期中复习压轴专题02 选择、填空题分类训练（31种类型155道）（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

期中复习压轴专题02 选择、填空题分类训练 （新沪教版九年级，31种类型155道） 范围：第27章—第28章 知识点一 二次函数的识别 1．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列函数解析式中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）二次函数的二次项系数是（     ） A．3 B．2 C． D．1 3．（25-26九年级上·广西百色·期中）在下列函数表达式中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽宣城·期末）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 知识点二 根据二次函数的定义求参数 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）若是二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 9．（25-26九年级上·吉林长春·期中）若函数是二次函数，则的值为_______． 10．（25-26九年级上·四川广元·期中）已知函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 知识点三 列二次函数关系式 11．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 13．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 14．（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 15．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 知识点四 二次函数的图象与性质 16．（26-27九年级上·吉林·期中）抛物线的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 17．（26-27九年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 18．（26-27九年级上·四川成都·期中）若为二次函数的图象上的三点，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 19．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）已知二次函数，当时，的最大值是7，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 20．（25-26九年级上·广东汕头·期中）二次函数的最小值为________． 知识点五 二次函数的平移 21．（26-27九年级上·甘肃·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 22．（26-27九年级上·天津·期中）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（     ） A． B． C． D． 23．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到抛物线________． 24．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）将抛物线的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是__________． 25．（26-27九年级上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得到的新抛物线的顶点坐标是__________． 知识点六 二次函数图象与各项系数符号 26．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 27．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 29．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 30．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，点是抛物线的顶点．下列结论（1）；（2）；（3）：（4）对任意实数总成立；（5）若点在抛物线上，则，正确的是__________． 知识点七 一次函数、二次函数图象综合判断 31．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 32．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 33．（26-27九年级上·广西·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 34．（26-27九年级上·甘肃·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 35．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点八 反比例函数、二次函数图象综合判断 36．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 37．（26-27九年级上·全国·单元测试）反比例函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 38．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A． B． C． D． 39．（25-26九年级上·河北保定·期末）二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 40．（2024·安徽·二模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象可能为（    ） A．B． C． D． 知识点九 已知抛物线上对称的两点求对称轴 41．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线经过和两点，则图象的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 42．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）二次函数的图象经过点和，则该二次函数的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 43．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 44．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知，是抛物线上的点，它们的坐标分别为，，则该抛物线的对称轴为直线________． 45．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）若抛物线经过和两点，则______． 知识点十 根据二次函数结合增减性比较大小 46．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）设，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 47．（26-27九年级上·山东滨州·阶段检测）点、、都在抛物线上，则、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 48．（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为________（用“<”连接）． 49．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）若点、、是二次函数图像上的三点，则、、的大小关系是__________（用“”表示）． 50．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（请用“”连接） 知识点十一 待定系数法求二次函数解析式 51．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）若抛物线的顶点坐标为，形状与抛物线相同，但方向相反，则该抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 52．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的图象经过，，．则当时，y的值为（     ） A． B． C． D． 53．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若抛物线经过，，三点，则抛物线对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 54．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）若抛物线的形状和抛物线相同，它的顶点坐标是，则抛物线的表达式是_____． 55．（26-27八年级上·上海虹口·阶段检测）已知某个二次函数图象经过两点和，且图象的开口向上，如果还需第三个点的坐标来确定这个二次函数的表达式，那么这第三个点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 知识点十二 二次函数与坐标轴的交点 56．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 57．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线与坐标轴共有几个交点（     ） A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 58．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 59．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 容易看出，是它与x轴的一个交点，则抛物线的对称轴是____________________，与x轴的另一个交点的坐标为__________． 60．（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）已知二次函数和，若满足：两个函数与x轴有且仅有三个交点，且两个函数与x轴的交点不重合，请写出这三个交点的坐标____________________ ． 知识点十三 二次函数与轴交点求参数 61．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）抛物线与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 62．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）若抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 63．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）若抛物线与x轴有且只有一个交点，则________． 64．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）若关于的函数的图象上存在四个点与轴距离为3，则的取值范围为_______． 65．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知关于的方程有两根，，若，则实数的取值范围是__________． 知识点十四 根据二次函数图象确定相应方程的根 66．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如表是一组二次函数的自变量和函数值的关系，那么方程的一个近似根是（     ） 1 2 3 4 3 9 A． B． C． D． 67．（26-27九年级上·福建漳州·阶段检测）根据以下表格中所给出的x与（是常数且）的对应值（精确到0.001），判断方程的解x所在的范围是（     ） x的值 35.154 35.155 35.156 35.157 35.158 的值 0.040 A． B． C． D． 68．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为__________． 69．（26-27九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）一元二次方程（，，为常数，）根的判别式．若此方程的一个根，则抛物线的顶点坐标为________． 70．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）二次函数的图象经过点和，则方程的解为________ 知识点十五 求轴与抛物线的截线长 71．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 72．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），且，则的值是______． 73．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）若二次函数的图像与x轴的两个公共点之间的距离为4，则m的值是______． 74．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知一个二次函数图像的对称轴是直线，在x轴上截得的线段长为4，与y轴交点的坐标为，则这个二次函数的表达式为________． 75．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）二次函数与轴两个交点间的距离是，那么的值为_____． 知识点十六 二次函数与不等式 76．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）抛物线的部分图像如图所示，若则x的取值范围是 （     ） A． B． C． D．或 77．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 78．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 79．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 80．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数图象的一部分如图所示，对称轴为，下列结论： ①； ②多项式可因式分解为； ③若点，在函数图象上，且，则； ④当时，； ⑤不等式的解集为． 其中正确的结论有______． 知识点十七 二次函数实际应用之拱桥问题 81．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为________m． 82．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面．如图所示的直角坐标系中，若水位上涨，此时水面的宽度为__________． 83．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，义乌赤岸镇的古月桥是一座宋代古石拱桥，我们把它的桥拱近似看作抛物线．正常水位时，水面宽为，拱桥最高点O到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么警戒水位时水面宽为________． 84．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）某地开展河道整治，建起一座抛物线形拱桥，正常水位时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升时，此时水面的宽度为______． 85．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图为孝义凤凰古村景区土窑洞窑面及其部分示意图，其轮廓由矩形和部分抛物线构成，横梁，且点，在抛物线上．已知米，米，洞口的最高点到的距离为米，点到的距离为米，则横梁的长为__________米． 知识点十八 二次函数实际应用之投球问题 86．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）一位运动员掷出铅球，铅球离地高度（单位：米）关于水平距离（单位：米）的函数表达式为，此运动员这一掷的成绩是（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 87．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）某同学投出的篮球的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，篮球运动的竖直高度与水平位移近似满足函数关系．根据上述函数模型和以下数据，可推断出篮球运动到最高点时，其水平位移为（     ） A． B． C． D． 88．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为________秒． 89．（26-27九年级上·贵州黔东南·阶段检测）用手竖直向上抛出一个沙包，沙包离地面的高度h ( 单位：m) 与抛出后沙 包运动的时间t ( 单位：s) 之间的关系式是，沙包能达到的最大高度是______________． 90．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，小明同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度．则实心球掷出的水平距离为________． 知识点十九 二次函数实际应用之喷水问题 91．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图为喷泉某一截面的水流，可看作抛物线，水流喷出的高度与水平距离之间满足，则水流喷出的最大高度为（     ） A． B． C． D． 92．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 93．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（    ）． A． B． C． D． 94．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（     ） A． B． C． D． 95．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为．安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，则喷头高度的取值范围为_______． 知识点二十 二次函数实际应用之图形问题 96．（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 97．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，李叔叔想用长为的篱笆围成一个矩形草莓园，且要求矩形的一边的长不得低于，草莓园中有一横两纵且宽均为的小路，其余部分种草莓，则种草莓部分的最大面积为（） A． B． C． D． 98．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．则鸭舍面积的最大值为（     ）． A．40 B． C．60 D． 99．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）计划用一段长为米的栅栏和一面长度大于米的墙围成一个矩形活动区域，则这个活动区域的最大面积是__________平方米． 100．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，计划用10米长的栅栏和一面长度大于10米的墙围成一个矩形活动区域．栅栏围三面，墙作为第四面．则活动区域的最大面积是_____平方米． 知识点二十一 二次函数实际应用之销售问题 101．（24-25九年级上·四川凉山·期末）彝族年假期期间，某店销售特产苦荞饼，经调查发现每盒苦荞饼售价为20元时，日销售量为500盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加10盒．已知每盒苦荞饼的成本为10元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 102．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）某商店销售一种商品，已知销售这种商品每天所获利润y（元）与销售单价x（元）满足关系式．若想获得最大利润，销售单价x应为________元． 103．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）某商场引进一批进价为每件元的玩具，如果以每件元销售，那么一个月可售出件．如果提高售价，销售单价每上涨元，月销售量将相应减少件，当销售单价为________元时，该店一个月获得的利润最大． 104．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，每件商品降价__________元时，超市的日盈利最大． 105．（25-26九年级上·陕西安康·期中）信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 知识点二十二 成比例线段 106．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）一条线段的长度是另一条线段的4倍，这两条线段的比是（     ） A． B． C． D． 107．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 108．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 109．（25-26八年级上·山东聊城·期中）已知线段，，，且a，b，c，d成比例，则线段d的长是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 110．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 知识点二十三 黄金分割 111．（25-26九年级上·广东佛山·期中）已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 112．（24-25九年级上·上海·期中）点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 113．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 114．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 115．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点．过顶角为的等腰底角的顶点作的平分线交于点，其中为的黄金分割点，即．若，则线段的长为______． 知识点二十四 平行线分线段成比例 116．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 117．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 118．（26-27九年级上·河北石家庄·期中），若，，则（     ） A． B． C． D． 119．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（   ） A．3 B．9 C．12 D．18 120．（2026·江苏盐城·中考真题）小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 知识点二十五 选择或补充条件使两个三角形相似 121．（26-27九年级上·山西·期中）如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 122．（26-27九年级上·四川·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 123．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 124．（26-27九年级上·安徽·期中）如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，下面四种添加条件的方法，正确的是（     ） A． B． C． D． 125．（26-27九年级上·宁夏·期中）如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 知识点二十六 利用相似三角形的性质求解 126．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）若，且与的相似比为，则为（     ） A． B． C． D． 127．（25-26九年级上·重庆·期中）已知，且，则与的周长比是（     ） A． B． C． D． 128．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（     ） A． B． C． D． 129．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）已知，且面积比为，则与的对应中线之比为______． 130．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如果两个相似三角形面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为___________． 知识点二十七 相似三角形的实际应用 131．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为（     ） A． B． C． D． 132．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，小明利用平面镜测量旗杆的高度．他的眼睛到地面的距离m，他与镜子的水平距离m，镜子到旗杆底部的水平距离m，镜面反射满足“入射角等于反射角”．则旗杆的高度为（     ） A．12m B．10m C．15m D．18m 133．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）雨后初晴，小雅在运动场上运动，从她前面远的一块小积水处看到旗杆的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为，小雅的眼睛距地面高度是，那么旗杆的高度应是（     ） A． B． C．21m D． 134．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（     ） A．2.5 m B．2.75 m C．3.5 m D．3.75 m 135．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在小孔成像问题中，若到的距离是，到的距离是，蜡烛长为，则蜡烛的像的长为（     ）． A． B． C． D． 知识点二十八 相似多边形 136．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）下面几组图形中，相似的是（     ） A． B． C． D． 137．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图所示，四边形四边形，，则（     ） A． B． C． D． 138．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为（     ） A． B． C．2 D． 139．（26-27九年级上·辽宁·期中）现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同（相似）但比它大的矩形，则它至少要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开），则的值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．18 140．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（     ）. A． B． C． D． 知识点二十九 位似图形的识别与性质 141．（26-27九年级·全国·暑假作业）下列图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 142．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点三点在同一条直线上 C． D． 143．（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 144．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点，，三点在同一条直线上 C． D． 145．（2026秋•雁塔区校级月考）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AD=2：1，且△ABC的周长为6，则△DEF的周长为 . 知识点三十 判断位似中心 146．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 147．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 148．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 149．（26-27九年级上·江西·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 150．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________． 知识点三十一 求位似图形的对应坐标 151．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 152．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 153．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______． 154．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、，则点C的对应点的坐标为________． 155．（26-27八年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，，则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题02 选择、填空题分类训练 （新沪教版九年级，31种类型155道） 范围：第27章—第28章 知识点一 二次函数的识别 1．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列函数解析式中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断二次函数需满足解析式化简后自变量最高次数为2，且二次项系数不为0． 【详解】解：A选项，自变量最高次数为1，不是二次函数； B选项，中二次项系数为3不为0，自变量最高次数为2，是二次函数； C选项，化简得，自变量最高次数为1，不是二次函数； D选项，未说明，当时不是二次函数． 2．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）二次函数的二次项系数是（     ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的基本概念，解题的关键在于明确二次函数一般式中各项系数的定义． 【详解】解：在二次函数中，可得，，， 所以该二次函数的二次项系数是． 故选：A． 3．（25-26九年级上·广西百色·期中）在下列函数表达式中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的判断，根据二次函数的定义，形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是正比例函数，不是二次函数，不符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26九年级上·安徽宣城·期末）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数. 根据二次函数的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 二次函数需满足最高次项为次且系数不为 A、，若则不是二次函数，故此选项不一定正确，不符合题意； B、，含有分式，不是整式，故此选项不是二次函数，不符合题意； C、，展开得，，是二次函数，故此选项符合题意； D、，展开得，是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 知识点二 根据二次函数的定义求参数 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 7．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）若是二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的二次项系数不为零． 根据二次函数的定义，二次项系数必须不为零，据此解答即可． 【详解】∵ 函数是二次函数， ∴ 二次项系数， ∴ ． 故选：D． 8．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， 解得且， ． 9．（25-26九年级上·吉林长春·期中）若函数是二次函数，则的值为_______． 【答案】0 【分析】本题考查了根据二次函数的定义求参数，解题关键是掌握二次函数的定义并能运用来求解． 根据二次函数的定义，函数中x的最高次数必须为2，且二次项系数不能为零． 【详解】解：函数是二次函数， 因此x的指数， 解得：； 同时二次项系数， 当时，，满足条件． 故答案为：0． 10．（25-26九年级上·四川广元·期中）已知函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的概念，熟练掌握二次函数的定义是关键． 将函数表达式化简为一般形式，根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，从而求解． 【详解】解：， ∵该函数为二次函数， ∴其二次项系数， ∴． 故答案为：． 知识点三 列二次函数关系式 11．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 12．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 13．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，由m，得m，m，即可求解； 【详解】解：∵m， ∴m，m， ∴， 故答案为： 14．（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 知识点四 二次函数的图象与性质 16．（26-27九年级上·吉林·期中）抛物线的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称轴的公式计算即可. 【详解】解：∵ 抛物线为，其中 ，， ∴ 对称轴为直线：． 17．（26-27九年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式求得纵坐标即可． 【详解】解：顶点的横坐标， 把代入得：， ∴顶点坐标是． 18．（26-27九年级上·四川成都·期中）若为二次函数的图象上的三点，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数，． ∴对称轴为直线，抛物线开口向上． ∵三点到对称轴的距离分别为，，，且． ∴． 19．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）已知二次函数，当时，的最大值是7，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，根据抛物线开口方向，分类讨论，进而求解． 【详解】解：， 对称轴为直线， 当时， 在中，时取最大， 此时, 解得； 当时， 在中，时取最大， 此时, 解得， 综上，的值为或． 20．（25-26九年级上·广东汕头·期中）二次函数的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．本题二次函数开口向上，顶点纵坐标即为最值，代入公式或者配方都可以． 【详解】， 开口向上，当时有最小值． 知识点五 二次函数的平移 21．（26-27九年级上·甘肃·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为 ． 22．（26-27九年级上·天津·期中）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得解． 【详解】解：由题意得， 平移后的抛物线为． 23．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到抛物线________． 【答案】（或） 【分析】利用抛物线平移规律“左加右减，上加下减”求解，先将原抛物线配方为顶点式简化计算． 【详解】解：先将原抛物线配方得：， 抛物线向左平移个单位长度，根据平移规律“左加右减”，给加得： ． 再向上平移个单位长度，根据平移规律“上加下减”，给整体加得： ，展开整理得：． 即得到的抛物线为：（或）． 24．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）将抛物线的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是__________． 【答案】 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则计算得到新抛物线的解析式． 【详解】解：先将原抛物线配方化为顶点式，， ∵抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， ∴根据平移规则，对自变量左移加，对常数项上移加， 可得． 25．（26-27九年级上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得到的新抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【分析】原抛物线为顶点式，可直接得到原顶点坐标，根据点的平移规则计算新顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线是顶点式， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴将顶点向左平移2个单位，横坐标减2，得到横坐标为；再向上平移3个单位，纵坐标加3，得到纵坐标为； ∴新抛物线的顶点坐标是． 知识点六 二次函数图象与各项系数符号 26．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【详解】解：①∵抛物线的开口向上， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误； ②∵对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； ③∵时，， ∴，③正确． 27．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；②根据抛物线的对称轴即可得结论；③根据抛物线的顶点坐标及其它任何坐标的纵坐标进行比较即可得结论；④根据时，可得结论． 【详解】解：∵函数图象的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，，即，故②正确， ∵函数与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵当时，为函数的最大值， 当时，， ∴， 即，故③正确； 由图象知，当时，， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的个数是3个． 28．（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键． 【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 29．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置确定 的符号及关系；利用对称轴公式判断的值；利用对称性判断时的函数值符号；利用时函数取得最大值判断不等式关系 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则 ∵对称轴为直线 ∴，即 ∴，且，故结论③正确 ∵抛物线与轴交于正半轴 ∴ ∴，故结论①正确 抛物线的对称轴为直线 ∴与关于直线对称 由图象可知，当时， ∴当时，，故结论②正确 ∵时， ∴ ∴，故结论④错误 ∵当时，函数取得最大值 ∴对于任意实数，都有 ∴ ∴，故结论⑤正确 综上所述，正确的结论有①②③⑤． 30．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，点是抛物线的顶点．下列结论（1）；（2）；（3）：（4）对任意实数总成立；（5）若点在抛物线上，则，正确的是__________． 【答案】（1）（3） 【分析】（1）通过函数图象，利用特殊值法求解； （2）利用对称轴得出系数之间的关系； （3）利用系数之间的关系以及顶点坐标确定，然后利用抛物线与轴的交点坐标列出不等式求解； （4）利用抛物线的顶点坐标求解； （5）利用函数的增减性进行判断． 【详解】解：（1）当时，函数值为负数， ∴， 该选项正确； （2）由抛物线的对称轴为直线得， ， ∴， ∴， 该选项错误； （3）∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，抛物线与轴交于和之间， ∴， 解得， 该选项正确； （4）∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，函数值最大，为， ∴对任意实数总成立， 该选项错误； （5）若点在抛物线上，无法确定的大小， 综上，正确的选项为（1）（3）． 知识点七 一次函数、二次函数图象综合判断 31．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的开口方向和对称轴位置确定，的符号，然后结合一次函数图象的增减性、与轴交点的符号，判断、是否前后一致． 【详解】解：A．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得；一次函数从左下向右上倾斜，说明，二者矛盾，故不符合题意； B．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得；一次函数从左上向右下倾斜，，直线与轴交于负半轴，，即，前后条件一致，故符合题意； C．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴右侧，，可得；一次函数从左上向右下倾斜，，二者矛盾，故不符合题意； D．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧，，可得；一次函数从左下向右上倾斜，，二者矛盾，故不符合题意． 32．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象的性质，牢记解析式的系数与图象的关系是解题的关键；分别分析当时和当时，函数图象的开口方向和顶点位置，函数的图象所经过的象限，从而可得出答案． 【详解】解：根据题意， 当时，函数开口向上，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而增大，并且过点，即图象应该过第一、二、三象限； 当时，函数开口向下，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而减小，并且过点，即图象应该过第一、二、四象限； 分析选项可得，只有D选项符合题意． 33．（26-27九年级上·广西·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别，熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质是解题关键．根据图像分别判断二次函数解析式中的符合以及一次函数解析式中的符号，判断是否一致，即可获得答案． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意． 34．（26-27九年级上·甘肃·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 35．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据二次函数图象开口向上得到，对称轴在轴左侧得到，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：二次函数开口向上， ， 对称轴在轴左侧， ， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 知识点八 反比例函数、二次函数图象综合判断 36．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴位置确定、的符号，进而判断的符号，结合反比例函数的图象性质进行排除． 【详解】解：对于二次函数，当时，故图象必过原点． A选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数的图象位于第一、三象限，符合题意； B选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； C选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； D选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第一、三象限，不符题意． 37．（26-27九年级上·全国·单元测试）反比例函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，符合题意的是选项A； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，选项都不符合题意． 38．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图像判断的符号，求出与的正负，再判断正比例函数，反比例函数经过的象限，筛选选项． 【详解】解：由二次函数的图象可知，，，， ， ． 当时，，即， 正比例函数的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象位于第二、四象限． 39．（25-26九年级上·河北保定·期末）二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的图象性质，解题的关键是根据的正负，判断两个函数图象的开口方向、所在象限及与轴交点的位置． 分和两种情况讨论；当时，二次函数开口向上，与轴交于负半轴，反比例函数图象在一、三象限；当时，二次函数开口向下，与轴交于正半轴，反比例函数图象在二、四象限；据此逐一判断选项． 【详解】解：A、反比例函数图象在一、三象限，故；二次函数开口向下，故，两者矛盾，此选项不符合题意． B、反比例函数图象在一、三象限，故；二次函数与轴交于正半轴，故，即，两者矛盾，此选项不符合题意． C、反比例函数图象在二、四象限，故；二次函数与轴交于负半轴，故，即，两者矛盾，此选项不符合题意． D、反比例函数图象在二、四象限，故；二次函数开口向下，故，与轴交于正半轴，故，即，三者一致，此选项符合题意． 故选：D． 40．（2024·安徽·二模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象可能为（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过函数图像判断二次函数的各项系数，一次函数与反比例函数图像的综合判断．观察二次函数的图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧，可得，，再根据一次函数和反比例函数的图象，即可求解． 【详解】解：观察二次函数的图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象进过第一、三、四象限，反比例函数的图象为第二、四象限． 故选：C 知识点九 已知抛物线上对称的两点求对称轴 41．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线经过和两点，则图象的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点的对称性计算对称轴． 【详解】解：∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称． ∴该抛物线的对称轴为直线． 42．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）二次函数的图象经过点和，则该二次函数的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点和， ∴两点为抛物线上纵坐标相等的点，关于对称轴对称， ∴对称轴为直线． 43．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【分析】点和点纵坐标相等，可知两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相等， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 44．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知，是抛物线上的点，它们的坐标分别为，，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【分析】抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对称轴为过两点横坐标中点的竖直线． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相等， ∴，两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为过，横坐标中点的直线， 计算中点横坐标得， ∴该抛物线的对称轴为直线． 45．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）若抛物线经过和两点，则______． 【答案】 /0.5 【分析】两点纵坐标相等，说明两点关于抛物线对称轴对称，先根据抛物线顶点式得到对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的平均值列方程求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过和两点，且两点纵坐标相等 ， ∴两点关于对称轴对称， ∴， 整理得，， 解得． 知识点十 根据二次函数结合增减性比较大小 46．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）设，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵，，， ∴． 47．（26-27九年级上·山东滨州·阶段检测）点、、都在抛物线上，则、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先从抛物线顶点式中确定开口方向和对称轴，因为二次项系数为负，所以抛物线开口向下，对称轴为直线．分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离，对于开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大．也可以选择将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出、、的具体值后再比较大小． 【详解】将代入，得． 将代入，得． 将代入，得． ∴ ． 48．（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为________（用“<”连接）． 【答案】 【分析】由抛物线解析式可确定开口方向与对称轴，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，计算三个点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解：抛物线中， 二次项系数， 因此抛物线开口向上，对称轴为直线 开口向上的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵ ， ∴ ． 49．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）若点、、是二次函数图像上的三点，则、、的大小关系是__________（用“”表示）． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，利用开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，比较距离即可得到大小关系． 【详解】解：∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上， 由对称轴公式可得对称轴为直线， 开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 分别计算三点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 50．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（请用“”连接） 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再根据开口向上的二次函数，点到对称轴的距离越远，对应函数值越大，通过比较各点到对称轴的距离得到函数值大小关系． 【详解】解：二次函数的二次项系数为，因此抛物线开口向上，对称轴为直线． ∵ 开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大， 分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离： 点的距离： 点的距离： 点的距离： ∵ ∴ ． 知识点十一 待定系数法求二次函数解析式 51．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）若抛物线的顶点坐标为，形状与抛物线相同，但方向相反，则该抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抛物线形状由二次项系数的绝对值决定，开口方向由其符号决定，已知顶点坐标，选用顶点式求解． 【详解】解：∵抛物线与形状相同，方向相反， ∴二次项系数为3, ∵抛物线顶点坐标为， ∴该抛物线的函数表达式为． 52．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的图象经过，，．则当时，y的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设交点式，然后求出表达式，再把代入求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象过，两点， ∴设其解析式为 将代入解析式，得， 解得 ∴ 当时，． 53．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若抛物线经过，，三点，则抛物线对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标，设抛物线解析式为，问题随之得解． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴设解析式为， 将代入得：， 解得， ∴． 54．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）若抛物线的形状和抛物线相同，它的顶点坐标是，则抛物线的表达式是_____． 【答案】 或 【分析】抛物线形状相同意味着二次项系数的绝对值相等，结合已知顶点坐标，代入顶点式即可求出参数，得到抛物线表达式． 【详解】解：∵ 抛物线的形状和抛物线相同， ∴ ，即或， ∵ 抛物线的顶点坐标为， ∴ ，， 解得，， 将、、代入原式，可得抛物线表达式为或． 55．（26-27八年级上·上海虹口·阶段检测）已知某个二次函数图象经过两点和，且图象的开口向上，如果还需第三个点的坐标来确定这个二次函数的表达式，那么这第三个点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设二次函数一般式，把已知两点坐标代入，得到含参数的关系式，用表示、；再依次把四个选项点的坐标代入表达式，求出对应的，根据开口向上筛选出符合条件的选项． 【详解】解：设二次函数表达式为． 图象过， ． 图象过， ． ，化简得． 把代入，得， ． ． 代入A： ，解得，不是二次函数，不符合． 代入B： ，解得，符合． 代入C： ，解得，不符合． 代入D： ，解得，不符合． 知识点十二 二次函数与坐标轴的交点 56．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】与轴交点的横坐标为，代入解析式计算纵坐标即可． 【详解】解：将代入，得 ， 即二次函数与轴的交点坐标为． 57．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线与坐标轴共有几个交点（     ） A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【答案】C 【分析】求出抛物线与x轴和y轴的交点个数即可． 【详解】解：当时，，故抛物线与轴有1个交点 当时，， ， 故抛物线与轴有2个交点 抛物线与坐标轴共有个交点． 58．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】明确抛物线与轴交点的纵坐标为，通过令函数，求解对应的值，进而得到交点坐标． 【详解】解：令，得， ∵， ∴或，解得，， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，． 59．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 容易看出，是它与x轴的一个交点，则抛物线的对称轴是____________________，与x轴的另一个交点的坐标为__________． 【答案】 直线 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：抛物线上值相等的两个点关于对称轴对称， 由表格可知其经过，， ∴对称轴为直线， 是它与轴的一个交点， 与轴的另一个交点的坐标为． 60．（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）已知二次函数和，若满足：两个函数与x轴有且仅有三个交点，且两个函数与x轴的交点不重合，请写出这三个交点的坐标____________________ ． 【答案】，， 【分析】两个二次函数与轴总共有三个交点，的判别式恒大于零，因此一定与轴有两个不同交点，要得到三个交点，只能是与轴仅有一个交点，且该交点不在的交点中，由此计算即可． 【详解】解：对于二次函数，其判别式 对于二次函数，其判别式 ∵， ∴恒成立，与轴恒有两个不同交点， ∵这两个函数与轴没有公共交点， ∴要使两个函数与轴有且仅有三个交点，则与轴只有一个交点， 则，得，解得， 此时，与轴交点为， 将代入得，令，则 解得 因此与轴交点为和， ∴三个交点的坐标为，，． 知识点十三 二次函数与轴交点求参数 61．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）抛物线与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若抛物线与轴无交点，则，然后列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴一元二次方程无实数根， ∴ ， 解得． 62．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）若抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】先根据抛物线的定义确定， 再结合抛物线与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵ 函数是抛物线， ∴ ， ∵ 抛物线与轴有交点， ∴ 一元二次方程有实数根， ∴ ， 整理得， 解得， 综上， 的取值范围是且． 63．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）若抛物线与x轴有且只有一个交点，则________． 【答案】 【分析】抛物线与轴只有一个交点，说明对应的一元二次方程根的判别式等于，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴有且只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴ 化简得， 解得． 64．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）若关于的函数的图象上存在四个点与轴距离为3，则的取值范围为_______． 【答案】且 【分析】到轴距离为的点满足，即对应和，存在四个点说明两个方程都有两个不相等实根，且原函数为二次函数，分别计算判别式即可得到取值范围． 【详解】解：∵图象上点与轴距离为， ∴，即或． ∵若为一次函数，其图象与直线和最多共有2个交点，要得到四个点，原函数必为二次函数， ∴，得，且和对应的一元二次方程都要有两个不相等的实数根． 当时，整理方程得： 判别式 ∵， ∴，解得． 当时，整理方程得： 判别式 ∵， ∴，解得． 综上，的取值范围是且． 65．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知关于的方程有两根，，若，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】二次函数开口向上，方程的两根分别在区间和内，根据二次函数图像性质可得区间端点函数值的符号，列不等式组求解即可． 【详解】解：设， ∵二次项系数为，函数开口向上，方程两根满足， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 对三个结果取交集，得． 知识点十四 根据二次函数图象确定相应方程的根 66．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如表是一组二次函数的自变量和函数值的关系，那么方程的一个近似根是（     ） 1 2 3 4 3 9 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出方程的一个根在2与3之间，然后利用待定系数法确定，结合选项代入求解即可． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴方程的一个根在2与3之间，排除A、D； 将，和，代入， 得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴方程的一个近似根为． 67．（26-27九年级上·福建漳州·阶段检测）根据以下表格中所给出的x与（是常数且）的对应值（精确到0.001），判断方程的解x所在的范围是（     ） x的值 35.154 35.155 35.156 35.157 35.158 的值 0.040 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的连续性，找到使值异号的相邻x的范围，即为方程解的范围. 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程的解所在范围是． 68．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为__________． 【答案】 【分析】由图知，抛物线与x轴交于，代入求出a的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：． 69．（26-27九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）一元二次方程（，，为常数，）根的判别式．若此方程的一个根，则抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】根的判别式说明一元二次方程有两个相等的实根，抛物线与轴只有一个交点，该交点就是抛物线的顶点，结合已知根即可求出顶点坐标． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴该方程有两个相等的实数根， ∵已知方程的一个根， ∴方程的两个根都为， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∵抛物线与轴只有一个交点时，该交点就是抛物线的顶点， ∴抛物线的顶点坐标为． 70．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）二次函数的图象经过点和，则方程的解为________ 【答案】， 【分析】二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解，已知二次函数图象过两个x轴上的点，直接可得方程的解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点和， ∴这两个点是二次函数图象与x轴的交点， ∴方程的解为：，． 知识点十五 求轴与抛物线的截线长 71．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移规律得到平移后的解析式，令求出抛物线与轴交点的横坐标，再计算两点之间的距离即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为，即， 令，则，解得，， ∴抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为2018和2020， ∴． 72．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），且，则的值是______． 【答案】 【分析】先令得到一元二次方程，利用结合根与系数的关系列方程求解． 【详解】解：令，得一元二次方程 ， 设点，点，且， 故是一元二次方程的两个根， ，， 由题意得，且， ∴ ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 73．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）若二次函数的图像与x轴的两个公共点之间的距离为4，则m的值是______． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用二次函数与轴交点关于对称轴对称的性质，得到交点横坐标，代入解析式即可求出的值． 【详解】解：二次函数的对称轴横坐标为直线， ∵二次函数图像与轴的两个交点关于对称轴对称，两点距离为， ∴单个交点到对称轴的距离为， ∴两个交点的横坐标分别为和， 将点代入得， 解得． 74．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知一个二次函数图像的对称轴是直线，在x轴上截得的线段长为4，与y轴交点的坐标为，则这个二次函数的表达式为________． 【答案】 【分析】根据对称轴和x轴截得的线段长，可先求出二次函数与x轴的两个交点坐标，再设交点式解析式，代入y轴交点坐标求出系数，即可得到二次函数表达式． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线，在轴上截得的线段长为， ∴两个交点关于直线对称，每个交点到对称轴的距离为， ∴二次函数与轴的两个交点坐标为和， 设二次函数的表达式为， ∵二次函数图像过点， ∴将代入表达式得： ， 整理得， 解得， ∴二次函数的表达式为． 75．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）二次函数与轴两个交点间的距离是，那么的值为_____． 【答案】1或 【分析】设二次函数与轴交点横坐标为，根据根与系数的关系得到，根据交点距离得到，利用完全平方公式变形列方程求解，验证判别式后得到结果． 【详解】解：设二次函数与轴交点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵ 两个交点间的距离为， ∴ ， 两边平方得， 由完全平方公式变形得， ∴， 整理得， 解得或， 验证判别式：， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 综上所述，的值为或． 知识点十六 二次函数与不等式 76．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）抛物线的部分图像如图所示，若则x的取值范围是 （     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】观察图象确定对称轴及经过的特殊点，利用抛物线的对称性求解． 【详解】解：由函数图象得：二次函数开口向下，二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是：． 77．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：由图可知，当或时，抛物线在直线下方，因此不等式的解集是或． 78．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 79．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 80．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数图象的一部分如图所示，对称轴为，下列结论： ①； ②多项式可因式分解为； ③若点，在函数图象上，且，则； ④当时，； ⑤不等式的解集为． 其中正确的结论有______． 【答案】①③/③① 【分析】由二次函数图象与性质逐项验证即可． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，则；对称轴直线，结合，则；抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 由图可知，抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线，则另一个交点为， ， 即多项式可因式分解为，故②错误； 由图可知，抛物线开口向上、对称轴为直线，则抛物线上的点到对称轴的距离越大值越大， ， ，解得，故③正确； 由前面分析可知，抛物线与轴的交点为、，抛物线开口向上，则当或时，，故④错误； 将不等式转化为， 令，作出函数图象，如图所示： 由图可知，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 不等式的解集为或，故⑤错误； 综上所述，题中正确的结论是①③． 知识点十七 二次函数实际应用之拱桥问题 81．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为________m． 【答案】 【分析】建立适当的坐标系，设抛物线解析式为，由已知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题． 【详解】建立如图所示坐标系， 抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入解析式，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴两盏壁灯之间的距离为． 82．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面．如图所示的直角坐标系中，若水位上涨，此时水面的宽度为__________． 【答案】/米 【分析】根据待定系数法可求得抛物线解析式，再令，求得对应的值，即可得解． 【详解】解：设该抛物线的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． ∵水位上涨， ∴令，得，解得， ∴此时水面的宽度为． 83．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，义乌赤岸镇的古月桥是一座宋代古石拱桥，我们把它的桥拱近似看作抛物线．正常水位时，水面宽为，拱桥最高点O到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么警戒水位时水面宽为________． 【答案】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，利用点坐标求出，再根据水位上升高度求出所在直线的值，代入解析式求即可. 【详解】解：设抛物线的解析式为. 水面宽为，拱桥最高点到水面的距离为， 点的坐标为 将点代入，得 ， 解得， 抛物线的解析式为. 水位上升达到警戒水位， 警戒水位对应的纵坐标， 当时，， 解得， . 84．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）某地开展河道整治，建起一座抛物线形拱桥，正常水位时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升时，此时水面的宽度为______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，从图中读取信息，则，设点是原点，得到点，的坐标；设二次函数的解析式为：，求出解析式；再根据水面上升米，则，代入函数解析式，求出，即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图， 由题意得，，， ∵抛物线关于轴对称， ∴， 设点是原点， ∴点，， 设二次函数的解析式为：， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 当水面上升米交抛物线，交于点， ∴， ∴， 解得：， ∴点，， ∴， ∴水面宽度为米． 85．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图为孝义凤凰古村景区土窑洞窑面及其部分示意图，其轮廓由矩形和部分抛物线构成，横梁，且点，在抛物线上．已知米，米，洞口的最高点到的距离为米，点到的距离为米，则横梁的长为__________米． 【答案】 【分析】以所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，先求出抛物线的解析式，再根据点的纵坐标均为求出它们的坐标，由此即可得． 【详解】解：如图，以所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标为，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵，且点到的距离为米， ∴点的纵坐标均为， 将代入函数得：， 解得或， ∴，， ∴， 即横梁的长为米． 知识点十八 二次函数实际应用之投球问题 86．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）一位运动员掷出铅球，铅球离地高度（单位：米）关于水平距离（单位：米）的函数表达式为，此运动员这一掷的成绩是（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】A 【分析】掷铅球的成绩为铅球落地时的水平距离，需求解时的正根． 【详解】解：当铅球落地时，， 代入函数表达式，得， 两边同乘，得， 因式分解，得， 解得，， ∵水平距离为正数， ∴舍去，即成绩为9米． 87．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）某同学投出的篮球的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，篮球运动的竖直高度与水平位移近似满足函数关系．根据上述函数模型和以下数据，可推断出篮球运动到最高点时，其水平位移为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】篮球最高点的水平位移对应抛物线的对称轴，代入已知点坐标求出二次函数系数，再计算对称轴即可． 【详解】解：将，代入，得， 将，代入解析式得，化简得①， 将，代入解析式得，化简得②， 得， 解得， 将代入①得， 解得， 抛物线对称轴为， 即最高点的水平位移为． 88．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为________秒． 【答案】/ 【分析】先用待定系数法求出二次函数的表达式为，当时，解方程求出即可． 【详解】解：根据题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的表达式为， ∵抛物线过，代入，， 解得， ∴这个二次函数的表达式为：， 当时，， 解得：（不合题意舍去），， ∴铅球落地点到出手点的时间为秒． 89．（26-27九年级上·贵州黔东南·阶段检测）用手竖直向上抛出一个沙包，沙包离地面的高度h ( 单位：m) 与抛出后沙 包运动的时间t ( 单位：s) 之间的关系式是，沙包能达到的最大高度是______________． 【答案】 【分析】沙包高度是关于时间的开口向下的二次函数，最大高度对应该二次函数顶点的纵坐标，代入顶点纵坐标公式计算即可． 【详解】解：∵ ，其中二次项系数， ∴ 函数图象开口向下，存在最大值，最大值为二次函数顶点的纵坐标， 对于二次函数，顶点纵坐标为， 将，，代入得：， 因此沙包能达到的最大高度是． 90．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，小明同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度．则实心球掷出的水平距离为________． 【答案】 【分析】实心球落地时高度为，即求抛物线与轴正半轴交点的横坐标，令解方程即可； 【详解】解：由题意可知，当实心球落地时，， 令，得， 解得，， 表示水平距离，， ∴， ∴为． 知识点十九 二次函数实际应用之喷水问题 91．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图为喷泉某一截面的水流，可看作抛物线，水流喷出的高度与水平距离之间满足，则水流喷出的最大高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，利用二次函数的性质求最大值. 【详解】 解：， ， 当时，取最大值为， 水流喷出的最大高度为. 92．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键． 【详解】解：选图中第一象限的抛物线， 由题意得，抛物线顶点坐标为，过点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 故选：． 93．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 可知当时，取得最大值，即水流的最大高度为． 94．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示： 则：， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， ∴， 当时，， ∴高度为． 95．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为．安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，则喷头高度的取值范围为_______． 【答案】 【分析】待定系数法求出抛物线的解析式为，可设移动后抛物线解析式为，函数图象的顶点坐标为，求出，由题意可得，，解不等式组即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点的坐标为，经过点， 设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴可设移动后抛物线解析式为， 即函数图象的顶点坐标为， 令，则，解得，， ∴， ∴， 由题意可得，， 解得． 知识点二十 二次函数实际应用之图形问题 96．（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由长方形周长求出邻边长度，再代入面积公式推导与的函数关系式． 【详解】解：∵长方形周长为，一边长为， ∴相邻一边长为， ∴． 97．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，李叔叔想用长为的篱笆围成一个矩形草莓园，且要求矩形的一边的长不得低于，草莓园中有一横两纵且宽均为的小路，其余部分种草莓，则种草莓部分的最大面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设草莓部分的面积为S，，则，再表示出种植草莓区域的长和宽，然后根据矩形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：把小路平移到上方和左方，面积不变，如图： 设草莓部分的面积为S，，则， ∵小路的宽均为， ∴，， ∴， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，． 98．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．则鸭舍面积的最大值为（     ）． A．40 B． C．60 D． 【答案】C 【分析】设，鸭舍的面积为，则，根据矩形面积公式列出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，鸭舍的面积为， 由题意得， ， ∵墙的长度为，且， ∴， ∴， ∵在中，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴鸭舍面积的最大值为． 99．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）计划用一段长为米的栅栏和一面长度大于米的墙围成一个矩形活动区域，则这个活动区域的最大面积是__________平方米． 【答案】 【分析】设垂直于墙的边长为米，可得平行于墙的边长为米，根据矩形面积公式列出面积关于的二次函数，再利用二次函数的性质求最大值． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，活动区域的面积为平方米，则平行于墙的一边长为米， 由题意得： ， 配方整理得：， ∵墙长大于， 可得，且二次项系数， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即活动区域的最大面积是平方米． 100．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，计划用10米长的栅栏和一面长度大于10米的墙围成一个矩形活动区域．栅栏围三面，墙作为第四面．则活动区域的最大面积是_____平方米． 【答案】 【分析】设垂直于墙的一边长x米，则平行于墙的一边长米，活动区域的面积为S平方米，根据矩形的面积公式列出S关于x的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长x米，则平行于墙的一边长米，活动区域的面积为S平方米， 由题意得，， ∵墙的长度大于栅栏的长度， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为， ∴活动区域的最大面积是平方米． 知识点二十一 二次函数实际应用之销售问题 101．（24-25九年级上·四川凉山·期末）彝族年假期期间，某店销售特产苦荞饼，经调查发现每盒苦荞饼售价为20元时，日销售量为500盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加10盒．已知每盒苦荞饼的成本为10元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，审清题意、弄清数量关系是解题的关键． 由“”列出y与x之间的函数表达式即可． 【详解】解：由题知：日销售量为盒，每盒利润为元， 所以y与x之间的函数关系式为． 故选：D． 102．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）某商店销售一种商品，已知销售这种商品每天所获利润y（元）与销售单价x（元）满足关系式．若想获得最大利润，销售单价x应为________元． 【答案】 15 【分析】已知利润是的二次函数，二次项系数为负，函数开口向下，最大利润对应二次函数的顶点，计算顶点横坐标即可得到结果． 【详解】解：展开函数关系式得 ∵该函数是二次函数，二次项系数 ∴抛物线开口向下，函数有最大值，最大值在顶点处取得 ∵二次函数顶点的横坐标为，此处， ∴ 即获得最大利润时销售单价为15元． 103．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）某商场引进一批进价为每件元的玩具，如果以每件元销售，那么一个月可售出件．如果提高售价，销售单价每上涨元，月销售量将相应减少件，当销售单价为________元时，该店一个月获得的利润最大． 【答案】 【分析】根据总利润每件利润销售量，列出利润关于销售单价的二次函数，利用二次函数性质求最大值点． 【详解】解：设销售单价为元，该店一个月获得的利润为元， 根据题意，每件利润为元， 销售单价上涨了元，因此月销售量减少件，月销售量为件， 可得总利润， 整理得， ，二次函数开口向下，存在最大值， 当时，取得最大值， 即当销售单价为元时，该店一个月获得的利润最大． 104．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，每件商品降价__________元时，超市的日盈利最大． 【答案】 【分析】根据日盈利等于每件盈利乘以日销售量，建立与的二次函数关系，求二次函数的最大值点即可得到结果． 【详解】解：∵每件商品降价元， ∴降价后每件盈利为元，日销售量为件， 因此日盈利 ∵二次项系数， ∴二次函数的图象开口向下，存在最大值， 当时，取得最大值， 因此每件商品降价元时日盈利最大． 105．（25-26九年级上·陕西安康·期中）信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【分析】设降价金额为元，根据“总利润=每罐利润×销售量”列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 知识点二十二 成比例线段 106．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）一条线段的长度是另一条线段的4倍，这两条线段的比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将较短线段的长度看作1份，则较长线段的长度为4份，两条线段的比为． 107．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段的定义，对于按顺序排列的四条线段、、、，如果，则它们成比例．计算每组中前两条线段的比值与后两条线段的比值是否相等，即可得解． 【详解】解：A、，，，不成比例； B、，，，不成比例； C、，，，成比例； D、，，，不成比例． 故选：C． 108．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段的定义．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，四条线段不是成比例线段，故A选项不符合题意； B、，四条线段不是成比例线段，故B选项不符合题意； C、，四条线段是成比例线段，故C选项符合题意； D、，四条线段不是成比例线段，故D选项不符合题意． 故选：C． 109．（25-26八年级上·山东聊城·期中）已知线段，，，且a，b，c，d成比例，则线段d的长是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查线段成比例问题．根据比例线段的定义，由成比例，得，即，代入已知值求解． 【详解】解：∵ a，b，c，d成比例， ∴， ∴将，，，代入得：，   ∴，即，   ∴， 故选：D． 110．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义，按顺序对应成比例，据此列比例式求解即可． 【详解】解： 四条线段长度按从长到短的顺序分别为 ，且这四条线段是成比例线段， ， 根据比例的基本性质，得 ， 解得． 知识点二十三 黄金分割 111．（25-26九年级上·广东佛山·期中）已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握正五边形的性质得出为黄金三角形是解题的关键． 先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果． 【详解】解：如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， 设 ， 黄金三角形的底与腰之比为， 在中，， 即， 解得， 即 ， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ， ， 则 ， ， 则， 为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即， ， 故选：A． 112．（24-25九年级上·上海·期中）点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的定义求出的长度，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 113．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∵黄金分割比为，且， 即 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 即的长为． 114．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 【答案】 【分析】由图可知为较长线段，根据黄金分割点的定义可得，代入数据列一元二次方程求解即可． 【详解】解：由图可知，点是线段的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 115．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点．过顶角为的等腰底角的顶点作的平分线交于点，其中为的黄金分割点，即．若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的定义得到，则，进而代入求解即可． 【详解】解：∵等腰， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去） 知识点二十四 平行线分线段成比例 116．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入已知数据计算即可得出结果． 【详解】∵直线 ∴ ∵， ∴ ∴． 117．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例可得，再根据比例的性质进行变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，故C正确，A、D错误； 对于B，由已知条件，无法判断与的关系，故B错误． 118．（26-27九年级上·河北石家庄·期中），若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴根据平行线分线段成比例定理可得： ∴． 119．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（   ） A．3 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”可得，设，则，进而求解即可． 【详解】解：根据题意可知， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴，化简得， 解得， 经检验，是方程的解， ∴． 120．（2026·江苏盐城·中考真题）小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理可证是的中位线，进而利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． ∵小正方形的边长为， ∴， ∴． 知识点二十五 选择或补充条件使两个三角形相似 121．（26-27九年级上·山西·期中）如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边之比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边之比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐一判断选项即可． 【详解】解：， ， 选项，添加，无法判定，故符合题意； 选项，添加，可用两边及其夹角法判定，故不符合题意； 选项，添加，可用两角法判定，故不符合题意； 选项，添加，可用两角法判定，故不符合题意． 122．（26-27九年级上·四川·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、，， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定， ∴无法判定，故选项符合题意． 123．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴A、添加，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； B、添加，得到，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； C、添加，根据“两组边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； D、添加，不能判定与相似，选项符合题意． 124．（26-27九年级上·安徽·期中）如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，下面四种添加条件的方法，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意已知对应角，结合两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可解答． 【详解】解：在和中，， A、添加，不满足两边成比例且夹角相等的条件，无法判断，故本选项不符合题意； B、添加，即，不满足两边成比例且夹角相等的条件，无法判断，故本选项不符合题意； C、添加，即，满足两边成比例且夹角相等的条件，能得到，故本选项符合题意； D、添加，不满足两边成比例且夹角相等的条件，无法判断，故本选项不符合题意； 125．（26-27九年级上·宁夏·期中）如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 知识点二十六 利用相似三角形的性质求解 126．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）若，且与的相似比为，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解： ，相似比为， ． 127．（25-26九年级上·重庆·期中）已知，且，则与的周长比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质确定相似比，再利用两个相似三角形的周长比等于相似比，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴与的周长比等于对应边的比， ∴与的周长比为． 128．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，和是对应中线，，， ∴两个三角形的相似比为， ∴对应角平分线的比为． 129．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）已知，且面积比为，则与的对应中线之比为______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再结合相似三角形对应中线的比等于相似比求解即可． 【详解】解：，与的面积比为， 与的相似比为， 相似三角形对应中线的比等于相似比， 与的对应中线之比为． 130．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如果两个相似三角形面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为___________． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键． 相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似之比为， ∴这两个三角形的周长之比为． 故答案为： 知识点二十七 相似三角形的实际应用 131．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部，当处于水平位置时，液面宽，液体高度，此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽，则此时液体的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用轴对称的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，，， ∵锥形瓶轴截面是轴对称图形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得. 132．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，小明利用平面镜测量旗杆的高度．他的眼睛到地面的距离m，他与镜子的水平距离m，镜子到旗杆底部的水平距离m，镜面反射满足“入射角等于反射角”．则旗杆的高度为（     ） A．12m B．10m C．15m D．18m 【答案】A 【分析】由镜面反射满足“入射角等于反射角”，可得，再由小明和旗杆垂直地面可得，由两组角对应相等得，然后由相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， ∴即， 解得． 故选A． 133．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）雨后初晴，小雅在运动场上运动，从她前面远的一块小积水处看到旗杆的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为，小雅的眼睛距地面高度是，那么旗杆的高度应是（     ） A． B． C．21m D． 【答案】B 【分析】构造相似三角形，利用对应边成比例求解． 【详解】解：设积水处为点，旗杆底端为，顶端为，小雅脚的位置为，眼睛位置为． ∵ ，， ∴ ． 由光的反射原理得， ∴ ， ∴ ． 代入，，， 得， 解得， ∴旗杆的高度应是． 134．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（     ） A．2.5 m B．2.75 m C．3.5 m D．3.75 m 【答案】A 【分析】根据镜面反射原理得出，结合垂直定义证明，利用相似三角形对应边成比例求解. 【详解】解：，， ， 由镜面反射，可知， ， ， ，，， ， . 故路灯的高度为. 135．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在小孔成像问题中，若到的距离是，到的距离是，蜡烛长为，则蜡烛的像的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，延长，交于点，先得出，，再根据相似三角形的对应高的比等于相似比求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长，交于点， ∵， ∴，， ∴（相似三角形的对应高的比等于相似比）， 由题意得：，，， ∴， 解得． 知识点二十八 相似多边形 136．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）下面几组图形中，相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】形状相同的两个图形叫做相似图形，据此可得答案． 【详解】解：选项C中的图形是相似图形． 137．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图所示，四边形四边形，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似多边形的性质得到，进而求出的度数． 【详解】解：四边形四边形， ． 四边形的内角和为， ． 138．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设，由折叠的性质可得，根据相似的性质得到，，据此求解即可． 【详解】解：设， 由折叠的性质可得， ∵这两种规格的矩形纸片相似， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴“白银”比为． 139．（26-27九年级上·辽宁·期中）现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同（相似）但比它大的矩形，则它至少要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开），则的值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【分析】如果与它形状一样且比它大，长与宽都增加一倍，所以长变成2×2=4张，宽变成2张，一共使用了8张正方形的纸，这样所用正方形纸片数量最少，据此即可解答． 【详解】解：∵正方形纸片大小相同， ∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少长和宽各是原来的2倍， ∴需要正方形的纸片是 （张）． 140．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应边成比例，对应角相等的两个图形是相似图形，分别对A、B、C、D各选项的图形进行判断即可得答案. 【详解】解：A.设A选项图形的内边框长为，宽为，内外边框之间的宽为，则外边框长为，宽为， ∴内、外边框的边长比为：，， 当时，， ∴， 此时A选项图形内外边框的图形对应边不成比例，不是相似图形. 当时，， ∴， 此时A选项图形的内外边框的图形对应边成比例， ∵A选项图形的内外边框的图形是矩形， ∴A选项图形的内外边框的图形对应角相等， ∴此时A选项图形的内外边框的图形是相似图形， 综上所述，A选项图形的内、外边框的图形不一定相似，故A符合题意. B. 根据B选项图形的内、外边框的图形是正方形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴B选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴B选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故B不符合题意. C. 根据C选项图形的内、外边框的图形是等边三角形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴C选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴C选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故C不符合题意. D. 根据D选项图形的内、外边框的图形是圆，设内边框的半径为，内外边框之间的宽为，则外边框的半径为， ∴D选项图形的内、外边框的图形的周长比为：，对应角为，也相等， ∴D选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故D不符合题意. 知识点二十九 位似图形的识别与性质 141．（26-27九年级·全国·暑假作业）下列图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、是位似图形，故本选项不符合题意； B、是位似图形，故本选项不符合题意； C、是位似图形，故本选项不符合题意； D、不是位似图形，故本选项符合题意． 142．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形性质，相似比为，对应边比为，对应点连线过位似中心，对应边互相平行，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此选出错误选项． 【详解】由题意知，与是位似图形，把放大为原图形的2倍得到， 因此相似比为． 选项A、因为相似图形的对应边成比例，所以，选项A正确； 选项B、因为位似图形的对应点的连线经过位似中心，因此点在同一直线上，选项B正确； 选项C、因为位似图形的周长比等于相似比，所以，选项C错误； 选项D、因为位似图形的对应边互相平行，所以 ，选项D正确． 143．（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点A，O，三点在同一条直线上，， ∴， ∴四个选项中只有C选项的说法不正确，符合题意． 144．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点，，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答． 【详解】解：∵以点为位似中心，把的各边长放大为原来的倍得到， ∴，，，点，，三点在同一条直线上． ∴， 只有选项C符合题意． 145．（2026秋•雁塔区校级月考）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AD=2：1，且△ABC的周长为6，则△DEF的周长为 . 【答案】9． 【分析】由OA：AD=2：1得到OA：OD=2：3，再根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【解答】解：∵OA：AD=2：1， ∴OA：OD=2：3， ∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF， ∴， ∵△ABC的周长为6， ∴C△DEF=9， 故答案为：9． 知识点三十 判断位似中心 146．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，掌握确定位似图象的位似中心的方法是解题的关键． 连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可． 【详解】解：∵与（（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接，，    则，，相交于一点Q， ∴这两个三角形的位似中心是点Q． 故选：B． 147．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 148．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 149．（26-27九年级上·江西·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．根据位似中心位于两正方形的同侧，得出C与E是对应点，D与F是对应点，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标． 【详解】解：∵位似中心位于两正方形的同侧， ∴点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 即位似中心是：． 150．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，一种是两个正方形在位似中心的异侧；另一种是两个正方形在位似中心的同侧． 【详解】解：正方形中、， ∴边长为， ∴，， 正方形中、， ∴边长为， ∴，， 分两种情况讨论： 情况1：两个正方形在位似中心的异侧 连接对应顶点和、和， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 情况2：两个正方形在位似中心的同侧 连接对应顶点和、和并延长， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 综上，这两个正方形的位似中心的坐标为或． 知识点三十一 求位似图形的对应坐标 151．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵位似中心为原点，与的位似比为，且对应点在原点另一侧， ∴点的对应点的横、纵坐标分别为点横、纵坐标乘， ∵点的坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 152．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与的坐标确定位似比，利用位似变换性质求解点的坐标. 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点，且的对应点为， ∴位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即. 153．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出相似比，再根据位似变换的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵点O为位似中心，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的对应点D的坐标为． 154．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、，则点C的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据位似比，解答即可． 【详解】解：根据题意，与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、， 故相似比为， 故把各坐标分别乘以得得到，，． 155．（26-27八年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，，则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示） 【答案】 【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据与的相似比为，得到，，进而得到，． 【详解】解：如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵与的相似比为，点是位似中心，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $