精品解析：山东菏泽市单县第一中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段性考试数学试题

高一第一次阶段性考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，函数的图象如图所示，则（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 3. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 满足条件 的集合M的个数为（ ） A. 10个 B. 9个 C. 8个 D. 7个 5. 关于的一元二次不等式的解集为，则下列不正确的是（ ） A. B. C. 关于的一元二次不等式的解集为 D. 关于的一元二次不等式的解集为或 6. 已知，若集合，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. “ ， ”的否定是“ ， ” C. 函数 的定义域是 ，则 的定义域为 D. 不等式 对一切实数x恒成立的充要条件是 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数、为实数，若，则的最大值为 D. 设、为实数，若，则的最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知：，且，，则_____. 13. 设、是非空集合，定义且.已知，，则________. 14. 如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长__________m. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，，求的解集； （2）若且在上恒成立，求实数的取值范围． 16. 已知集合，集合 （1）若，求实数m的取值范围. （2）若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 17. 已知命题，，命题，． （1）若命题和命题都是假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 18. 某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． （1）当年产量为20台时，求公司所获年利润； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ （3）当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 19. 已知 ． （1）若 ，，求关于 的不等式 的解集；（结果用 表示） （2）若 ，，，求 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第一次阶段性考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质列出不等式求解即可. 【详解】由题意得：，解得， 所以函数的定义域为. 2. 已知函数，函数的图象如图所示，则（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由的图象可得， 故. 3. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算求得集合C，然后可解. 【详解】因为， 所以， 所以集合C的子集个数为. 故选：D 4. 满足条件 的集合M的个数为（ ） A. 10个 B. 9个 C. 8个 D. 7个 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可为， 故满足条件的集合的个数为. 5. 关于的一元二次不等式的解集为，则下列不正确的是（ ） A. B. C. 关于的一元二次不等式的解集为 D. 关于的一元二次不等式的解集为或 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得的解为或，，然后由韦达定理可得关系，可判断各选项正误. 【详解】因的解集为，则，故A正确； 对于B，由题可得的解为或，由韦达定理：，，则，故B正确； 对于C，关于的一元二次不等式可化为：，故C正确； 对于D，关于的一元二次不等式可化为： 或，故D错误. 故选：D. 6. 已知，若集合，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合相等结合集合的互异性求，代入即可得结果. 【详解】因为， 可知，且，可得， 即，可得，且，解得， 代入，检验符合题意，所以. 故选：B. 7. 为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 8. 已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先需要分别求解集合和集合，然后根据充分不必要条件的定义，确定集合与集合的关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】由得：，∴， 解得：，； 由得：； “”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集， 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，则需满足； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】A选项，当时，，所以A选项错误； B选项，若，则，所以，所以B选项正确； C选项，若，则，所以C选项错误； D选项，若，则，则，所以D选项正确. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. “ ， ”的否定是“ ， ” C. 函数 的定义域是 ，则 的定义域为 D. 不等式 对一切实数x恒成立的充要条件是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，偶次根式被开方数大于等于0，零次幂的底数不等于0，列出不等式组求解即可；对于B，全称量词命题的否定是存在量词命题；对于C，求抽象函数的定义域，括号里面的范围一致，求出的范围即可；对于D，不等式 对一切实数x恒成立，则，求解计算即可. 【详解】选项A：函数有意义需满足，解得 且， 即定义域为，不是 ，A错误； 选项B：全称量词命题的否定为存在量词命题，规则是将全称量词 改为存在量词 ， 同时否定结论，因此“ ， ”的否定为“ ， ”，B正确； 选项C：由题意得 ，则 ， 即的定义域为 ，C正确； 选项D： 对任意实数x恒成立， 需满足判别式 ，解得 ，D错误． 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数、为实数，若，则的最大值为 D. 设、为实数，若，则的最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】取，利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；由已知等式变形得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；由基本不等式可得出关于的不等式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数无最小值，A错； 对于B选项，当时，则， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数的最小值为，B对； 对于C选项，因为正数、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，C错； 对于D选项，因为、为实数，且， 则， 可得，解得， 当且仅当时，即当时，取最大值，D对. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知：，且，，则_____. 【答案】2 【解析】 【分析】直接代入得到方程组，得到其解析式，再代入即可. 【详解】因为，且，， 所以且， 所以， 所以， 所以， 故答案为：2. 13. 设、是非空集合，定义且.已知，，则________. 【答案】或 【解析】 【分析】先求出，再求出，从而可求 。 【详解】∵、是非空集合，且， 而，，∴，， 故或. 故答案为：或. 14. 如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长__________m. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知有，应用基本不等式可得，由换元法求用纸量最少对应. 【详解】由题设，则， 所以，当且仅当时取等号， 令，则，即， 所以或（舍）， 此时，即用纸量最少时m. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，，求的解集； （2）若且在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接利用一元二次不等式的解法，即可求解； （2）分和两种情况，利用一元二次不等式恒成立问题，即可求解. 【小问1详解】 当，，即，即， 解得，所以不等式的解集为． 【小问2详解】 由，得，将代入， 整理得到对任意恒成立， （i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； （ii）当，即时，则，解得， 综上所述，实数b的取值范围是． 16. 已知集合，集合 （1）若，求实数m的取值范围. （2）若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)讨论两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； (2)由是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围. 【小问1详解】 ①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. 【小问2详解】 p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 17. 已知命题，，命题，． （1）若命题和命题都是假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出命题，命题为假命题时的取值范围，进而得到结果即可； （2）求（1）中的补集即可． 【小问1详解】 若命题，为真命题，则，即. 所以若为假命题，则. 若命题，为真命题， 则，即. 若为假命题，则， 综上，命题和命题都是假命题，a的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）可知命题和命题都是假命题，a的取值范围为， 故命题和命题至少有一个为真命题，a的取值范围为． 18. 某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． （1）当年产量为20台时，求公司所获年利润； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ （3）当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【答案】（1）万元； （2）台； （3）台. 【解析】 【分析】（1）根据分段函数求值即可； （2）解一元二次不等式，即可得解； （3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断. 【小问1详解】 当年产量为20台时，（万元）， 所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元； 【小问2详解】 当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即， 解得，又因为，所以， 即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台； 【小问3详解】 当时，， 此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元， 当时，， 当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元， 综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元. 19. 已知 ． （1）若 ，，求关于 的不等式 的解集；（结果用 表示） （2）若 ，，，求 的最小值． 【答案】（1）当 时，解集为或；当 时，解集为 ；当 时，解集为或； （2） 【解析】 【分析】（1）因式分解后比较两根与的大小即可解不等式； （2）由得，再用基本不等式“的代换”求解即可． 【小问1详解】 ，两根为与． 当时，，不等式的解为或； 当时，，不等式为，解集为； 当时，，不等式的解为或； 综上所述，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或． 【小问2详解】 由得，即． 所以， 因为，所以，由基本不等式， 所以， 当且仅当，即，结合得时取等号， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $