期中复习：集合的交并补运算、利用Venn图求集合、容斥原理的应用专项训练-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

期中复习：集合的交并补运算、利用Venn图求集合、容斥原理的应用专项训练 期中复习：集合的交并补运算、利用Venn图求集合、容斥原理的应用专项训练 考点目录 集合的交并补运算 利用Venn图求集合 容斥原理的应用 考点一 集合的交并补运算 例1．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 得. 例2．（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）已知集合 ，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集的定义取两集合的并集. 【详解】集合 ，，根据并集的定义可知． 例3．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测·多选）设集合，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据集合的交、并、补基本运算定义逐一验证各选项即可求解. 【详解】选项A：因为，，所以，故A正确； 选项B：因为，，所以， 显然，故B正确； 选项C：由，全集， 则，故C错误； 选项D：由已知，又， ，故D正确. 例4．（26-27高一上·湖南衡阳·开学考试）已知，，，则______． 【答案】 【详解】因为，，所以. 又，所以. 变式1．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用补集和交集的概念求解. 【详解】，所以. 变式2．（25-26高二下·江苏无锡·期末）设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为全集，，， 所以，所以. 变式3．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测·多选）已知集合 ，集合 ，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】化简集合，逐项做交集、并集、补集即可． 【解答】，∴， 对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：，C 错误； 对于D：，D正确． 变式4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，或，则______________. 【答案】 【分析】根据交集、补集的定义进行计算得出结果. 【详解】因为或，所以， 又， 所以. 故答案为：. 考点二 利用Venn图求集合 例1．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）已知全集，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由Venn图读出阴影部分为中不属于的元素，再求． 【详解】图中阴影部分为（中不属于的元素）． 因为，，所以． 又，所以． 例2．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知全集，则下图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C．{3} D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集和补集的定义进行求解即可. 【详解】图中阴影部分表示的集合为集合与集合的交集相对于集合的补集， 即. 因为， 所以. 例3．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知是全集的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦恩图及集合的运算求解即可. 【详解】由韦恩图可知，阴影部分为不在集合且在集合中的元素所构成的， 所以阴影部分所表示的集合为， 故选：C 变式1．（25-26高一上·江苏泰州·期中）设全集， 集合，， 则图中的阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集和补集的含义即可得到答案. 【详解】由题意得， 则在集合中去掉元素2即为阴影部分表示的集合：. 故选：B. 变式2．（25-26高一上·江苏苏州·期中）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得阴影部分为，再进行求解即可. 【详解】由图可得阴影部分可表示为. 故选：D 变式3．（24-25高一上·江苏盐城·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】阴影部分表示由属于集合，但不属于集合的元素构成的集合，由此即可写出答案. 【详解】图中阴影部分表示由属于集合，但不属于集合的元素构成的集合， 即. 故选：A 考点三 容斥原理的应用 例1．（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）某校计划在九月底召开运动会，某班共有 名同学参加 米、 米、 米三个项目，其中有 人参加“ 米比赛”，有 人参加“ 米比赛”，有 人参加“ 米比赛”，“ 米和 米”都参加的有 人，“ 米和 米”都参加的有 人，“ 米和 米”都参加的有 人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有 人 B．只参加 米比赛的有 人 C．只参加 米比赛的有 人 D．只参加 米比赛的有 人 【答案】C 【分析】依题意，设集合并作出韦恩图，利用容斥原理求三项都参加的人数，再分别求“只参加一项”的人数并与选项比对． 【详解】不妨记参加“ 米比赛”、参加“ 米比赛”、参加“ 米比赛”分别为集合,如图所示. 设三项都参加的有 人，由容斥原理 ，解得 ，A正确； 只参加 米的： 人，B正确； 只参加 米的： 人，C错误； 只参加 米的： 人，D正确． 例2．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）高一年级某班共有45人，其中文艺爱好者20人，体育爱好者15人，文艺、体育均不爱好的20人，则文艺、体育均爱好的人数为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】先用"总人数减去两类都不爱好的人"求出至少爱好一类的人数，再由容斥公式得都爱好的人数. 【详解】设文艺爱好者组成集合，体育爱好者组成集合. 全班人中两类都不爱好的有人， 所以至少爱好一类的人数为，即. 由容斥原理得， 即文艺、体育均爱好的有人. 例3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有4人，同时参加三项比赛的有2人，则同时参加田赛和径赛的有__________人. 【答案】5 【分析】设同时参加田赛和径赛的有人，由题意作出韦恩图，根据题意可得出关于的等式，即可得解. 【详解】设同时参加田赛和径赛的有人，由题意作出韦恩图， 结合图形得： ， 解得． 同时参加田赛和径赛的有5人． 故答案为：5． 变式1．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）某同学调查了本校名同学，以了解暑假观影情况，结果显示：有人观看了《蜘蛛侠》，有人观看了《八仙》，有人观看了《功夫女足》，有人观看了这三部电影，恰好有人观看了其中两部，则未观看任何一部电影的同学人数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合集合中的图直接求解即可. 【详解】由题知，记观看了《蜘蛛侠》的人为集合， 观看了《八仙》的人为集合，观看了《功夫女足》的人为集合， 作出如下的图， 所以未观看任何一部电影的同学人数为. 变式2．（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）某班级共50人，其中21人喜爱篮球运动，18人喜爱乒乓球运动，20人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（     ） A．3 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】首先设全班同学组成集合，喜欢篮球运动的组成集合，喜欢乒乓球运动的组成集合，由题知：集合有人，集合有人，集合的补集有人，再利用集合运算求解即可. 【详解】设全班同学组成集合，喜欢篮球运动的组成集合，喜欢乒乓球运动的组成集合， 由题知：集合有人，集合有人，集合的补集有人， 所以有人，有人， 所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为人. 变式3．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米跑、跳远两项比赛.已知参加100米跑比赛的有15人，参加跳远比赛的有21人，则同时参加这两项比赛的有______人. 【答案】6 【分析】设同时参加这两项比赛的人数为，作出Venn图，列出关系式，求解即可得出答案. 【详解】设同时参加这两项比赛的人数为， 由题意可作出Venn图， 根据Venn图可知，，解得. 故答案为：6 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中复习：集合的交并补运算、利用Venn图求集合、容斥原理的应用专项训练 期中复习：集合的交并补运算、利用Venn图求集合、容斥原理的应用专项训练 考点目录 集合的交并补运算 利用Venn图求集合 容斥原理的应用 考点一 集合的交并补运算 例1．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 例2．（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）已知集合 ，，则 （    ） A． B． C． D． 例3．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测·多选）设集合，，，则（ ） A． B． C． D． 例4．（26-27高一上·湖南衡阳·开学考试）已知，，，则______． 变式1．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·江苏无锡·期末）设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测·多选）已知集合 ，集合 ，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 变式4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，或，则______________. 考点二 利用Venn图求集合 例1．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）已知全集，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A． B． C． D． 例2．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知全集，则下图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C．{3} D． 例3．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知是全集的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高一上·江苏泰州·期中）设全集， 集合，， 则图中的阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·江苏苏州·期中）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一上·江苏盐城·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 考点三 容斥原理的应用 例1．（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）某校计划在九月底召开运动会，某班共有 名同学参加 米、 米、 米三个项目，其中有 人参加“ 米比赛”，有 人参加“ 米比赛”，有 人参加“ 米比赛”，“ 米和 米”都参加的有 人，“ 米和 米”都参加的有 人，“ 米和 米”都参加的有 人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有 人 B．只参加 米比赛的有 人 C．只参加 米比赛的有 人 D．只参加 米比赛的有 人 例2．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）高一年级某班共有45人，其中文艺爱好者20人，体育爱好者15人，文艺、体育均不爱好的20人，则文艺、体育均爱好的人数为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 例3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有4人，同时参加三项比赛的有2人，则同时参加田赛和径赛的有__________人. 变式1．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）某同学调查了本校名同学，以了解暑假观影情况，结果显示：有人观看了《蜘蛛侠》，有人观看了《八仙》，有人观看了《功夫女足》，有人观看了这三部电影，恰好有人观看了其中两部，则未观看任何一部电影的同学人数是（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）某班级共50人，其中21人喜爱篮球运动，18人喜爱乒乓球运动，20人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（     ） A．3 B．9 C．12 D．18 变式3．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米跑、跳远两项比赛.已知参加100米跑比赛的有15人，参加跳远比赛的有21人，则同时参加这两项比赛的有______人. 2 学科网（北京）股份有限公司 $