精品解析：福建省龙岩市上杭县第三中学2025-2026学年九年级上学期第二次综合训练数学试题

上杭三中2025～2026学年第一学期第二次综合训练 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，掌握其概念是解题的关键． 一元二次方程的概念，含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，符合题意； B、含有两个未知数，不符合题意； C、含有一个未知数，但未知数的最高次数为1，不符合题意； D、不是整式方程，不符合题意； 故选：A ． 2. 下列二次函数的图象开口向上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向由a来决定，当时，二次函数的开口向上；当时，二次函数的开口向下；进而问题可求解． 【详解】解：由选项可知：B、C、D选项开口都是向下的，只有A选项的开口向上； 故选：A． 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形是中心对称图形，符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 4. 的半径为，点M到圆心O的距离，则点M与的位置关系为（　　） A. 点M在圆上 B. 点M在圆外 C. 点M在圆内 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，掌握知识点是解题的关键． 根据点与圆的位置关系，比较点到圆心的距离与半径的大小即可判断． 【详解】解：的半径为，点M到圆心O的距离， ∴， ∴点M在圆外． 故选B． 5. 小实同学翻开数学课本某页，页码是偶数，这一事件是（） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，涉及知识点：事件的分类（随机事件是可能发生也可能不发生的事件）．解题方法是根据课本页码的特征（既有奇数也有偶数），判断事件发生的可能性；解题关键是区分不同类型事件的定义，易错点是混淆“必然”与“随机”的条件． 【详解】课本的页码有奇数也有偶数，翻开某页时，页码可能是偶数，也可能是奇数， 因此“页码是偶数”这一事件是随机事件． 故选A． 6. 在《数学知识赛》上，小逸同学给竞争对手抛出了一道旋转题，作为观赛选手，请大家都来挑战一下：如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由旋转的性质得，，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得，， ∴． 故选：B． 7. 在暗箱中有3张白色卡片和若干张红色卡片，这些卡片除颜色外其他均相同．多次试验后发现摸到红色卡片的频率稳定在，则暗箱中红色卡片可能有（ ） A. 5张 B. 4张 C. 3张 D. 2张 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率． 根据频率稳定在，可知摸到红色卡片的概率为，利用概率公式建立方程求解． 【详解】解：设红色卡片有张，则总卡片数为张． ∵摸到红色卡片的频率稳定在， ∴概率为， 解得：， ∴红色卡片有2张． 故选：D． 8. 已知是关于x的方程的一个根，则m的值为（    ） A. 6 B. C. 16 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的定义，将代入方程即可求解． 【详解】解：∵ 是方程 的一个根， ∴， 即， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 9. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 10. 如图，为的外接圆，，，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，若，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，连接，由等腰直角三角形的性质得出，证明是等腰直角三角形，再由勾股定理求出，再证明，得出即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ，， ， ， ， ． 在中， ． 作关于对称的图形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， 把代入中得， ． 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，把点的坐标代入函数解析式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将代入得：． 故答案为：2． 12. 将二次函数的图象向下平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象平移，涉及知识点：二次函数图象的平移规律（“上加下减”，即图象上下平移时，直接在函数表达式的常数项上加减平移的单位）．解题方法是根据“向下平移减”的规律，在原函数表达式后减去平移的单位；解题关键是掌握“上加下减”的平移法则，易错点是混淆上下平移与左右平移的规律． 【详解】由“上加下减”原则，将二次函数的图象向下平移4个单位长度，所得抛物线的表达式为． 故答案为． 13. 已知点与点关于原点对称，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，求代数式的值，根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标都互为相反数，求出a和b的值，再计算它们的和． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：5． 14. 如图，将半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转，此时点A到了点，则曲线（虚线部分）的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、弧长公式，熟记弧长公式是解答的关键．利用旋转性质得到，，然后利用圆的周长公式和弧长公式求解即可． 【详解】解：由旋转性质得，， ∴曲线（虚线部分）的长度为， 故答案为：． 15. 圆锥的底面圆半径为，母线为，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥侧面积，解题关键是掌握圆锥的侧面积计算方法并能运用求解． 直接应用圆锥侧面积公式求解． 【详解】解：根据圆锥的侧面积公式，其中，， 代入得． 故答案为：． 16. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a+b+c＞0．其中正确的是______． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】根据已知函数图像判断出各式子的大小判断即可； 【详解】由图可知，函数图象与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 当时，，故③错误； 当时，，故④正确； 综上所述，正确的是①④； 故答案是①④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ 解得 18. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转性质得到旋转角即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ， ∴． 19. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】利用半径OA＝OC可得∠COB＝2∠A，然后利用∠COB＝2∠PCB即可证得结论，再根据圆周角定理，易得∠PCB＋∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线． 【详解】连接AC， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO． ∴∠COB＝2∠ACO． 又∵∠COB＝2∠PCB， ∴∠ACO＝∠PCB． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACO+∠OCB＝90°． ∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP． ∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线． 【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定及圆周角定理的运用，关键是利用半径OA＝OC可得∠COB＝2∠A． 20. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 【答案】 证明：过作，垂足为E， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，根据垂径定理证明即可． 【详解】略 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点． （1）将向上平移6个单位长度得到，请在图中画出；（点A、B、C的对应点分别为点） （2）已知与关于原点成中心对称，请在图中画出．（点A、B、C的对应点分别为点） 【答案】（1） 如图，即为求． （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查作图-旋转变换与平移变换，掌握旋转变换和平移变换的定义与性质并据此得到其变换后对应点是解题的关键． （1）将三个顶点分别向上平移6个单位得到其对应点，然后顺次连接即可； （2）根据中心对称图形的性质得到其对应点，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两根互为相反数，求m的值． 【答案】（1） 证明：， ∴，，， ∵， ∴该方程总有两个不相等的实数根． （2）4 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵该方程的两根互为相反数， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． 23. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 【答案】（1）1152元 （2）75元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据降价后的每件利润和销售量计算总利润； （2）设降价x元，根据利润公式列方程求解，选择降价多的方案以优惠最大，再求销售价． 【小问1详解】 解：降价8元，每件利润为（元）， 销售量为（件）， 利润为（元）， 答：降价8元，每天销售T恤衫的利润为1152元； 【小问2详解】 解：设每件T恤衫降价x元，则销售价为元， 每件利润为元， 销售量为件， 由题意得， 整理得， 解得， ∵优惠最大， ∴取， 销售价为（元）． 答：每件T恤衫的销售价应该定为75元． 24. 抛物线交轴于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标； （3）在抛物线对称轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的解析式，根据动点求面积最值问题，坐标系中特殊三角形问题，把握二次函数相关的特征与性质，分析出面积与线段关系，并能够进行准确的计算是解题的关键． （1）将A、B两点的坐标代入解析式求解即可； （2）过点作轴交于点，先利用A、B两点的坐标求出直线的解析式，设，求得，列出与的函数关系式即可求解； （3）设点坐标为，根据两点距离公式可求得、、，再根据等腰三角形有两边相等列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如图1，过点作轴交于点， 设直线的解析式为，将A、B两点的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值，， 此时； 【小问3详解】 ∵ 抛物线的解析式为， ∴对称轴为， 设点坐标为， 由点，，可得： ，，， 当时，，解得：，，即点，， 当时，，解得：，即点，， 当时，，解得：，即点， 综上所述：点坐标为或或或或． 25. 已知与都是等腰直角三角形，． （1）如图①，连接，，判断与的关系，并说明理由； （2）如图②，当点恰好落在上，求证：，，，四个点在同一个圆上； （3）当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1） ，；理由如下， ∵， ∴，即， ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于点， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2） 证明：如图，取的中点M，连接， 根据（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，四个点在以M为圆心，为半径的同一个圆上； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用证明即可得出，，延长交的延长线于点，进而证明，即可得出； （2）同（1）可得得出，进而可得，即可得证； （3）分两种情况讨论，根据（1）的结论得出是直角三角形，根据勾股定理，即可求解． 本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形对角互补； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当在上时， ∵，，与都是等腰直角三角形， ∴ 由（1）可得， 设，则， 在中， ∴， 解得（负值舍去） ∴； 当在的延长线上时， 设，则， 在中， ∴， 解得（负值舍去） ∴； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上杭三中2025～2026学年第一学期第二次综合训练 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次函数的图象开口向上的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 4. 的半径为，点M到圆心O的距离，则点M与的位置关系为（　　） A. 点M在圆上 B. 点M在圆外 C. 点M在圆内 D. 无法确定 5. 小实同学翻开数学课本某页，页码是偶数，这一事件是（） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法判断 6. 在《数学知识赛》上，小逸同学给竞争对手抛出了一道旋转题，作为观赛选手，请大家都来挑战一下：如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 在暗箱中有3张白色卡片和若干张红色卡片，这些卡片除颜色外其他均相同．多次试验后发现摸到红色卡片的频率稳定在，则暗箱中红色卡片可能有（ ） A. 5张 B. 4张 C. 3张 D. 2张 8. 已知是关于x的方程的一个根，则m的值为（    ） A. 6 B. C. 16 D. 9. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为的外接圆，，，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，若，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为__________． 12. 将二次函数的图象向下平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为_____． 13. 已知点与点关于原点对称，则_______． 14. 如图，将半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转，此时点A到了点，则曲线（虚线部分）的长度为_______． 15. 圆锥的底面圆半径为，母线为，则圆锥的侧面积为______． 16. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a+b+c＞0．其中正确的是______． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，求的度数． 19. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线． 20. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点． （1）将向上平移6个单位长度得到，请在图中画出；（点A、B、C的对应点分别为点） （2）已知与关于原点成中心对称，请在图中画出．（点A、B、C的对应点分别为点） 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两根互为相反数，求m的值． 23. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 24. 抛物线交轴于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标； （3）在抛物线对称轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 25. 已知与都是等腰直角三角形，． （1）如图①，连接，，判断与的关系，并说明理由； （2）如图②，当点恰好落在上，求证：，，，四个点在同一个圆上； （3）当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $