一个矩形（墙足够长），已知篱笆的长度是14 m，如何围篱笆才能使其所围矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？ 18. 已知，关于x的一元二次方程x²+2kx+k²−2=0． (1)求证：k取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根x₁，x₂，满足x₁x₂+x₁+x₂=−3，求k的值． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，一次函数y=−x+1的图象与反比例函数y= (k≠0)的图象交于P(−1，a)、Q(b，−1)两点，连结OP、OQ （1）求a、b的值和反比例函数的表达式； （2）求△POQ的面积． （3）当x>0时，关于x的不等式>−x+1的解集为____________． 20. 综合与实践： 【生活情境】某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为30m，顶点距水面10m，小孔顶点距水面7m． 【建立模型】(1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】(2)当水位上涨到距小孔顶点1m时（水面在顶点下方），达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） -15 15 -10 10 30m 7m 21. 数学思想方法是数学的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁．我国著名的数学家华罗庚曾讲过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有铭记在头脑中的数学思想、研究方法等，能随时随地发挥作用，使人们受益终身．”请同学们阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并完成（1）、（2）问． 例题：解方程x²−|x|−2=0． 解：①当x≥0时，原方程可化为x²−x−2=0，解得：x=2或−1（舍去）， ②当x<0时，原方程可化为x²+x−2=0，解得：x=−2或1（舍去）， ∴原方程的解是x₁=2，x₂=−2． (1)我们在解方程x²−|x|−2=0时用到的数学思想方法是（）． A．数形结合的思想 B．整体的思想 C．分类讨论的思想 D．特殊到一般的思想 (2)解方程：x²−|x−1|−1=0． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为t s(0<t<6)． (1)AP=________cm，CQ=________cm（用含t的代数式表示） (2)记△BQP的面积为S₁，△DPQ的面积为S₂． ①试判断S₁+S₂是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求S₂−S₁的最小值． 23. 抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，C(2，0)两点，与y轴交于点B(0，−6)．动点D在线段OB上（点D与点O不重合）． （1）求抛物线y=x²+bx+c的表达式； （2）连接CD，在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN． ①如图1，当BD=4时，求正方形CDMN的面积； ②如图2，当点M落在抛物线上时，求点M的坐标； ③如图3，在动点D的正上方有另一动点E(0，p)，且ED=，当点D从点B开始运动时，点E以相同的速度同时出发，两点都沿y轴的正方向匀速运动，点D停止运动时点E同时停止运动．连接AE，CD，求AE+CD的最小值和此时p的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞中学松山湖学校 2026-2027学年度第一学期第一次阶段考试 九年级数学试卷 命题人：初三数学备课组 审题人：初三数学备课组 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题：共10小题，满分30分，每小题3分 1. 一元二次方程x²−3x+2=0的一次项系数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．−3 答案：D 解析：一元二次方程x²−3x+2=0的一次项为−3x，一次项系数是−3。 2. 下列各点中，在函数y=图象上的点是（ ） A．(1，1) B．(1，2) C．(2，1) D．(2，2) 答案：A 解析：反比例函数y= 满足xy=1，把(1,1)代入，1×1=1，符合解析式。 3. 对于抛物线y=3(x−5)²−4，以下说法正确的是（） A．开口向下 B．对称轴为直线x=5 C．顶点坐标为(5，4) D．当x>5时，y随x的增大而减小 答案：B 解析：抛物线y=3(x−5)²−4，a=3>0，开口向上；对称轴是直线x=5；顶点坐标(5,−4)；当x>5时，y随x增大而增大。 4. 已知a是方程x²−3x−3=0的解，则代数式3a−a²的值为（） A．3 B．−3 C．0 D．−6 答案：B 解析：a是方程x²−3x−3=0的根，代入得a²−3a−3=0，即a²−3a=3。 3a−a²=−(a²−3a)=−3。 5. 若抛物线y=x²−4x−m的图象与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是（） A．m≤4 B．m<4 C．m≥−4 D．m>−4 答案：D 解析：抛物线与x轴有两个交点，则一元二次方程x²−4x−m=0判别式Δ>0。 Δ=(-4)²−4×1×(-m)=16+4m>0，解得m>−4。 6. 已知点A(1，a)，点B(4，b)，点C(7，c)，都在反比例函数y= −的图象上，则a，b，c的关系是（） A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．c<b<a 答案：A 解析：反比例函数y=−，k=−7<0，在x>0时，y随x增大而增大。 A(1,a)、B(4,b)、C(7,c)，a=−7，b=−，c=−1。 ∵−7 < − < −1，∴a<b<c，选A。 7. 在平面直角坐标系中，将函数y=(x−1)²+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（） A．y=(x+1)²+5 B．y=(x+1)²+3 C．y=(x−3)²+3 D．y=(x−3)²+5 答案：B 解析：抛物线平移规律：左加右减，上加下减。 向左平移2个单位：y=(x−1+2)²+4，再向下平移1个单位：y=(x+1)²+4−1=(x+1)²+3。 8. 已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)中x和y部分对应值如表，则关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根所在的范围的是（） x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y −2.8 −2.4 −1.2 0.1 1.8 A．0.10<x<0.11 B．0.11<x<0.12 C．0.12<x<0.13 D．0.13<x<0.14 答案：C 解析：函数值由负变正的区间存在方程的根，x=0.12时y=−1.2，x=0.13时y=0.1， 所以根在0.12<x<0.13之间。 9. 深耕黑土地，守护大粮仓．某水稻生产基地2023年平均每公顷产7000kg水稻，到2025年平均每公顷产8470kg水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为（） A．7000(1+2x)=8470 B．7000(1+x)²=8470 C．7000+7000(1+x)+7000(1+x)²=8470 D．7000×2(1+x)=8470 答案：B 解析：平均增长率模型，初始量7000，连续增长两年，7000(1+x)²=8470。 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程x²+8x=48为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x²的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×2²=64，则该方程的正数解为8−2×2=4．小美尝试用此方法解关于x的方程x²+12x+c=0，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程x²+12x+c=0的正数解是（） A．4 B．5 C．6 D．7 答案：A 解析：方程x²+12x+c=0，配方得(x+6)²=100，x+6=10（舍去负根），x=4。 二、填空题：共5小题，满分15分，每小题3分 11. 已知方程x²+3x+c=0的一个根是1，则c=______． 答案：−4 解析：将x=1代入方程，1+3+c=0，解得c=−4。 12. 反比例函数y=（k为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的k的值是__________． 答案：1（答案不唯一，k<2即可，如0、−1等） 解析：图像在二、四象限，则k−2<0，k<2即可。 13. 如下图，小王同学参加体育课实心球测试，实心球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系为y=−0.08(x−10)(x+4)，则他的实心球测试成绩是______m． 答案：10 解析：实心球落地时y=0，−0.08(x−10)(x+4)=0，解得x₁=10，x₂=−4（舍去），成绩10m。 14. 如下图，抛物线y=ax²+bx与直线y=mx+n相交于点A(−4，−5)、B(1，−2)，则关于x的方程ax²+bx=mx+n的解为____________． 答案：x₁=−4，x₂=1 解析：抛物线与直线交点横坐标，就是方程ax²+bx=mx+n的解。 15. 如下图，P是反比例函数y=图象上一点，矩形OAPB的面积是6，则比例系数k=________． 答案：6 解析：反比例函数矩形面积|k|=6；由图像位置判断k＞0，所以k=6。 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 请从−3，−1，1中任选一个数作为m的值，解关于x的一元二次方程x²−2x+m=0． 解：一元二次方程x²−2x+m=0，Δ=4−4m≥0，m≤1。 方案1：选m=−3 方程为x²−2x−3=0 因式分解：(x−3)(x+1)=0 解得x₁=3，x₂=−1 方案2：选m=−1 方程为x²−2x−1=0 求根公式：x== = 1± 解得x₁=1+，x₂=1− 方案3：选m=1 方程为x²−2x+1=0 (x−1)²=0 解得x₁=x₂=1 （任选一种即可） 17. 如图，用篱笆（虚线部分）在墙角围一个矩形（墙足够长），已知篱笆的长度是14 m，如何围篱笆才能使其所围矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形一边长为x m，另一边长为(14−x) m。 面积S=x(14−x)=−x²+14x=−(x−7)²+49 ∵−1<0，二次函数开口向下， ∴当x=7时，S取得最大值49。 此时两条边长都为7m，是正方形。 答：当两边都为7米时，面积最大，最大面积为49 m²。 18. 已知，关于x的一元二次方程x²+2kx+k²−2=0． (1)求证：k取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根x₁，x₂，满足x₁x₂+x₁+x₂=−3，求k的值． 解析： (1)证明： Δ=(2k)²−4×1×(k²−2)=4k²−4k²+8=8>0 ∴无论k取何实数，方程总有两个不相等实数根。 (2)解：由韦达定理，x₁+x₂=−2k，x₁x₂=k²−2 ∵x₁x₂+x₁+x₂=−3 代入：k²−2−2k=−3 整理得k²−2k+1=0， (k−1)²=0 解得k=1。 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，一次函数y=−x+1的图象与反比例函数y= (k≠0)的图象交于P(−1，a)、Q(b，−1)两点，连结OP、OQ （1）求a、b的值和反比例函数的表达式； （2）求△POQ的面积． （3）当x>0时，关于x的不等式>−x+1的解集为____________． 解析： 解：(1)把P(−1,a)代入y=−x+1，得a=−(−1)+1=2，∴P(−1,2) 把Q(b,−1)代入y=−x+1，得−1=−b+1，解得b=2，∴Q(2,−1) 又∵P、Q也在反比例函数图象上， ∴k=xy=−1×2=−2， 反比例函数解析式：y= -。 (2)设直线y=−x+1交y轴于M，则M(0,1) ∴S△POQ=S△POM+S△QOM=×1×（1+2）= (3)反比例函数图象在一次函数图象上方，则x>2 20. 综合与实践： 【生活情境】某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为30m，顶点距水面10m，小孔顶点距水面7m． 【建立模型】(1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】(2)当水位上涨到距小孔顶点1m时（水面在顶点下方），达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） -15 15 -10 10 30m 7m 答案： (1) 解： 设大孔抛物线的表达式为 y=ax²（顶点在原点，开口向下）。 正常水位时，大孔水面宽度为 30m，顶点距水面 10m。 在建立的坐标系中，水面所在直线为 y=−10，抛物线过点 (15,−10) 和 (−15,−10)。 将 (15,−10) 代入 y=ax²： −10=a×15²=225a a= − 所以大孔抛物线的函数表达式为 y= −x² (2) 解：正常水位时水面在 y=−10 处。 小孔顶点距水面 7m，所以小孔顶点在 y=−10+7=−7 处。 水位上涨到距小孔顶点 1m 时（水面在顶点下方），警戒水位在 y=−7−1=−8 处。 将 y=−8 代入 y= −x²： −8=−x² x²=180 x=±=±6 ∴x₁=6，x₂= -6 此时大孔的水面宽度为 6−(−6)=12 (m) 答：大孔的水面宽度12米。 21. 数学思想方法是数学的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁．我国著名的数学家华罗庚曾讲过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有铭记在头脑中的数学思想、研究方法等，能随时随地发挥作用，使人们受益终身．”请同学们阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并完成（1）、（2）问． 例题：解方程x²−|x|−2=0． 解：①当x≥0时，原方程可化为x²−x−2=0，解得：x=2或−1（舍去）， ②当x<0时，原方程可化为x²+x−2=0，解得：x=−2或1（舍去）， ∴原方程的解是x₁=2，x₂=−2． (1)我们在解方程x²−|x|−2=0时用到的数学思想方法是（）． A．数形结合的思想 B．整体的思想 C．分类讨论的思想 D．特殊到一般的思想 (2)解方程：x²−|x−1|−1=0． 答案： (1) 答案：C 解析： 解题过程中，根据 x 的正负分两种情况讨论（x≥0 和 x<0），去掉绝对值符号后分别求解，最后汇总。这种根据条件分情况讨论的方法称为分类讨论的思想。 选 C。 (2) 解： ① 当 x−1≥0 即 x≥1 时： x²−(x−1)−1=0 x²−x=0 x(x−1)=0 x=0 或 x=1 ∵ x≥1，∴ x=1（x=0 舍去） ② 当 x−1<0 即 x<1 时： x²−(1−x)−1=0 x²+x−2=0 (x+2)(x−1)=0 x=−2 或 x=1 ∵ x<1，∴ x=−2（x=1 舍去） 综上，原方程的解为 x₁=1，x₂=−2。 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为t s(0<t<6)． (1)AP=________cm，CQ=________cm（用含t的代数式表示） (2)记△BQP的面积为S₁，△DPQ的面积为S₂． ①试判断S₁+S₂是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求S₂−S₁的最小值． 答案： (1) 解： AP=1×t=t(cm) BP=AB−AP=6−t(cm) BQ=2×t=2t(cm) CQ=BC−BQ=12−2t(cm) 答案：AP=t，CQ=12−2t (2) 解： 建立坐标系：设 A(0,0)，B(6,0)，C(6,12)，D(0,12) 则 P(t,0)，Q(6,2t) ① 判断 S₁+S₂ 是否为定值： S₁=S△BQP=×BP×BQ=(1/2)×(6−t)×2t=t(6−t)=6t−t² S₂=S△DPQ，用坐标法计算： D(0,12)，P(t,0)，Q(6,2t) S₂= |0×(0−2t)+t×(2t−12)+6×(12−0)| = |0+2t²−12t+72| = (2t²−12t+72) （∵2t²−12t+72=2(t−3)²+54>0） =t²−6t+36 S₁+S₂=(6t−t²)+(t²−6t+36)=36 所以 S₁+S₂ 是定值，定值为 36。 ② 求 S₂−S₁ 的最小值： S₂−S₁=(t²−6t+36)−(6t−t²)=2t²−12t+36 =2(t²−6t+18)=2((t−3)²+9)=2(t−3)²+18 因为 (t−3)²≥0，所以当 t=3 时（满足 0<t<6），S₂−S₁ 取得最小值： S₂−S₁=2×0+18=18 S₂−S₁ 的最小值为 18。 23. 抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，C(2，0)两点，与y轴交于点B(0，−6)．动点D在线段OB上（点D与点O不重合）． （1）求抛物线y=x²+bx+c的表达式； （2）连接CD，在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN． ①如图1，当BD=4时，求正方形CDMN的面积； ②如图2，当点M落在抛物线上时，求点M的坐标； ③如图3，在动点D的正上方有另一动点E(0，p)，且ED=，当点D从点B开始运动时，点E以相同的速度同时出发，两点都沿y轴的正方向匀速运动，点D停止运动时点E同时停止运动．连接AE，CD，求AE+CD的最小值和此时p的值． ∴当AE十CD取最小值时，p= 学科网（北京）股份有限公司 $