精品解析：四川达州市宣汉县土黄中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试题

宣汉县土黄中学2026-2027学年八年级上学期10月月考数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2. 已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是（ ） A. 或 B. C. D. 或 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形底边上的高为（ ） A. B. C. D. 或 6. 实数在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（　　） A. B. C. D. 7. 若a、b为实数，且，则的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 3或5 D. 5 8. 如图所示，等腰与等腰中，，，，则（ ） A. 9 B. 11 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：_______1(用>，<，=填空) 10. 已知与关于轴对称，则______． 11. 已知是的三边长，若，则的形状是________． 12. 设，则的值是 ___________． 13. 如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 已知的算术平方根是3，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 16. 如图，在直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴对称的图形； （2）写出点、、的坐标； （3）求的面积． 17. 我们规定，对数轴上的任意点P进行如下操作：先将点P表示的数乘以﹣1，再把所得数对应的点向右平移2个单位，得到点P的对应点P'．现对数轴上的点A，B进行以上操作，分别得到点A'，B'． （1）若点A对应的数是﹣2，则点A'对应的数x=　　　　 ；若点B'对应的数是2，则点B对应的数y=　　　　． （2）在（1）的条件下，求代数式的值． 18. 如图，在中，于点，，． （1）求的长； （2）若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则_______． 20. 如图，，，若数轴上点所表示的数为，则的值为________． 21. 若，则___________． 22. 清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理（如图），若的斜边，，则图中线段的长为______． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是___________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在坐标系中描出，并求边上的高； （2）以为直角边，作，使其面积为，则点E的坐标为 （3）若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，求点Q的坐标； 25. 阅读下面材料： 将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： （1）当，时，______，______； （2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； （3）当，时，令，，，…，，且，求T的值． 26. 已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°． （1）如图1，若D为△ACB内部一点，请判断AE与BD的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知∠CAE=90°，AC=AE，，AB=BC=1，求BE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣汉县土黄中学2026-2027学年八年级上学期10月月考数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，算术平方根，无理数就是无限不循环小数，首先计算算术平方根，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：， 无理数有，， （两个1之间依次多一个6），共3个． 故选：C 2. 已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 【详解】解：A、∵，， ∴最大角为， ∴不是直角三角形， 故本选项符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本选项不符合题意； C、∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 故选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．先根据题意得出P点坐标，根据平行于x轴设出Q点的坐标，进而可得出结论． 【详解】解：∵第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2， ∴P， ∵平行于x轴， ∴设， ∵， ∴， ∴或， ∴Q或． 故选：A． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加减，直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则分别计算，进而得出答案，正确化简二次根式是解题的关键． 【详解】解：．，故该选项错误； ．，故该选项错误； ．无法合并，故该选项错误； ．，故该选项正确； 故选：． 5. 等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形底边上的高为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，没有说明是腰还是底，分类讨论，只有一种成立，2为底，由等腰三角形底边上的高具有三线合一性质，可求出BD，再由勾股定理可求AD即可． 【详解】等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm， 当2为腰时，二腰长为4，底长为10-4=6，由于6>2+2，不能构成三角形， 当2为底时，腰为（10-2）÷2=4，4+4>2，可以构成三角形，则AB=AC=4，BC=2， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD=BC=1， 在Rt△ABD中，由勾股定理的AD=． 故选择：C． 【点睛】本题考查等腰三角形底边上的高，会分类讨论三角形成立的条件，会用三角形三线合一的性质，会用勾股定理解决问题是解题的关键． 6. 实数在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两点在数轴上的位置判断出的符号，再根据二次根式性质进行化简，利用去绝对值运算即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，涉及二次根式的性质、去绝对值等知识，熟知数轴上各点与全体实数是一一对应关系是解答此题的关键． 7. 若a、b为实数，且，则的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 3或5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的性质，熟练运用，即可解题． 首先根据题意，列出不等式组，即可解得，，即可得解． 【详解】根据题意，得 解得 ∴ ∴ 故答案为A． 8. 如图所示，等腰与等腰中，，，，则（ ） A. 9 B. 11 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】连接CD，BE，证明△CAD≌△BAE从而得到CD⊥BE，根据勾股定理可得结论； 【详解】如图：连接CD，BE ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠CAD＝∠BAE， 在△CAD和△BAE中， ∵ ∴△CAD≌△BAE（SAS）， ∴CD＝BE； ∴∠ADC＝∠AEB， ∴∠EOD＝∠EAD＝90°， ∴∠EOD＝∠EOC＝∠BOC＝∠BOD＝90°， ∴，， ∵AB＝2，AD＝1， ∴，， ∴； 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：_______1(用>，<，=填空) 【答案】< 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 10. 已知与关于轴对称，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了求关于轴对称的点的坐标，解一元一次方程，解题关键是掌握关于轴对称的点的特征． 根据关于轴对称的点的特征，列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵与关于轴对称， ∴， 解得：， 故答案为：1． 11. 已知是的三边长，若，则的形状是________． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题可根据绝对值、平方数和算术平方根的非负性求出三角形三边的长度，再根据三边长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．本题主要考查了绝对值、平方数和算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理．熟练掌握绝对值、平方数和算术平方根的非负性质（若干个非负数的和为，则每个非负数都为），以及勾股定理的逆定理（若三角形的三边、、满足，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键． 【详解】解：∵，，，且， ∴ 解得 ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 12. 设，则的值是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】观察、的结构，先通过平方差公式计算的乘积，再利用幂的运算法则将高次幂的乘积转化为含的低次幂形式，简化计算过程． 【详解】解：∵，， ∴． 将所求代数式变形，利用积的乘方逆运算可得 ． ∵． ∴原式． 13. 如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是______． 【答案】##49平方厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，由勾股定理可证明，同理可得，，则． 【详解】解：如图所示，在中，由勾股定理得， 由正方形的面积计算公式可得， ∴， 同理可得，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 15. 已知的算术平方根是3，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 【答案】±8 【解析】 【分析】先根据题意已知式子的算术平方根和立方根的意义列式，求出a=5，b=2，并求出的整数部分c=7，然后把a、b、c的值代入，求出的平方根． 【详解】解：根据题意可得 2a−1==9，解得a=5； 3a+b−14==27，把a=5代入可得b=26； 因为， 所以c=7； 把a=5，b=26，c=7代入得， =5+2×26+7=64， ∴的平方根为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了已知式子的算术平方根和立方根求式子的值，求无理数的整数部分，求代数式的平方根的有关知识． 16. 如图，在直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴对称的图形； （2）写出点、、的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，坐标与图形．熟练掌握作轴对称图形，轴对称的性质，坐标与图形是解题的关键． （1）利用轴对称的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作答即可； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由题意得，，． 【小问3详解】 解：由题意知． ∴的面积为． 17. 我们规定，对数轴上的任意点P进行如下操作：先将点P表示的数乘以﹣1，再把所得数对应的点向右平移2个单位，得到点P的对应点P'．现对数轴上的点A，B进行以上操作，分别得到点A'，B'． （1）若点A对应的数是﹣2，则点A'对应的数x=　　　　 ；若点B'对应的数是2，则点B对应的数y=　　　　． （2）在（1）的条件下，求代数式的值． 【答案】（1）4，；（2）． 【解析】 【分析】（1）由已知可得：（-2）×（-1）+2=4，（+2）×（-1）+2，即可求x与y的值； （2）将x=4，y=−代入所求式子化简即可． 【详解】（1）由已知可得：(﹣2)×(﹣1)+2=4， ∴A'对应的数x=4； (2)×(﹣1)+2， ∴B对应的数y； 故答案为：4，-； （2）当x=4，y时，()． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值；掌握实数的运算法则和二次根式的化简方法是解题的关键． 18. 如图，在中，于点，，． （1）求的长； （2）若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是分类讨论和熟练全等三角形的相关知识． （1）结合已知条件，利用勾股定理即可求得； （2）①由勾股定理得，并利用证得，有，即可求得； ②分两种情况：当点在线段上时，由面积比得，求得，并得到和，可得，利用等角对等边即可求得；当在线段的延长线上时．由面积比得，可求得，同理，即可求得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：； 【小问2详解】 解：①在中，由勾股定理得：． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②分两种情况： 如图，当点在线段上时． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在线段的延长线上时． ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得： ∴， ∴， 综上所述，的长为或． B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】题考查了二次根式的运算，利用法则合并同类二次根式是解题关键． 合并同类二次根式即可． 【详解】解：由得， ． 故答案为：2． 20. 如图，，，若数轴上点所表示的数为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，解题的关键是求出，根据勾股定理求出，即可得a的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 21. 若，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，绝对值的运算，解题思路是利用二次根式的性质将原式化为绝对值的和，再根据的取值范围去掉绝对值符号，合并同类项得到结果． 【详解】解： ，， ． 22. 清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理（如图），若的斜边，，则图中线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC，根据全等三角形的性质得到AF＝BC＝6，EF＝AC＝8，求出FC，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，AC＝， ∵Rt△ACB≌Rt△EFA， ∴AF＝BC＝6，EF＝AC＝8， ∴FC＝AC﹣AF＝2， ∴CE＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】观察点的坐标变化，寻找规律．先找出周期，再根据周期计算对应的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中点的规律探索，熟练掌握通过观察点的坐标变化寻找周期规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，…， ∴下标为的倍数的点，其坐标为（为下标）． 进一步观察，每个点为一组，横坐标依次增加，纵坐标在处． ∴是第组的最后一个点． ∴的坐标为 故答案为： 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在坐标系中描出，并求边上的高； （2）以为直角边，作，使其面积为，则点E的坐标为 （3）若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，求点Q的坐标； 【答案】（1） 如图所示， 边上的高为； （2），，， （3）点Q的坐标为或． 【解析】 【分析】此题考查了坐标与图形，勾股定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先画出，然后利用勾股定理求出，然后利用网格求出，然后根据三角形面积公式得到，进而求解即可； （2）设边上的高为x，根据三角形面积公式求出，得到的另一条直角边长为，然后根据网格的特点求解即可； （3）首先根据题意得到，求出，设，则，根据题意得到，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：设边上的高为h， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴边上的高为； 【小问2详解】 解：∵为直角边，作，使其面积为， ∴设边上的高为x， ∴，即， ∴， ∴的另一条直角边长为， ∵， ∴如图所示， 由网格特点得，当为直角边时，，； 当为直角边时，，； 综上所述，点E的坐标为，，，； 【小问3详解】 解：∵，点D在线段上，且， ∵点Q在x轴上， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，则， ∴， ∴解得或， ∴点Q的坐标为或． 25. 阅读下面材料： 将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： （1）当，时，______，______； （2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； （3）当，时，令，，，…，，且，求T的值． 【答案】（1）， （2） 猜想结论： 证明： ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可； （2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可； （3）结合题意利用（2）中结论求解即可． 【小问1详解】 解： 当，时， 原式； 当，时， 原式； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键． 26. 已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°． （1）如图1，若D为△ACB内部一点，请判断AE与BD的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知∠CAE=90°，AC=AE，，AB=BC=1，求BE的长． 【答案】（1），理由： 如图 △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90° (SAS) ． （2）13； （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可得； （2）方法同（1）证明，从而，最后由勾股定理即可求得 （3）根据（1）（2）的方法作点关于对称点则，连接，证明=，通过证明得，在中用勾股定理求得的长． 【详解】（1）略 （2）如图 △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90° , (SAS) ， 在中， ． （3）如图：作点关于对称点，连接 则,， 又 在与中 （AAS） 在中 =， ． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，找到三角形全等的条件或通过辅助线构造三角形全等的条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $