3.7扇形提优特训A·B卷 数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上册

数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第三章圆第七节扇形》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.精准掌握弧、扇形的定义，理解圆心角、半径、弧长、扇形面积四者的比例关联，建立 “ 圆局部与整体 ” 的几何模型。 2.能推导弧长、扇形面积两套公式，理解公式的比例来源，能根据已知条件灵活选用公式，推理不规则阴影面积的转化思路。 3.能识别旋转扫过图形、重叠图形、拼接图形中的扇形结构，掌握割补、平移、等积转化的几何解题模型。 4.熟练完成弧长、扇形面积、扇形周长的精准计算，能解决中考高频阴影面积、旋转轨迹、组合图形计算题。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.弧长公式、扇形面积两套核心公式的理解与熟练运用。 2.已知半径、圆心角、弧长、面积中任意两个量，求解剩余未知量。 3.扇形周长的完整计算（弧长+两条半径，中考高频易错）。 4.基础阴影面积：扇形与三角形、弓形、圆的组合加减计算。 （二） 难点 1.两套扇形面积公式的灵活选型（已知圆心角选比例式、已知弧长选简易式）。 2.旋转、折叠、动点轨迹问题中隐形扇形的识别。 3.不规则阴影面积的割补转化、等积替换思维。 4.区分扇形面积与扇形周长的计算差异，规避漏边、多算问题。 )三．知识梳理 （一）核心概念 1.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧是曲线，只有长度，没有面积。 2.扇形：由一条弧和经过这条弧两端点的两条半径所围成的封闭图形。 （1）扇形三要素：半径R、圆心角n°、对应弧长l。 （2）扇形是圆的一部分，圆心角占360°的比例 = 弧长占圆周长比例 = 扇形面积占圆面积比例（所有公式的底层原理）。 （二）三大必考公式（核心） 1.弧长公式 圆周长C=2πR，360°对应整圆周长，1°圆心角弧长：，n°圆心角弧长：（n不带单位°）。 适用场景：已知圆心角、半径，求曲线长度；旋转轨迹长度。 2.扇形面积两套公式 （1）角度式面积公式 S扇形= 360o圆心角，对应整个圆的面积πR2 =>1o圆心角对应的扇形面积： => no圆心角对应的扇形面积：S扇形= （2）弧长关联式面积公式 S扇形=lR  已知弧长公式：，变形得 代入角度面积公式：S扇形= （三）公式互推与选型技巧 1.给角度优先用：，S扇形= 2.给弧长优先用：S。 3.知二求二：四个量（n、R、l、S），任意已知两个，可求剩余两个。 （四）三类必考图形面积模型 1.弓形面积S弓形=S扇形±S三角形 （1）劣弧弓形(弧<半圆） S弓形=S扇形-S三角形 （2）优弧弓形(弧>半圆） S弓形=S扇形+S三角形 2. 常规阴影组合模型 （1）阴影 = 扇形面积 − 三角形面积 （2）阴影 = 大圆/小圆面积 ± 扇形面积 （3）多扇形拼接：等圆心角、等半径扇形可直接合并角度计算 3. 旋转扫过面积（压轴高频） 图形绕定点旋转，扫过区域为环形扇形：扫过面积 = 大扇形面积 − 小扇形面积 （五）重要规律结论（提速秒杀） 1.同圆中：圆心角越大，弧长越长、扇形面积越大。 2.圆心角相等：半径越大，弧长、面积越大。 3.半径相等：圆心角成正比等于弧长、面积之比。 （六）圆锥相关知识 1.圆锥相关概念 （1） 形成：直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥。 （2）母线：圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段。圆锥所有母线长度都相等 （3）高：圆锥顶点到底面圆心的垂线段 （4）底面半径：圆锥底面圆的半径 （5）母线、半径、高关系的（勾股定理必考） 母线2=半径2+高2 母线是直角三角形斜边，永远最长 2.圆锥展开图 圆锥侧面沿母线剪开 → 扇形，圆锥底面→圆。 （1）扇形半径 = 圆锥母线l （2）扇形弧长 = 圆锥底面圆周长2πr 3.圆锥侧面积公式（必背） 4、圆锥全面积（表面积） A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025秋·盐城亭湖期末）航天探测器零件上一段圆弧，对应圆半径为6，圆心角60°，这段劣弧的弧长为（ ） A.π B.2π C.3π D.6π 2.（2026春·苏州姑苏月考）校园艺术节手工扇形道具，扇形半径4，圆心角90°，该扇形面积为（ ） A.4π B.8π C.16π D.32π 3.（2025秋·泰州姜堰期中）一个扇形弧长4π，半径为6，则扇形面积是（ ） A.12π B.24π C.36π D.48π 4.（2026无锡滨湖二模）圆锥底面半径3，母线5，侧面积（ ） A.15π B.20π C.25π D.30π 5.（2024徐州云龙期中）扇形围成圆锥，扇形半径8，弧长6π，圆锥底面半径（ ） A.2 B.3 C.4 D.6 6．如图，是半圆的直径，是半圆上两点，且满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 7.如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B． C． D． 8.图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（  ） A.米 B．米 C．米 D．米 9.如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（  ） A. B． C． D． 10.如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A. B． C． D． 二．填空题（共30分） 11.（2025秋·盐城大丰期末）⊙O半径8，圆心角45°，对应的劣弧长等于______。 12.（2026·镇江京口月考）扇形半径为6，弧长2π，扇形的面积等于______。 13.（2025常州天宁期末）圆锥高3，底面半径4，母线=____ 14.如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则弧AE的长为 　 　． 15.如图（1）所示的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）所示的杯子中，那么一共需要 　 　个这样的杯子？（单位：cm） 16．如果把一个圆柱体橡皮泥的一半捏成与圆柱底面积相等的圆锥，则这个圆锥的高与圆柱的高的比为 　 　． 17．已知一个圆柱的全面积是其侧面积的倍，且这个圆柱的全面积是72π，则该圆柱的底面半径r为 　 　． 18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，阴影部分的面积为_________． 19.如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则底面圆的直径的长为__________. 20.如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是________cm 三．解答题（共60分） 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）作⊙O，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的圆中，若AC＝2，AB＝4，求劣弧BC的长． 22．如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）． (1)若与关于原点成中心对称，则点的坐标为______； (2)以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转90°，得到，则点的坐标为______； (3)求出（2）中线段扫过的面积． 23.如图，一个用卡纸做成的圆饼状图形放置在V形架中，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B，⊙O的半径为2 cm，AB=6 cm. (1)求∠ACB的度数； (2)若将扇形AOB做成一个圆锥，求此圆锥的底面圆半径. 24．如图，为的直径，为的弦．的角平分线交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求阴影部分的面积（结果保留）． 25．如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重合，已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°． （1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； （2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 26.如图，有一个直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始阶段Ⅰ位置开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题： （1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为 　 　；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴位置关系是 　 　； （2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数； （3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过的图形的面积； （4）求OA的长．（结果保留π） B卷·强化提优 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026淮安淮阴三模）下列正确的是（ ） A.弧长只与半径有关 B.扇形面积只与圆心角有关 C.等弧必等长 D.圆锥母线都相等 2.（2026·盐城盐都二模）正方形边长为4，以正方形顶点为圆心，边长为半径画一段圆心角90°的弧，则该弧与正方形两边围成的扇形面积为（ ） A.2π B.4π C.8π D.16π 3.（2025秋·苏州工业园区期末）半径为6的圆中，弦AB所对圆心角为120°，则弦AB与劣弧AB围成的弓形面积是（ ） A.12π-9 B.24π-9 C.12π-18 D.24π-18 4.（2026镇江丹徒一模）圆锥底面半径2，母线4，侧面积（ ） A.4π B.8π C.12π D.16π 5．如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图1，点从正的顶点出发，沿方向运动到某一点后，再经过正三角形内部运动到边上某一点，然后沿方向运动到点停止，设点的运动路程为，，已知点运动时，随变化的关系图象如图2所示，则正的边长为（   ） A. B． C．2 D．3 7．如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A. B． C． D．． 8．如图所示，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分别为S甲、S乙．下列结论中正确的是（　　） A．S甲＞S乙 B．S甲＜S乙 C．S甲＝S乙 D．不确定 9.如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（    ） A. B． C． D． 10．如图是一张圆心为O，半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折叠，使得经过点O，将纸片⊙O展平后，作半径OB⊥OA，则图中阴影部分的面积等于（　　） A．（4π﹣4）cm2 B．πcm2 C．（﹣8）cm2 D．（π﹣8）cm2 二．填空题（共30分） 11.（2026·盐城大丰二模）在Rt△ABC，∠ACB=90°，BC=3， ∠A=30°，将△ABC绕B顺时针旋转120°，点A运动路径的弧长等于______。 12.（2025秋·苏州姑苏期末）半径为8，圆心角225°的扇形面积等于______。 13.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，且点D在上，∠BCD＝30°，则的长为 　 　． 14.如图，⊙O的半径为10，A、D是圆上任意两点，且AD＝8，以AD为边作正方形ABCD（点C、O在直线AD两侧）若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为___． 15．如图，直角三角形ABC中，，将三角形的斜边AB放在定直线L上，将点A按顺时针方向在L上转动两次，转动到的位置，设BC＝1，AC＝，AB＝2，则点A所经过的路线长是____________． 16．用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 　 　cm． 17．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 18．如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 19．如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，图中阴影部分的面积为_________． 20．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　 　． 三．解答题（共60分） 21．如图，的网格中，每个小方格的边长为1．的三个顶点都在格点上，为的外接圆． (1)仅用无刻度的直尺在指定的网格中作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①标出的外接圆圆心； ②在上作点，使平分； （2）的长度为______． 22.如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2． （1）求α； （2）点C是OA上的一点，若OC＝4，求S阴影． 23．在矩形中，，，以为直径作半圆（如图1），点P为边上一点．将矩形沿折叠，使得点C的对应点E恰好落在边上（如图2）． (1)求的度数； (2)求阴影部分周长． 24．如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒． （1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； （2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值． 25.将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米． （1） 求线段的长度； （2）求在此过程中点运动至点所经过的路程． 26．如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足，交BC于点G，，连结，DG．设． (1)用含的代数式表示． (2)求证：． (3)如图2，为的直径，当的长为2时，求的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第三章圆第七节扇形》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.精准掌握弧、扇形的定义，理解圆心角、半径、弧长、扇形面积四者的比例关联，建立 “ 圆局部与整体 ” 的几何模型。 2.能推导弧长、扇形面积两套公式，理解公式的比例来源，能根据已知条件灵活选用公式，推理不规则阴影面积的转化思路。 3.能识别旋转扫过图形、重叠图形、拼接图形中的扇形结构，掌握割补、平移、等积转化的几何解题模型。 4.熟练完成弧长、扇形面积、扇形周长的精准计算，能解决中考高频阴影面积、旋转轨迹、组合图形计算题。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.弧长公式、扇形面积两套核心公式的理解与熟练运用。 2.已知半径、圆心角、弧长、面积中任意两个量，求解剩余未知量。 3.扇形周长的完整计算（弧长+两条半径，中考高频易错）。 4.基础阴影面积：扇形与三角形、弓形、圆的组合加减计算。 （二） 难点 1.两套扇形面积公式的灵活选型（已知圆心角选比例式、已知弧长选简易式）。 2.旋转、折叠、动点轨迹问题中隐形扇形的识别。 3.不规则阴影面积的割补转化、等积替换思维。 4.区分扇形面积与扇形周长的计算差异，规避漏边、多算问题。 )三．知识梳理 （一）核心概念 1.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧是曲线，只有长度，没有面积。 2.扇形：由一条弧和经过这条弧两端点的两条半径所围成的封闭图形。 （1）扇形三要素：半径R、圆心角n°、对应弧长l。 （2）扇形是圆的一部分，圆心角占360°的比例 = 弧长占圆周长比例 = 扇形面积占圆面积比例（所有公式的底层原理）。 （二）三大必考公式（核心） 1.弧长公式 圆周长C=2πR，360°对应整圆周长，1°圆心角弧长：，n°圆心角弧长：（n不带单位°）。 适用场景：已知圆心角、半径，求曲线长度；旋转轨迹长度。 2.扇形面积两套公式 （1）角度式面积公式 S扇形= 360o圆心角，对应整个圆的面积πR2 =>1o圆心角对应的扇形面积： => no圆心角对应的扇形面积：S扇形= （2）弧长关联式面积公式 S扇形=lR  已知弧长公式：，变形得 代入角度面积公式：S扇形= （三）公式互推与选型技巧 1.给角度优先用：，S扇形= 2.给弧长优先用：S。 3.知二求二：四个量（n、R、l、S），任意已知两个，可求剩余两个。 （四）三类必考图形面积模型 1.弓形面积S弓形=S扇形±S三角形 （1）劣弧弓形(弧<半圆） S弓形=S扇形-S三角形 （2）优弧弓形(弧>半圆） S弓形=S扇形+S三角形 2. 常规阴影组合模型 （1）阴影 = 扇形面积 − 三角形面积 （2）阴影 = 大圆/小圆面积 ± 扇形面积 （3）多扇形拼接：等圆心角、等半径扇形可直接合并角度计算 3. 旋转扫过面积（压轴高频） 图形绕定点旋转，扫过区域为环形扇形：扫过面积 = 大扇形面积 − 小扇形面积 （五）重要规律结论（提速秒杀） 1.同圆中：圆心角越大，弧长越长、扇形面积越大。 2.圆心角相等：半径越大，弧长、面积越大。 3.半径相等：圆心角成正比等于弧长、面积之比。 （六）圆锥相关知识 1.圆锥相关概念 （1） 形成：直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥。 （2）母线：圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段。圆锥所有母线长度都相等 （3）高：圆锥顶点到底面圆心的垂线段 （4）底面半径：圆锥底面圆的半径 （5）母线、半径、高关系的（勾股定理必考） 母线2=半径2+高2 母线是直角三角形斜边，永远最长 2.圆锥展开图 圆锥侧面沿母线剪开 → 扇形，圆锥底面→圆。 （1）扇形半径 = 圆锥母线l （2）扇形弧长 = 圆锥底面圆周长2πr 3.圆锥侧面积公式（必背） 4、圆锥全面积（表面积） A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025秋·盐城亭湖期末）航天探测器零件上一段圆弧，对应圆半径为6，圆心角60°，这段劣弧的弧长为（ ） A.π B.2π C.3π D.6π 【答案】B 【解析】弧长公式l=πR，代入n=60，R=6，→l=2π。 2.（2026春·苏州姑苏月考）校园艺术节手工扇形道具，扇形半径4，圆心角90°，该扇形面积为（ ） A.4π B.8π C.16π D.32π 【答案】A 【解析】扇形面积公式S=πR2，代入n=90，R=4→S=4π。 3.（2025秋·泰州姜堰期中）一个扇形弧长4π，半径为6，则扇形面积是（ ） A.12π B.24π C.36π D.48π 【答案】A 【解析】选用公式S=lR，代入l=4π，R=6→S=12π。 4.（2026无锡滨湖二模）圆锥底面半径3，母线5，侧面积（ ） A.15π B.20π C.25π D.30π 【答案】：A 【解析】：S侧=π×3×5=15π 5.（2024徐州云龙期中）扇形围成圆锥，扇形半径8，弧长6π，圆锥底面半径（ ） A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】：B 【解析】：2rπ=6π→r=3 6．如图，是半圆的直径，是半圆上两点，且满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】：如图，连接OC ∵∠ADC=120°，∴∠ABC=60°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=∠B=60°，OB=OC=BC=1，∴的长为 ，故答案为：A. 7.如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B． C． D． 【答案】A 【解析】扇形的长为：，∵扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，设围成圆锥的底面半径为，∴解得：． 8.图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（  ） A.米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】由题意知，，解得米，∵裙长为米，∴米，∴（米）． 9.如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（  ） A. B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，连接，∵在矩形中，，，，∴，；∴根据题意可知，点在两次旋转过程中经过的路径长为 10.如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A. B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，∵为的直径，∴，∵在中，，∴是的中线，∵是的中点，∴是的中位线，∴，∴，∴阴影部分的面积，∵，∴，∵四边形是圆的内接四边形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴阴影部分的面积． 二．填空题（共30分） 11.（2025秋·盐城大丰期末）⊙O半径8，圆心角45°，对应的劣弧长等于______。 【答案】2π 【解析】l=πR=×π×8=2π。 12.（2026·镇江京口月考）扇形半径为6，弧长2π，扇形的面积等于______。 【答案】6π 【解析】S=lR=×2π×6=6π。 13.（2025常州天宁期末）圆锥高3，底面半径4，母线=____ 【答案】：5 【解析】：l2=32+42=52→l=5. 14.如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则弧AE的长为 　 　． 【答案】 【解析】如图作AB、BC的垂直平分线，两线交于O，F为AB的中点，连接OA、OE、OC，由垂径定理得：＝，∴OA＝＝，∵∠AOE＝90°，∴弧AC的长是＝，答案． 15.如图（1）所示的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）所示的杯子中，那么一共需要 　 　个这样的杯子？（单位：cm） 【答案】 （2H+h）． 【解析】瓶子中大圆柱的容积为V大＝πa2H（cm3），瓶子中小圆柱容积V小＝a2h（cm3），杯子得容积为V杯子＝π（）2×8＝a2（cm3），则所需杯子个数为（πa2H+a2h）÷a2＝2H+h．故答案为：（2H+h）． 16．如果把一个圆柱体橡皮泥的一半捏成与圆柱底面积相等的圆锥，则这个圆锥的高与圆柱的高的比为 　 　． 【答案】3：2． 【解析】设圆柱的高为a，圆锥的高为b，圆柱底面积为S，根据题意得S•a＝•S•b，所以b：a＝3：2．故答案为：3：2． 17．已知一个圆柱的全面积是其侧面积的倍，且这个圆柱的全面积是72π，则该圆柱的底面半径r为 　 　． 【答案】2． 【解析】∵圆柱的全面积是其侧面积的倍，且这个圆柱的全面积是72π，∴侧面积＝72π×＝48π，∴底面积＝（72π﹣48π）＝12π，∴πr2＝12π，∴r＝2（负根已经舍去），故答案为：2． 18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，阴影部分的面积为_________． 【答案】﹣ 【解析】连接OE、AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝4，∠B＝∠D＝30°，∴AE＝AB＝2，BE＝＝2，∵OA＝OB＝OE，∴∠B＝∠OEB＝30°，∴∠BOE＝120°，∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△BOE，＝﹣×，＝﹣，＝﹣， 19.如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则底面圆的直径的长为__________. 【答案】2cm 【解析】设圆锥的底面的半径为rcm，根据题意得＝2πr，解得r＝1，所以底面圆的直径为2cm，故选：A． 20.如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是________cm 【答案】 【解析】∵底面圆半径为2，底面周长为，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为，根据题意有：，解得：，如图，∴，且为最短路径．圆锥的母线长为，，∴，故最短路径长是．故选：D． 三．解答题（共60分） 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）作⊙O，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的圆中，若AC＝2，AB＝4，求劣弧BC的长． 解：（1）如图，作线段AB的垂直平分线交AB于O点，然后以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O即为所求； （2）连接OC，∵AB=4 ，AC＝2∴OA＝OC＝2，，∴OA＝OC＝AC，∴△OAC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，∴劣弧BC的长为． 22．如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）． (1)若与关于原点成中心对称，则点的坐标为______； (2)以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转90°，得到，则点的坐标为______； (3)求出（2）中线段扫过的面积． 解：（1）∵与关于原点成中心对称，，∴点的坐标为．故答案为：； (2)如图，即为所求，点的坐标为．故答案为：； (3)∵，，∴线段扫过的面积=扇形的面积-扇形的面积． 23.如图，一个用卡纸做成的圆饼状图形放置在V形架中，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B，⊙O的半径为2 cm，AB=6 cm. (1)求∠ACB的度数； (2)若将扇形AOB做成一个圆锥，求此圆锥的底面圆半径. 解：(1)如图，过点O作OD⊥AB于点D.∵CA，CB是⊙O的切线，∴∠OAC=∠OBC=90°.∵AB=6 cm，∴BD=3 cm.在Rt△OBD中，∵OB=2 cm，∴OD= cm，∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°， ∴∠AOB=120°，∴∠ACB=60°. (2)的长为=.设圆锥底面圆的半径为r cm，则2πr=， ∴r=，即圆锥的底面圆半径为 cm. 24．如图，为的直径，为的弦．的角平分线交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求阴影部分的面积（结果保留）． 解：（1）为的直径，，．，，，． （2）为的直径且，．是的角平分线且，．，，．，，，为等腰直角三角形，阴影部分面积为圆面积减去，即，即阴影部分面积为． 25．如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重合，已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°． （1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； （2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 解：（1）根据题意得π•DE＝，∴DE＝AD，∴ED与母线AD长的比值为； （2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，而AD＝2DE＝10cm，∴BC＝2AD＝20cm， ∴S阴影部分＝S△ABC﹣S扇形EAF＝×10×20﹣＝（100﹣25π）cm2． 答：加工材料剩余部分的面积为（100﹣25π）cm2． 26.如图，有一个直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始阶段Ⅰ位置开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题： （1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为 　 　；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴位置关系是 　 　； （2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数； （3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过的图形的面积； （4）求OA的长．（结果保留π） 解：（1）∵⊙P的直径MN＝4，∴⊙P的半径＝2，∵⊙P与直线有一个交点， ∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切； 故答案为：2，相切； （2）位置Ⅲ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为＝π，NP＝2， ∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2； （3）由弧长公式可得，点N所经过路径长为＝2π，∵S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π，∴半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π＝6π； （4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形． 在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC﹣HC＝NC﹣PA＝1，∴∠NPH＝30°．∴∠MPA＝60°．从而的长为＝，∴OA的长为：π+4+π＝π+4． B卷·强化提优 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026淮安淮阴三模）下列正确的是（ ） A.弧长只与半径有关 B.扇形面积只与圆心角有关 C.等弧必等长 D.圆锥母线都相等 【答案】：D 【解析】：圆锥所有母线长度相等 2.（2026·盐城盐都二模）正方形边长为4，以正方形顶点为圆心，边长为半径画一段圆心角90°的弧，则该弧与正方形两边围成的扇形面积为（ ） A.2π B.4π C.8π D.16π 【答案】B 【解析】S=×π×42=4π. 3.（2025秋·苏州工业园区期末）半径为6的圆中，弦AB所对圆心角为120°，则弦AB与劣弧AB围成的弓形面积是（ ） A.12π-9 B.24π-9 C.12π-18 D.24π-18 【答案】A 【解析】扇形面积S=×π×62=12π；等腰三角形面积S==9；弓形面积12π-9。 4.（2026镇江丹徒一模）圆锥底面半径2，母线4，侧面积（ ） A.4π B.8π C.12π D.16π 【答案】：B 【解析】：S侧=π×2×4=8π 5．如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，是的外角，，是的直径，的半径为，的长为：． 6．如图1，点从正的顶点出发，沿方向运动到某一点后，再经过正三角形内部运动到边上某一点，然后沿方向运动到点停止，设点的运动路程为，，已知点运动时，随变化的关系图象如图2所示，则正的边长为（   ） A. B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】如图，由函数图象可得， 点P在内运动轨迹是以点B为圆心，为半径的弧长，，点P运动到时所经过的路程为，的长为，正，，，，，故选：D． 7．如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A. B． C． D．． 【答案】C 【解析】连接，，∵矩形中，，，∴，，，∴，，∴，∴，∴，，，，∴． 8．如图所示，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分别为S甲、S乙．下列结论中正确的是（　　） A．S甲＞S乙 B．S甲＜S乙 C．S甲＝S乙 D．不确定 【答案】C 【解析】∵S甲＝2π×b×a＝2πab，S乙＝2π×a×b＝2πba，∴S甲﹣S乙＝2πab﹣2πba ＝0，∴S甲﹣S乙＝0，∴S甲＝S乙，故选：C． 9.如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（    ） A. B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设旋转后，点的对应点分别为点，则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积，连接，∵矩形中，，，∴，∴，由旋转的性质得，，，∴线段在旋转过程中扫过的面积为，故选：A． 10．如图是一张圆心为O，半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折叠，使得经过点O，将纸片⊙O展平后，作半径OB⊥OA，则图中阴影部分的面积等于（　　） A．（4π﹣4）cm2 B．πcm2 C．（﹣8）cm2 D．（π﹣8）cm2 【答案】：D 【解析】：作OD⊥AC于H，交于点D，连接OC，∴∠AHO＝90°．由折叠得：弓形ABC与弓形AOC关于AC对称，S弓形ABC＝S弓形AOC，∴HO＝HD＝OD＝2，∴∠AHO＝∠AHD＝90°，在Rt△AOH中，由勾股定理，AH＝＝2．∴∠AOH＝60°．∵AO＝CO，OD⊥AC，∴∠AOC＝2∠AOH＝120°．AC＝2AH＝4．∴S弓形ABC＝S扇形OAC﹣S△OAC＝﹣×4×2＝﹣4．∴S阴影＝2S弓形ABC﹣S扇形OAB＝2（﹣4）﹣＝（）cm2．故选：D． 二．填空题（共30分） 11.（2026·盐城大丰二模）在Rt△ABC，∠ACB=90°，BC=3， ∠A=30°，将△ABC绕B顺时针旋转120°，点A运动路径的弧长等于______。 【答案】4π 【解析】AB=2BC=6，弧长l==πR=×π×6=4π。 12.（2025秋·苏州姑苏期末）半径为8，圆心角225°的扇形面积等于______。 【答案】40π 【解析】S=πR2=×π×82=40π。 13.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，且点D在上，∠BCD＝30°，则的长为 　 　． 【答案】 【解析】如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴∠AOD＝90°﹣60°＝30°，则的长为＝答案为：． 14.如图，⊙O的半径为10，A、D是圆上任意两点，且AD＝8，以AD为边作正方形ABCD（点C、O在直线AD两侧）若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为___． 【答案】16π 【解析】如图所示，连接OD、OC，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交BC于点F．∵AD为弦，OE⊥AD，由垂径定理可得DE=AE=AD=4．∵四边形ABCD为正方形，∴BC∥AD，AD=BC=8， ∴∠CFO=∠DEO=90°，∴四边形DEFC为矩形，CF=DE=4．∵AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的图形为以OC为外圆半径，OF为内圆半径的圆环，∴圆环面积为S=π•OC2-π•OF2=π（OC2-OF2）=π•CF2=16π．故答案为：16π． 15．如图，直角三角形ABC中，，将三角形的斜边AB放在定直线L上，将点A按顺时针方向在L上转动两次，转动到的位置，设BC＝1，AC＝，AB＝2，则点A所经过的路线长是____________． 【答案】． 【解析】点A的路线是由以B为圆心AB＝2为半径，圆心角为120度所对的弧，加上与以为圆心，AC＝为半径的四分之一圆弧长之和，即＝． 故答案为：． 16．用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 　 　cm． 【答案】 2 【解析】设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，由题意得：2πr＝，解得：r＝2，∴这个圆锥的底面圆的半径为2cm，故答案为：2． 17．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 【答案】 【解析】根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半径都为，则内部4个小圆的面积为，如图所示，根据剪纸中折叠的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于点E，圆心为点E，∴，则，∴，，，4个空白半圆的面积为，∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：，∴在中，弓形的面积为，同理，大圆内4个花瓣的面积和为，∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为 ． 18．如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 【答案】 【解析】如图，连接，由题意可得为的直径，，，∴，即扇形的对应半径为，∴弧的长为，设圆锥的底面圆半径为，则，∴，∴将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是． 19．如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，图中阴影部分的面积为_________． 【答案】π﹣ 【解析】连接AC，OD，过点O作OE⊥AD，垂足为E，∵∠ABC＝∠AOC，∠AOC＝2∠ADC，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∵AD＝CD，∴△ACD是正三角形，∴∠AOD＝120°，OE＝1，AD＝2，∴S阴影部分＝S扇形OAD﹣S△AOD＝×π×22﹣×2×1＝π﹣，故答案为：π﹣． 20．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　 　． 【答案】 【解析】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，的长l＝＝，∴阴影部分周长的最小值为2+＝． 故答案为：． 三．解答题（共60分） 21．如图，的网格中，每个小方格的边长为1．的三个顶点都在格点上，为的外接圆． (1)仅用无刻度的直尺在指定的网格中作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①标出的外接圆圆心； ②在上作点，使平分； （2）的长度为______． 解：(1)①的外接圆圆心，如图1即为所求； ②在上使平分的点，如图2即为所求； （2）由（1）中的②得出四边形是正方形，，，则的长度． 22.如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2． （1）求α； （2）点C是OA上的一点，若OC＝4，求S阴影． 解：（1）设∠AOB＝n°，根据题意得2π×2＝，解得n＝120，所以α为120°；（2）过C点作CD⊥BO于D，如图，∵∠BOC＝120°，∴∠COD＝60°，∴OD＝OC＝2，∴CD＝OD＝2，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC＝﹣×6×2＝12π﹣6． 23．在矩形中，，，以为直径作半圆（如图1），点P为边上一点．将矩形沿折叠，使得点C的对应点E恰好落在边上（如图2）． (1)求的度数； (2)求阴影部分周长． 解：（1）∵四边形是矩形，，∴，，由折叠的性质得：，∵，∴，∴，∴； （2）如图，设阴影部分所在的圆心为O，连接，由（1）得：，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴阴影部分周长． 24．如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒． （1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； （2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值． 解：（1）设BC与⊙O交于点M，当t＝2.5时，BE＝2.5，∵EF＝10，∴OE＝EF＝5， ∴OB＝2.5，∴EB＝OE，在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，∴ME＝MO，又∵MO＝EO， ∴ME＝EO＝MO，∴△MOE是等边三角形，∴∠EOM＝90°，∴＝＝， 即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为； （2）连接GO，HO，∵∠GOH＝90°，∴∠AOG+∠BOH＝90°，∵∠AGO+∠AOG＝90°，∴∠AGO＝∠BOH，在△AGO和△OBH中，，∴△AGO≌△BOH（AAS）， ∴OB＝AG＝t﹣5，∵AB＝7，∴AE＝t﹣7，∴AO＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t，在Rt△AGO中，AG2+AO2＝OG2，∴（t﹣5）2+（12﹣t）2＝52，解得：t1＝8，t2＝9，即t的值为8或9． 25.将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米． （1） 求线段的长度； （2）求在此过程中点运动至点所经过的路程． 解：（1）∵MG∥PQ，∴∠FGM=∠FBP=30°．∴在中，（米）．（2）连接A1A2，则必过点D1，且四边形A1BGA2是矩形．∴A1A2=BG=BF-GF=（米）．∵四边形ABCD和四边形A1BC1D1都是正方形，∴AB=A1B，∠A1BC1=∠ABC=90°．∴∠ABA1=180°-∠A1BC1-∠FBP=180°-90°-30°=60°．∴（米）．∴在整个运动过程中，点A运动至A2的路程为：（米）． 26．如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足，交BC于点G，，连结，DG．设． (1)用含的代数式表示． (2)求证：． (3)如图2，为的直径，当的长为2时，求的长． 解：（1），，； （2）证明：，，，，，，，，，，在和中，，． （3）如图，连接，，，，，，，为的直径，，，，对应的圆心角，，的长的长的长为2，的长为3． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $