2026-2027学年上海市 沪教版(五四制)九年级数学上册期中考前 预测卷(一)

2026年上海市九年级数学上册沪教版（五四制 期中考前预测卷（一）答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 ▣ 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][×] 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A]B][C][D] 6.[A]B]C][D] 二.填空题（共11小题，满分44分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作 答) 7 0123456 三.解答题（共7小题，满分82分）（请在各试题的答题区内作答） 18.答： 19.答： 20.答： 1 A D R B E C 21.答： B 7- J--I 22.答： D C E G A E B 23.答： h/m 花灯 0 灭火器 x/m 2 24.答： 4 -1 支2026年上海市九年级数学上册沪教版（五四制 期中考前预测卷（一）答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][√][ 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[A][B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A]B][C][D] 6.[A][B]IC][D] 二. 填空题（共11小题，满分44分，每小题4分）（请在各试题 的答题区内作答) 7. 8 9 0, 2 13. 14 15. 6 三.解答题（共7小题，满分82分）（请在各试题的答题区内作 答) 18.答： 19.答： 20.答： 2 A D F B E C 21.答： B N C : 22.答： D C F G A E B 23.答： 3 h/m个 。花灯 0 灭火器 x/m 24.答： 4 1 支 5 9 、 ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制) 期中考前 预测卷(一) 考试范围：二次函数+相似三角形；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（　　） A．2cm，2.5cm，3cm，3.5cm B．，3cm，3cm， C．2cm，4cm，8cm，18cm D． 2．（4分）抛物线经过三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1 3．（4分）一辆普通自行车的前齿轮齿数为26，后齿轮齿数为16．当后齿轮转动13圈时，前齿轮转（　　）圈． A．16 B．12 C．10 D．8 4．（4分）已知二次函数与一次函数y2＝kx+m的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2或x＜8 C．x＜﹣2或x＞8 D．﹣2＜x＜8 5．（4分）如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△QPO相似，那么这个三角形是（　　） A．△ACD B．△BCD C．△CDE D．△ADE 6．（4分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③a+b＞m（am+b）（m≠1的任意实数）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣2没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）已知线段a＝3，b＝5，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为________________ ． 8．（4分）把抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为________________ ． 9．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，如果，那么__________________ ． 10．（4分）二次函数y＝x2+4x﹣3在﹣3≤x≤1范围内的最小值为_______ ． 11．（4分）抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，5），B（1，1），则方程ax2＝bx+c的解是_______________ ． 12．（4分）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C，下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0；正确的是 _______ （写编号）． 13．（4分）如图，两条直线被三条平行线m、n、l所截，分别相交于点A、B、C、D、E、F，若，那么当时，DF的长为___________________ ． 14．（4分）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为__________________ m． 15．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y m 0 ﹣4 n 0 则m，n的大小关系为m_____ n（填“＞”，“＜”或“＝”）． 16．（4分）已知函数y＝x2+2x﹣3的图象如图所示，当直线y＝m与函数y＝|x2+2x﹣3|的图象有2个交点时，m的取值或取值范围是____________ ． 17．（4分）如图是将正方形变成与之面积相等的矩形的一种方法：在正方形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，BF⊥AE于点F．以AE为边作矩形AEHG，使得HG经过点D，EH交DC于点M．若△BFE与△ECM的面积之比为144：25，AG＝12，则GH的长为 ___________________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）已知且b+d+f≠0，求证：． 19．（10分）二次函数的表达式为y＝x2﹣3x+4，自变量x的取值范围是﹣2≤x≤3，求这个二次函数的最大值和最小值． 20．（12分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点D在边AC上，AD＝4，连结BD． （1）求证：△ADB∽△ABC； （2）作∠BAC的平分线AE，交BC于点E，交BD于点F，若AE＝8，求EF的长． 21．（12分）在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均在格点上（网格线的交点）． （1）以点C为位似中心，在网格区域内将△ABC放大2倍得到△A1B1C（A的对应点是A1，B的对应点是B1）． （2）求△A1B1C的面积． （3）用无刻度的直尺在线段A1B1上找一点P，使得．（保留画图痕迹） 22．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB的延长线上，过A作AF⊥CE，垂足为点F，CF＝EF，AF与边BC交于点G，联结BF． （1）求证：FB2＝FA•FG； （2）连接BD与AG交于点H，如果AB＝BC，求证：． 23．（12分）燃放烟花是中国的传统文化，寓意吉祥欢乐．春节期间，小明在小区指定烟花燃放区域的水平地面上燃放小型烟花，花弹的飞行路径视为一条抛物线，飞行的水平距离x（单位：m）与飞行高度h（单位：m）的变化规律如下表： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 … 高度h/m 0 10 16 18 16 … （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求花弹的飞行高度h与飞行的水平距离x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若距离烟花燃放点（坐标原点）水平距离6m处有一高为3m的花灯（花灯大小忽略不计），花弹飞行的过程中，此花灯是否会被损坏，请说明理由； （3）为保障烟花燃放安全，在花灯右侧地面不远处配有干粉灭火器，干粉喷出后的运动轨迹为抛物线其函数关系式为：，喷出的干粉能否直达花灯的顶端，若能，说明理由；若不能，请说明不能的原因并求出需将干粉的运动轨迹向左平移的距离． 24．（14分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+1与y轴交于点A，顶点B的坐标为（2，﹣1）． （1）直接写出点A的坐标，并求抛物线的表达式； （2）设点C在x轴上，且∠CAB＝90°，直线AC与抛物线的另一个交点为点D． ①求点C、D的坐标； ②将抛物线y＝ax2+bx+1沿着射线BD的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD上；点A的对应点为点P．设线段AB与x轴的交点为点Q，如果△ADP与△CBQ相似，求点P的坐标． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ________ 班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制) 期中考前 预测卷(一) 考试范围：二次函数+相似三角形；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（　　） A．2cm，2.5cm，3cm，3.5cm B．，3cm，3cm， C．2cm，4cm，8cm，18cm D． 2．（4分）抛物线经过三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1 3．（4分）一辆普通自行车的前齿轮齿数为26，后齿轮齿数为16．当后齿轮转动13圈时，前齿轮转（　　）圈． A．16 B．12 C．10 D．8 4．（4分）已知二次函数与一次函数y2＝kx+m的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2或x＜8 C．x＜﹣2或x＞8 D．﹣2＜x＜8 5．（4分）如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△QPO相似，那么这个三角形是（　　） A．△ACD B．△BCD C．△CDE D．△ADE 6．（4分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③a+b＞m（am+b）（m≠1的任意实数）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣2没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）已知线段a＝3，b＝5，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为________________ ． 8．（4分）把抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为________________ ． 9．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，如果，那么__________________ ． 10．（4分）二次函数y＝x2+4x﹣3在﹣3≤x≤1范围内的最小值为_______ ． 11．（4分）抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，5），B（1，1），则方程ax2＝bx+c的解是_______________ ． 12．（4分）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C，下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0；正确的是 _______ （写编号）． 13．（4分）如图，两条直线被三条平行线m、n、l所截，分别相交于点A、B、C、D、E、F，若，那么当时，DF的长为___________________ ． 14．（4分）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为__________________ m． 15．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y m 0 ﹣4 n 0 则m，n的大小关系为m_____ n（填“＞”，“＜”或“＝”）． 16．（4分）已知函数y＝x2+2x﹣3的图象如图所示，当直线y＝m与函数y＝|x2+2x﹣3|的图象有2个交点时，m的取值或取值范围是____________ ． 17．（4分）如图是将正方形变成与之面积相等的矩形的一种方法：在正方形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，BF⊥AE于点F．以AE为边作矩形AEHG，使得HG经过点D，EH交DC于点M．若△BFE与△ECM的面积之比为144：25，AG＝12，则GH的长为 ___________________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）已知且b+d+f≠0，求证：． 19．（10分）二次函数的表达式为y＝x2﹣3x+4，自变量x的取值范围是﹣2≤x≤3，求这个二次函数的最大值和最小值． 20．（12分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点D在边AC上，AD＝4，连结BD． （1）求证：△ADB∽△ABC； （2）作∠BAC的平分线AE，交BC于点E，交BD于点F，若AE＝8，求EF的长． 21．（12分）在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均在格点上（网格线的交点）． （1）以点C为位似中心，在网格区域内将△ABC放大2倍得到△A1B1C（A的对应点是A1，B的对应点是B1）． （2）求△A1B1C的面积． （3）用无刻度的直尺在线段A1B1上找一点P，使得．（保留画图痕迹） 22．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB的延长线上，过A作AF⊥CE，垂足为点F，CF＝EF，AF与边BC交于点G，联结BF． （1）求证：FB2＝FA•FG； （2）连接BD与AG交于点H，如果AB＝BC，求证：． 23．（12分）燃放烟花是中国的传统文化，寓意吉祥欢乐．春节期间，小明在小区指定烟花燃放区域的水平地面上燃放小型烟花，花弹的飞行路径视为一条抛物线，飞行的水平距离x（单位：m）与飞行高度h（单位：m）的变化规律如下表： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 … 高度h/m 0 10 16 18 16 … （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求花弹的飞行高度h与飞行的水平距离x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若距离烟花燃放点（坐标原点）水平距离6m处有一高为3m的花灯（花灯大小忽略不计），花弹飞行的过程中，此花灯是否会被损坏，请说明理由； （3）为保障烟花燃放安全，在花灯右侧地面不远处配有干粉灭火器，干粉喷出后的运动轨迹为抛物线其函数关系式为：，喷出的干粉能否直达花灯的顶端，若能，说明理由；若不能，请说明不能的原因并求出需将干粉的运动轨迹向左平移的距离． 24．（14分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+1与y轴交于点A，顶点B的坐标为（2，﹣1）． （1）直接写出点A的坐标，并求抛物线的表达式； （2）设点C在x轴上，且∠CAB＝90°，直线AC与抛物线的另一个交点为点D． ①求点C、D的坐标； ②将抛物线y＝ax2+bx+1沿着射线BD的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD上；点A的对应点为点P．设线段AB与x轴的交点为点Q，如果△ADP与△CBQ相似，求点P的坐标． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制) 期中考前 预测卷(一) 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D D C B C 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（　　） A．2cm，2.5cm，3cm，3.5cm B．，3cm，3cm， C．2cm，4cm，8cm，18cm D． 【答案】D 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【解答】解：A．∵2×3.5≠3×2.5，∴四条线段不成比例，故不符合题意； B．∵43×3，∴四条线段不成比例，故不符合题意； C．∵2×18≠4×8，∴四条线段不成比例，故不符合题意； D．∵2＝2，∴四条线段成比例，故符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 2．（4分）抛物线经过三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到y1，y2，y3的大小关系． 【解答】解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，图象开口向下， ∵抛物线经过三点，1﹣（﹣2）＝3，1﹣0＝1，1， ∴y2＞y3＞y1， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．（4分）一辆普通自行车的前齿轮齿数为26，后齿轮齿数为16．当后齿轮转动13圈时，前齿轮转（　　）圈． A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出算式26×13÷16，然后计算即可． 【解答】解：由题意可得， 后齿轮转数是：16×13÷26＝8（转）， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算，理解数量关系正确列式求解是关键． 4．（4分）已知二次函数与一次函数y2＝kx+m的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2或x＜8 C．x＜﹣2或x＞8 D．﹣2＜x＜8 【答案】C 【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【解答】解：∵二次函数与一次函数y2＝kx+m的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）， ∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式（组），两条直线相交或平行问题，数形结合是解题的关键． 5．（4分）如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△QPO相似，那么这个三角形是（　　） A．△ACD B．△BCD C．△CDE D．△ADE 【答案】B 【分析】连接BC、BD，由正方形的性质得出∠BCD＝∠QOP，由勾股定理得，证出，得出△QPO∽△BDC即可． 【解答】解：如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，连接BC、BD，则∠BCD＝90°+45°＝135°＝∠QOP， ∵△ACD、△CDE和△ADE均找不出135°的角， ∴不可能与△OPQ相似． 由勾股定理得：， ∵OQ＝2，CD＝1， ∴， ∴△QPO∽△BDC， ∴这个三角形是△BCD， 故选：B． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键． 6．（4分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③a+b＞m（am+b）（m≠1的任意实数）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣2没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①判断二次函数与x轴另外一个交点的位置，判断x＝﹣1时的函数值正负即可； ②根据顶点横坐标和对称轴公式求出a、b关系，代入①中结论即可； ③根据抛物线在x＝1处取得最大值即可判断； ④根据抛物线图象，数形结合即可判断． 【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（1，n）， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∵图象与x轴的一个交点在（3，0），（4，0）之间， ∴图象与x轴另一交点在（﹣1，0），（﹣2，0）之间， ∴x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，故①正确； ∵抛物线对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a， ∴x＝﹣1时，y＝3a+c＞0，故②正确； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为（1，n）， 故二次函数有最大值，当x＝1时，最大值为a+b+c， ∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥m（am+b），故③正确； ∵y＝ax2+bx+c的最大值为y＝n， ∴由图可知ax2+bx+c＝n﹣2＜n必有两个不相等的实数根，故④错误； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象的性质，关键是掌握二次函数的性质． 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）已知线段a＝3，b＝5，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为　　 ． 【答案】． 【分析】根据线段比例中项的概念，得c2＝ab，即可得到答案． 【解答】解：∵线段c是线段a，b的比例中项， ∴c2＝ab＝3×5＝15， 解得c＝±， ∵线段的长是正数， ∴c． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例线段，正确记忆如果a：b＝b：c，那么b叫做a，c的比例中项是本题关键． 8．（4分）把抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣3　 ． 【答案】y＝2（x+1）2﹣3． 【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可． 【解答】解：由题意得，平移后得到的抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣3． 故答案为：y＝2（x+1）2﹣3． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握函数平移规律是解题的关键． 9．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，如果，那么　　 ． 【答案】 【分析】由DE∥BC证△ADE∽△ABC，得，继而可得答案． 【解答】解：如图， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 10．（4分）二次函数y＝x2+4x﹣3在﹣3≤x≤1范围内的最小值为　﹣7　 ． 【答案】﹣7． 【分析】先求得对称轴与顶点坐标，并判断顶点是否在给定区间内，然后计算函数在顶点和端点处的值，比较得出最小值． 【解答】解：∵y＝x2+4x﹣3＝（x+2）2﹣7， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为（﹣2，﹣7）， ∵﹣3＜﹣2＜1， ∴二次函数在﹣3≤x≤1范围内的最小值为﹣7． 故答案为：﹣7． 【点评】此题考查了二次函数的最值，解答本题的关键要明确：将一般式化为顶点式，结合二次函数的性质即可求出二次函数的最小值．注意，此题的自变量x是有取值范围的． 11．（4分）抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，5），B（1，1），则方程ax2＝bx+c的解是x1＝﹣3，x2＝1　 ． 【答案】x1＝﹣3，x2＝1． 【分析】方程ax2a＝bx+c的解，就是抛物线与直线交点的横坐标，直接提取两个交点A、B的横坐标，即为方程的解． 【解答】解：抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c交点坐标A（﹣3，5），B（1，1），交点处满足ax2＝bx+c， ∴方程ax2＝bx+c的解是x1＝﹣3，x2＝1． 故答案为：x1＝﹣3，x2＝1． 【点评】本题考查二次函数、一次函数交点与一元二次方程解的联系．熟练理解函数图象交点横坐标对应方程的解是解题关键． 12．（4分）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C，下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0；正确的是 　③④　 （写编号）． 【答案】③④． 【分析】根据图象得出a＞0，b＜0，c＜0，即可判断①；根据对称轴为直线，即可判断②；由图可知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，即可判断③；由图可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，结合2a＞﹣b，则a+2a+c＞a﹣b+c，即可判断④． 【解答】解：由条件可知a＞0，b＜0，c＜0， ∴abc＞0，故①不正确； ∵对称轴为直线， ∴2a+b＞0，故②不正确； 由图可知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故③正确，符合题意； 由图可知，当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0， ∵2a+b＞0， ∴2a＞﹣b， ∴a+2a+c＞a﹣b+c， 即3a+c＞0，故④正确． 综上：正确的有③④． 故答案为：③④． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象和系数的关系．熟练掌握以上知识点是关键． 13．（4分）如图，两条直线被三条平行线m、n、l所截，分别相交于点A、B、C、D、E、F，若，那么当时，DF的长为　　 ． 【答案】． 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理得出，再将已知数据代入求出即可． 【解答】∵m∥n∥l， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例的定理，找到对应线段的比是关键． 14．（4分）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为　　 m． 【答案】． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得y的值，即可得出答案． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可知抛物线与x轴的一个交点为（3，0），顶点坐标为（1，3）， ∴0＝a（3﹣1）2+3， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当x＝0时，， ∴水柱落地处离池中心3m，水管的高度为， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y m 0 ﹣4 n 0 则m，n的大小关系为m　＞　 n（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】＞． 【分析】根据二次函数与x轴交点坐标求对称轴，结合开口方向比较函数值大小． 【解答】解：由表格知：二次函数与x轴交于点（﹣1，0）和（2，0）， 故图象对称轴为：直线， ∵当﹣1＜x＜0时，﹣4＜y＜0， ∴当﹣1＜x＜0时，y随x的增大而减小， ∴a＞0，函数值在对称轴两侧随距离增大而增大， ∵|1﹣0.5|＝0.5，|﹣2﹣0.5|＝2.5，2.5＞0.5， ∴m，n的大小关系为m＞n． 故答案为：＞． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 16．（4分）已知函数y＝x2+2x﹣3的图象如图所示，当直线y＝m与函数y＝|x2+2x﹣3|的图象有2个交点时，m的取值或取值范围是m＝0或m＞4　 ． 【答案】m＝0或m＞4． 【分析】先画出函数y＝|x2+2x﹣3|的图象，再利用图象分析直线y＝m与函数y＝|x2+2x﹣3|的图象交点个数问题． 【解答】解：由题意，作函数y＝|x2+2x﹣3|的图象如下： 又∵令y＝|x2+2x﹣3|＝0， ∴x＝﹣3或x＝1， ∴与x轴的交点为（﹣3，0）、（1，0），且顶点为（﹣1，4）， ∴结合图象可得，当m＝0时，直线y＝0与图象在x＝﹣3和x＝1处相交，有2个交点；当m＞4时，直线与图象有2个交点． ∴当m＝0或m＞4时，直线与图象有2个交点， 故答案为：m＝0或m＞4． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是正确画出y＝|x2+2x﹣3|的图象． 17．（4分）如图是将正方形变成与之面积相等的矩形的一种方法：在正方形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，BF⊥AE于点F．以AE为边作矩形AEHG，使得HG经过点D，EH交DC于点M．若△BFE与△ECM的面积之比为144：25，AG＝12，则GH的长为 　　 ． 【答案】． 【分析】由题意，结合两个三角形全等的判定定理得到△ABF≌△ADG（AAS），从而AF＝AG＝12，BF＝DG，由正方形ABCD与矩形AEHG面积相等，可知S△BEF+S△ECM＝S△DMH，再根据△BFE与△ECM的面积之比为144：25，设S△ECM＝25a，S△BEF＝144a，则S△DMH＝S△BEF+S△ECM＝169a，利用相似三角形的判定与性质得到，，设EC＝5b，则HD＝13b，BF＝12b，由勾股定理求出正方形边长，进而正方形ABCD与矩形AEHG面积相等，列方程求解即可得到答案． 【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°， 则∠BAE+∠DAE＝90°， 在矩形AEHG中，∠EAG＝∠G＝90°， 则∠DAG+∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG， ∵BF⊥AE， ∴∠BFA＝90°， ∴△ABF≌△ADG（AAS）， ∴AF＝AG＝12，BF＝DG， ∵正方形ABCD与矩形AEHG面积相等， ∴S△BEF+S△ECM＝S△DMH， ∵△BFE与△ECM的面积之比为144：25， 设S△ECM＝25a，S△BEF＝144a， 则S△DMH＝S△BEF+S△ECM＝169a， ∵BF∥EH， ∴∠FBE＝∠MEC， ∵∠BFE＝90°＝∠C， ∴△BFE∽△ECM， 则； ∴∠EMC＝∠DMH， ∵∠H＝90°＝∠C， ∴△MHD∽△MCE， 则， 设EC＝5b，则HD＝13b，BF＝12b， ∴DG＝BF＝12b， 在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AF＝12，BF＝12b， 则由勾股定理可得， ∴， ∵GH＝GD+DH＝12b+13b＝25b， ∴S矩形AEHG＝AG•GH＝25b×12＝300b， ∵正方形ABCD与矩形AEHG面积相等， ∴300b＝144（b2+1）， 即12b2﹣25b+12＝0， ∴， 解得或， ∵在正方形ABCD中，当点E与点C重合时，△ABC是等腰直角三角形， 则由BF⊥AE可知，此时AF＝BF， ∴当点E在边BC上时，AF＞BF，即12＞12b， 解得b＜1， ∴取， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等面积法、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等知识．根据题意，灵活选用相关几何性质，利用三角形面积比，结合相似三角形的判定与性质表示出相关线段长度是解决问题的关键． 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）已知且b+d+f≠0，求证：． 【答案】证明：设k， 则a＝bk，c＝dk，e＝fk， ∴k． 【分析】设的比值为k，用含k的式子表示出a，c，e，然后代入计算即可． 【解答】证明：设k， 则a＝bk，c＝dk，e＝fk， ∴k． 【点评】本题考查了比例线段，比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 19．（10分）二次函数的表达式为y＝x2﹣3x+4，自变量x的取值范围是﹣2≤x≤3，求这个二次函数的最大值和最小值． 【答案】函数的最大值为14，最小值为． 【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【解答】解：∵y＝x2﹣3x+4＝（x）2， ∴在﹣2≤x≤3的取值范围内，当x时，有最小值为， 当x＝﹣2时，y＝14， 当x＝3时，y＝4， ∴当x＝﹣2时，y的最大值为14， 综上所示：函数的最大值为14，最小值为． 【点评】本题主要考查了二次函数顶点式解析式形式，二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点形式是解决问题的关键． 20．（12分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点D在边AC上，AD＝4，连结BD． （1）求证：△ADB∽△ABC； （2）作∠BAC的平分线AE，交BC于点E，交BD于点F，若AE＝8，求EF的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可； （2）如图，在AC上截取线段AT，使得AT＝AB＝6．连接ET，证明ET∥DF，利用平行线分线段成比例定理求解． 【解答】（1）证明：∵AC＝9，AD＝4，AB＝6， ∴AB2＝AD•AC， ∴， ∵∠BAD＝∠CAB， ∴△ADB∽△ABC； （2）解：如图，在AC上截取线段AT，使得AT＝AB＝6．连接ET， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠TAE， ∵AB＝AT，AE＝AE， ∴△BAE≌△TAE（SAS）， ∴∠AEB＝∠AET， ∵△ABD∽△ACB， ∴∠ABD＝∠C， ∵∠BFE＝∠ABD+∠BAE，∠AEB＝∠C+∠EAC， ∴∠BFE＝∠BEF， ∴∠BFE＝∠AET， ∴BD∥ET， ∵AD＝4，AT＝6， ∴DT＝2， ∵DF∥ET， ∴， ∴， ∴EF． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（12分）在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均在格点上（网格线的交点）． （1）以点C为位似中心，在网格区域内将△ABC放大2倍得到△A1B1C（A的对应点是A1，B的对应点是B1）． （2）求△A1B1C的面积． （3）用无刻度的直尺在线段A1B1上找一点P，使得．（保留画图痕迹） 【答案】（1）将△ABC放大2倍得到△A1B1C，如图1即为所求； （2）16； （3）使得的点P，如图2即为所求． 【分析】（1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，然后画图即可； （2）分割法计算△A1B1C的面积即可； （3）过点A1、B1作A1F∥B1E，且满足B1E＝3，A1F＝4，根据相似三角形的性质即可得解． 【解答】解：（1）将△ABC放大2倍得到△A1B1C，如图1即为所求； （2）； （3）使得的点P，如图2即为所求； 过点A1、B1作A1F∥B1E，且满足B1E＝3，A1F＝4，连接EF，与A1B1的交点即为所求的点P， ∴△B1EP∽△A1FP， ∴． 【点评】本题主要考查了作图﹣位似变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 22．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB的延长线上，过A作AF⊥CE，垂足为点F，CF＝EF，AF与边BC交于点G，联结BF． （1）求证：FB2＝FA•FG； （2）连接BD与AG交于点H，如果AB＝BC，求证：． 【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，点E在边AB的延长线上， ∴∠EBC＝∠ABC＝90°， ∵AF⊥CE于点F， ∴∠AFE＝90°， ∴∠BCE+∠E＝90°，∠FAB+∠E＝90°， ∴∠BCE＝∠FAB， ∵CF＝EF， ∴BF＝CFCE， ∴∠BCE＝∠FBG， ∴∠FBG＝∠FAB， ∵∠BFG＝∠AFB， ∴△BFG∽△AFB， ∴， ∴FB2＝FA•FG． （2）连接BD与AG交于点H，连接CH， ∵四边形ABCD是矩形，且AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形， ∵DA∥GB，DA＝CB， ∴△AHD∽△GHB， ∴， ∵CB＝AB＝CD＝AD，∠BCD＝∠BAD＝90°， ∴∠CDB＝∠CBD＝∠ABD＝∠ADB＝45°， 在△BCH和△BAH中， ， ∴△BCH≌△BAH（SAS）， ∴∠HCB＝∠HAB， 由（1）得∠FBG＝∠FAB，即∠FBG＝∠HAB， ∴∠HCB＝∠FBG， ∴CH∥BF， ∴， ∴． 【分析】（1）由矩形的性质得∠EBC＝∠ABC＝90°，由AF⊥CE于点F，得∠AFE＝90°，可证明∠BCE＝∠FAB，由CF＝EF，得BF＝CFCE，则∠BCE＝∠FBG，推导出∠FBG＝∠FAB，因为∠BFG＝∠AFB，所以△BFG∽△AFB，则，即可证明FB2＝FA•FG． （2）连接BD与AG交于点H，连接CH，由AB＝BC，证明四边形ABCD是正方形，由△AHD∽△GHB，得，可证明△BCH≌△BAH，得∠HCB＝∠HAB，因为∠FBG＝∠HAB，所以∠HCB＝∠FBG，则CH∥BF，所以，即可证明． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，点E在边AB的延长线上， ∴∠EBC＝∠ABC＝90°， ∵AF⊥CE于点F， ∴∠AFE＝90°， ∴∠BCE+∠E＝90°，∠FAB+∠E＝90°， ∴∠BCE＝∠FAB， ∵CF＝EF， ∴BF＝CFCE， ∴∠BCE＝∠FBG， ∴∠FBG＝∠FAB， ∵∠BFG＝∠AFB， ∴△BFG∽△AFB， ∴， ∴FB2＝FA•FG． （2）连接BD与AG交于点H，连接CH， ∵四边形ABCD是矩形，且AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形， ∵DA∥GB，DA＝CB， ∴△AHD∽△GHB， ∴， ∵CB＝AB＝CD＝AD，∠BCD＝∠BAD＝90°， ∴∠CDB＝∠CBD＝∠ABD＝∠ADB＝45°， 在△BCH和△BAH中， ， ∴△BCH≌△BAH（SAS）， ∴∠HCB＝∠HAB， 由（1）得∠FBG＝∠FAB，即∠FBG＝∠HAB， ∴∠HCB＝∠FBG， ∴CH∥BF， ∴， ∴． 【点评】此题重点考查矩形的性质、正方形的判定与性质、同角的余角相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 23．（12分）燃放烟花是中国的传统文化，寓意吉祥欢乐．春节期间，小明在小区指定烟花燃放区域的水平地面上燃放小型烟花，花弹的飞行路径视为一条抛物线，飞行的水平距离x（单位：m）与飞行高度h（单位：m）的变化规律如下表： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 … 高度h/m 0 10 16 18 16 … （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求花弹的飞行高度h与飞行的水平距离x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若距离烟花燃放点（坐标原点）水平距离6m处有一高为3m的花灯（花灯大小忽略不计），花弹飞行的过程中，此花灯是否会被损坏，请说明理由； （3）为保障烟花燃放安全，在花灯右侧地面不远处配有干粉灭火器，干粉喷出后的运动轨迹为抛物线其函数关系式为：，喷出的干粉能否直达花灯的顶端，若能，说明理由；若不能，请说明不能的原因并求出需将干粉的运动轨迹向左平移的距离． 【答案】（1）h＝﹣2x2+12x； （2）花灯不会被损坏，见解析； （3）向左平移米． 【分析】（1）根据对称性得到抛物线顶点坐标为（3，18），设出顶点式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出x＝6时的函数值，进行判断即可； （3）将x＝6代入干粉轨迹解析式，进行判断，设左平移的距离为k，得到新的抛物线的解析式，待定系数法求出k的值即可． 【解答】解：（1）由表格可知抛物线顶点坐标为（3，18）， 设函数解析式为h＝a（x﹣3）2+18， 把（0，0）代入得0＝9a+18， ∴a＝﹣2， ∴h＝﹣2（x﹣3）2+18， 即h＝﹣2x2+12x； （2）花灯不会被损坏． 理由：已知花灯在x＝6处，高度为3m． 将x＝6代入解析式： h＝﹣2×（6﹣3）2+18＝﹣2×9+18＝0＜3， ∴花灯不会被损坏； （3）干粉不能直达花灯顶端． 理由：在花灯右侧地面不远处配有干粉灭火器，干粉喷出后的运动轨迹为抛物线其函数关系式为：， 将x＝6代入干粉轨迹解析式：， ∴不能直达． 设向左平移的距离为k，则平移后解析式为， 将（6，3）代入得：， 解得：（舍）， 答：需向左平移米． 【点评】本题二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 24．（14分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+1与y轴交于点A，顶点B的坐标为（2，﹣1）． （1）直接写出点A的坐标，并求抛物线的表达式； （2）设点C在x轴上，且∠CAB＝90°，直线AC与抛物线的另一个交点为点D． ①求点C、D的坐标； ②将抛物线y＝ax2+bx+1沿着射线BD的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD上；点A的对应点为点P．设线段AB与x轴的交点为点Q，如果△ADP与△CBQ相似，求点P的坐标． 【答案】（1）A（0，1），抛物线的表达式为：y（x﹣2）2﹣1； （2）①C（﹣1，0），D（6，7）；②P（2.4，5.8）． 【分析】（1）先令x＝0可得y＝1，得点A的坐标，根据抛物线的顶点B（2，﹣1），利用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）①根据点A和B的坐标得∠BAO＝45°，所以∠CAO＝45°，可知△ACO是等腰直角三角形，可得C的坐标，从而得AC的解析式，联立方程组可得直线AC与抛物线的交点D的坐标； ②先证明∠PAD＝∠ADB＝∠BCQ，设P（m，2m+1），根据平移后B的对称点B'在线段BD上可知0≤m≤4，如果△ADP与△CBQ相似，存在两种情况：或，列方程可得结论． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝1， ∴A（0，1）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣1， 把A（0，1）代入得：1＝a（0﹣2）2﹣1， ∴a， ∴抛物线的表达式为：y（x﹣2）2﹣1； （2）①如图1， ∵A（0，1），B（2，﹣1）， ∴∠BAO＝45°， ∵∠CAB＝90°， ∴∠CAO＝45°， ∴OC＝OA＝1， ∴C（﹣1，0）， 设AC的解析式为：y＝kx+m， 则，解得：， ∴AC的解析式为：y＝x+1， 则，解得：或， ∴D（6，7）； ②∵A（0，1），B（2，﹣1）， 同理得直线AB的解析式为：y＝﹣x+1， ∴Q（1，0）， ∴CQ＝2，BC， ∵D（6，7），A（0，1）， ∴AD6，AB2， 如图2，同理得：直线BD的解析式为：y＝2x﹣5， 由平移得：AP∥BD，则直线AP的解析式为：y＝2x+1， ∴∠PAD＝∠ADB， ∵tan∠BCQtan∠ADB， ∴∠PAD＝∠BCQ， 设抛物线平移后的顶点为B'，P（m，2m+1），则APm，B'（m+2，2m﹣1）， ∵抛物线y＝ax2+bx+1沿着射线BD的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD上， ∴0≤m≤4， 如果△ADP与△CBQ相似，有以下两种情况： i）当时，即， 解得：m＝2.4， ∴P（2.4，5.8）； ii）当时，即， 解得：m＝6（不符合题意，舍去）， 综上，P（2.4，5.8）． 【点评】本题是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，两点的距离公式，相似三角形的性质和判定，平移的性质等知识，解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $