精品解析：福建龙岩市新罗区龙岩莲东中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

龙岩莲东中学与龙钢学校教育组团 2026-2027学年第一学期第一次阶段性统一练习 九年级数学学科 （时间：120分钟） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 3. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 6. 对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，的最小值为1 7. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是一元二次方程两个根，则的值为（ ） A. B. ． C. D. 9. 若三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 方程的根是_____． 12. 已知函数是二次函数，则常数的取值范围是______． 13. 已知二次函数有最大值，则的取值范围是________． 14. 若个人参加酒会，每两个人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，写出符合题意的方程___________． 15. 已知二次函数中，若，则的取值范围是______． 16. 已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边的长等于__________． 三、解答题（9大题，共86分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，求这个二次函数的解析式． 19. 如图，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶嵌宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，已知整个挂图的面积是，求金色纸边的宽是多少． 20. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）根据图象回答：当自变量满足什么条件时，随增大而增大？ 21. 已知关于x的方程：． （1）求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设，是方程的两个根，且，求m的值． 22. 根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量 　 　（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量 　 　（用含的代数式表示）． 任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 23. 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 24. 数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……． 【发现问题】：在探究的过程中，容易发现10是三角形前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】：前多少行的点数和是465？ 【分析问题】：数形结合是解决数学问题的重要思想；下面表格分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前10行的点数 ①， 由①式倒序：②， ①②： 所以，即前10行点数为55个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】： （1）请根据材料通过代数运算求前行的点数和． （2）前______行的点数和是465． 【应用延伸】： （3）如图3，该点阵的点数从上到下依次为：这个点阵的点数和能是841吗？请说明理由． 25. 在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． （1）若，求该抛物线的解析式以及对称轴． （2）若该抛物线顶点纵坐标为，且对称轴为直线，求当时对应的函数值． （3）若，填空：抛物线对称轴直线的取值范围：______________________． （4）在（3）的条件下，已知点在该抛物线上，比较的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩莲东中学与龙钢学校教育组团 2026-2027学年第一学期第一次阶段性统一练习 九年级数学学科 （时间：120分钟） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将各方程化为最简形式，再根据一元二次方程的定义判定． 【详解】解：A、方程分母含未知数，不是整式方程，故不是一元二次方程； B、，即方程化简为，未知数最高次数为1，故不是一元二次方程； C、，则方程可整理为，故是一元二次方程； D、方程含、两个未知数，故不是一元二次方程． 2. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】把x=-1代入方程x2-2x+m=0得1+2+m=0，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：根据题意，将x=-1代入x2-2x+m=0，得：1+2+m=0， 解得m=-3， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 4. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的平移遵循：上加下减，左加右减的规律，据此即可解答. 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是； 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键. 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：， 则， 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 6. 对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，的最小值为1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握函数的性质． 根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：，， A：抛物线，对称轴为直线，故该选项不符合题意； B：抛物线，顶点坐标为，故该选项不符合题意； C：抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； D：顶点坐标为，函数有最大值，最大值为，故该选项符合题意． 故选：D． 7. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确找到等量关系列出方程是解题关键．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，再由第三个季度生产零件共196万个列出方程即可． 【详解】解：设该厂八、九月份平均每月的增长率为， 由题意得，， 故选：C． 8. 已知，是一元二次方程两个根，则的值为（ ） A. B. ． C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，，在原方程中找到一元二次方程的系数 a、b、c就可以求出的值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程两个根， ∴由根与系数的关系得，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟悉相关性质是解题的关键． 9. 若三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由二次函数可知，其图象开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵ ， ∴ 10. 已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 方程的根是_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，， 故答案为：，． 12. 已知函数是二次函数，则常数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数，可得，进一步求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知二次函数有最大值，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可得m+1<0，解不等式即可得答案. 【详解】∵二次函数y=（m+1）x 2 有最大值， ∴m+1＜0，即m＜-1， 故答案为m＜-1. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知“a>0时，函数有最小值；a<0时，函数有最大值”是解题的关键. 14. 若个人参加酒会，每两个人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，写出符合题意的方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】个人两两碰杯不重复，每一次碰杯会被两人重复计算，总碰杯次数为55，据此列方程． 【详解】解：∵总共有个人参加酒会，每两个人只碰一次杯， ∴每个人需要和除自身外的个人碰杯， ∴实际总碰杯次数为， ∵已知总碰杯次数为， ∴可列方程． 15. 已知二次函数中，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，该二次函数的对称轴为直线，开口向上，则当时，函数有最小值为，又，故当时，函数有最大值为，从而得出的取值范围，熟练运用二次函数的性质求解函数值的范围是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，该二次函数的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，函数有最大值为， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 16. 已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边的长等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理及二次根式的应用，求得方程的两个根是关键．解一元二次方程，求得方程的两根，由勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：解方程， 得：，， 即：直角三角形的两直角边分别和， 由勾股定理得斜边长为：． 故答案为：． 三、解答题（9大题，共86分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解： ∴ 解得，； 【小问2详解】 解： 其中 ，，， 则， ∴， 解得，． 18. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，得出的值是解题关键．直接利用顶点式假设出二次函数解析式，进而代入求出即可． 【详解】解：设二次函数解析式为， 则由顶点为知，． ， 把代入解析式得， 解得， 解析式为． 19. 如图，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶嵌宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，已知整个挂图的面积是，求金色纸边的宽是多少． 【答案】金色纸边的宽是 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找出题目中的等量关系； 设金色纸边的宽为，根据题意可知：挂图的长为、挂图的宽为，结合整个挂图的面积是，列出方程求解即可． 【详解】解：设金色纸边的宽是， 依题意，得，即 解得（不合舍去） 答：金色纸边的宽是． 20. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）根据图象回答：当自变量满足什么条件时，随增大而增大？ 【答案】（1）； （2） 解：列表： 描点，连线， 如图， （3）当时，随增大而增大． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过配方法配成顶点式即可； （）利用画函数图象的步骤即可求解； （）根据二次函数的图象及性质解答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据图象可知：当时，随增大而增大． 21. 已知关于x的方程：． （1）求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设，是方程的两个根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明： ， 因为， 所以， 所以无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）m的值为3或 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）表示出根的判别式，证明大于零即可； （2）利用根与系数的关系得，，再将变形为，进而可得关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，是方程的两个根， 所以，， 又因为， 即， 所以， 解得或， 所以m的值为3或． 22. 根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量 　 　（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量 　 　（用含的代数式表示）． 任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 【答案】任务1：件，件；任务2：甲店每天的盈利为1050元，乙店每天的盈利为1040元；任务3：11元 【解析】 【分析】任务1，由题意即可得出结论； 任务2，由盈利＝每件盈利×销售量，分别列式计算即可； 任务3，设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2244元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：任务1，根据题意得： 甲店每天的销售量为件，乙店每天的销售量为件， 故答案为：件，件； 任务2，当时，甲店每天的盈利为（元）； 当时，乙店每天的盈利为（元）； 任务3，设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2244元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；②当时，有最小值为 （2）解：∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）正确， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）①把代入，得： ； ∴； ②∵， ∴当时，有最小值为； （2）略 （3）正确； ∵， ∴当时，有最小值为， 即：， ∴当时，有最大值，为． 24. 数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……． 【发现问题】：在探究的过程中，容易发现10是三角形前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】：前多少行的点数和是465？ 【分析问题】：数形结合是解决数学问题的重要思想；下面表格分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前10行的点数 ①， 由①式倒序：②， ①②： 所以，即前10行点数为55个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】： （1）请根据材料通过代数运算求前行的点数和． （2）前______行的点数和是465． 【应用延伸】： （3）如图3，该点阵的点数从上到下依次为：这个点阵的点数和能是841吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）30 （3）解：这个点阵的点数和能是841．理由： 设， ， 则． 同（1）可得， ． 当时， 解得或（不合题意，舍去）． 当时，这个点阵的点数和是841． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，根据题目的探究过程列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据倒序相加法即可求解； （2）理解题意，列出方程，即可求解； （3）设，依据（1）中的方法可求得：，进而得到，再列出方程并判断是否有符合题意的解，即可得出结论． 【详解】解：（1）由题意，得①． 由①式倒序，得②， ①②，得． ，即前行的点数和为． （2）当时， 解得：，（舍）， 故前30行的点数和为465． （3）略 25. 在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． （1）若，求该抛物线的解析式以及对称轴． （2）若该抛物线顶点纵坐标为，且对称轴为直线，求当时对应的函数值． （3）若，填空：抛物线对称轴直线的取值范围：______________________． （4）在（3）的条件下，已知点在该抛物线上，比较的大小，并说明理由． 【答案】（1），； （2） （3） （4）解：，理由如下， 点在该抛物线上， ，，， ，即， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，求出的值，即可得到抛物线解析式和对称轴； （2）先求出的值，得到抛物线解析式，即可求出当时的函数值； （3）根据得到，继而得出，即可得到； （4）；理由：根据题意得到，，，得出，，即可得到结论． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， 抛物线的解析式为， 抛物线对称轴为直线； 【小问2详解】 解：对称轴为直线， ， ， ， 抛物线的顶点为， 抛物线顶点纵坐标为， ，即， ， 抛物线的解析式为， 当时，； 【小问3详解】 解：点和点在抛物线上， ，， ， ，即， 与异号， ， ， ， ， ； 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $