2026-2027学年沪教版(五四制)九年级数学上册期中考前 预测卷(二)

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制) 期中考前 预测卷(二) 考试范围：二次根式+相似三角形；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为（　　）cm A．15 B． C． D． 2．（4分）点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 3．（4分）已知3：5＝6：a，那么a＝（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 4．（4分）如图，已知二次函数的图象与正比例函数y2＝kx（k≠0）的图象相交于点A（3，4），与x轴交于点B（2，0），若0＜y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A． B．2＜x＜3 C． D．0＜x＜3 5．（4分）如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△QPO相似，那么这个三角形是（　　） A．△ACD B．△BCD C．△CDE D．△ADE 6．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为x＝1，抛物线与x轴交点分别为A（x1，0）和B（x2，0），且﹣1＜x1＜0．下列结论：①abc＞0；②2＜x2＜3；③方程cx2﹣bx+a＝0有两个实数根分别为和；④a2﹣b2+c2+2ac＜0．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）四条线段a、b，c，d成比例，若a＝3cm，b＝4cm，c＝6m，则线段d的长为_____ cm． 8．（4分）平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为：______________ ． 9．（4分）如图，AD是△ABC的中线，ED＝2AE，BE的延长线交AC于点F，则的值为 __________________ ． 10．（4分）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则mn的取值范围是____________________ ，（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最小值为_______ ． 11．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（其中a是常数，且a≠0），当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为 ____________________ ． 12．（4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n分别交直线a、b、c于点A、B、C、D、E、F．若AB＝3，CB＝6，DE＝4，则EF＝_____ ． 13．（4分）如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴上，点A、D恰好在抛物线y＝x2﹣3上，那么正方形ABCD的面积是 _______ ． 14．（4分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．若建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+2x，则水流喷出的最大高度是___________________ m． 15．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），如表为该函数的x、y的部分对应值： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 5 4 1 ﹣4 ﹣11 … 则一元二次方程ax2+bx+c+11＝0的两根x1、x2分别为 _______________ ． 16．（4分）如图，△ABC中，OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，点M、N分别在边AB、AC上．过点O的线段MN∥BC．如果AB＝5，AC＝4，BC＝6，那么MN＝___________________ ． 17．（4分）对于抛物线y＝ax2+bx+c及其所在坐标平面内的点P，当过点P垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点P的两侧时，我们把点P称为抛物线y＝ax2+bx+c的内点．现有抛物线和，如果点M既是抛物线L1的内点，又是抛物线L2的内点，那么点M的纵坐标yM的取值范围是____________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且，△ABC的周长为81，求三边a，b，c的长． 19．（10分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，求h的值． 20．（10分）如图，在△ABC中，点D是边BC上的点，F为边AC上一点，AD与BF交于点E，若BD：DC＝2：1，AE：ED＝2：3，求BE：EF的值． 21．（12分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，AB＞AC． （1）实践与操作：利用尺规作图，在AB边上找点E，使得△ADE∽△ABC；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，若AD＝5，CD＝1，AB＝10，求AE的长． 22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AC上，过点D作DE垂直AC交AB于点E，联结EC、BD交于点F． （1）求证：△ABD∽△ACE； （2）如果BC＝BE，求证：． 23．（14分）综合与实践 问题情境：如图1，某生态景观园区为打造“滨水乐活”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：m）与距喷口点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如表： x/m 0 7 14 21 28 y/m 0 4.5 6 4.5 0 问题解决： （1）将表格中各组对应值作为点的坐标，在图2所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式． （2）为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于5m，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． （3）如图3，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：m）与距喷水点O的水平距离x（单位：m）近似满足关系式：y＝﹣0.04x2+tx．在距喷口点O水平距离45m处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M5m的范围内（含5m），求t的取值范围．﹣ 24．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是线段BC上的一个动点（不包括端，点），过点P作x轴的垂线，与抛物线交于点M，设点P的横坐标为m． ①求线段PM的最大长度； ②是否存在点P，使得以P、M、C为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上海市九年级数学上册沪教版（五四制 期中考前预测卷（二）答题卡 试卷类型：B 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 ▣ 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][×] 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A]B][C][D] 6.[A]B]C][D] 二.填空题（共11小题，满分44分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作 答) 7 0123456 三.解答题（共7小题，满分82分）（请在各试题的答题区内作答） 18.答： 19.答： 20.答： 1 A F E B D C 21.答： D B 22.答： A D E F C B 23.答： 图1 8 y个 6 4 2 7142128x/m M文 图2 图3 24.答： 2 A M M2026年上海市九年级数学上册沪教版（五四制 期中考前预测卷（二）答题卡 试卷类型：B 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][√][ 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[A][B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A]B][C][D] 6.[A][B]IC][D] 二. 填空题（共11小题，满分44分，每小题4分）（请在各试题 的答题区内作答) 7. 8 9 0, 2 13. 14 15. 6 三.解答题（共7小题，满分82分）（请在各试题的答题区内作 答) 18.答： 19.答： 20.答： 2 y F E B D C 21.答： A D B 22.答： 3 A D E F C B 23.答： 图1 8 y 6 2 0 7 142128x/m M 图2 图3 24.答： M 5 9 、 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制) 期中考前 预测卷(二) 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A A C B B B 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为（　　）cm A．15 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后根据比例性质求出d的值． 【解答】解：∵线段a，b，c，d成比例线段， ∴a：b＝c：d，即1：5＝3：d， ∴d＝15（cm）． 故选：A． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d满足 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说a、b、c、d是成比例线段，简称比例线段． 2．（4分）点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 【答案】A 【分析】由抛物线y＝﹣（x+1）2+2，可得对称轴为直线x＝﹣1，a＝﹣1＜0，即当x＞﹣1时，y随着x的增大而减小，由A（﹣2，y1）点关于对称轴对称的点坐标为（0，y1），0＜1＜2，可得y1＞y2＞y3． 【解答】解：点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+2上的三点，则： ∵抛物线y＝﹣（x+1）2+2， ∴对称轴为直线x＝﹣1，a＝﹣1＜0， ∴当x＞﹣1时，y随着x的增大而减小， ∴A（﹣2，y1）点关于对称轴对称的点坐标为（0，y1）， ∵0＜1＜2， ∴y1＞y2＞y3． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，正确记忆相关知识点是解题关键． 3．（4分）已知3：5＝6：a，那么a＝（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据比例的基本性质来求解，比例的基本性质是：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积． 【解答】解：在比例3：5＝6：a中，两个外项是3和a，两个内项是5和6， 根据比例的基本性质可得：3×a＝5×6， 解得：a＝10， 故选：C． 【点评】本题考查了解比例，掌握比例的基本性质是解答本题的关键． 4．（4分）如图，已知二次函数的图象与正比例函数y2＝kx（k≠0）的图象相交于点A（3，4），与x轴交于点B（2，0），若0＜y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A． B．2＜x＜3 C． D．0＜x＜3 【答案】B 【分析】结合图象，找到正比例函数在二次函数图象上方，并且均在x轴上方对应的x的范围即可． 【解答】解：由图可知： 当正比例函数在二次函数图象上方，并且均在x轴上方时， 满足0＜y1＜y2， 此时2＜x＜3， 故选：B． 【点评】本题考查了函数与不等式的关系，解答本题的关键是充分利用函数图象与数形结合思想解决问题． 5．（4分）如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△QPO相似，那么这个三角形是（　　） A．△ACD B．△BCD C．△CDE D．△ADE 【答案】B 【分析】连接BC、BD，由正方形的性质得出∠BCD＝∠QOP，由勾股定理得，证出，得出△QPO∽△BDC即可． 【解答】解：如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，连接BC、BD，则∠BCD＝90°+45°＝135°＝∠QOP， ∵△ACD、△CDE和△ADE均找不出135°的角， ∴不可能与△OPQ相似． 由勾股定理得：， ∵OQ＝2，CD＝1， ∴， ∴△QPO∽△BDC， ∴这个三角形是△BCD， 故选：B． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键． 6．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为x＝1，抛物线与x轴交点分别为A（x1，0）和B（x2，0），且﹣1＜x1＜0．下列结论：①abc＞0；②2＜x2＜3；③方程cx2﹣bx+a＝0有两个实数根分别为和；④a2﹣b2+c2+2ac＜0．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用对称轴位置得到b＜0，利用抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对①进行判断；根据二次函数的对称性对②③进行判断；利用函数与坐标轴的交点列出不等式即可判断④． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴为直线x＝1，， ∴b＝﹣2a＜0 ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，所以①正确，符合题意； ∵对称轴为直线x＝1 ∴，即x1＝2﹣x2， ∵﹣1＜x1＜0， ∴﹣1＜2﹣x2＜0， 即2＜x2＜3，所以②正确，符合题意； ∵抛物线与x轴交点分别为A（x1，0）和B（x2，0）， ∴， ∵x1≠0，给方程两边分别除以， 得， 整理得：， 同理可得：， ∴和是方程cx2+bx+a＝0的两个实数根，故③错误，不符合题意， 当x＝﹣1时，二次函数值y＝a﹣b+c，由图象可知x＝﹣1时函数值大于0，即a﹣b+c＞0； 当x＝1时，二次函数值y＝a+b+c，由图象可知x＝1时函数值小于0，即a+b+c＜0； 所以（a+b+c）（a﹣b+c）＜0， ∴a2﹣b2+c2+2ac＝（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，因此④正确，符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．也考查了二次函数的性质． 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）四条线段a、b，c，d成比例，若a＝3cm，b＝4cm，c＝6m，则线段d的长为　8　 cm． 【答案】8． 【分析】根据成比例线段的概念，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求得d的值． 【解答】解：∵四条线段a、b、c、d成比例， ∴a：b＝c：d， ∵a＝3cm，b＝4cm，c＝6cm， ∴3：4＝6：d， 解得：d＝8． 故答案为：8． 【点评】此题考查了比例线段，理解比例线段的概念，写比比例式是本题的关键． 8．（4分）平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为：y＝x2﹣2x+3　 ． 【答案】y＝x2﹣2x+3． 【分析】先将原函数化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的平移规律计算即可． 【解答】解：∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1， ∴将二次函数y＝x2﹣6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为y＝x2﹣2x+3． 故答案为：y＝x2﹣2x+3． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知抛物线的平移规律是解题的关键． 9．（4分）如图，AD是△ABC的中线，ED＝2AE，BE的延长线交AC于点F，则的值为 　　 ． 【答案】． 【分析】过点D作DM∥BF交AC于M，证明△CDM∽△CBF可得，则可推出CM＝FM；证明△AEF∽△ADM，可得，则可推出CM＝FM＝2AF，进而得到AC＝5AF，则． 【解答】解：如图，AD是△ABC的中线，过点D作DM∥BF交AC于M， ∴， ∵ED＝2AE， ∴AD＝3AE， ∵DM∥BF， ∴△CDM∽△CBF， ∴， ∴， ∴CM＝FM； ∵DM∥BF， ∴△AEF∽△ADM， ∴， ∴， ∴CM＝FM＝2AF， ∴AC＝5AF， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 10．（4分）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则mn的取值范围是　　 ，（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最小值为　﹣4　 ． 【答案】，﹣4． 【分析】利用完全平方的非负性，通过（m+n）2≥0和（m﹣n）2≥0 推导出mn的取值范围．将（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）化简为10﹣7mn，然后根据mn的取值范围求最小值． 【解答】解：∵m2+n2＝2+mn， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝（2+mn）+2mn＝2+3mn≥0， ∴， ∴（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝（2+mn）﹣2mn＝2﹣mn≥0， ∴mn≤2． ∴； （2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝5m2+5n2﹣12mn， ∵m2+n2＝2+mn， ∴5m2+5n2﹣12mn＝5（m2+n2）﹣12mn＝5（2+mn）﹣12mn＝10+5mn﹣12mn＝10﹣7mn． ∵﹣7＜0， ∴当mn最大时，表达式取最小值． ∵mn≤2， ∴当mn＝2时，最小值为10﹣7×2＝﹣4． 故答案为：，﹣4． 【点评】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（其中a是常数，且a≠0），当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为 　a＜0或0＜a＜2　 ． 【答案】a＜0或0＜a＜2． 【分析】分两种情况讨论，根据题意得到关于a的不等式，计算即可． 【解答】解：当a＜0时，抛物线开口向下； ∵当0≤x≤3时对应的函数值y均为正数，对称轴为直线x1，x＝0时，y＝2＞0， ∴x＝3时，9a﹣6a+2＞0， 解得a， 故a＜0， 当a＞0时，抛物线开口向上； ∵当0≤x≤3时对应的函数值y均为正数，对称轴为直线x1， ∴x＝1时，a﹣2a+2＞0， ∴a＜2， 故0＜a＜2， 故答案为：a＜0或0＜a＜2． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．（4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n分别交直线a、b、c于点A、B、C、D、E、F．若AB＝3，CB＝6，DE＝4，则EF＝　8　 ． 【答案】8． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，然后代入数值计算即可． 【解答】解：∵a∥b∥c， ∴， ∵DE＝4，AB＝3，CB＝6， ∴， 3EF＝24， 解得EF＝8，经检验，符合题意， 故答案为：8． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13．（4分）如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴上，点A、D恰好在抛物线y＝x2﹣3上，那么正方形ABCD的面积是 　36　 ． 【答案】36． 【分析】由题意设D（m，2m），代入y＝x2﹣3求得D（3，6），即可得出正方形ABCD的边长为6，则正方形ABCD的面积为36． 【解答】解：由题意设D（m，2m）， ∵点A、D恰好在抛物线y＝x2﹣3上， ∴2m＝m2﹣3， 解得m＝3，m＝﹣1（舍去）， ∴D（3，6）， ∴正方形ABCD的边长为6， ∴正方形ABCD的面积为36． 故答案为：36． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求得D点的坐标是解题的关键． 14．（4分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．若建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+2x，则水流喷出的最大高度是　　 m． 【答案】． 【分析】把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可． 【解答】解：∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流喷出的最大高度是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），如表为该函数的x、y的部分对应值： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 5 4 1 ﹣4 ﹣11 … 则一元二次方程ax2+bx+c+11＝0的两根x1、x2分别为 x1＝﹣5，x2＝3　 ． 【答案】x1＝﹣5，x2＝3． 【分析】根据表格得出对称轴为直线x＝﹣1，进而根据题意可得y＝ax2+bx+c＝﹣11的横坐标，即可求解． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点（0，4），（﹣2，4）， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∵y＝ax2+bx+c＝﹣11时，x＝3， ∴一元二次方程ax2+bx+c+11＝0的另一个根为x＝﹣5， 故答案为：x1＝﹣5，x2＝3． 【点评】本题考查了二次函数的对称性，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 16．（4分）如图，△ABC中，OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，点M、N分别在边AB、AC上．过点O的线段MN∥BC．如果AB＝5，AC＝4，BC＝6，那么MN＝　　 ． 【答案】． 【分析】由OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，得∠MBO＝∠CBO，∠NCO＝∠BCO，由MN∥BC，得∠MOB＝∠CBO，∠NOC＝∠BCO，推导出∠MBO＝∠MOB，∠NCO＝∠NOC，由OM＝BM，ON＝CN，所以MN＝BM+CN，而AB＝5，AC＝4，BC＝6，求得△AMN的周长＝9，△ABC的周长＝15，可证明△AMN∽△ABC，则，求得MNBC，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，点M、N分别在边AB、AC上， ∴∠MBO＝∠CBO，∠NCO＝∠BCO， ∵过点O的线段MN∥BC， ∴∠MOB＝∠CBO，∠NOC＝∠BCO， ∴∠MBO＝∠MOB，∠NCO＝∠NOC， ∴OM＝BM，ON＝CN， ∴MN＝OM+ON＝BM+CN， ∵AB＝5，AC＝4，BC＝6， ∴AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9，AB+BC+AC＝15， ∴△AMN的周长＝9，△ABC的周长＝15， ∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴， ∴MNBC6， 故答案为：． 【点评】此题重点考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质等知识，推导出OM＝BM，ON＝CN，并且求得△AMN的周长＝9是解题的关键． 17．（4分）对于抛物线y＝ax2+bx+c及其所在坐标平面内的点P，当过点P垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点P的两侧时，我们把点P称为抛物线y＝ax2+bx+c的内点．现有抛物线和，如果点M既是抛物线L1的内点，又是抛物线L2的内点，那么点M的纵坐标yM的取值范围是　﹣1＜yM＜3　 ． 【答案】﹣1＜yM＜3． 【分析】首先求得两抛物线的对称轴，然后求得两函数的交点横坐标，确定点M横坐标的范围，进而确定此范围内的M的纵坐标的最大值和最小值即可． 【解答】解：如图，∵L1：y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3， ∴抛物线L1的对称轴为直线x＝1，顶点为（1，3）， ∵L2：yx2x， ∴抛物线L2的对称轴为直线x， 令﹣x2+2x+2x2x， 整理得：x2﹣x﹣2＝0， 解得x＝﹣1或x＝2， ∴两函数的交点的横坐标为﹣1和2， 把x＝﹣1代入y＝﹣x2+2x+2得y＝﹣1， 把x＝2代入y＝﹣x2+2x+2得y＝2， ∴两函数的交点为（﹣1，﹣1）和（2，2）， ∴在﹣1＜x＜2范围内，点M的纵坐标yM的取值范围是﹣1＜yM＜3． 故答案为：﹣1＜yM＜3． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且，△ABC的周长为81，求三边a，b，c的长． 【答案】a＝18，b＝27，c＝36． 【分析】由已知比例关系，设a＝2k，b＝3k，c＝4k，利用周长求出k的值，进而求出各边长． 【解答】解：∵， 设a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵△ABC的周长为81， ∴a+b+c＝2k+3k+4k＝9k＝81， ∴k＝9， ∴a＝18，b＝27，c＝36． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键． 19．（10分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，求h的值． 【答案】﹣1或5． 【分析】依据题意，根据二次函数的图象与性质，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意可得，根据二次函数的图象与性质， h的值不可能在1到3之间． ①当h＜1≤x≤3时， ∴当x＝1时，取得最小值y＝5． ∴（1﹣h）2+1＝5． ∴h＝﹣1或h＝3（舍去）． ②当1≤x≤3＜h时， ∴当x＝3时，取得最小值y＝5． ∴（3﹣h）2+1＝5． ∴h＝5或h＝1（舍去）， 综上可得，h＝﹣1或5． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并理解是关键． 20．（10分）如图，在△ABC中，点D是边BC上的点，F为边AC上一点，AD与BF交于点E，若BD：DC＝2：1，AE：ED＝2：3，求BE：EF的值． 【答案】13：2． 【分析】过点D作DG∥AC交BF于点G，先证△AEF∽△DEG，于是得出，即可得出FE：GE＝2：3，设FE＝2x，则GE＝3x，GF＝5x，根据平行线分线段成比例定理得出，即可用含x的代数式表示BG，继而求出BE的长，再计算BE：EF即可． 【解答】解：如图，过点D作DG∥AC交BF于点G， ∴△AEF∽△DEG， ∴， ∵AE：ED＝2：3， ∴FE：GE＝2：3， 设FE＝2x，则GE＝3x， ∴GF＝FE+GE＝5x， ∵DG∥AC， ∴， ∵BD：DC＝2：1， ∴BG：GF＝2：1， ∴BG：5x＝2：1， ∴BG＝10x， ∴BE＝BG+GE＝10x+3x＝13x， ∴BE：EF＝13x：2x＝13：2． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 21．（12分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，AB＞AC． （1）实践与操作：利用尺规作图，在AB边上找点E，使得△ADE∽△ABC；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，若AD＝5，CD＝1，AB＝10，求AE的长． 【答案】（1） ； （2）3． 【分析】（1）根据相似三角形的判定作∠ADE＝∠B，即可满足题意； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）在AB边上找点E，使得△ADE∽△ABC；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 如图，点E即为所求； （2）∵△ADE∽△ABC， ∴． ∵AD＝5，CD＝1，AB＝10， ∴． 解得AE＝3． 答：AE的长为3． 【点评】题目主要考查作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AC上，过点D作DE垂直AC交AB于点E，联结EC、BD交于点F． （1）求证：△ABD∽△ACE； （2）如果BC＝BE，求证：． 【答案】（1）证明见解答； （2）证明见解答． 【分析】（1）由∠ADE＝∠ABC＝90°，∠A＝∠A，证明△ADE∽△ABC，得，所以，则△ADB∽△AEC； （2）由相似三角形的性质得∠ABD＝∠ACE，推导出∠BDC＝∠BEC，由BC＝BE，∠CBE＝90°，得∠BCF＝∠BEC，CE2＝BC2+BE2＝2BC2，则∠BCF＝∠BDC，BC2CE2，而∠FBC＝∠CBD，所以△FBC∽△CBD，则，所以BC2＝BF•BD，则CE2＝BF•BD． 【解答】证明：（1）∵∠ABC＝90°，DE⊥AC， ∴∠ADE＝∠ABC＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴△ADB∽△AEC． （2）∵△ADB∽△AEC， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠BFC﹣∠ACE＝∠BFC﹣∠ABD， ∴∠BDC＝∠BFC﹣∠ACE，∠BEC＝∠BFC﹣∠ABD， ∴∠BDC＝∠BEC， ∵BC＝BE，∠CBE＝90°， ∴∠BCF＝∠BEC，CE2＝BC2+BE2＝2BC2， ∴∠BCF＝∠BDC，BC2CE2， ∵∠FBC＝∠CBD， ∴△FBC∽△CBD， ∴， ∴BC2＝BF•BD， ∴CE2＝BF•BD． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，证明△ADE∽△ABC及△FBC∽△CBD是解题的关键． 23．（14分）综合与实践 问题情境：如图1，某生态景观园区为打造“滨水乐活”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：m）与距喷口点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如表： x/m 0 7 14 21 28 y/m 0 4.5 6 4.5 0 问题解决： （1）将表格中各组对应值作为点的坐标，在图2所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式． （2）为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于5m，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． （3）如图3，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：m）与距喷水点O的水平距离x（单位：m）近似满足关系式：y＝﹣0.04x2+tx．在距喷口点O水平距离45m处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M5m的范围内（含5m），求t的取值范围．﹣ 【答案】（1） ，； （2）； （3）1.6≤t≤2． 【分析】（1）根据表格确定每一个点的坐标，然后在坐标系中描点，再连线即可作图，再由待定系数法求解函数关系式； （2）对于，令y＝5，则，求出方程的根，即可求解这条观赏灯带可铺设的最大长度； （3）对于y＝﹣0.04x2+tx中，令y＝0，求出方程的根，根据题意可得45﹣5≤x≤45+5，即可求解t的取值范围． 【解答】解：（1）描点画图如答图所示： 由题意可得： 设y与x的函数关系式为y＝a（x﹣14）2+6（a≠0）， ∵当x＝0时，y＝0， ∴a×（0﹣14）2+6＝0， 解得， ∴y与x的函数关系式为， （2）解：由题意得，对于，令y＝5， 则， 解得，， ∴， 答：观赏灯带可铺设的最大长度为； （3）在y＝﹣0.04x2+tx中，令y＝0， 则﹣0.04x2+tx＝0， 解得x1＝0（舍去），， 根据题意，要使水柱能落在距互动装置点M5m的范围内（含5m）， 则45﹣5≤x≤45+5，即40≤x≤50， ∴40≤25t≤50， 解得1.6≤t≤2． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 24．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是线段BC上的一个动点（不包括端，点），过点P作x轴的垂线，与抛物线交于点M，设点P的横坐标为m． ①求线段PM的最大长度； ②是否存在点P，使得以P、M、C为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）①；②存在，点P的坐标为：或． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）①先求出BC的函数表达式为：y＝x﹣3，设点P的坐标为（m，m﹣3），点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则然后利用二次函数的性质求解即可； ②先求出∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠MPC，然后分①当△CPM∽△CBA和②当△CPM∽△ABC两种情况求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3） ∴ 解得 ∴抛物线方程为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）①设线段BC的函数表达式为：y＝kx+b 将B（3，0），C（0，﹣3）代入 解得： ∴BC的函数表达式为：y＝x﹣3 由题意，点P的横坐标为m，则点P的坐标为（m，m﹣3），点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3）． 线段PM的长度为：， ∵0＜m＜3 ∴当时，PM取得最大长度为： 因此，线段PM的最大长度为． ②∵OB＝OC，∠BOC＝90°， ∴， ∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）， ∴， ∴∠PBA＝∠OCB＝45°． ∵点P的坐标为（m，m﹣3）， ∴， ∵PM∥OC， ∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠MPC， 若△PCM和△ABC相似，分两种情况： ①当△CPM∽△CBA， ∴，即， 解得：或0（不合题意，舍去）， ∴； ②当△CPM∽△ABC， ∴，即， 解得：或0（不合题意，舍去）， ∴； 综上所述，点P的坐标为：或． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，二次函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答（2）的关键． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ________ 班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制) 期中考前 预测卷(二) 考试范围：二次根式+相似三角形；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为（　　）cm A．15 B． C． D． 2．（4分）点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 3．（4分）已知3：5＝6：a，那么a＝（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 4．（4分）如图，已知二次函数的图象与正比例函数y2＝kx（k≠0）的图象相交于点A（3，4），与x轴交于点B（2，0），若0＜y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A． B．2＜x＜3 C． D．0＜x＜3 5．（4分）如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△QPO相似，那么这个三角形是（　　） A．△ACD B．△BCD C．△CDE D．△ADE 6．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为x＝1，抛物线与x轴交点分别为A（x1，0）和B（x2，0），且﹣1＜x1＜0．下列结论：①abc＞0；②2＜x2＜3；③方程cx2﹣bx+a＝0有两个实数根分别为和；④a2﹣b2+c2+2ac＜0．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）四条线段a、b，c，d成比例，若a＝3cm，b＝4cm，c＝6m，则线段d的长为_____ cm． 8．（4分）平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为：______________ ． 9．（4分）如图，AD是△ABC的中线，ED＝2AE，BE的延长线交AC于点F，则的值为 __________________ ． 10．（4分）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则mn的取值范围是____________________ ，（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最小值为_______ ． 11．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（其中a是常数，且a≠0），当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为 ____________________ ． 12．（4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n分别交直线a、b、c于点A、B、C、D、E、F．若AB＝3，CB＝6，DE＝4，则EF＝_____ ． 13．（4分）如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴上，点A、D恰好在抛物线y＝x2﹣3上，那么正方形ABCD的面积是 _______ ． 14．（4分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．若建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+2x，则水流喷出的最大高度是___________________ m． 15．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），如表为该函数的x、y的部分对应值： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 5 4 1 ﹣4 ﹣11 … 则一元二次方程ax2+bx+c+11＝0的两根x1、x2分别为 _______________ ． 16．（4分）如图，△ABC中，OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，点M、N分别在边AB、AC上．过点O的线段MN∥BC．如果AB＝5，AC＝4，BC＝6，那么MN＝___________________ ． 17．（4分）对于抛物线y＝ax2+bx+c及其所在坐标平面内的点P，当过点P垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点P的两侧时，我们把点P称为抛物线y＝ax2+bx+c的内点．现有抛物线和，如果点M既是抛物线L1的内点，又是抛物线L2的内点，那么点M的纵坐标yM的取值范围是____________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且，△ABC的周长为81，求三边a，b，c的长． 19．（10分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，求h的值． 20．（10分）如图，在△ABC中，点D是边BC上的点，F为边AC上一点，AD与BF交于点E，若BD：DC＝2：1，AE：ED＝2：3，求BE：EF的值． 21．（12分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，AB＞AC． （1）实践与操作：利用尺规作图，在AB边上找点E，使得△ADE∽△ABC；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，若AD＝5，CD＝1，AB＝10，求AE的长． 22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AC上，过点D作DE垂直AC交AB于点E，联结EC、BD交于点F． （1）求证：△ABD∽△ACE； （2）如果BC＝BE，求证：． 23．（14分）综合与实践 问题情境：如图1，某生态景观园区为打造“滨水乐活”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：m）与距喷口点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如表： x/m 0 7 14 21 28 y/m 0 4.5 6 4.5 0 问题解决： （1）将表格中各组对应值作为点的坐标，在图2所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式． （2）为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于5m，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． （3）如图3，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：m）与距喷水点O的水平距离x（单位：m）近似满足关系式：y＝﹣0.04x2+tx．在距喷口点O水平距离45m处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M5m的范围内（含5m），求t的取值范围．﹣ 24．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是线段BC上的一个动点（不包括端，点），过点P作x轴的垂线，与抛物线交于点M，设点P的横坐标为m． ①求线段PM的最大长度； ②是否存在点P，使得以P、M、C为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $