3.4 二元一次方程组及其解法课堂同步分层训练卷 2026-2027学年沪科版七年级数学上册

3.4　二元一次方程组及其解法 课堂同步分层训练卷　2026-2027 学年沪科版七年级数学上册 第 3 章　一次方程与方程组　　满分 120 分　　建议用时 60 分钟 班级＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号＿＿＿＿＿＿　　得分＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分。每小题只有一个选项符合题意） 【A 组 · 基础过关】第 1—6 题，必做，共 24 分 1．下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A．3x−2y　　　B．xy=1　　　C．x+y2=1　　　D．2x−y=5 2．若方程 (m−1)x+y|m|=3 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m 的值是（　　） A．1　　B．−1　　C．±1　　D．0 3．下列各组数中，是方程组 的解的是（　　） A．x=1，y=−3　　B．x=3，y=1　　C．x=2，y=−1　　D．x=0，y=5 4．用代入法解方程组 ，由①得 x=y+2，代入②并化简，得（　　） A．8y=8　　B．8y=20　　C．8y=4　　D．8y=14 5．解方程组 时，用加减消元法，最简便的是（　　） A．①+②　　B．①−②　　C．①×2−②　　D．①×3+② 6．定义新运算 a※b=2a+b。若 3※x=7，y※4=10，则 x+y 的值是（　　） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 【B 组 · 能力提升】第 7—9 题，选做，共 12 分 7．二元一次方程 x+2y=7 的正整数解有（　　） A．1 组　　B．2 组　　C．3 组　　D．4 组 8．已知关于 x、y 的方程组 ，则下列 x 与 y 之间的关系式（不含 a）正确的是（　　） A．3x+y=−5　　B．x+2y=5a　　C．x−y=4a　　D．7x+8y=−6 9．已知方程组 ，则 x+y 的值是（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．5 【C 组 · 培优冲刺】第 10 题，挑战，共 4 分 10．已知 x−2y=3，则 2x−4y+1 的值是（　　） A．5　　B．6　　C．7　　D．8 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 【A 组 · 基础过关】第 11—13 题，必做，共 12 分 11．若 是二元一次方程 2x+ay=8 的一个解，则 a=________。 12．关于 x、y 的二元一次方程 2x+y=8 的三组解如下表，则 ab 的值是________。 x 3 a 5 y 2 4 b 13．解方程组 时，①−② 得 y=________。 【B 组 · 能力提升】第 14—15 题，选做，共 8 分 14．若 |2x−y−3|+(x+2y−4)2=0，则 x=________，y=________。 15．已知方程组 ，则 x=________，y=________。 【C 组 · 培优冲刺】第 16 题，挑战，共 4 分 16．若方程组 的解也是方程 kx+y=5 的解，则 k=________。 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 56 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 【A 组 · 基础过关】第 17—18 题，必做，共 12 分 17．（6 分）用代入消元法解下列方程组： （1） （2） 18．（6 分）下面是小明用加减消元法解方程组的过程，请仔细阅读，并完成任务。 解方程组： 解：①×2，得 6x+4y=14 ③；②×3，得 6x+3y=24 ④； ③−④，得 y=−10 ⑤； 把 y=−10 代入①，得 3x−20=7，解得 x=9； 所以原方程组的解是 x=9，y=−10。 （1）小明的解答从方程 ______ 开始出现错误。（1 分） 错误原因是 ________________________________________________。（1 分） （2）请写出正确的解答过程。（4 分） 【B 组 · 能力提升】第 19—21 题，选做，共 24 分 19．（8 分）先阅读材料，再解方程组。 材料：解方程组 由①得 x−y=1③，把③作为一个整体代入②，得 4×1−y=5，解得 y=−1，进而得 x=0。这种把某个式子看成一个整体的方法，能使运算更简便。 请用材料中的方法解方程组： 20．（8 分）已知关于 x、y 的方程组 （1）若它的解满足 x+y=5，求 k 的值； （2）求原方程组的解。 21．（8 分）甲、乙两人解方程组 甲看错了①中的 a，解得 x=−3，y=−1；乙看错了②中的 b，解得 x=5，y=4。 （1）求 a、b 的值； （2）求 |a|+b 的值。 【C 组 · 培优冲刺】第 22—24 题，挑战，共 20 分 22．（8 分）已知 y=x2+ax+b，当 x=1 时 y=2；当 x=−2 时 y=−1。 （1）求 a、b 的值； （2）当 x=−3 时，求 y 的值。 23．（6 分）已知二元一次方程 3x+2y=17。 （1）用含 x 的式子表示 y； （2）求出这个方程的所有正整数解。 24．（6 分）已知关于 x、y 的方程组 与 的解相同。 （1）求 a、b 的值； （2）求 ab 的值。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4　二元一次方程组及其解法 课堂同步分层训练卷　2026-2027 学年沪科版七年级数学上册 第 3 章　一次方程与方程组　　满分 120 分　　建议用时 60 分钟 班级＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号＿＿＿＿＿＿　　得分＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分。每小题只有一个选项符合题意） 【A 组 · 基础过关】第 1—6 题，必做，共 24 分 1．下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A．3x−2y　　　B．xy=1　　　C．x+y2=1　　　D．2x−y=5 2．若方程 (m−1)x+y|m|=3 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m 的值是（　　） A．1　　B．−1　　C．±1　　D．0 3．下列各组数中，是方程组 的解的是（　　） A．x=1，y=−3　　B．x=3，y=1　　C．x=2，y=−1　　D．x=0，y=5 4．用代入法解方程组 ，由①得 x=y+2，代入②并化简，得（　　） A．8y=8　　B．8y=20　　C．8y=4　　D．8y=14 5．解方程组 时，用加减消元法，最简便的是（　　） A．①+②　　B．①−②　　C．①×2−②　　D．①×3+② 6．定义新运算 a※b=2a+b。若 3※x=7，y※4=10，则 x+y 的值是（　　） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 【B 组 · 能力提升】第 7—9 题，选做，共 12 分 7．二元一次方程 x+2y=7 的正整数解有（　　） A．1 组　　B．2 组　　C．3 组　　D．4 组 8．已知关于 x、y 的方程组 ，则下列 x 与 y 之间的关系式（不含 a）正确的是（　　） A．3x+y=−5　　B．x+2y=5a　　C．x−y=4a　　D．7x+8y=−6 9．已知方程组 ，则 x+y 的值是（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．5 【C 组 · 培优冲刺】第 10 题，挑战，共 4 分 10．已知 x−2y=3，则 2x−4y+1 的值是（　　） A．5　　B．6　　C．7　　D．8 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 【A 组 · 基础过关】第 11—13 题，必做，共 12 分 11．若 是二元一次方程 2x+ay=8 的一个解，则 a=________。 12．关于 x、y 的二元一次方程 2x+y=8 的三组解如下表，则 ab 的值是________。 x 3 a 5 y 2 4 b 13．解方程组 时，①−② 得 y=________。 【B 组 · 能力提升】第 14—15 题，选做，共 8 分 14．若 |2x−y−3|+(x+2y−4)2=0，则 x=________，y=________。 15．已知方程组 ，则 x=________，y=________。 【C 组 · 培优冲刺】第 16 题，挑战，共 4 分 16．若方程组 的解也是方程 kx+y=5 的解，则 k=________。 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 56 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 【A 组 · 基础过关】第 17—18 题，必做，共 12 分 17．（6 分）用代入消元法解下列方程组： （1） （2） 18．（6 分）下面是小明用加减消元法解方程组的过程，请仔细阅读，并完成任务。 解方程组： 解：①×2，得 6x+4y=14 ③；②×3，得 6x+3y=24 ④； ③−④，得 y=−10 ⑤； 把 y=−10 代入①，得 3x−20=7，解得 x=9； 所以原方程组的解是 x=9，y=−10。 （1）小明的解答从方程 ______ 开始出现错误。（1 分） 错误原因是 ________________________________________________。（1 分） （2）请写出正确的解答过程。（4 分） 【B 组 · 能力提升】第 19—21 题，选做，共 24 分 19．（8 分）先阅读材料，再解方程组。 材料：解方程组 由①得 x−y=1③，把③作为一个整体代入②，得 4×1−y=5，解得 y=−1，进而得 x=0。这种把某个式子看成一个整体的方法，能使运算更简便。 请用材料中的方法解方程组： 20．（8 分）已知关于 x、y 的方程组 （1）若它的解满足 x+y=5，求 k 的值； （2）求原方程组的解。 21．（8 分）甲、乙两人解方程组 甲看错了①中的 a，解得 x=−3，y=−1；乙看错了②中的 b，解得 x=5，y=4。 （1）求 a、b 的值； （2）求 |a|+b 的值。 【C 组 · 培优冲刺】第 22—24 题，挑战，共 20 分 22．（8 分）已知 y=x2+ax+b，当 x=1 时 y=2；当 x=−2 时 y=−1。 （1）求 a、b 的值； （2）当 x=−3 时，求 y 的值。 23．（6 分）已知二元一次方程 3x+2y=17。 （1）用含 x 的式子表示 y； （2）求出这个方程的所有正整数解。 24．（6 分）已知关于 x、y 的方程组 与 的解相同。 （1）求 a、b 的值； （2）求 ab 的值。 参考答案与详细解析 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1．D 二元一次方程要同时满足三点：只含两个未知数、含未知数的项的次数都是 1、是整式方程。 A 只有 3x−2y 一个式子，没有等号，它不是方程；B 中的 xy 是二次项；C 中 y2 是二次项； D 中 2x 与 −y 都是一次项，且只含 x、y 两个未知数。故选 D。 易错：判定时先看有没有等号，再看未知数的个数与次数，三项缺一不可。 2．B 因为方程是关于 x、y 的二元一次方程，所以含未知数的项的次数都是 1，且系数不为 0。 由 y 的次数为 1 得 |m|=1，所以 m=1 或 m=−1； 又 x 的系数 m−1≠0，所以 m≠1。综上，m=−1。故选 B。 易错：只由 |m|=1 得出 m=±1 就收手，漏掉“x 的系数不能为 0”这个条件。 3．B 把各组数逐组代入两个方程检验。 当 x=3，y=1 时，2×3−1=5，左边等于右边，第一个方程成立； 3+2×1=5，第二个方程也成立，所以这组数是方程组的解。故选 B。 其余各组：A 中 1−2×(−3)=7≠5；C 中 2−2×(−1)=4≠5；D 中 0−5=−5≠5，都不满足第二个方程。 4．A 把 x=y+2 代入②，得 3(y+2)+5y=14，去括号得 3y+6+5y=14， 合并同类项得 8y+6=14，移项得 8y=8。故选 A。 易错：去括号时 3(y+2) 要写成 3y+6，不能只把 3 乘到 y 上。 5．B 两个方程中 x 的系数都是 2，完全相同，只要把两个方程相减，x 就被消去了。 ①−② 得 (2x+3y)−(2x−y)=7−3，即 4y=4，所以 y=1； 把 y=1 代入②得 2x−1=3，x=2。故选 B。 要点：同一个未知数的系数相同就相减，系数互为相反数就相加。 6．B 按定义把新运算翻译成普通算式：3※x=2×3+x=6+x，由 6+x=7 得 x=1； y※4=2y+4，由 2y+4=10 得 y=3。所以 x+y=1+3=4。故选 B。 要点：新运算题的关键是把记号翻译成普通算式，这里得到的是两个一元一次方程。 7．C 由 x+2y=7 得 x=7−2y。因为 x、y 都是正整数，所以 y 只能取 1、2、3。 当 y=1 时 x=5；当 y=2 时 x=3；当 y=3 时 x=1；当 y≥4 时 x≤−1，不符合要求。 所以正整数解为 x=5，y=1；x=3，y=2；x=1，y=3，共 3 组。故选 C。 要点：二元一次方程有无数个解，加上“正整数”这个限制后，解就只有有限个。 8．A 要得到不含 a 的关系，就要让 a 的系数互相抵消：①中 a 的系数是 4，②中是 −5。 取 5×①+4×②，得 5x−5y=20a−15，4x+8y=−20a，两式相加得 9x+3y=−15。 两边同除以 3，得 3x+y=−5。故选 A。 检验：取 a=0，方程组为 x−y=−3，x+2y=0，解得 x=−2，y=1，3×(−2)+1=−5，符合。 B、C 中仍含字母 a；D 中 7x+8y=−17a−6，也含 a，都不正确。 9．C 两个方程中 x、y 的系数之和都是 5，把两式相加得 5x+5y=15， 两边同除以 5 得 x+y=3。故选 C。 要点：本题不需要分别求出 x、y，把两式相加就能整体得到 x+y，这是“整体思想”。 10．C 由 x−2y=3，两边同乘 2 得 2x−4y=6。 所以 2x−4y+1=6+1=7。故选 C。 要点：把 2x−4y 看成一个整体，先由已知条件求出整体的值，再代入求代数式的值。 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11．3 因为 x=1，y=2 是方程 2x+ay=8 的解，把 x=1、y=2 代入方程， 得 2×1+a×2=8，即 2+2a=8，所以 2a=6，a=3。 要点：方程的解就是使方程两边相等的未知数的值，代入后就变成关于 a 的一元一次方程。 12．−4 表格里的每一对 x、y 都是方程 2x+y=8 的解，代入一定成立。 把 (a,4) 代入得 2a+4=8，解得 a=2；把 (5,b) 代入得 2×5+b=8，解得 b=−2。 先检验第一组：2×3+2=8，成立，说明读表没有问题。所以 ab=2×(−2)=−4。 要点：方程的解代入方程一定成立，这是“由表格求字母”的依据。 13．1 ①−② 得 (3x+2y)−(3x−y)=8−5，即 3y=3，所以 y=1。 要点：两个方程中 x 的系数相同，相减就能把 x 消去，只剩含 y 的一元一次方程。 14．2，1 因为 |2x−y−3|≥0，(x+2y−4)2≥0，而它们的和为 0， 所以两个式子都必须等于 0，即 2x−y−3=0 且 x+2y−4=0。 由 2x−y=3 得 y=2x−3，代入 x+2y=4 得 x+2(2x−3)=4， 去括号得 x+4x−6=4，即 5x=10，x=2；再把 x=2 代入 y=2x−3 得 y=1。 要点：几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0，这是把非负性转化为方程组的常用方法。 15．1，3 设 x+y=u，x−y=v，原方程组化为 3u−2v=16，2u+3v=2。 ①×3 得 9u−6v=48，②×2 得 4u+6v=4，两式相加得 13u=52，所以 u=4； 把 u=4 代入 3u−2v=16 得 12−2v=16，所以 v=−2。 于是 x+y=4，x−y=−2，两式相加得 2x=2，x=1；两式相减得 2y=6，y=3。 要点：把 x+y 与 x−y 各看成一个整体，方程组立刻变成最简单的形式，这是换元的威力。 16．2 先解方程组：2x−y=3 得 y=2x−3，代入 3x+2y=8 得 3x+2(2x−3)=8， 即 3x+4x−6=8，7x=14，所以 x=2，y=2×2−3=1。 因为这组解也是 kx+y=5 的解，所以 2k+1=5，2k=4，k=2。 要点：先把方程组解出来，再把解代入含字母 k 的方程，顺序不能颠倒。 三、解答题（第 17、18、23、24 题各 6 分，第 19、20、21、22 题各 8 分） 17．（6 分） （1）把 y=2x−1 代入 3x+2y=12，得 3x+2(2x−1)=12， 去括号得 3x+4x−2=12，即 7x=14，所以 x=2； 把 x=2 代入 y=2x−1 得 y=3。所以方程组的解是 x=2，y=3。（3 分） 检验：把 x=2，y=3 代入 3x+2y=12，左边 6+6=12，与右边相等。 （2）由②得 x=y+1，代入①得 2(y+1)+3y=7， 去括号得 2y+2+3y=7，即 5y=5，所以 y=1； 把 y=1 代入 x=y+1 得 x=2。所以方程组的解是 x=2，y=1。（3 分） 检验：把 x=2，y=1 代入 2x+3y=7，左边 4+3=7，与右边相等。 要点：代入法要先“用一个未知数表示另一个”，代入时别忘了给整个式子加括号。 18．（6 分） （1）从方程④开始出现错误：方程②×3 时，3y 漏乘了 3，应得 6x+9y=24。（2 分） （2）①×2 得 6x+4y=14③，②×3 得 6x+9y=24④。 ③−④ 得 4y−9y=14−24，即 −5y=−10，所以 y=2。（2 分） 把 y=2 代入①得 3x+4=7，3x=3，所以 x=1。 所以原方程组的解是 x=1，y=2。（2 分） 检验：3×1+2×2=7，2×1+3×2=8，都成立。 要点：用一个数乘方程时，每一项（含常数项）都要乘到，漏乘是加减消元最常见的错误。 19．（8 分） 由①得 2x−3y=2③。 把③作为一个整体代入②，得 ，即 1+2y=9，解得 y=4。（4 分） 把 y=4 代入③得 2x−12=2，2x=14，x=7。所以方程组的解是 x=7，y=4。（4 分） 检验：2×7−3×4−2=0；(14−12+5)/7+2×4=1+8=9，都成立。 要点：方程中反复出现同一个式子（如 2x−3y）时，把它看成一个整体代入，少解一个方程； 本题也可以把②整理成 2x+11y=58 后用加减法解，两种方法都对，整体代入更简便。 20．（8 分） （1）把两个方程相加，得 (2x+3y)+(3x+2y)=14+k， 即 5x+5y=14+k，也就是 5(x+y)=14+k。 因为 x+y=5，所以 5×5=14+k，即 25=14+k，所以 k=11。（4 分） （2）k=11 时，原方程组为 2x+3y=14，3x+2y=11。 两式相加得 5x+5y=25，即 x+y=5；两式相减得 −x+y=3，即 y=x+3。 把 y=x+3 代入 x+y=5 得 x+x+3=5，所以 x=1，y=4。 所以原方程组的解是 x=1，y=4。（4 分） 检验：2×1+3×4=14，3×1+2×4=11，符合题意。 21．（8 分） （1）甲看错了①中的 a，说明他解出的 x=−3，y=−1 仍然满足没有看错的方程②， 把 x=−3，y=−1 代入②得 4×(−3)−b×(−1)=−2，即 −12+b=−2，所以 b=10。 乙看错了②中的 b，说明他解出的 x=5，y=4 仍然满足没有看错的方程①， 把 x=5，y=4 代入①得 5a+5×4=15，即 5a+20=15，所以 5a=−5，a=−1。 所以 a=−1，b=10。（5 分） （2）|a|+b=|−1|+10=1+10=11。（3 分） 要点：错解不等于完全没用——看错了哪个方程，那个方程就不能用，另一个方程仍然成立。 22．（8 分） （1）把 x=1，y=2 代入 y=x2+ax+b，得 1+a+b=2，即 a+b=1； 把 x=−2，y=−1 代入，得 4−2a+b=−1，即 −2a+b=−5。 两个条件合起来就是关于 a、b 的方程组：a+b=1，−2a+b=−5。 两式相减得 3a=6，所以 a=2；把 a=2 代入 a+b=1 得 b=−1。（5 分） （2）把 a=2，b=−1 代入，得 y=x2+2x−1。 当 x=−3 时，y=(−3)2+2×(−3)−1=9−6−1=2。（3 分） 要点：把几组已知的值分别代入含字母系数的式子，就得到关于字母的方程组， 再解这个方程组求出字母，这种方法叫待定系数法，后面学习一次函数时还会大量用到。 23．（6 分） （1）由 3x+2y=17 得 2y=17−3x，两边同除以 2， 得 。（2 分） （2）因为 x、y 都是正整数，所以 17−3x 必须是正偶数。 当 x=1 时 y=7；当 x=3 时 y=4；当 x=5 时 y=1；当 x=7 时 y=−2，不符合要求。 所以这个方程的正整数解是三组：x=1，y=7；x=3，y=4；x=5，y=1。（4 分） 要点：求正整数解时，先用一个未知数表示另一个，再按“正整数”逐个试算，注意边界。 24．（6 分） （1）两个方程组的解相同，说明这个解同时满足第一个方程组。先解 2x+3y=7，3x+2y=8。 两式相加得 5x+5y=15，即 x+y=3；两式相减得 −x+y=−1，即 y=x−1。 把 y=x−1 代入 x+y=3 得 x+x−1=3，所以 x=2，y=1。 把 x=2，y=1 代入 ax+by=10 与 bx+ay=8，得 2a+b=10，a+2b=8。 两式相加得 3a+3b=18，即 a+b=6；两式相减得 a−b=2。 所以 a=4，b=2。（4 分） （2）ab=42=16。（2 分） 要点：同解方程组先解已知的那个，再把公共解代入含字母的那个，两步走。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $