2026--2027学年上海市 沪教版(五四制)九年级数学上册期中测评预测卷(拔高)

2026年上海市九年级数学上册沪教版（五四制 期中考前预测卷（拔高）答题卡 试卷类型：F 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][√][ 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[A][B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A]B][C][D] 6.[A][B]IC][D] 二. 填空题（共11小题，满分44分，每小题4分）（请在各试题 的答题区内作答) 7. 8 9 10. y 13. 14. 1 1 三.解答题（共7小题，满分82分）（请在各试题的答题区内作 答) 18.答： 19.答： 20.答： 2 B ,B N P N MA A 图1 图2 21.答： y/m c A D B x/m 图1 图2 22.答： C D E A B 23.答： y体 0 A 备用图 J 24.答： 小 、2026年上海市九年级数学上册沪教版（五四制 期中考前预测卷拔高答题卡 试卷类型：F 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 ▣ 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][×] 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A]B][C][D] 6.[A]B]C][D] 二.填空题（共11小题，满分44分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作 答) 7 23456 三.解答题（共7小题，满分82分）（请在各试题的答题区内作答） 18.答： 19.答： 20.答： 1 B B N P N MA A 图1 图2 21.答： ↑y/m A 0 D B x/m 图1 图2 22.答： C D E A B 23.答： y B A 0 A 备用图 24.答： ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ________ 班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制) 期中考前 预测卷(拔高) 考试范围：二次函数+相似三角形；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）下列各组线段中，能构成比例线段的是（　　） A．1，2，3，4 B．1，2，2，4 C．2，3，4，5 D．2，3，5，7 2．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，3），（1，0），（2，﹣1），则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 3．（4分）已知6是3和x的比例中项，那么x的值是（　　） A．2 B．12 C． D．18 4．（4分）A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 5．（4分）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若，则（　　） A． B． C． D． 6．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），顶点坐标．下列结论正确的是（　　） ①a＜0，b＞0，c＞0； ②3a+b＞0； ③不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣2或x＞3； ④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n﹣1＝0没有实数根． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）点C在线段AB上，若，则__________________ ． 8．（4分）若y＝xm+1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝ _____ ． 9．（4分）如果将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物线解析式是 _______________ ． 10．（4分）已知二次函数y＝ax2+ax﹣4，其顶点纵坐标为，点Q（k，h）在该函数图象上，若在点Q右侧（不含点）的函数图象上，恰好有三个点到x轴的距离为，则k的取值范围是 ____________________ ． 11．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，AE＝6，则AC的长为 _____ ． 12．（4分）如图，BD为Rt△ABC斜边AC上的高，延长DB至E，联结AE，过C作CF⊥AE于F交BD于点G，BD＝3，BE＝2，则DG＝________ ． 13．（4分）酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性y（单位：U）与温度x（单位：℃）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在_______ ℃． 14．（4分）如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝3.5，则平行四边形ABCD的周长为 _______ ． 15．（4分）如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数y＝x2﹣3的图象上，则图中阴影部分的面积之和为 _______ ． 16．（4分）抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4，…，A2026在抛物线第一象限的图象上．点B1，B2，B3，B4，…，B2026在y轴的正半轴上，△OA1B1，△B1A2B2，…，△B2025A2026B2026都是等腰直角三角形，则B2025A2026＝___________________ ． 17．（4分）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若△ABC的周长为42，面积为84，BC＝14，，则△ADE的面积为 ____________________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，a+b+c＝30．试判断△ABC的形状，并说明理由． 19．（10分）“已知抛物线经过点A（0，﹣5），B（﹣1，0），求抛物线C1的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线C1的表达式为y＝x2﹣4x﹣5． （1）请根据已有的信息添加一个缺失的条件：__________________ ； （2）将抛物线C1向上平移m个单位后得到抛物线C2，如果抛物线C2的顶点关于原点的对称点在抛物线C1上，求m的值． 20．（10分）【模型探究】 如图1，已知M、N分别是∠AOB边OA、OB上的点，P是∠AOB的平分线上一点，满足∠MPN∠AOB＝180°．求证：OP2＝OM•ON． 【模型应用】 （1）已知M、N分别是∠AOB边OA、OB上的点，P是∠AOB的平分线上一点，如果∠AOB＝60°，OM＝6，ON＝4，OP＝2，那么∠MPN的度数为_________ ； （2）如图2，已知∠AOB＝90°，N是边OB上一点，请在边OA上选择一个合适的点M，并在∠AOB内部求作一个点P，满足∠MPN＝135°且PM＝2PN． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 21．（12分）如图1，某农场需要用喷水装置灌溉果树．装置的喷头固定在一根竖直立柱顶端，如图2，以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为y轴的正方向，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，已知喷头喷出的水流轨迹为抛物线，水流的最高处C距离原点的水平距离为1m，最大竖直高度为2.25m，喷头A所在位置的竖直高度为1.25m． （1）请直接写出水流最高处C的坐标：_____________ ． （2）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离原点的水平距离x（m）之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） （3）为了适配不同高度的果树，工人可以调节喷头的竖直高度，调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变．要求水流落地点距离原点的最远水平距离不超过2.8m，求喷头高度h的最大值． 22．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上，连接BD，点E在BD上，连接AE，CE，且∠DAE＝∠DBA． （1）求证：AD2＝BD•DE； （2）若点D是AC的中点，求证：∠CED＝90°． 23．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，点M为抛物线的顶点，直线MC交x轴于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个动点，作PQ∥y轴交BC于点Q． ①求线段PQ的最大值及此时点P的坐标； ②是否存在点Q，使得以点Q、B、O为顶点的三角形与△BDM相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（14分）阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图①，在△ABC中，∠ABC＝45°，，AD＝AE，∠DAE＝90°．，求CD的长． 小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图②），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE． （1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程； （2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：如图③，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，，求的值． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制) 期中考前 预测卷(拔高) 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A B A C C 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）下列各组线段中，能构成比例线段的是（　　） A．1，2，3，4 B．1，2，2，4 C．2，3，4，5 D．2，3，5，7 【答案】B 【分析】根据成比例线段的定义，逐项分析，即可求解． 【解答】解：A：1，2，3，4，任意两个比值均不相等，如1：2≠3：4，1：3≠2：4等，不符合题意； B：1，2，2，4，∵1：2＝2：4，∴能构成比例线段，符合题意； C：2，3，4，5，任意两个比值均不相等，如2：3≠4：5，2：4≠3：5等，不符合题意； D：2，3，5，7，任意两个比值均不相等，如2：3≠5：7，2：5≠3：7等，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键． 2．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，3），（1，0），（2，﹣1），则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】A 【分析】将三个点代入二次函数解析式，得到关于a、b、c的方程组，解方程组求a． 【解答】解：由条件可知， 解得， 因此a的值为1， 故选：A． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，通过解方程组求解参数是解题的关键． 3．（4分）已知6是3和x的比例中项，那么x的值是（　　） A．2 B．12 C． D．18 【答案】B 【分析】根据6是3和x的比例中项，可得6×6＝3x，进而得出答案． 【解答】解：∵6是3和x的比例中项， ∴6×6＝3x， ∴x＝12． 故选：B． 【点评】本题主要考查解比例，理解题意是解题的关键． 4．（4分）A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 【答案】A 【分析】根据抛物线的性质得：抛物线y＝﹣（x+1）2+m（m为常数）的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【解答】解：根据函数解析式可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵A（﹣2，y1）离直线x＝﹣1最近，C（2，y3）离直线x＝﹣1最远， ∴y1最大，y3最小， ∴y3＜y2＜y1， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，熟练的掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 5．（4分）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点， ∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线， ∵△ADE∽△ABC， ∴， ∴（）2， 故选：C． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键． 6．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），顶点坐标．下列结论正确的是（　　） ①a＜0，b＞0，c＞0； ②3a+b＞0； ③不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣2或x＞3； ④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n﹣1＝0没有实数根． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由图可得，a＜0，c＞0，根据顶点坐标，可得，即b＝﹣a＞0，则3a+b＝3a﹣a＝2a＜0．由题意得抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（3，0），结合图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜﹣2或x＞3，即不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣2或x＞3．由题意可知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1没有交点，即关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n﹣1＝0没有实数根． 【解答】解：由图可得，a＜0，c＞0， ∵顶点坐标， ∴， ∴b＝﹣a＞0， 故①正确，符合题意； ∵b＝﹣a， ∴3a+b＝3a﹣a＝2a＜0， 故②不正确，不符合题意； ∵顶点坐标，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜﹣2或x＞3， 即不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣2或x＞3， 故③正确，符合题意； 由题意可知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1没有交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n﹣1＝0没有实数根， 故④正确，符合题意． 综上所述，结论正确的是①③④． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组）、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）点C在线段AB上，若，则　　 ． 【答案】． 【分析】设AC＝3x，BC＝5x，则AB＝8x，即可求出答案． 【解答】解：∵， ∴设AC＝3x，BC＝5x，则AB＝8x， ∴． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了比例线段，关键是掌握比例线段的性质． 8．（4分）若y＝xm+1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝ 　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据二次函数的定义进行求解即可． 【解答】解：∵y＝xm+1﹣x+3是关于x的二次函数， ∴m+1＝2， 解得m＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a≠0且a、b、c是常数）的函数叫做二次函数． 9．（4分）如果将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物线解析式是 y＝（x+2）2+1　 ． 【答案】y＝（x+2）2+1． 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”写出抛物线的解析式即可． 【解答】解：依题意，得y＝（x+2）2﹣3+4＝（x+2）2+1， 故答案为：y＝（x+2）2+1． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图象的平移可以使求解更简便，平移规律“左加右减，上加下减”． 10．（4分）已知二次函数y＝ax2+ax﹣4，其顶点纵坐标为，点Q（k，h）在该函数图象上，若在点Q右侧（不含点）的函数图象上，恰好有三个点到x轴的距离为，则k的取值范围是 　k　 ． 【答案】k． 【分析】根据顶点纵坐标为求得a＝2，即可求得抛物线为y＝2x2+2x﹣4，然后令y，解方程求得x或x，令y，解方程求得x或x，根据抛物线在点Q右侧的部分（不含点Q）上，恰好有三个点到x轴的距离为，即可得k． 【解答】解：如图： ∵y＝ax2+ax﹣4＝a（x）24， ∴抛物线的顶点为（，4）， ∵顶点纵坐标为， ∴4， ∴a＝2， ∴y＝2x2+2x﹣4， 令y，则2x2+2x﹣4，解得x或x， ∴K（，），T（，） 令y，则2x2+2x﹣4，解得x或x， ∴R（，），S（，）， ∵抛物线在点Q右侧的部分（不含点Q）上，恰好有三个点到x轴的距离为， ∴Q在点K和R之间的抛物线上（包含K，不包含R）， ∴k． 故答案为：k． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 11．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，AE＝6，则AC的长为 　8　 ． 【答案】8． 【分析】由DE∥BC，AD＝9，DB＝3，得，而AE＝6，则ECAE＝2，所以AC＝AE+EC＝8，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵DE∥BC，AD＝9，DB＝3， ∴， ∵AE＝6， ∴ECAE6＝2， ∴AC＝AE+EC＝6+2＝8， 故答案为：8． 【点评】此题重点考查平行线分线段成比例定理，推导出是解题的关键． 12．（4分）如图，BD为Rt△ABC斜边AC上的高，延长DB至E，联结AE，过C作CF⊥AE于F交BD于点G，BD＝3，BE＝2，则DG＝　1.8　 ． 【答案】1.8． 【分析】先证明△BAD∽△CBD，再证明△EDA∽△CDG，列比例式解答即可． 【解答】解：∵BD为Rt△ABC斜边AC上的高， ∴∠BDA＝90°＝∠CDB，∠BAD＝90°﹣∠ACB＝∠CBD， ∴△BAD∽△CBD， ∴， ∴BD2＝AD•CD， ∵CF⊥AE，BD⊥AC，∠FGE＝∠DGC， ∴∠EDA＝90°＝∠CDG，∠AED＝∠GCD， ∴△EDA∽△CDG， ∴， ∴DE•DG＝AD•CD， ∴BD2＝DE•DG， ∵BD＝3，BE＝2， ∴DE＝BD+BE＝3+2＝5， ∴9＝5DG， 解得：DG＝1.8， 故答案为：1.8． 【点评】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定是解题的关键． 13．（4分）酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性y（单位：U）与温度x（单位：℃）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在　25　 ℃． 【答案】25． 【分析】根据二次函数的性质，函数开口向下时，顶点处取得最大值，利用顶点公式求解． 【解答】解：∵， ∴b＝25，， 顶点横坐标为， 故当温度为25℃时，活性最高，催化反应最快． 故答案为：25． 【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14．（4分）如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝3.5，则平行四边形ABCD的周长为 　32　 ． 【答案】32． 【分析】先由平行四边形得到AB∥DF，然后得到△ABE∽△DFE，然后利用DE：AE＝1：2，DE＝3，DF＝3.5得到AE＝6，AB＝7，从而得到AD的长，最后得到平行四边形ABCD的周长． 【解答】解：∵点E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且， ∴AB∥DF， ∴∠ABE＝∠F，∠A＝∠EDF， ∴△ABE∽△DFE， ∴， ∵DE＝3，DF＝3.5， ∴AE＝6，AB＝7， ∴AD＝9， ∴▱ABCD的周长＝2×（7+9）＝32， 故答案为：32． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 15．（4分）如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数y＝x2﹣3的图象上，则图中阴影部分的面积之和为 　18　 ． 【答案】18 【分析】根据抛物线和正方形的对称性求出OD＝OC，并判断出S阴影＝S矩形BCOE，设点B的坐标为（n，2n）（n＞0），把点B的坐标代入抛物线解析式求出n的值得到点B的坐标，然后求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，抛物线y＝x2﹣3和正方形都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴， ∴OD＝OC，S阴影＝S矩形BCOE， 设点B的坐标为（n，2n）（n＞0）， ∵点B在二次函数y＝x2﹣3的图象上， ∴2n＝n2﹣3， 解得，n1＝3，n2＝﹣1（舍负）， ∴点B的坐标为（3，6）， ∴S阴影＝S矩形BCOE＝3×6＝18． 故答案为：18． 【点评】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，（2）根据对称性设出点B的坐标并判断出阴影部分的面积的和等于矩形BCOE的面积是解题的关键． 16．（4分）抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4，…，A2026在抛物线第一象限的图象上．点B1，B2，B3，B4，…，B2026在y轴的正半轴上，△OA1B1，△B1A2B2，…，△B2025A2026B2026都是等腰直角三角形，则B2025A2026＝　　 ． 【答案】． 【分析】设A1B1＝m，求出A1B1＝1；设A2B2＝n，求出A2B2＝2，得出规律A3B3＝3，A4B4＝4，…，A2026B2026＝2026，根据等腰直角三角形的性质，求出B2025A2026，即可． 【解答】解：设A1B1＝m， ∵△OA1B1是等腰直角三角形， ∴OB1＝A1B1＝m， ∴A1（m，m）， ∴， 解得：m1＝0（舍），m2＝1， ∴A1B1＝1； ∵△B1A2B2是等腰直角三角形，设A2B2＝n， ∴B1B2＝A2B2＝n， ∴A2（n，n+1）， ∴， 解得：n1＝﹣1（舍），n2＝2； ∴A2B2＝2， 同理可得：A3B3＝3，A4B4＝4，…，A2026B2026＝2026， ∵△B2025A2026B2026是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：2026． 【点评】本题考查二次函数的点的特征，坐标规律探究，等腰直角三角形的性质，观察图形得出规律是解题的关键． 17．（4分）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若△ABC的周长为42，面积为84，BC＝14，，则△ADE的面积为 　　 ． 【答案】． 【分析】过点O作OM⊥BC于点M，作ON⊥BC于点N，作OP⊥BC于点P，根据角平分线的性质定理得出OM＝ON＝OP，再根据△ABC的周长和面积即可求出OM、ON、OP的长，再根据角平分线的定义、平行线的性质求出BD+CE的长，即可求出AD+AE的长，最后根据△ADE的面积等于△ADO的面积加上△AEO的面积计算即可． 【解答】解：如图，过点O作OM⊥BC于点M，作ON⊥BC于点N，作OP⊥BC于点P， ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O， ∴OM＝ON＝OP， ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO， ∵DE∥BC， ∴∠DOB＝∠CBO，∠EOC＝∠BCO， ∴∠ABO＝∠DOB，∠ACO＝∠EOC， ∴DO＝DB，EO＝EC， ∴△ADE的周长为AD+DO+EO+AE＝AD+DB+EC+AE＝AB+AC， ∵△ABC的周长为42，BC＝14， ∴AB+AC＝42﹣14＝28， 即△ADE的周长为28， ∵， ∴AD+DE＝28， ∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO， ∴， ∴， ∵△ABC的周长为42， ∴， ∴OM＝4＝ON＝OP， ∴S△ADE＝S△ADO+S△AEO ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的面积，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，a+b+c＝30．试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】△ABC是直角三角形． 【分析】设k，表示a、b、c的长，代入a+b+c＝30中，计算k的值，可得三边的长，根据勾股定理的逆定理可得结论． 【解答】解：△ABC是直角三角形，理由如下： 设k， 可得：a＝3k﹣4，b＝5k﹣3，c＝7k﹣8， 把a＝3k﹣4，b＝5k﹣3，c＝7k﹣8，代入a+b+c＝30中， 可得：3k﹣4+5k﹣3+7k﹣8＝30， 解得：k＝3， ∴a＝5，b＝12，c＝13， ∴52+122＝132， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形． 【点评】本题考查比例的性质，勾股定理的逆定理，正确设未知数是解题关键． 19．（10分）“已知抛物线经过点A（0，﹣5），B（﹣1，0），求抛物线C1的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线C1的表达式为y＝x2﹣4x﹣5． （1）请根据已有的信息添加一个缺失的条件：C（5，0）（答案不唯一）　 ； （2）将抛物线C1向上平移m个单位后得到抛物线C2，如果抛物线C2的顶点关于原点的对称点在抛物线C1上，求m的值． 【答案】（1）C（5，0）（答案不唯一）； （2）m＝2． 【分析】（1）由y＝x2﹣4x﹣5，经过B（﹣1，0），得x1＝﹣1是x2﹣4x﹣5＝0的一个根，求另一个根即可解答； （2）求出平移后的函数解析式的顶点坐标和关于原点对称的点的坐标，再代入y＝x2﹣4x﹣5求解即可． 【解答】解：（1）抛物线C1的表达式为y＝x2﹣4x﹣5，且经过B（﹣1，0）， ∴x1＝﹣1是x2﹣4x﹣5＝0的一个根， 由根与系数关系，得：， 解得：x2＝5， ∴添加的条件为C（5，0）， 故答案为：C（5，0）（答案不唯一）； （2）将抛物线C1向上平移m个单位后得到抛物线C2，平移后的解析式为y＝x2﹣4x﹣5+m＝（x﹣2）2﹣9+m， ∴抛物线C2的顶点坐标为（2，﹣9+m）， （2，﹣9+m）关于原点的对称点为（﹣2，9﹣m）， 将（﹣2，9﹣m）代入y＝x2﹣4x﹣5， 得9﹣m＝（﹣2）2﹣4×（﹣2）﹣5即9﹣m＝7， 解得：m＝2． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 20．（10分）【模型探究】 如图1，已知M、N分别是∠AOB边OA、OB上的点，P是∠AOB的平分线上一点，满足∠MPN∠AOB＝180°．求证：OP2＝OM•ON． 【模型应用】 （1）已知M、N分别是∠AOB边OA、OB上的点，P是∠AOB的平分线上一点，如果∠AOB＝60°，OM＝6，ON＝4，OP＝2，那么∠MPN的度数为　150°　 ； （2）如图2，已知∠AOB＝90°，N是边OB上一点，请在边OA上选择一个合适的点M，并在∠AOB内部求作一个点P，满足∠MPN＝135°且PM＝2PN． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】【模型探究】证明：∵OP平分∠AOB， ∴， ∵， ∴∠MPO+∠NPO+∠NOP＝180°， ∴∠MPO＝180°﹣（∠NPO+∠NOP）＝∠PNO， ∴△ONP∽△OPM， ∴， ∴OP2＝OM•ON； 【模型应用】（1）150°； （2））如图，点P、M即为所求． 【分析】【模型探究】由OP平分∠AOB，可得又由，可得∠MPO＝∠PNO，从而△ONP∽△OPM，即可得结论； 【模型应用】（1）由OM＝6，ON＝4，，可得，从而可证△ONP∽△OPM，则∠MPO＝∠PNO，再由∠MPN＝∠MPO+∠NPO，∠NPO＝180°﹣∠PNO﹣∠NOP，可得.，即可求解； （2）先作∠AOB的平分线OC，则有，在OC截取OP＝2ON，再在OA截取OM＝2OP，则，从而△ONP∽△OPM，则，即PM＝2PN，同时∠MPO＝∠PNO，则∠MPN＝∠MPO+∠OPN＝∠MPO+（180°﹣∠PNO﹣∠NOP）＝∠MPO+180°﹣∠PNO﹣2∠AOB＝180°﹣×90°＝135°，则点P、M即为所求． 【解答】【模型探究】证明：∵OP平分∠AOB， ∴， ∵， ∴∠MPO+∠NPO+∠NOP＝180°， ∴∠MPO＝180°﹣（∠NPO+∠NOP）＝∠PNO， ∴△ONP∽△OPM， ∴， ∴OP2＝OM•ON； 【模型应用】解：（1）∵OP平分∠AOB，∠AOB＝60°， ∴， ∵OM＝6，ON＝4，， ∴，， ∴， ∴△ONP∽△OPM， ∴∠MPO＝∠PNO， ∴∠MPN＝∠MPO+∠OPN＝∠MPO+（180°﹣∠PNO﹣∠NOP）＝∠MPO+180°﹣∠PNO﹣2∠AOB＝180°60°＝150°， 故答案为：150°； （2）如图，点P、M即为所求． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，尺规作图﹣作角平分线，作线段，灵活运用所学知识是解题的关键． 21．（12分）如图1，某农场需要用喷水装置灌溉果树．装置的喷头固定在一根竖直立柱顶端，如图2，以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为y轴的正方向，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，已知喷头喷出的水流轨迹为抛物线，水流的最高处C距离原点的水平距离为1m，最大竖直高度为2.25m，喷头A所在位置的竖直高度为1.25m． （1）请直接写出水流最高处C的坐标：　（1，2.25）　 ． （2）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离原点的水平距离x（m）之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） （3）为了适配不同高度的果树，工人可以调节喷头的竖直高度，调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变．要求水流落地点距离原点的最远水平距离不超过2.8m，求喷头高度h的最大值． 【答案】（1）（1，2.25）； （2）y＝﹣（x﹣1）2+2.25； （3）2.24m． 【分析】（1）根据建立平面直角坐标系写出C点坐标即可； （2）设二次函数顶点表达式，再利用待定系数法求出二次函数的表达式； （3）根据水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变，设出调节后的抛物线函数表达式，再得出B点坐标，进而得到调节后的抛物线函数表达式，从而求出喷头高度h的最大值． 【解答】解：（1）由于水流的最高处C距离原点的水平距离为1m，最大竖直高度为2.25m，‘ 则C的坐标为（1，2.25）， 故答案为：（1，2.25）； （2）由条件可设抛物线函数表达式为y＝a（x﹣1）2+2.25， 将A（0，1.25）代入y＝a（x﹣1）2+2.25得： a（0﹣1）2+2.25＝1.25， 解得a＝﹣1， 因此，抛物线函数表达式为y＝﹣（x﹣1）2+2.25； （3）由条件可设抛物线函数表达式为y＝﹣（x﹣1）2+m， 当h最大时，点B的坐标为B（2.8，0）， 将B（2.8，0）代入y＝﹣（x﹣1）2+m得： ﹣（2.8﹣1）2+m＝0， 解得m＝3.24， 即抛物线函数表达式为y＝﹣（x﹣1）2+3.24， 将x＝0代入y＝﹣（x﹣1）2+3.24得： y＝﹣1+3.24＝2.24， 因此，喷头高度h的最大值为2.24m． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意熟练掌握二次函数性质是关键． 22．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上，连接BD，点E在BD上，连接AE，CE，且∠DAE＝∠DBA． （1）求证：AD2＝BD•DE； （2）若点D是AC的中点，求证：∠CED＝90°． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先根据相似三角形的判定方法证明△DAE∽△DBA，再根据相似三角形的性质得到AD：BD＝DE：AD，然后根据比例的性质得到结论； （2）由点D是AC的中点得到AD＝CD，所以CD2＝BD•DE，再利用∠CDE＝∠BDC可判断△DCE∽△DBC，然后根据相似三角形的性质得到∠DEC＝∠DCB＝90°． 【解答】证明：（1）∵∠DAE＝∠DBA，∠ADE＝∠BDA， ∴△DAE∽△DBA， ∴AD：BD＝DE：AD， ∴AD2＝BD•DE； （2）∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∵AD2＝BD•DE， ∴CD2＝BD•DE； 即CD：BD＝DE：CD， ∵∠CDE＝∠BDC， ∴△DCE∽△DBC， ∴∠DEC＝∠DCB＝90°． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或进行几何计算． 23．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，点M为抛物线的顶点，直线MC交x轴于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个动点，作PQ∥y轴交BC于点Q． ①求线段PQ的最大值及此时点P的坐标； ②是否存在点Q，使得以点Q、B、O为顶点的三角形与△BDM相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3； （2）①，； ②存在，（﹣1，﹣2）或． 【分析】（1）根据题意利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）①设P（m，m2+2m﹣3），则Q（m，﹣m﹣3），其中﹣3＜m＜0，确定，即可求解； ②根据待定系数法确定直线MC的解析式为y＝x﹣3，得出点D的坐标为（3，0），分别过点Q、M作QE⊥x轴于点E，MF⊥x轴于点F，由P（m，m2+2m﹣3），Q（m，﹣m﹣3），得E（m，0），然后分两种情况讨论：I．当时，△OBQ∽△BDM，II．当时，△QBO∽△BDM，即可求解． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得， ∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3； （2）①抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线BC的解析式是y＝kx+b，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式是：y＝﹣x﹣3， 如图1设P（m，m2+2m﹣3），则Q（m，﹣m﹣3），其中﹣3＜m＜0， 则， 当时，线段PQ有最大值，为，， 此时点P的坐标为． ②存在点Q，使得以点Q、B、O为顶点的三角形与△BDM相似；理由如下： ∵C（0，﹣3），M（﹣1，﹣4）， ∴使用待定系数法同理可得：直线MC的解析式为y＝x﹣3． 当y＝0时，得：x＝3， ∴点D的坐标为（3，0）． ∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），D（3，0）， ∴OD＝OB＝OC＝3，且OC⊥BD， ∴∠CBD＝∠BDC＝45°． 如图1，分别过点Q、M作QE⊥x轴于点E，MF⊥x轴于点F． 由P（m，m2+2m﹣3），Q（m，﹣m﹣3），得E（m，0）， ∴． 分两种情况讨论： I．当时，△OBQ∽△BDM， 即， 解得m＝﹣1，满足﹣3＜m＜0， 此时点Q的坐标为（﹣1，﹣2）． II．当时，△QBO∽△BDM， 即， 解得，满足﹣3＜m＜0，此时，点Q的坐标为． 综上所述，存在点Q，使得以点Q、B、O为顶点的三角形与△BDM相似， 点Q的坐标为（﹣1，﹣2）或． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，最值问题，理解题意，熟练掌握二次函数的相关性质是解题关键． 24．（14分）阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图①，在△ABC中，∠ABC＝45°，，AD＝AE，∠DAE＝90°．，求CD的长． 小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图②），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE． （1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程； （2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：如图③，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，，求的值． 【答案】（1）5； （2）． 【分析】（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，证明△ADB∽△DEF，求出DF＝4，证明△CEF∽△CDE，由比例线段可求出CF＝1，则 CD可求出； （2）依据题意，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，通过证明△DBE∽△ATD，可得，可得通过证明△ARE≌△ATD，△ABR≌△ACT，可得BR＝TC＝DT，即可求解． 【解答】解：（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB， ∵AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴， ∵∠ABC＝45°，∠ADE＝45°且∠ADC＝∠ADE+∠EDC， ∴∠BAD＝∠EDC， ∵∠BDA＝∠DEF， ∴△ADB∽△DEF， ∴， ∵， ∴DF＝4， 又∵∠CDE+∠C＝45°， ∴∠CEF＝∠CDE， ∴△CEF∽△CDE， ∴， 又∵DF＝4，， ∴， ∴CF＝1或 CF＝﹣5 （舍去）， ∴CD＝CF+4＝5； （2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE， ∵∠ACB＝∠DAC＝∠ABC， ∴AB＝AC，AD＝CD， ∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE， ∵， ∴∠EAD+2∠EBD＝180°，且∠EAD+2∠AED＝180°， ∴∠EBD＝∠AED＝∠ADE， ∵∠BDA＝∠DAT+∠ATD＝∠BDE+∠ADE， ∴∠ADE＝∠ATD＝∠EBD，且∠BDE＝∠DAT， ∴△DBE∽△ATD， ∴，∠ADT＝∠BED， ∴，且AD＝DC， ∴， ∵∠RAT＝∠DAE，∠ADE＝∠ATD， ∴∠RAE＝∠DAT，∠AED＝∠ART＝∠ADE＝∠ATD， ∴AR＝AT，且∠RAE＝∠DAT，∠ARE＝∠ATD， ∴△ARE≌△ATD（ASA） ∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER， ∴∠BED＝∠AER， ∴∠AED＝∠BER＝∠EBD， ∴RE＝RB＝DT， ∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC， ∴△ABR≌△ACT（AAS） ∴BR＝TC， ∴DT＝TC， ∴CD＝2DT， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制) 期中考前 预测卷(拔高) 考试范围：二次函数+相似三角形；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）下列各组线段中，能构成比例线段的是（　　） A．1，2，3，4 B．1，2，2，4 C．2，3，4，5 D．2，3，5，7 2．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，3），（1，0），（2，﹣1），则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 3．（4分）已知6是3和x的比例中项，那么x的值是（　　） A．2 B．12 C． D．18 4．（4分）A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 5．（4分）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若，则（　　） A． B． C． D． 6．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），顶点坐标．下列结论正确的是（　　） ①a＜0，b＞0，c＞0； ②3a+b＞0； ③不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣2或x＞3； ④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n﹣1＝0没有实数根． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）点C在线段AB上，若，则__________________ ． 8．（4分）若y＝xm+1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝ _____ ． 9．（4分）如果将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物线解析式是 _______________ ． 10．（4分）已知二次函数y＝ax2+ax﹣4，其顶点纵坐标为，点Q（k，h）在该函数图象上，若在点Q右侧（不含点）的函数图象上，恰好有三个点到x轴的距离为，则k的取值范围是 ____________________ ． 11．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，AE＝6，则AC的长为 _____ ． 12．（4分）如图，BD为Rt△ABC斜边AC上的高，延长DB至E，联结AE，过C作CF⊥AE于F交BD于点G，BD＝3，BE＝2，则DG＝________ ． 13．（4分）酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性y（单位：U）与温度x（单位：℃）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在_______ ℃． 14．（4分）如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝3.5，则平行四边形ABCD的周长为 _______ ． 15．（4分）如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数y＝x2﹣3的图象上，则图中阴影部分的面积之和为 _______ ． 16．（4分）抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4，…，A2026在抛物线第一象限的图象上．点B1，B2，B3，B4，…，B2026在y轴的正半轴上，△OA1B1，△B1A2B2，…，△B2025A2026B2026都是等腰直角三角形，则B2025A2026＝___________________ ． 17．（4分）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若△ABC的周长为42，面积为84，BC＝14，，则△ADE的面积为 ____________________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，a+b+c＝30．试判断△ABC的形状，并说明理由． 19．（10分）“已知抛物线经过点A（0，﹣5），B（﹣1，0），求抛物线C1的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线C1的表达式为y＝x2﹣4x﹣5． （1）请根据已有的信息添加一个缺失的条件：__________________ ； （2）将抛物线C1向上平移m个单位后得到抛物线C2，如果抛物线C2的顶点关于原点的对称点在抛物线C1上，求m的值． 20．（10分）【模型探究】 如图1，已知M、N分别是∠AOB边OA、OB上的点，P是∠AOB的平分线上一点，满足∠MPN∠AOB＝180°．求证：OP2＝OM•ON． 【模型应用】 （1）已知M、N分别是∠AOB边OA、OB上的点，P是∠AOB的平分线上一点，如果∠AOB＝60°，OM＝6，ON＝4，OP＝2，那么∠MPN的度数为_________ ； （2）如图2，已知∠AOB＝90°，N是边OB上一点，请在边OA上选择一个合适的点M，并在∠AOB内部求作一个点P，满足∠MPN＝135°且PM＝2PN． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 21．（12分）如图1，某农场需要用喷水装置灌溉果树．装置的喷头固定在一根竖直立柱顶端，如图2，以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为y轴的正方向，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，已知喷头喷出的水流轨迹为抛物线，水流的最高处C距离原点的水平距离为1m，最大竖直高度为2.25m，喷头A所在位置的竖直高度为1.25m． （1）请直接写出水流最高处C的坐标：_____________ ． （2）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离原点的水平距离x（m）之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） （3）为了适配不同高度的果树，工人可以调节喷头的竖直高度，调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变．要求水流落地点距离原点的最远水平距离不超过2.8m，求喷头高度h的最大值． 22．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上，连接BD，点E在BD上，连接AE，CE，且∠DAE＝∠DBA． （1）求证：AD2＝BD•DE； （2）若点D是AC的中点，求证：∠CED＝90°． 23．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，点M为抛物线的顶点，直线MC交x轴于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个动点，作PQ∥y轴交BC于点Q． ①求线段PQ的最大值及此时点P的坐标； ②是否存在点Q，使得以点Q、B、O为顶点的三角形与△BDM相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（14分）阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图①，在△ABC中，∠ABC＝45°，，AD＝AE，∠DAE＝90°．，求CD的长． 小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图②），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE． （1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程； （2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：如图③，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，，求的值． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $