2026--2027学年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制)期中测评 押题卷(五)

2026年上海市九年级数学上册沪教版（五四制 期中测评押题卷（五）答题卡 试卷类型：E 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 ▣ 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][×] 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A]B][C][D] 6.[A]B]C][D] 二.填空题（共11小题，满分44分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作 答) 7 0123456 三.解答题（共7小题，满分82分）（请在各试题的答题区内作答） 18.答： 19.答： 20.答： 1 D Bh 21.答： B 图① A I D B 图 ② A B 图③ 22.答： 2 A D E B C M N 23.答： 图2 24.答： 图1 备用图 ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ________ 班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版（五四制) 期中测评押题卷（五） 考试范围：二次函数+相似三角形；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝1cm，c＝8cm，则线段d的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．16cm 2．（4分）抛物线经过三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1 3．（4分）一辆普通自行车的前齿轮齿数为26，后齿轮齿数为16．当后齿轮转动13圈时，前齿轮转（　　）圈． A．16 B．12 C．10 D．8 4．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴有一正一负两个交点，其顶点坐标为（4，﹣11），则a，b，c中符号为正的是（　　） A．仅a B．仅b C．仅c D．a，b 5．（4分）如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△QPO相似，那么这个三角形是（　　） A．△ACD B．△BCD C．△CDE D．△ADE 6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0），其中a+b＝﹣1． ①若这个函数的图象经过点（﹣1，0），则函数必有最大值； ②若0＜x＜1时，y随x的增大而减小，则必有a＞0； ③若这个函数的图象经过点（4，1），则不等式ax2+bx＞0的解集为x＜0或x＞4； ④若方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一根为x1，且﹣2＜x1＜﹣1，则必有a＞b． 上述四个结论中：所有正确的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（其中a是常数，且a≠0），当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为 ____________________ ． 8．（4分）已知三条线段的长分别是4cm，6cm和10cm，则再加一条____________________ cm的线段，才能使这四条线段成比例． 9．（4分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣1先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到抛物线的解析式是_______________ ． 10．（4分）当0≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最小值为n＝_______ ． 11．（4分）在比例尺是1：3000000的地图上，量得北海、西安两地的距离是60cm，一辆汽车从北海开往西安，平均每小时行驶90km，_______ 小时能到达西安． 12．（4分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A和B两点，交y轴于点C．直线y＝x+m与抛物线交于M，N两点，若在x轴上存在唯一的一点P，使∠MPN＝90°，则m的值为____________________ ． 13．（4分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G（点G在CD，EF之间），若AC＝3，CG＝2，GF＝4，则的值为__________________ ． 14．（4分）如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度6m时，水深3m，当水面上升1m时，水面宽度为________________ m． 15．（4分）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 8 3 0 ﹣1 0 3 … 利用二次函数的图象性质，可知该二次函数图象的对称轴是 __________ ． 16．（4分）已知函数.下面五个结论： ①图象过点； ②图象的最低点坐标为（﹣1，2）； ③图象无最高点且分为两段； ④若P（x1，y1），Q（x2，y2）在图象上且x1＜x2＜﹣1，则y1＜y2； ⑤若P（x1，y1），Q（x2，y2）在图象上，﹣1＜x1＜0＜x2且x1+x2+2x1x2＝0，则y1＝y2． 其中正确的结论是 _________ .（填写序号） 17．（4分）如图，矩形ABCD和正方形AEFG面积相等，点B在边EF上，点G在CD上，FG交BC于M点，EN⊥AB，AB＝18，若S△ENB：S△BFM＝16：9，则AD＝__________________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且，△ABC的周长为81，求三边a，b，c的长． 19．（10分）已知：抛物线y＝（x+a）（x﹣a+4）（a为实数）． （1）求抛物线的对称轴及与x轴的交点坐标（用含a的代数式表示）； （2）若a﹣4＜﹣a，当a﹣4≤x≤1时，函数值y的最大值与最小值的和为﹣1，求a的值． 20．（10分）如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD． （1）证明：△ABC∽△ACD； （2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的长． 21．（12分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，D、E是线段AB与两格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留自图痕迹． （1）在图①中，以B为位似中心，画出△BDE与△ABC位似，位似比为1：3； （2）在图②中，在AC上找一点M，连接DM，使； （3）在图③中，在AC上找一点Q，连接BQ，使． 22．（12分）如图，已知△ABC中，M、N是边BC上的两点，D、E分别是边AB、AC上的点，且MD∥AC，NE∥AB． （1）如果BM＝CN，求证：DE∥BC； （2）延长DM、EN交于点P，联结AP，与边BC交于点O，如果，求证：OB＝OC． 23．（14分）综合与实践 问题情境：图1是某个仓库，图2是棱长为1米的立方体仓储品，图3是仓库横截面的示意图，已知墙体OA＝2.6，BC＝5米，水平距离OC＝12米，仓库顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，它可以近似的用函数表示． 问题解决： （1）求抛物线的函数表达式． （2）将四件一样的图2中的仓储品按如图3所示的方式叠放在MN处，OM＝2.4米，MN＝1米．当叉车要搬运货物时，需要将其向上抬升0.1米．若利用叉车将仓储品沿x轴正方向移动了0.6米，求此时仓储品货物顶端离仓库顶部的最小距离．（该距离包括搬运货物抬升的高度） （3）如图4，在仓库中沿着x轴的正方向摆放4处图2中的立方体仓储品，每处立方体仓储品按问题（2）中的方式用叉车将货物抬升0.1米来搬运并叠放，叠放数量不同，其中OE＝1.5米，CL＝0.5米，FG＝HI＝JK，则叠放最多的一处可叠放_____ 个立方体仓储品． 24．（14分）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+2的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）如图1，若点P为线段AB的中点，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“顶点弦”为线段PB，且点P为顶点，求该二次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，若直线AB上方抛物线上有一点E，使∠BPE+∠BAO＝45°，求点E的坐标； （3）点G在线段AB上，若抛物线F1：y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0）和抛物线F2：y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0）的“顶点弦”分别为GA和GB，点G为F1和F2的顶点，且a1+2a2＝0，求的值． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上海市九年级数学上册沪教版（五四制 期中测评押题卷（五）答题卡 试卷类型：E 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][√][ 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[A][B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A]B][C][D] 6.[A][B]IC][D] 二. 填空题（共11小题，满分44分，每小题4分）（请在各试题 的答题区内作答) 7. 8 9 0, 2 13. 14 15. 6 三.解答题（共7小题，满分82分）（请在各试题的答题区内作 答) 18.答： 19.答： 20.答： 2 D 3h 21.答： A B 图① 3 A D 图② A 人 图③ 22.答： 4 A D E B M W 23.答： O E F GH IJ KL C 5 24.答： 0 图1 备用图 6 、 、 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版（五四制) 期中测评押题卷（五） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D D A B B 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝1cm，c＝8cm，则线段d的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．16cm 【答案】B 【分析】根据成比例线段的定义，有 ，从而 ad＝bc，代入已知值计算出d的值即可． 【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴，即 ad＝bc． ∵c＝8cm，a＝2cm，b＝1cm， ∴2×d＝1×8， 解得d＝4， 即a＝2cm，b＝1cm，c＝8cm，则线段d的长度为4cm， 故选：B． 【点评】本题考查比例线段的计算，根据比例线段得出对应比例关系是解题的关键． 2．（4分）抛物线经过三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到y1，y2，y3的大小关系． 【解答】解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，图象开口向下， ∵抛物线经过三点，1﹣（﹣2）＝3，1﹣0＝1，1， ∴y2＞y3＞y1， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．（4分）一辆普通自行车的前齿轮齿数为26，后齿轮齿数为16．当后齿轮转动13圈时，前齿轮转（　　）圈． A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出算式26×13÷16，然后计算即可． 【解答】解：由题意可得， 后齿轮转数是：16×13÷26＝8（转）， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算，理解数量关系正确列式求解是关键． 4．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴有一正一负两个交点，其顶点坐标为（4，﹣11），则a，b，c中符号为正的是（　　） A．仅a B．仅b C．仅c D．a，b 【答案】A 【分析】根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数；另外，与x轴的两个交点x1、x2，且x1•x20，由这些已知条件，即可做出判断． 【解答】解：由题意得， 由③得⑤， 由①⑤得0，即4a＞0， ∴a＞0⑥， 由②⑥得，c＜0， 由④⑥得，b＜0， ∴a＞0，b＜0，c＜0， 故选：A． 【点评】在解关于二次函数与一元二次方程时，充分利用顶点坐标，和根的判别式来解答，这样会降低题的难度，提高做题效率． 5．（4分）如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△QPO相似，那么这个三角形是（　　） A．△ACD B．△BCD C．△CDE D．△ADE 【答案】B 【分析】连接BC、BD，由正方形的性质得出∠BCD＝∠QOP，由勾股定理得，证出，得出△QPO∽△BDC即可． 【解答】解：如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，连接BC、BD，则∠BCD＝90°+45°＝135°＝∠QOP， ∵△ACD、△CDE和△ADE均找不出135°的角， ∴不可能与△OPQ相似． 由勾股定理得：， ∵OQ＝2，CD＝1， ∴， ∴△QPO∽△BDC， ∴这个三角形是△BCD， 故选：B． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键． 6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0），其中a+b＝﹣1． ①若这个函数的图象经过点（﹣1，0），则函数必有最大值； ②若0＜x＜1时，y随x的增大而减小，则必有a＞0； ③若这个函数的图象经过点（4，1），则不等式ax2+bx＞0的解集为x＜0或x＞4； ④若方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一根为x1，且﹣2＜x1＜﹣1，则必有a＞b． 上述四个结论中：所有正确的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】依据题意，由二次函数为y＝ax2+bx+1（a≠0），又a+b＝﹣1．则b＝﹣a﹣1，从而y＝ax2﹣（a+1）x+1，再结合二次函数的性质逐个判断即可得解． 【解答】解：由题意，∵a+b＝﹣1， ∴b＝﹣1﹣a． 把b＝﹣1﹣a代入y＝ax2+bx+1， ∴y＝ax2﹣（a+1）x+1． 又∵图象过点（﹣1，0）， ∴a•（﹣1）2﹣（a+1）•（﹣1）+1＝0，则a+a+1+1＝0． ∴a＝﹣1＜0． ∴二次函数图象开口向下，必有最大值，故①正确； ∵二次函数为y＝ax2﹣（a+1）x+1， ∴对称轴是直线x， 又∵当0＜x＜1时，y随x增大而减小， ∴分两种情况讨论： 当a＞0时， ∵0＜x＜1时，y随x的增大而减小， ∴对称轴直线x， ∴0＜a≤1； 当a＜0时， ∵0＜x＜1时，y随x的增大而减小， ∴对称轴是直线x0， ∴a≥﹣1． ∵a＜0， ∴﹣1≤a＜0． 综上，﹣1≤a＜0或0＜a≤1，故②错误； 由题意，∵函数图象过点（4，1）， ∴16a﹣4（a+1）+1＝1． ∴a，则b＝﹣1， ∴不等式ax2+bx＞0化为：x2﹣4x＞0． ∴x＜0或x＞4，故③正确； 由题意，方程ax2+bx+1＝0可化为ax2﹣（a+1）x+1＝0， ∴（ax﹣1）（x﹣1）＝0． ∴x1，x2＝1． 又∵一根x1满足﹣2＜x1＜﹣1，即﹣2， ∴a＜0． ∴﹣1， ∴﹣1＜2a+1＜0． 又∵b＝﹣1﹣a，则a﹣b＝a﹣（﹣1﹣a）＝2a+1， ∴a﹣b＜0，则a＜b，故④错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（其中a是常数，且a≠0），当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为 　a＜0或0＜a＜2　 ． 【答案】a＜0或0＜a＜2． 【分析】分两种情况讨论，根据题意得到关于a的不等式，计算即可． 【解答】解：当a＜0时，抛物线开口向下； ∵当0≤x≤3时对应的函数值y均为正数，对称轴为直线x1，x＝0时，y＝2＞0， ∴x＝3时，9a﹣6a+2＞0， 解得a， 故a＜0， 当a＞0时，抛物线开口向上； ∵当0≤x≤3时对应的函数值y均为正数，对称轴为直线x1， ∴x＝1时，a﹣2a+2＞0， ∴a＜2， 故0＜a＜2， 故答案为：a＜0或0＜a＜2． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．（4分）已知三条线段的长分别是4cm，6cm和10cm，则再加一条　15或或2.4　 cm的线段，才能使这四条线段成比例． 【答案】15或或2.4． 【分析】设所加的线段是xcm，则得到：或或，即可求得． 【解答】解：设所加的线段是xcm， 则得到：或或， 解得：x＝15或x或x＝2.4． 故答案为：15或或2.4． 【点评】本题主要考查了成比例线段的关系，已知成比例线段的四条中的三条，即可求得第四条． 9．（4分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣1先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到抛物线的解析式是y＝（x﹣4）2+2　 ． 【答案】y＝（x﹣4）2+2． 【分析】根据左加右减，上加下减求解作答即可． 【解答】解：根据函数图象平移的法则可知，抛物线y＝（x﹣3）2﹣1先向上平移3个单位长度所得解析式为y＝（x﹣3）2﹣1+3， 再向右平移1个单位长度后，得到抛物线的解析式是y＝（x﹣3﹣1）2﹣1+3＝（x﹣4）2+2， 故答案为：y＝（x﹣4）2+2． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换．熟练掌握左加右减，上加下减的法则是解题的关键． 10．（4分）当0≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最小值为n＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】对二次函数配方得到开口方向和对称轴，根据x的取值范围结合二次函数性质求最小值． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2， ∵0≤2≤3，即对称轴在给定的x取值范围内， ∴当x＝2时，二次函数取得最小值，最小值为（2﹣2）2﹣1＝﹣1， 即n＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查二次函数的最值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．（4分）在比例尺是1：3000000的地图上，量得北海、西安两地的距离是60cm，一辆汽车从北海开往西安，平均每小时行驶90km，　20　 小时能到达西安． 【答案】20． 【分析】设北海、西安两地的实际距离为xcm，利用比例尺的定义得到60：x＝1：3000000，解方程求出x，再把单位化为km得到北海、西安两地的实际距离为180km，然后根据速度公式求解． 【解答】解：设北海、西安两地的实际距离为xcm， 根据题意得60：x＝1：3000000， 解得x＝180000000， 因为180000000cm＝1800千米， 所以北海、西安两地的实际距离为180km， 所以汽车从北海开往西安所需的时间为20（小时）． 故答案为：20． 【点评】本题考查了比例尺：比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比，即比例尺＝图上距离与实际距离的比． 12．（4分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A和B两点，交y轴于点C．直线y＝x+m与抛物线交于M，N两点，若在x轴上存在唯一的一点P，使∠MPN＝90°，则m的值为　或1或﹣3　 ． 【答案】或1或﹣3． 【分析】求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解，要注意分类讨论，不要丢解．分为当以MN为直径的圆和x轴相切时，当点A或B在直线y＝x+m上时，求解即可． 【解答】解：当点A或B在直线y＝x+m上时，也符合题设条件，即此时NP⊥x轴， 如图： 或MP⊥x轴，如图， 对于y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，则﹣x2+2x+3＝0， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x+m， 得0＝﹣1+m或0＝3+m，解得m＝1或﹣3． 综上，或1或﹣3． 当以MN为直径的圆和x轴相切时，符合题设条件，连接SP， 设MN的中点为点S，则PS⊥x轴， 设点M，N的横坐标为s，t， ∴M（s，s+m），N（t，t+m）， ∴， 联立y＝x+m与y＝﹣x2+2x+3， 即x+m＝﹣x2+2x+3， 整理得，x2﹣x+m﹣3＝0， 则s+t＝1，st＝m﹣3， ∴， 而点S的横坐标为， ∴点S的坐标为， ∵MN＝2SP，则MN2＝4SP2， 即，解得； 故答案为：或1或﹣3． 【点评】此题是二次函数的综合题，主要考查了切线的性质，及二次函数与一次函数的关系．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义． 13．（4分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G（点G在CD，EF之间），若AC＝3，CG＝2，GF＝4，则的值为　　 ． 【答案】． 【分析】先求出CF＝6，再根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【解答】解：∵GF＝4，AC＝3，CG＝2， ∴CF＝6， ∵AB∥CD∥EF， ∴若AC＝3，CG＝2，GF＝4，则， 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 14．（4分）如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度6m时，水深3m，当水面上升1m时，水面宽度为　4　 m． 【答案】水面宽度为4米． 【分析】首先建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为y＝ax2，进而求出解析式，即可得出水面宽度． 【解答】解：建立直角坐标系如图： 设抛物线为y＝ax2， 由已知抛物线过点（3，3）， ∴3＝a×32， 解得a， ∴抛物线为yx2， 当y＝4时，4x2， 解得：x1＝2，x2＝﹣2（不合题意舍去）， ∴水面宽度为4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确建立平面直角坐标系得出抛物线解析式是解题关键． 15．（4分）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 8 3 0 ﹣1 0 3 … 利用二次函数的图象性质，可知该二次函数图象的对称轴是 　直线x＝1　 ． 【答案】直线x＝1． 【分析】观察表格发现函数的图象经过点（﹣1，3）和（3，3），根据两点的纵坐标相同，说明两点关于对称轴对称，从而求解． 【解答】解：观察表格发现函数的图象经过点（﹣1，3）和（3，3）， ∵两点的纵坐标相同， ∴两点关于对称轴对称， ∴对称轴为：直线x1， 故答案为：直线x＝1． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握关于对称轴直线对称的两个点的纵坐标相等，此题难度不大． 16．（4分）已知函数.下面五个结论： ①图象过点； ②图象的最低点坐标为（﹣1，2）； ③图象无最高点且分为两段； ④若P（x1，y1），Q（x2，y2）在图象上且x1＜x2＜﹣1，则y1＜y2； ⑤若P（x1，y1），Q（x2，y2）在图象上，﹣1＜x1＜0＜x2且x1+x2+2x1x2＝0，则y1＝y2． 其中正确的结论是 　①②③⑤　 .（填写序号） 【答案】①②③⑤． 【分析】将点代入函数解析式可判断①；将函数解析式进行变换并换元为二次函数，根据二次函数的开口方向和对称轴可判断②；根据变形后的函数解析式结合二次函数的性质可判断④；取两个满足x1＜x2＜﹣的x的值代入，求解并对比函数值即可判断④；将x1+x2+2x1x2＝0进行变形并换元，根据﹣1＜x1＜0＜x2求出元的范围，再代入到函数解析式即可判断⑤． 【解答】解：函数为将代入函数解析式， ∴函数图象过，①正确； ∵函数，令， ∴函数可化为y＝t2+2t+3＝（t+1）2+2， ∴y是关于t的二次函数，开口方向向上，且对称轴为直线t＝﹣1， ∴当t＝﹣1时，函数有最低点，此时x＝﹣1， 当x＝﹣1时，， ∴函数图象的最低点坐标为 （﹣1，2），②正确； 由②知，函数有最低点无最高点， ∵函数， ∴x≠0，即函数在x＝0处取不到函数，即函数图象为两段， ∴图象无最高点且分为两段，③正确； 若P（x1，y1），Q（x2，y2）在图象上且x1＜x2＜﹣1， 令x1＝﹣3，x2＝﹣2，，， ∴y1＞y2，④错误； ∵P（x1，y1），Q（x2，y2）在图象上，﹣1＜x1＜0＜x2且x1+x2+2x1x2＝0， ∴， 令，，， 则有t1+t2＝﹣2t1＜﹣1，2＞0，对于函数y＝t2+2t+3＝（t+1）2+2， 则有，，t1+t2＝﹣2， ∴t1＝﹣2﹣t2， ∴，⑤正确． ∴正确结论是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标特征，函数的最值，以及函数图象的形状．对于判断函数图象是否过某点，将点代入函数解析式看是否成立，对于函数的最值以及函数值的大小，需对函数进行变形分析是解决本题的关键． 17．（4分）如图，矩形ABCD和正方形AEFG面积相等，点B在边EF上，点G在CD上，FG交BC于M点，EN⊥AB，AB＝18，若S△ENB：S△BFM＝16：9，则AD＝　　 ． 【答案】． 【分析】证明△ADG≌△ANE（AAS）得S△ADG＝S△ANE，EN＝DG，AN＝AD．由矩形ABCD和正方形AEFG面积相等，得S△ENB+S△BFM＝S△GCM，结合S△ENB：S△BFM＝16：9可得S△ENB：S△GCM＝16：25，证明△CGM∽△NEBEN：GC＝4：5，求出EN＝DG＝8，再证明△ANE∽△ENB，利用相似形的性质即可求解． 【解答】解：∵四边形AEFG是正方形， ∴∠GAE＝∠AEF＝∠F＝∠AGF＝90°，AG＝AE， ∴∠GAB+∠BAE＝90° ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，CD＝AB＝18， ∴∠DAG+∠GAB＝90°， ∴∠DAG＝∠BAE， ∵EN⊥AB， ∴∠ANE＝90°， ∴∠D＝∠ANE＝90°， 在△ADG和△ANE中， ， ∴△ADG≌△ANE（AAS）， ∴EN＝DG，AN＝AD，S△ADG＝S△ANE， ∵矩形ABCD和正方形AEFG面积相等， ∴S矩形ABCD﹣S四边形ABMG＝S正方形AEFG﹣S四边形ABMG， ∴S△ENB+S△BFM＝S△GCM， ∵S△ENB：S△BFM＝16：9， ∴S△ENB：S△GCM＝S△ENB：（S△ENB+S△BFM）＝16：25， ∵∠EBN+∠MBF＝90°，∠EBN+∠BEN＝90°， ∴∠MBF＝∠BEN， 同理可证，∠MBF＝∠CGM， ∴∠CGM＝∠BEN， ∵∠BNE＝∠C＝90°， ∴△CGM∽△NEB， ∴EN：GC＝4：5， ∴DG：GC＝4：5， ∴． ∵∠AEN+∠BEN＝90°，∠AEN+∠EAN＝90°， ∴∠BEN＝∠EAN， ∵∠ANE＝∠ENB＝90°， ∴△ANE∽△ENB， ∴， ∴， 解得：或（经检验，都是分式方程的解，此解不合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等及相似三角形的性质． 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且，△ABC的周长为81，求三边a，b，c的长． 【答案】a＝18，b＝27，c＝36． 【分析】由已知比例关系，设a＝2k，b＝3k，c＝4k，利用周长求出k的值，进而求出各边长． 【解答】解：∵， 设a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵△ABC的周长为81， ∴a+b+c＝2k+3k+4k＝9k＝81， ∴k＝9， ∴a＝18，b＝27，c＝36． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键． 19．（10分）已知：抛物线y＝（x+a）（x﹣a+4）（a为实数）． （1）求抛物线的对称轴及与x轴的交点坐标（用含a的代数式表示）； （2）若a﹣4＜﹣a，当a﹣4≤x≤1时，函数值y的最大值与最小值的和为﹣1，求a的值． 【答案】（1）对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（a﹣4，0）； （2）． 【分析】（1）令y＝0，得出方程，解方程即可得解； （2）对a进行分类讨论即可得解． 【解答】解：（1）y＝0代入y＝（x+a）（x﹣a+4），得：（x+a）（x﹣a+4）＝0， 解得x1＝﹣a，x2＝a﹣4， 对称轴为直线， 与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（a﹣4，0）； （2）由题可知，函数图象开口向上， ∵a﹣4＜﹣a， ∴a＜2，且点（a﹣4，0）在点（﹣a，0）的左侧， 如图，若﹣a≥1，即a≤﹣1时， 当x＝a﹣4，有ymax＝0， 当x＝﹣2，有， ∴﹣a2+4a﹣4＝﹣1， 解得：a1＝1（舍），a2＝3（舍）； 如图，若﹣a＜1，即﹣1＜a＜2时， 当x＝﹣2，有， 当x＝1，有， ∴﹣a2+4a+5﹣a2+4a﹣4＝﹣2a2+8a+1＝﹣1， 解得：（舍去），， 综上所述：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质的综合，抛物线与坐标轴的交点问题等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 20．（10分）如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD． （1）证明：△ABC∽△ACD； （2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由角平分线定义得∠BAC＝∠CAD，再由∠B＝∠ACD＝90°，即可得出结论； （2）先由勾股定理求出BC＝3，再由相似三角形的性质求出CD即可． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠CAD， 又∵∠B＝∠ACD＝90°， ∴△ABC∽△ACD； （2）解：∵∠B＝90°，AB＝4，AC＝5， ∴BC3， 由（1）得：△ABC∽△ACD， ∴， 即， 解得：CD． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 21．（12分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，D、E是线段AB与两格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留自图痕迹． （1）在图①中，以B为位似中心，画出△BDE与△ABC位似，位似比为1：3； （2）在图②中，在AC上找一点M，连接DM，使； （3）在图③中，在AC上找一点Q，连接BQ，使． 【答案】（1）如图所示，△BDE即为所求； （2）如图所示，点M即为所求； （3）点Q即为所求． 【分析】（1）取格点D、G，连接DG交AB于点E，可知DG∥AC，即得△BDE∽△BCA，位似比为BD：BC＝1：3； （2）取格点M，连接DM，可知DM∥BC，可得△ADM∽△ABC，即得，又由网格知，所以，即，故点M即为所求； （3）取格点F，连接BF交AC于点Q，由AF∥BC可得△AFQ∽△CBQ，即得，即可得，故点Q即为所求； 【解答】解：（1）取格点D、G，连接DG交AB于点E，可知DG∥AC，即得△BDE∽△BCA，如图所示，△BDE即为所求； （2）取格点M，连接DM，可知DM∥BC，可得△ADM∽△ABC，即得，又由网格知，所以，即，如图所示，点M即为所求； （3）取格点F，连接BF交AC于点Q，由AF∥BC可得△AFQ∽△CBQ，即得，即可得，故点Q即为所求． 【点评】本题考查了位似图形，相似三角形的判定和性质，理解题意是解题的关键． 22．（12分）如图，已知△ABC中，M、N是边BC上的两点，D、E分别是边AB、AC上的点，且MD∥AC，NE∥AB． （1）如果BM＝CN，求证：DE∥BC； （2）延长DM、EN交于点P，联结AP，与边BC交于点O，如果，求证：OB＝OC． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）首先由平行线分线段成比例得到，，然后得到BN＝MC，等量代换得到，然后证明出△ADE∽△ABC，得到∠ADE＝∠B，即可证明DE∥BC； （2）如图所示，设AP与DE交于点F，证明出△CEN∽△MPN，得到，然后等量代换得到EN＝BD，然后证明出△DBM≌△ENC（AAS），得到BM＝CN，然后由DE∥BC得到△ADF∽△ABO，△AFE∽△AOC，得到，，然后证明出四边形ADPE是平行四边形，得到DF＝EF，即可得到OB＝OC． 【解答】证明：（1）∵MD∥AC，NE∥AB， ∴，， ∵BM＝CN， ∴BM+MN＝CN+MN， ∴BN＝MC， ∴， ∴， 又∵∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC； （2）如图所示，设AP与DE交于点F， ∵MD∥AC， ∴∠C＝∠CMP，∠CEN＝∠MPN， ∴△CEN∽△MPN， ∴， ∴， 又∵， ∴EN＝BD， ∵MD∥AC，NE∥AB， ∴∠DMB＝∠C，∠B＝∠ENC， ∴△DBM≌△ENC（AAS）， ∴BM＝CN， 由（1）得，DE∥BC， ∴△ADF∽△ABO，△AFE∽△AOC， ∴，， ∴， ∵MD∥AC，NE∥AB， ∴四边形ADPE是平行四边形， ∴DF＝EF， ∴OB＝OC． 【点评】此题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23．（14分）综合与实践 问题情境：图1是某个仓库，图2是棱长为1米的立方体仓储品，图3是仓库横截面的示意图，已知墙体OA＝2.6，BC＝5米，水平距离OC＝12米，仓库顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，它可以近似的用函数表示． 问题解决： （1）求抛物线的函数表达式． （2）将四件一样的图2中的仓储品按如图3所示的方式叠放在MN处，OM＝2.4米，MN＝1米．当叉车要搬运货物时，需要将其向上抬升0.1米．若利用叉车将仓储品沿x轴正方向移动了0.6米，求此时仓储品货物顶端离仓库顶部的最小距离．（该距离包括搬运货物抬升的高度） （3）如图4，在仓库中沿着x轴的正方向摆放4处图2中的立方体仓储品，每处立方体仓储品按问题（2）中的方式用叉车将货物抬升0.1米来搬运并叠放，叠放数量不同，其中OE＝1.5米，CL＝0.5米，FG＝HI＝JK，则叠放最多的一处可叠放　6　 个立方体仓储品． 【答案】（1）； （2）0.9米； （3）6． 【分析】（1）根据题意写出A，B 点的坐标，代入解析式求出b，c的值即可； （2）将仓储品沿x轴正方向移动0.6米后，x＝2.4+0.6＝3，得抛物线的对称轴为直线x＝7.5，货物始终在对称轴的左侧，得出当x＝3时，货物顶端离仓库顶部的距离最小，将x＝3代入解析式求得对应的y值，再计算出货物的高度，两者相减即可得出答案； （3）根据二次函数的性质得出IJ处可叠放的立方体仓储品最多，OJ＝8.5米，将x＝8.5代入计算出对应的y值，进而可得出IJ处可叠放的立方体仓储品个数． 【解答】解：（1）由题意，可知点A（0，2.6），B（12，5）在上， ∴， 解得， ∴； （2）将仓储品沿x轴正方向移动0.6米后，x＝2.4+0.6＝3， 由题意，得抛物线的对称轴为直线x＝7.5， ∴货物始终在对称轴的左侧， ∴当x＝3时，货物顶端离仓库顶部的距离最小， 将x＝3代入中， 得（米）， 1×4+0.1＝4.1（米）， ∴5﹣4.1＝0.9（米）； ∴仓储品货物顶端离仓库顶部的最小距离为0.9米； （3）∵， ∴抛物线的对称轴为直线x＝7.5， ∵OE＝1.5米，EF＝1米， ∴OF＝2.5米， 同理，CK＝1.5米， ∴FK＝OC﹣OF﹣CK＝12﹣2.5﹣1.5＝8（米）， ∵GH＝IJ＝1米，FG＝HI＝JK， ∴FG＝HI＝JK＝2米， ∴OJ＝8.5米，OG＝4.5米， ∵7.5﹣4.5＞8.5﹣7.5， ∴IJ处可叠放的立方体仓储品最多， 将x＝8.5代入， 得y≈6.28， 6.28﹣0.1＝6.18， 即叠放最多的IJ处可叠放6个立方体仓储品． 故答案为：6． 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 24．（14分）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+2的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）如图1，若点P为线段AB的中点，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“顶点弦”为线段PB，且点P为顶点，求该二次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，若直线AB上方抛物线上有一点E，使∠BPE+∠BAO＝45°，求点E的坐标； （3）点G在线段AB上，若抛物线F1：y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0）和抛物线F2：y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0）的“顶点弦”分别为GA和GB，点G为F1和F2的顶点，且a1+2a2＝0，求的值． 【答案】（1）yx2+x+2； （2）E（2，5）； （3）． 【分析】（1）求出P（﹣2，1），根据题意可得y＝a（x+2）2+1，将B点代入，求出a的值即可求解； （2）设直线PE与x轴交于F点，过P作PH⊥x轴交于H，则∠FPA+∠BAO＝∠PFH＝45°，求出F（﹣3，0），可求直线EF的解析式为y＝x+3，直线PE与抛物线的交点即为E； （3）设G（m，m+2），则y＝a1（x﹣m）2m+2，y＝a2（x﹣m）2m+2，再由A点在抛物线F1上，B点在抛物线F2上，可得a1（﹣4﹣m）2m+2＝0①，a2m2m+2＝2②，a1+2a2＝0③，联立①②③，解得m或m＝﹣4（舍），过G点作GK⊥x轴交于K点，则． 【解答】解：（1）yx+2与x轴交点A（﹣4，0），B（0，2）， ∵点P为线段AB的中点， ∴P（﹣2，1）， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“顶点弦”为线段PB，且点P为顶点， ∴y＝a（x+2）2+1， 将B点代入，4a+1＝2， 解得a， ∴yx2+x+2； （2）设直线PE与x轴交于F点，过P作PH⊥x轴交于H， ∵∠BPE+∠BAO＝45°， ∴∠FPA+∠BAO＝∠PFH＝45°， ∵PH＝1， ∴FH＝1， ∴F（﹣3，0）， ∴直线EF的解析式为y＝x+3， 当x+3x2+x+2时，解得x＝2或x＝﹣2， ∴E（2，5）； （3）设G（m，m+2）， ∴y＝a1（x﹣m）2m+2，y＝a2（x﹣m）2m+2， ∵A点在抛物线F1上，B点在抛物线F2上， ∴a1（﹣4﹣m）2m+2＝0①，a2m2m+2＝2②， ∵a1+2a2＝0③， 联立①②③，解得m或m＝﹣4（舍）， 过G点作GK⊥x轴交于K点， ∴， ∴． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄懂定义是解题的关键． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版（五四制) 期中测评押题卷（五） 考试范围：二次函数+相似三角形；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝1cm，c＝8cm，则线段d的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．16cm 2．（4分）抛物线经过三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1 3．（4分）一辆普通自行车的前齿轮齿数为26，后齿轮齿数为16．当后齿轮转动13圈时，前齿轮转（　　）圈． A．16 B．12 C．10 D．8 4．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴有一正一负两个交点，其顶点坐标为（4，﹣11），则a，b，c中符号为正的是（　　） A．仅a B．仅b C．仅c D．a，b 5．（4分）如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△QPO相似，那么这个三角形是（　　） A．△ACD B．△BCD C．△CDE D．△ADE 6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0），其中a+b＝﹣1． ①若这个函数的图象经过点（﹣1，0），则函数必有最大值； ②若0＜x＜1时，y随x的增大而减小，则必有a＞0； ③若这个函数的图象经过点（4，1），则不等式ax2+bx＞0的解集为x＜0或x＞4； ④若方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一根为x1，且﹣2＜x1＜﹣1，则必有a＞b． 上述四个结论中：所有正确的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（其中a是常数，且a≠0），当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为 ____________________ ． 8．（4分）已知三条线段的长分别是4cm，6cm和10cm，则再加一条____________________ cm的线段，才能使这四条线段成比例． 9．（4分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣1先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到抛物线的解析式是_______________ ． 10．（4分）当0≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最小值为n＝_______ ． 11．（4分）在比例尺是1：3000000的地图上，量得北海、西安两地的距离是60cm，一辆汽车从北海开往西安，平均每小时行驶90km，_______ 小时能到达西安． 12．（4分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A和B两点，交y轴于点C．直线y＝x+m与抛物线交于M，N两点，若在x轴上存在唯一的一点P，使∠MPN＝90°，则m的值为____________________ ． 13．（4分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G（点G在CD，EF之间），若AC＝3，CG＝2，GF＝4，则的值为__________________ ． 14．（4分）如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度6m时，水深3m，当水面上升1m时，水面宽度为________________ m． 15．（4分）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 8 3 0 ﹣1 0 3 … 利用二次函数的图象性质，可知该二次函数图象的对称轴是 __________ ． 16．（4分）已知函数.下面五个结论： ①图象过点； ②图象的最低点坐标为（﹣1，2）； ③图象无最高点且分为两段； ④若P（x1，y1），Q（x2，y2）在图象上且x1＜x2＜﹣1，则y1＜y2； ⑤若P（x1，y1），Q（x2，y2）在图象上，﹣1＜x1＜0＜x2且x1+x2+2x1x2＝0，则y1＝y2． 其中正确的结论是 _________ .（填写序号） 17．（4分）如图，矩形ABCD和正方形AEFG面积相等，点B在边EF上，点G在CD上，FG交BC于M点，EN⊥AB，AB＝18，若S△ENB：S△BFM＝16：9，则AD＝__________________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且，△ABC的周长为81，求三边a，b，c的长． 19．（10分）已知：抛物线y＝（x+a）（x﹣a+4）（a为实数）． （1）求抛物线的对称轴及与x轴的交点坐标（用含a的代数式表示）； （2）若a﹣4＜﹣a，当a﹣4≤x≤1时，函数值y的最大值与最小值的和为﹣1，求a的值． 20．（10分）如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD． （1）证明：△ABC∽△ACD； （2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的长． 21．（12分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，D、E是线段AB与两格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留自图痕迹． （1）在图①中，以B为位似中心，画出△BDE与△ABC位似，位似比为1：3； （2）在图②中，在AC上找一点M，连接DM，使； （3）在图③中，在AC上找一点Q，连接BQ，使． 22．（12分）如图，已知△ABC中，M、N是边BC上的两点，D、E分别是边AB、AC上的点，且MD∥AC，NE∥AB． （1）如果BM＝CN，求证：DE∥BC； （2）延长DM、EN交于点P，联结AP，与边BC交于点O，如果，求证：OB＝OC． 23．（14分）综合与实践 问题情境：图1是某个仓库，图2是棱长为1米的立方体仓储品，图3是仓库横截面的示意图，已知墙体OA＝2.6，BC＝5米，水平距离OC＝12米，仓库顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，它可以近似的用函数表示． 问题解决： （1）求抛物线的函数表达式． （2）将四件一样的图2中的仓储品按如图3所示的方式叠放在MN处，OM＝2.4米，MN＝1米．当叉车要搬运货物时，需要将其向上抬升0.1米．若利用叉车将仓储品沿x轴正方向移动了0.6米，求此时仓储品货物顶端离仓库顶部的最小距离．（该距离包括搬运货物抬升的高度） （3）如图4，在仓库中沿着x轴的正方向摆放4处图2中的立方体仓储品，每处立方体仓储品按问题（2）中的方式用叉车将货物抬升0.1米来搬运并叠放，叠放数量不同，其中OE＝1.5米，CL＝0.5米，FG＝HI＝JK，则叠放最多的一处可叠放_____ 个立方体仓储品． 24．（14分）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+2的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）如图1，若点P为线段AB的中点，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“顶点弦”为线段PB，且点P为顶点，求该二次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，若直线AB上方抛物线上有一点E，使∠BPE+∠BAO＝45°，求点E的坐标； （3）点G在线段AB上，若抛物线F1：y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0）和抛物线F2：y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0）的“顶点弦”分别为GA和GB，点G为F1和F2的顶点，且a1+2a2＝0，求的值． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $