3.1 方程课堂同步分层训练卷 2026-2027学年沪科版七年级数学上册

3.1　方程 课堂同步分层训练卷　2026-2027 学年沪科版七年级数学上册 第 3 章　一次方程与方程组　　满分 120 分　　建议用时 60 分钟 班级＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号＿＿＿＿＿＿　　得分＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分。每小题只有一个选项符合题意） 【A 组 · 基础过关】第 1—6 题，必做，共 24 分 1．下列式子中，是方程的是（　　） A．3+2=5　　B．x−1=2　　C．2x−1＜0　　D．a+b 2．下列方程中，解为 x=3 的是（　　） A．4x−3=3x+1　　B．x2=3x C．2(x+3)=4(x+1)−2　　D．x+4=3(2x−1) 3．若 x=2 是关于 x 的方程 ax2+bx−4=0 的解，则 2025−4a−2b 的值是（　　） A．1011　　B．1015　　C．2021　　D．2029 4．已知 a=b，则下列等式不一定成立的是（　　） A．a+1=b+1　　B．2a=b+2 C．2a=2b　　D．a−b=0 5．已知 a+4=b+5，下列判断正确的是（　　） A．a＜b　　B．a=b　　C．a＞b　　D．无法判断 6．买两种布料共 138 m，花了 540 元，蓝布料每米 5 元，黑布料每米 3 元。 设买黑布料 x m，列方程正确的是（　　） A．3x+5(138−x)=540　　B．5x+3(138−x)=540 C．3x+5(540−x)=138　　D．5x+3(540−x)=138 【B 组 · 能力提升】第 7—9 题，选做，共 12 分 7．若 a、b 互为相反数（a≠0），则方程 ax+b=0 的解为（　　） A．1　　B．−1　　C．−1 或 1　　D．任意数 8．若方程 2x+a=5 与 3x=6 的解相同，则 a 的值为（　　） A．1　　B．−1　　C．3　　D．2 9．《孙子算经》记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问车几何？ 其译文为：若每 3 人乘一车，则空 2 辆车；若每 2 人乘一车，则剩 9 人步行。 设共有 x 辆车，可列方程为（　　） A．3(x−2)=2x+9　　B．3(x+2)=2x−9 C．3x−2=2x+9　　D．3(x−2)=2x−9 【C 组 · 培优冲刺】第 10 题，挑战，共 4 分 10．规定：若关于 x 的方程 ax=b 的解为 x=b−a，则称该方程为“差解方程”。 例如：方程 2x=4 的解为 x=2，而 2=4−2，所以 2x=4 是差解方程。 若关于 x 的方程 4x=m 是差解方程，则 m 的值为（　　） A．　　B．3　　C．4　　D．16 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 【A 组 · 基础过关】第 11—13 题，必做，共 12 分 11．下列式子：①3−4=−1；②2x−5y；③1+2x=0；④6x+4y=2；⑤3x2−2x+1=0。 其中是等式的有__________，是方程的有__________（填序号）。 12．下列各数：−1，0，1，3 中，是方程 3x−2=4+x 的解的是__________。 13．写出一个解为 x=2 的方程：__________（写出一个即可）。 【B 组 · 能力提升】第 14—15 题，选做，共 8 分 14．把方程 3x=2a+5 变形为 x=，依据是等式两边都__________。 15．已知 3x−2y=5，用含 y 的式子表示 x，得 x=__________。 【C 组 · 培优冲刺】第 16 题，挑战，共 4 分 16．若 |a−1|+(b+2)2=0，则方程 ax+b=0 的解为__________。 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 56 分。解答应写出文字说明、演算步骤） 【A 组 · 基础过关】第 17—18 题，必做，共 12 分 17．（6 分）利用等式的基本性质解方程，并写出检验过程。 （1）5−x=−2； （2）。 18．（6 分）根据题意，设未知数并列出方程（只列方程，不必求解）。 （1）一个长方形的周长是 10 cm，长与宽之比为 3∶2，求它的长和宽。 设宽为 x cm，可列方程为__________； （2）从一块正方形铁皮上沿一边截去一个长等于正方形边长、宽为 2 cm 的长方形， 余下部分的面积是 80 cm²。设原正方形铁皮的边长为 x cm，可列方程为__________。 【B 组 · 能力提升】第 19—21 题，选做，共 21 分 19．（7 分）小聪对小明说：“我是 6 月份出生的，我的年龄的 2 倍加上 10， 正好是我出生那个月的总天数。” （1）设小聪今年 x 岁，列出方程； （2）检验 x=10 是不是这个方程的解，并说出小聪今年几岁。 20．（7 分）判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）若 a=b，则 ； （2）若 ac=bc，则 a=b； （3）若 ，则 a=b。 21．（7 分）小明解方程 的过程如下： 第一步：去分母，两边都乘 6，得 3(x+1)−2(x−1)=1； 第二步：去括号，得 3x+3−2x+2=1； 第三步：合并同类项，得 x+5=1； 第四步：移项，得 x=−4。 （1）小明从第几步开始出错？请说明原因； （2）写出正确的解答过程。 【C 组 · 培优冲刺】第 22—24 题，挑战，共 23 分 22．（7 分）[材料阅读] 关于 x 的方程 ax=b：当 a≠0 时，方程有唯一的解 x=； 当 a=0 且 b=0 时，方程有无数个解；当 a=0 且 b≠0 时，方程没有解。 （1）若关于 x 的方程 (k−3)x=5 没有解，求 k 的值； （2）若关于 x 的方程 (2m−1)x=n+2 有无数个解，求 m、n 的值。 23．（8 分）甲、乙两班共有 90 人，从甲班调 5 人到乙班后，两班人数相等。 （1）设甲班原有 x 人，用含 x 的式子表示乙班原有的人数； （2）根据“调动后两班人数相等”列出方程； （3）检验 x=50 是不是这个方程的解，并说明它是否符合题意。 24．（8 分）如图，两个天平都保持平衡。设 ●、▲、■ 的质量分别为 a、b、c。 （1）由图①可得等式__________（用 a、b 表示）； （2）由图②可得等式__________（用 a、b、c 表示）； （3）求 ▲ 的质量是 ■ 的质量的几倍，并说明理由。 参考答案与详细解析 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1．B 方程必须同时满足两个条件：含有未知数，并且是等式。 A 中 3+2=5 是等式，但不含未知数；C 中 2x−1＜0 是不等式； D 中 a+b 不含等号，是代数式；只有 B 既含未知数又是等式。故选 B。 要点：判断时先看有没有等号，再看有没有未知数，两个条件都要满足。 2．B 把 x=3 逐项代入检验： A 中左边 4×3−3=9，右边 3×3+1=10，左边≠右边； B 中左边 32=9，右边 3×3=9，左边=右边，成立； C 中左边 2×(3+3)=12，右边 4×(3+1)−2=14，不成立； D 中左边 3+4=7，右边 3×(2×3−1)=15，不成立。故选 B。 要点：检验一个数是不是方程的解，就是把它分别代入左右两边看是否相等。 3．C 把 x=2 代入方程：a×22+b×2−4=0，即 4a+2b=4。 要求的是 2025−4a−2b=2025−(4a+2b)，把 4a+2b=4 整体代入， 得 2025−4=2021。故选 C。 易错：想先求出 a、b 各自的值，但一个方程求不出两个字母，只能用整体代入。 4．B A 是两边都加 1，C 是两边都乘 2，D 是两边都减 b，都符合等式的基本性质，一定成立。 B 中左边把 a 乘 2，右边却给 b 加 2，两边做的不是同一件事，所以不一定成立。 事实上 a=b=0 时 2a=0，b+2=2，两者不相等。故选 B。 要点：等式变形必须是“两边同时做同一个运算”，而且除数不能为 0。 5．C 由 a+4=b+5，两边都减去 4，得 a=b+1。 因为 1＞0，所以 a 比 b 大 1，即 a＞b。故选 C。 易错：看到左右两边都有 4、5 就以为 a=b；要先移项再看相差多少。 6．A 设黑布料 x m，则蓝布料为 (138−x) m。 黑布料每米 3 元，共花 3x 元；蓝布料每米 5 元，共花 5(138−x) 元。 两种布料共花 540 元，所以 3x+5(138−x)=540。故选 A。 易错：把“每米 5 元”配给了黑布料，误选 B；注意设的是黑布料。 7．A a、b 互为相反数，所以 b=−a。 代入方程得 ax−a=0，即 ax=a。 又 a≠0，两边都除以 a，得 x=1。故选 A。 易错：忽略 a≠0 这个条件，把 x 说成任意数（选项 D）。 8．A 先解不含 a 的方程：由 3x=6，两边都除以 3，得 x=2。 因为两个方程的解相同，所以 x=2 也是 2x+a=5 的解。 代入得 4+a=5，两边都减 4，得 a=1。故选 A。 要点：同解问题先把“能解的那个方程”解出来，再代入含字母的方程。 9．A 设共有 x 辆车。 每 3 人乘一车时空 2 辆车，说明实际用了 (x−2) 辆车，人数为 3(x−2)； 每 2 人乘一车时剩 9 人步行，说明 (x−2+2)=x 辆车都坐满 2 人，另有 9 人步行， 人数为 2x+9。 同一个人数用两种方式表示，所以 3(x−2)=2x+9。故选 A。 易错：把“空 2 辆车”写成 x+2，或漏掉步行的 9 人。 10．A 由 4x=m 得 x=。 依“差解方程”的定义，解应等于 b−a，即 =m−4。 两边都乘 4，得 m=4m−16；移项、合并得 3m=16，所以 m=。故选 A。 易错：把定义中的 b−a 记成 a−b，得到 =4−m，解出 m=。 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11．①③④⑤；③④⑤ 等式要求含等号：①③④⑤ 都含等号，②2x−5y 不含等号，是代数式。 方程还要含有未知数：①中 3−4=−1 没有未知数，所以不是方程； ③④⑤ 既含等号又含未知数，都是方程。 答案：等式有 ①③④⑤，方程有 ③④⑤。 易错：把 ① 也算作方程（它只是等式，是“恒等式”）。 12．3 把给出的数逐一代入 3x−2=4+x 检验： x=−1 时左边 −5，右边 3，不等；x=0 时左边 −2，右边 4，不等； x=1 时左边 1，右边 5，不等；x=3 时左边 7，右边 7，相等。 所以 x=3 是这个方程的解。答案：3。 要点：也可以先解方程：两边都减 x、再加 2，得 2x=6，x=3。 13．x+1=3（答案不唯一） 只要写出的方程含未知数、是等式，并且把 x=2 代入后左右两边相等即可。 例如 x+1=3：把 x=2 代入，左边 3，右边 3，成立； 又如 2x=4、x−2=0 都可以。 易错：写成 2=2 或 x=2+0 这类不含真正未知数的式子，就不是方程了。 14．除以 3（或都乘 ） 从 3x=2a+5 到 x=，左边由 3x 变成了 x，右边每一项都除以了 3。 所以依据是等式的基本性质：等式两边都除以同一个不为 0 的数，结果仍是等式。 这里除数是 3（3≠0），因此变形成立。 易错：答成“移项”或“合并同类项”，这两种变形都不会改变未知数的系数。 15． 由 3x−2y=5，两边都加上 2y，得 3x=2y+5。 两边都除以 3，得 x=。 要点：把含 y 的项看成已知，按“解关于 x 的方程”的步骤操作即可。 易错：只把 5 除以 3，漏掉 2y 也要除以 3。 16．x=2 由绝对值、平方都非负，且它们的和为 0，得 a−1=0，b+2=0， 所以 a=1，b=−2。 方程变为 x−2=0，两边都加 2，得 x=2。 易错：把 b=−2 代入时写成 ax−b=0，得到 x=−2。 三、解答题（共 56 分） 17．（6 分） （1）两边都减 5，得 −x=−7；两边都乘 −1，得 x=7。 检验：把 x=7 代入左边，5−7=−2，等于右边，所以 x=7 是原方程的解。 （2）两边都乘 12（12 是 3、12、4 的最小公倍数）， 得 4x+1=3；两边都减 1，得 4x=2；两边都除以 4，得 x=。 检验：左边 ×==，等于右边。 评分：每小题 3 分（解方程 2 分、检验 1 分）。 要点：每一步都要说清“两边同时做了什么”，这是“用等式性质解方程”的要求。 18．（6 分） （1）宽为 x cm，长与宽之比为 3∶2，所以长为 cm。 周长是 10 cm，即 2(x)=10。（也可写成 2x+2×=10） （2）原正方形边长为 x cm，截去部分的宽是 2 cm， 余下部分是一个长为 x、宽为 (x−2) 的长方形，面积是 x(x−2) cm2， 所以 x(x−2)=80。 评分：每小题 3 分（设未知数 1 分、列对方程 2 分）。 易错：第（1）问把“长∶宽=3∶2”写成 3x 与 2x，虽然比值对，但未知数含义变了， 要认准设的是哪一个量；第（2）问漏掉“宽为 x−2”而写成 x·2=80。 19．（7 分） （1）6 月份共有 30 天，由题意得 2x+10=30。 （2）把 x=10 代入：左边 2×10+10=30，右边 30，左边=右边， 所以 x=10 是这个方程的解，小聪今年 10 岁。 评分：（1）3 分（找准 30 天 1 分、列对方程 2 分），（2）4 分（代入 2 分、结论 2 分）。 要点：“检验”就是代入后比较左右两边，相等才是解；还要回答题目所问。 易错：把 6 月的天数记成 31 天，列成 2x+10=31。 20．（7 分） （1）错误。等式两边都除以 c 时，必须保证 c≠0；当 c=0 时， 没有意义。 （2）错误。由 ac=bc 得到 a=b，需要两边都除以 c，同样要 c≠0； 当 c=0 时，a 与 b 可以取任意值，例如 a=1，b=2，c=0 时 0=0 成立，但 a≠b。 （3）正确。等式两边都乘 2，得 a=b，符合等式的基本性质。 评分：每小题判断 1 分、说理 1—2 分，共 7 分。 要点：凡是要“除以一个字母”的变形，都要先说明这个字母不为 0。 21．（7 分） （1）从第一步开始出错。去分母时两边都乘 6，右边的 1 也要乘 6， 应得 3(x+1)−2(x−1)=6，而小明把右边写成了 1，漏乘了。 （2）正确过程：去分母，得 3(x+1)−2(x−1)=6； 去括号，得 3x+3−2x+2=6； 合并同类项，得 x+5=6； 移项，得 x=1。 评分：（1）3 分（指出第一步 1 分、说明漏乘 2 分），（2）4 分。 检验：把 x=1 代入原方程，左边 0=1，右边 1，成立。 要点：去分母时不含分母的项也要乘最简公分母，这是最常见的失分点。 22．（7 分） （1）方程 (k−3)x=5 没有解，说明 x 的系数为 0 而右边不为 0， 即 k−3=0，所以 k=3。（此时方程变成 0·x=5，无论 x 取何值都不成立） （2）方程 (2m−1)x=n+2 有无数个解，说明 x 的系数和右边的常数都为 0， 即 2m−1=0 且 n+2=0， 解得 m=，n=−2。（此时方程变成 0·x=0，任意 x 都成立） 评分：（1）3 分，（2）4 分（每个字母 2 分）。 要点：把方程整理成 ax=b 的形式再对号入座，是这类题的关键一步。 23．（8 分） （1）甲、乙两班共 90 人，甲班原有 x 人，所以乙班原有 (90−x) 人。 （2）调动后甲班有 (x−5) 人，乙班有 (90−x)+5 人， 由“两班人数相等”得 x−5=(90−x)+5。 （3）把 x=50 代入：左边 50−5=45，右边 (90−50)+5=45，左边=右边， 所以 x=50 是这个方程的解。 此时甲班原有 50 人，乙班原有 40 人，人数都是正数且总和为 90，符合题意。 评分：（1）2 分，（2）3 分，（3）3 分（检验 2 分、说明符合题意 1 分）。 要点：列方程前先把“调动后”的两个量分别表示出来，等量关系才不会找错。 24．（8 分） （1）图①左盘放 3 个 ●，右盘放 1 个 ▲，天平平衡，所以 3a=b。 （2）图②左盘放 1 个 ● 和 1 个 ▲，右盘放 2 个 ■，所以 a+b=2c。 （3）由 3a=b 得 a=，代入 a+b=2c，得 b=2c， 即 =2c，两边都乘 3 得 4b=6c，两边都除以 2 得 2b=3c，即 b=c。 所以 ▲ 的质量是 ■ 的质量的 倍（即 1.5 倍）。 评分：（1）2 分，（2）2 分，（3）4 分（消元 2 分、结论 2 分）。 要点：天平平衡就是“左右两边质量相等”，把图形翻译成等式后就变成了代数问题。 易错：只写 3a=b 与 a+b=2c 就停手，没有把 a 消去；本题的关键是用第一个等式把 a 换掉。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1　方程 课堂同步分层训练卷　2026-2027 学年沪科版七年级数学上册 第 3 章　一次方程与方程组　　满分 120 分　　建议用时 60 分钟 班级＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号＿＿＿＿＿＿　　得分＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分。每小题只有一个选项符合题意） 【A 组 · 基础过关】第 1—6 题，必做，共 24 分 1．下列式子中，是方程的是（　　） A．3+2=5　　B．x−1=2　　C．2x−1＜0　　D．a+b 2．下列方程中，解为 x=3 的是（　　） A．4x−3=3x+1　　B．x2=3x C．2(x+3)=4(x+1)−2　　D．x+4=3(2x−1) 3．若 x=2 是关于 x 的方程 ax2+bx−4=0 的解，则 2025−4a−2b 的值是（　　） A．1011　　B．1015　　C．2021　　D．2029 4．已知 a=b，则下列等式不一定成立的是（　　） A．a+1=b+1　　B．2a=b+2 C．2a=2b　　D．a−b=0 5．已知 a+4=b+5，下列判断正确的是（　　） A．a＜b　　B．a=b　　C．a＞b　　D．无法判断 6．买两种布料共 138 m，花了 540 元，蓝布料每米 5 元，黑布料每米 3 元。 设买黑布料 x m，列方程正确的是（　　） A．3x+5(138−x)=540　　B．5x+3(138−x)=540 C．3x+5(540−x)=138　　D．5x+3(540−x)=138 【B 组 · 能力提升】第 7—9 题，选做，共 12 分 7．若 a、b 互为相反数（a≠0），则方程 ax+b=0 的解为（　　） A．1　　B．−1　　C．−1 或 1　　D．任意数 8．若方程 2x+a=5 与 3x=6 的解相同，则 a 的值为（　　） A．1　　B．−1　　C．3　　D．2 9．《孙子算经》记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问车几何？ 其译文为：若每 3 人乘一车，则空 2 辆车；若每 2 人乘一车，则剩 9 人步行。 设共有 x 辆车，可列方程为（　　） A．3(x−2)=2x+9　　B．3(x+2)=2x−9 C．3x−2=2x+9　　D．3(x−2)=2x−9 【C 组 · 培优冲刺】第 10 题，挑战，共 4 分 10．规定：若关于 x 的方程 ax=b 的解为 x=b−a，则称该方程为“差解方程”。 例如：方程 2x=4 的解为 x=2，而 2=4−2，所以 2x=4 是差解方程。 若关于 x 的方程 4x=m 是差解方程，则 m 的值为（　　） A．　　B．3　　C．4　　D．16 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 【A 组 · 基础过关】第 11—13 题，必做，共 12 分 11．下列式子：①3−4=−1；②2x−5y；③1+2x=0；④6x+4y=2；⑤3x2−2x+1=0。 其中是等式的有__________，是方程的有__________（填序号）。 12．下列各数：−1，0，1，3 中，是方程 3x−2=4+x 的解的是__________。 13．写出一个解为 x=2 的方程：__________（写出一个即可）。 【B 组 · 能力提升】第 14—15 题，选做，共 8 分 14．把方程 3x=2a+5 变形为 x=，依据是等式两边都__________。 15．已知 3x−2y=5，用含 y 的式子表示 x，得 x=__________。 【C 组 · 培优冲刺】第 16 题，挑战，共 4 分 16．若 |a−1|+(b+2)2=0，则方程 ax+b=0 的解为__________。 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 56 分。解答应写出文字说明、演算步骤） 【A 组 · 基础过关】第 17—18 题，必做，共 12 分 17．（6 分）利用等式的基本性质解方程，并写出检验过程。 （1）5−x=−2； （2）。 18．（6 分）根据题意，设未知数并列出方程（只列方程，不必求解）。 （1）一个长方形的周长是 10 cm，长与宽之比为 3∶2，求它的长和宽。 设宽为 x cm，可列方程为__________； （2）从一块正方形铁皮上沿一边截去一个长等于正方形边长、宽为 2 cm 的长方形， 余下部分的面积是 80 cm²。设原正方形铁皮的边长为 x cm，可列方程为__________。 【B 组 · 能力提升】第 19—21 题，选做，共 21 分 19．（7 分）小聪对小明说：“我是 6 月份出生的，我的年龄的 2 倍加上 10， 正好是我出生那个月的总天数。” （1）设小聪今年 x 岁，列出方程； （2）检验 x=10 是不是这个方程的解，并说出小聪今年几岁。 20．（7 分）判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）若 a=b，则 ； （2）若 ac=bc，则 a=b； （3）若 ，则 a=b。 21．（7 分）小明解方程 的过程如下： 第一步：去分母，两边都乘 6，得 3(x+1)−2(x−1)=1； 第二步：去括号，得 3x+3−2x+2=1； 第三步：合并同类项，得 x+5=1； 第四步：移项，得 x=−4。 （1）小明从第几步开始出错？请说明原因； （2）写出正确的解答过程。 【C 组 · 培优冲刺】第 22—24 题，挑战，共 23 分 22．（7 分）[材料阅读] 关于 x 的方程 ax=b：当 a≠0 时，方程有唯一的解 x=； 当 a=0 且 b=0 时，方程有无数个解；当 a=0 且 b≠0 时，方程没有解。 （1）若关于 x 的方程 (k−3)x=5 没有解，求 k 的值； （2）若关于 x 的方程 (2m−1)x=n+2 有无数个解，求 m、n 的值。 23．（8 分）甲、乙两班共有 90 人，从甲班调 5 人到乙班后，两班人数相等。 （1）设甲班原有 x 人，用含 x 的式子表示乙班原有的人数； （2）根据“调动后两班人数相等”列出方程； （3）检验 x=50 是不是这个方程的解，并说明它是否符合题意。 24．（8 分）如图，两个天平都保持平衡。设 ●、▲、■ 的质量分别为 a、b、c。 （1）由图①可得等式__________（用 a、b 表示）； （2）由图②可得等式__________（用 a、b、c 表示）； （3）求 ▲ 的质量是 ■ 的质量的几倍，并说明理由。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $