期中复习：集合中的含参问题4种高频考点专项训练-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

期中复习：集合中的含参问题4种高频考点专项训练 期中复习：集合中的含参问题4种高频考点专项训练 考点目录 由元素与集合的关系求参数问题 由集合相等求参数问题 由集合的包含关系求参数问题 由集合的运算结果求参数问题 考点一 由元素与集合的关系求参数问题 例1．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）已知集合 ， 若， 则 （    ） A．- 1 B．0 C．1 D．0 或1 【答案】B 【分析】使用集合中元素的互异性求解. 【详解】由题知， 若，则（舍）； 若，则，故. 例2．（2026·江苏淮安·一模）已知集合，若，则（    ）. A． B．0 C．1 D．或0 【答案】B 【分析】根据集合与元素的属于关系性质，结合集合元素互异性进行求解即可. 【详解】因为， 所以，或， 当时，解得，此时集合不满足集合元素互异性，舍去， 当时，集合，此时集合满足集合元素互异性， 所以. 例3．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合的所有元素之和为3，则实数_____. 【答案】0或1或2 【分析】分类讨论求得集合，利用集合所有元素之和为3，可求得的值. 【详解】由，可得， 当且时，方程的根为，，， 根据题意可得，解得， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 综上所述：实数或1或2. 故答案为：0或1或2. 变式1．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，且，则（    ） A．﹣1 B．﹣3或﹣1 C．3 D．﹣3 【答案】D 【分析】分情况讨论算出，并检验集合中的元素是否满足互异性. 【详解】因为， 所以或者， 解得或， 当时，集合中的元素不满足互异性，舍去； 当时，集合，符合题意， 综上：. 变式2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论，根据题意列出关系式求解即可. 【详解】根据集合中元素的互异性可得：，且. 当集合时，集合的最大元素为；当集合时，集合的最大元素为； 根据题意可得：集合的所有元素之和为. 且或， 解得：. 故选：B. 变式3．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知集合，若，则___________． 【答案】 【分析】分情况讨论元素与集合间的关系，解方程即可. 【详解】因为，， 当时，则，此时，不符题意： 当时，解得（舍去）或，若，则，符合题意； 综上所述，， 故答案为：. 考点二 由集合相等求参数问题 例1．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由集合相等，确定，进而确定，再结合元素互异性即可求解. 【详解】由， 可得， 所以，即， 所以， 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时，符合题意， 所以. 故选：B 例2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设，集合，集合，若，则的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据集合元素的性质可求的值，故可得正确的选项. 【详解】因为，所以，，故， 故选：C 例3．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）已知集合，则______. 【答案】 【分析】根据集合相等的定义，结合集合的互异性确定，进而求得. 【详解】由集合相等的定义，结合可知， 所以，解得或 当时，，不满足集合互异性，舍去. 当时，，，满足题意. 所以， 所以 变式1．（24-25高一上·江苏扬州·阶段检测）已知，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用集合相等，求出，再求出，检验代入求值即可. 【详解】根据题意，故，则， 故，则，即， 当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去， 当，时，，符合题意， 所以， 故选：C. 变式2．（25-26高一下·江苏连云港·阶段检测）设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据集合相等得到，解得即可. 【详解】因为，若， 所以，解得. 故选：A 变式3．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，，且，则的值为________． 【答案】 6 【详解】由，则. 考点三 由集合的包含关系求参数问题 例1．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，，若，则实数的取值范围__________. 【答案】 【分析】根据已知及集合的包含关系列不等式求参数范围即可. 【详解】由题设，知集合为非空集合，且，则. 故答案为： 例2．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知集合，，若，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据集合的包含关系，分和两种情况进行讨论即可求解． 【详解】，， 因，则当时，，满足； 当，即时，由，可得，则，符合题意； 综上，实数m的取值范围是. 故答案为： 例3．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，代入方程求得，代回检验即可； （2）求出方程的判别式，按照，，讨论求解. 【详解】（1），， ，必有，所以，解得； 故. （2）方程的判别式， 当时，，所以，满足； 当时，，不满足； 当时，，集合有两个元素，若，则必有， 所以，反之，时确有； 综上，实数的取值范围为. 例4．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若⫋，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由为非空数集，得，即，结合子集的概念，得到不等式，算出实数的取值范围； （2）由为非空数集，得，即，结合真子集的概念，得到不等式，算出实数的取值范围； 【详解】（1）因为为非空数集，得，解得， 若，则，解得，即实数的取值范围是； （2）因为为非空数集，得，解得， 若⫋，则或， 解得，即实数的取值范围是． 变式1．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知，若，则的取值范围为______. 【答案】或 【分析】分为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围即可得解. 【详解】集合中含有参数，所以先考虑是否为空集. 因为， 所以，若为空集，则，解得； 若为单元素集合，则，解得， 将代入方程，得，解得， 所以，符合要求； 若为双元素集合，则，即， 此时，即，解得 综上所述，的取值范围为或. 故答案为：或. 变式2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，，若，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】由集合的包含关系确定参数范围即可. 【详解】由，，，故. 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 变式3．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知集合，且，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据子集的定义，分集合为空集、非空集两类讨论，结合一元二次方程根的判别式与韦达定理求解参数的取值范围. 【详解】由，分类讨论如下： 当时，方程无实根， 判别式，解得，符合条件； 当时，，即， ① 若，即，此时方程为，解得，即，满足，符合条件； ② 若，即，方程有两个不同实根，由可知两根只能为和， 根据韦达定理得，即，与矛盾，舍去， 综上，实数的取值范围是. 变式4．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集的概念直接求补集即可. （2）根据集合之间的关系，可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为全集，集合， 所以或． （2）因为，所以，故实数a的取值范围是． 考点四 由集合的运算结果求参数问题 例1．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）先解一元二次不等式化简集合，代入得到集合，按照集合交、并、补的定义进行运算； （2）根据交集为空，利用区间位置关系列出不等式组求解参数范围，注意区分开闭区间． 【详解】（1）当时，， 或， 所以或， 所以或或， 所以或或或， （2）或，， 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围． 例2．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）设m为实数，集合，. (1)若时，求； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代值后利用交集定义即可； （2）根据交集结果推得集合间的包含关系，列不等式求解即得. 【详解】（1）当时，，因， 则； （2）由可得，又因， 则有，解得. 例3．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知全集，集合，，． (1)分别求， ； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2)或 【详解】（1）因为，，所以， 又或， 所以或. （2）当时，即，即，满足，所以符合题意. 当时，即，即时， 因为，所以或者， 解得或， 综上所述，的取值范围为或. 变式1．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合或，， (1)求，； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）化简集合和，即可得到，； （2）由得，所以分和两种情况即可得到答案． 【详解】（1）依题意，或，， 则， 又， 则. （2）由可知, 当时,则，解得； 当时，须使，解得 . 综上，实数的取值范围是. 变式2．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）已知集合，集合，集合 (1)写出的真子集及其非空真子集； (2)若，求的值． (3)若，求的取值所构成的集合． 【答案】(1)真子集：，，；非空真子集：， (2)，或 (3) 【分析】（1）解方程可得集合，再求真子集； （2）因为，所以，分和进行求解． （3）通过对集合为空集、单元素集合、双元素集合，讨论求解. 【详解】（1）解方程得，或 因此集合， 其真子集为，，，共3个． 非空真子集：， （2）因为，所以， ①当时，，此时符合题意 ②当时，因为，此时易知 要使得，即或，解得，或． 综上所述，要使得，则，或． （3）因为，所以， 当时，，此时，符合题意， 当为单元素集合时，，即， 此时方程的根为， 即或，不符合题意； 当为双元素集合时，由韦达定理可得，即， 代入检验，符合题意， 综上：的取值所构成的集合为. 变式3．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）求出时集合，再根据并集，补集和交集运算即可求解； （2）由，讨论和时，列不等式组即可求解. 【详解】（1）由题知,当时,, 所以或, 因为, 所以或, 所以或; （2）因为， 当时，，可得，满足， 当时，，解得：， 综上所述：实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中复习：集合中的含参问题4种高频考点专项训练 期中复习：集合中的含参问题4种高频考点专项训练 考点目录 由元素与集合的关系求参数问题 由集合相等求参数问题 由集合的包含关系求参数问题 由集合的运算结果求参数问题 考点一 由元素与集合的关系求参数问题 例1．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）已知集合 ， 若， 则 （    ） A．- 1 B．0 C．1 D．0 或1 例2．（2026·江苏淮安·一模）已知集合，若，则（    ）. A． B．0 C．1 D．或0 例3．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合的所有元素之和为3，则实数_____. 变式1．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，且，则（    ） A．﹣1 B．﹣3或﹣1 C．3 D．﹣3 变式2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知集合，若，则___________． 考点二 由集合相等求参数问题 例1．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 例2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设，集合，集合，若，则的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 例3．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）已知集合，则______. 变式1．（24-25高一上·江苏扬州·阶段检测）已知，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 变式2．（25-26高一下·江苏连云港·阶段检测）设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 变式3．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，，且，则的值为________． 考点三 由集合的包含关系求参数问题 例1．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，，若，则实数的取值范围__________. 例2．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知集合，，若，则实数m的取值范围是______. 例3．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 例4．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若⫋，求实数的取值范围． 变式1．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知，若，则的取值范围为______. 变式2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，，若，则实数a的取值范围是______． 变式3．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知集合，且，求实数的取值范围. 变式4．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 考点四 由集合的运算结果求参数问题 例1．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 例2．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）设m为实数，集合，. (1)若时，求； (2)若，求m的取值范围． 例3．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知全集，集合，，． (1)分别求， ； (2)若，求的取值范围． 变式1．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合或，， (1)求，； (2)若，求实数m的取值范围． 变式2．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）已知集合，集合，集合 (1)写出的真子集及其非空真子集； (2)若，求的值． (3)若，求的取值所构成的集合． 变式3．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $