2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册期中模拟卷

高一上学期数学期中模拟卷 （人教A版·必修第一册　考试范围：第一至四章　满分150分　考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分单项选择题、多项选择题、填空题、解答题四部分，满分150分，考试时间120分钟。 2．单项选择题共8小题，每小题5分，共40分；多项选择题共3小题，每小题6分，共18分（全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）；填空题共3小题，每小题5分，共15分；解答题共5小题，共77分。 3．答题前请将姓名、班级、考号填写在指定位置。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意） 1．已知集合 A＝{x｜x²−3x＋2＝0}，B＝{1,2,3}，则 A∩B＝（　　） A．{1}　　B．{2}　　C．{1,2}　　D．{1,2,3} 2．“x＞2”是“x²＞4”的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 3．不等式 x²−5x＋6＜0 的解集为（　　） A．(2,3)　　B．[2,3]　　C．(−∞,2)∪(3,+∞)　　D．(−∞,2]∪[3,+∞) 4．函数 f(x)＝√(x−1)＋1/(x−3) 的定义域为（　　） A．[1,3)∪(3,+∞)　　B．[1,+∞)　　C．(1,3)∪(3,+∞)　　D．[1,3] 5．log₂8＋lg100＋ln e 的值为（　　） A．4　　B．5　　C．6　　D．7 6．已知指数函数 f(x)＝ax（a＞0，a≠1）的图象过点(2,9)，则 f(−1)＝（　　） A．1/3　　B．3　　C．−1/3　　D．1/9 7．若 x＞0，y＞0，且 x＋y＝8，则 xy 的最大值为（　　） A．15　　B．16　　C．17　　D．18 8．下列函数中，为奇函数的是（　　） A．f(x)＝x²　　B．f(x)＝x³　　C．f(x)＝2x　　D．f(x)＝｜x｜ 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9．下列说法正确的是（　　） A．若 a＞b，则 ac²＞bc² B．若 a＞b＞0，则 1/a＜1/b C．若 x＞0，则 x＋4/x≥4（当且仅当 x＝2 时取等号） D．对任意实数 a，b，都有 a²＋b²≥2ab 10．已知二次函数 f(x)＝x²−2x＋3，x∈[0,3]，下列结论正确的是（　　） A．图象的对称轴为直线 x＝1 B．f(x) 在区间[0,1]上单调递减 C．f(x) 在[0,3]上的最小值为 2 D．f(x) 在[0,3]上的最大值为 f(0)＝3 11．下列对数运算正确的是（　　） A． B．lg2＋lg5＝1 C．（a＞0，a≠1） D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．集合{a,b}的真子集个数为＿＿＿＿＿＿。 13．＝＿＿＿＿＿＿。 14．函数 f(x)＝x²−4x＋3 在区间[0,3]上的值域为＿＿＿＿＿＿。 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）计算下列各式的值： （1）； （2）。 16．（15分） （1）解关于 x 的不等式 x²−(a＋1)x＋a＜0； （2）已知 x＞0，y＞0，且 2x＋y＝1，求 xy 的最大值。 17．（16分） （1）判断函数 f(x)＝(x²−1)/x 的奇偶性，并证明你的结论； （2）已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x²−2x，求 x＜0 时 f(x) 的解析式。 18．（16分）设 f(x) 是定义在(−1,1)上的奇函数，且 f(x) 在(−1,1)上单调递减。 （1）求 f(0) 的值； （2）若 f(1−a)＋f(1−a²)＜0，求实数 a 的取值范围。 19．（17分）已知函数 。 （1）求 f(x) 的定义域； （2）讨论 f(x) 的单调性，并写出其单调区间； （3）求 f(x) 在区间[3,4]上的最大值与最小值。 参考答案、评分细则与分步解析 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．C　2．A　3．A　4．A　5．C　6．A　7．B　8．B 1．x²−3x＋2＝0 的两根为 x＝1,2，故 A＝{1,2}，A∩B＝{1,2}，选C。 2．由 x＞2 可推出 x²＞4；但 x²＞4 时 x＞2 或 x＜−2，不能反推，故为充分不必要条件，选A。 3．x²−5x＋6＝(x−2)(x−3)＜0，解集为(2,3)，选A。 4．需 x−1≥0 且 x−3≠0，即 x≥1 且 x≠3，定义域为[1,3)∪(3,+∞)，选A。 5．log₂8＝3，lg100＝2，ln e＝1，原式＝3＋2＋1＝6，选C。 6．由 a²＝9 且 a＞0 得 a＝3，f(−1)＝3−1＝1/3，选A。 7．x＋y＝8≥2√(xy)，故 xy≤16，当且仅当 x＝y＝4 时取等，最大值为16，选B。 8．f(x)＝x³ 满足 f(−x)＝−f(x)，为奇函数；A为偶函数，C非奇非偶，D为偶函数，选B。 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 　9．BCD　10．ABC　11．ABC 9．A：当 c＝0 时 ac²＝bc²，错误；B：a＞b＞0 时取倒数不等号反向，1/a＜1/b，正确；C：x＞0 时 x＋4/x≥2√(x·4/x)＝4，x＝2取等，正确；D：a²＋b²−2ab＝(a−b)²≥0，正确。故选BCD。 10．f(x)＝(x−1)²＋2，对称轴 x＝1，A正确；[0,1]在对称轴左侧且开口向上，单调递减，B正确；最小值 f(1)＝2，C正确；端点 f(0)＝3，f(3)＝6，最大值为6而非3，D错误。故选ABC。 11．A：log₂4·log₂8＝2×3＝6，正确；B：lg2＋lg5＝lg10＝1，正确；C：对数恒等式 alogₐ5＝5，正确；D：应为 log₂(8/2)＝log₂8−log₂2＝3−1＝2，错用商的对数为对数之商，错误。故选ABC。 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．3　13．　14．[−1,3]　 12．含2个元素的集合子集共2²＝4个，去掉自身，真子集共4−1＝3个。 13．。 14．f(x)＝(x−2)²−1，对称轴 x＝2∈[0,3]，最小值 f(2)＝−1；端点 f(0)＝3，f(3)＝0，最大值3，值域[−1,3]。 四、解答题（共77分） 15．（13分） 解：（1）；（2分） lg25＋2lg2＝lg25＋lg4＝lg100＝2；（4分） 5log₅3＝3；（5分） 原式＝1＋2−3＝0。（7分） （2） ；（3分） ，（4分） 原式＝。（6分） 16．（15分） 解：（1）原不等式即(x−1)(x−a)＜0。（1分） 当 a＞1 时，解集为(1,a)；（3分） 当 a＝1 时，(x−1)²＜0，解集为∅；（5分） 当 a＜1 时，解集为(a,1)。（7分） （2）由 2x＋y＝1，x＞0，y＞0，得 ，（10分） 故 （12分） 即，当且仅当 2x＝y＝1/2，即 x＝1/4，y＝1/2 时取等，（14分） 故xy 的最大值为1/8。（15分） 17．（16分） 解：（1）f(x) 的定义域为{x｜x≠0}，关于原点对称。（2分） f(−x)＝((−x)²−1)/(−x)＝(x²−1)/(−x)＝−(x²−1)/x＝−f(x)，（5分） 故 f(x) 为奇函数。（7分） （2）当 x＜0 时，−x＞0，由已知 f(−x)＝(−x)²−2(−x)＝x²＋2x。（11分） 又 f(x) 为奇函数，f(x)＝−f(−x)＝−(x²＋2x)＝−x²−2x。（15分） 故 x＜0 时 f(x)＝−x²−2x。（16分） 18．（16分） （1）因为 f(x) 为定义在(−1,1)上的奇函数，所以 f(0)＝0。（3分） （2）由 f(1−a)＋f(1−a²)＜0，得 f(1−a)＜−f(1−a²)＝f(a²−1)。（6分） 又 f(x) 在(−1,1)上单调递减，故自变量越大函数值越小，得 1−a＞a²−1，（8分） 即 a²＋a−2＜0，(a＋2)(a−1)＜0，解得 −2＜a＜1。（10分） 同时两自变量都须落在定义域内：−1＜1−a＜1 得 0＜a＜2；−1＜1−a²＜1 得 0＜a²＜2。（14分） 取交集得 0＜a＜1，故 a 的取值范围为(0,1)。（16分） 【解法一（常规·奇函数转化＋脱去 f）】 利用奇函数性质把负号移入括号：−f(1−a²)＝f(a²−1)，再借助“单调递减”把函数值不等式 f(1−a)＜f(a²−1) 脱去 f，转化为自变量不等式 1−a＞a²−1；最后严格用定义域 −1＜1−a＜1、−1＜1−a²＜1 限制，三者取交集。要点：脱 f 时单调性方向不能反，递减即“值小者自变量大”。 【解法二（特例构造·赋值验证）】 满足“(−1,1)上奇函数且单调递减”的一个具体函数为 f(x)＝−x。 代入 f(1−a)＋f(1−a²)＝−(1−a)−(1−a²)＝a²＋a−2＜0，解得 −2＜a＜1； 再由定义域 −1＜1−a＜1、−1＜1−a²＜1 得 0＜a＜√2； 取交集仍得 0＜a＜1。 此法用于快速检验结论，正式解答以解法一为准。 19．（17分） （1）真数 x²−2x＝x(x−2)＞0，解得 x＜0 或 x＞2，故定义域为(−∞,0)∪(2,+∞)。（3分） （2）令 u＝x²−2x，外层 y＝log1/2u 在 u＞0 时单调递减；（6分） u＝x²−2x 在(−∞,0)上递减，在(2,+∞)上递增。（8分） 由“同增异减”，f(x) 在(−∞,0)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减。（10分） （3） [3,4]⊂(2,+∞)，（11分） 由（2）可知f(x) 在[3,4]上单调递减，（13分） 故最大值 f(3)＝log1/23＝−log₂3，最小值 f(4)＝log1/28＝−3。（17分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $