辽宁沈阳东北育才学校2026-2027学年高三上学期10月考试数学试卷

高三考试数学试卷参考答案 1 3 4 5 6 8 9 10 11 A B A C D C C BD AC ACD 12 13 14 0 10 ①4 ②21-2 15.(1) SAumc=besinA=1 be.5 2 2 22,解得bc=10, 19=+e2-2x10×2. 1 a2=b2+c2-2 bccosA,则 「bc=10 故b2+c2=29,联立b+c2=29,则(b+c}=49.(b-c}=9 b+c=7 又b>c,则(b-c=3,解得b=5,c=2. cosB=a+c2-2_19+4-251 (2)在△ABC中， 2ac 2×V9×22V19,AD是BC边上的中线，D为BC中 BD=Q、V9 点，故 22, 在△ABD中，由余弦定理 AD2=AB2+BD2-2.AB.BD.cosB=22+ 19 39 =4+2+1= 4 D=39 4，故 2 BE是AC边上的中线，E是AC中点，故 Γ22，在△ABE中，由余弦定理： 2 BE2=AB2+AE2-2·AB·AE·cOSA=22+ -2×2x5x1=4+25-5= 21 22 4 4,故 E=V②7 2, A0=24D=V39B0=2BE= 由重心的性质， 3 3, 3 3 在△AOB中，由余弦定理： cos∠A0B=AO+B02-AB 3921-4 =99 244v91 2·AO.BO 2xV39xV2ī6W9i=91 3 3 。 43,3、23 16.(1)设A=“编号为2的抽屉里放的是黑球”，则 (40=7×6767 (2)X的可能取值为1,2,3,4， P(X=1)= C435 p(x=2)-cS-18 C4=35 P(x-3)-CC_12 1 C435 P(X=4)= =35 用表格表示分布列，如下表所示： X 1 2 3 4 P 4 18 12 1 35 35 35 35 E(x)=1x4+2x18+3x12 4x116 35 35 35 357 (3)依题意，编号为1的抽屉里放的一定是白球，一共可以分为如下5种情况： 43323 P= X-X- ①序列前缀为：白黑白白… 765435 B=4×3x3x222 一X一×一×一× ②序列前缀为：白黑白黑白… 7654335. 4x3x32-3 =7×2×× ③序列前缀为：白白黑白… -765435 433222 P=×二××二x ④序列前缀为：白白黑黑白… 7654335, ⑤序列前缀为：白白白…， 月-音2号.PO-R月+月R+月-号 f(x)=g+x+1+ax>0) 17.(1)因 又的数f(四在x=1处伯切线与直线y=6r+1平行。 所以f'(0=2+2a=6,即a=2: (2) 间-g1*e=0ot0-Mz4oe ,因为x>0,则x+1>0, 所以，若a≥0，则f'()>0,f(在(0，+∞)内单调递增， 若a<0,当0<x<-a时，f'(<0,所以(t)在(0，a)内单调递减， 当x>-a时，∫(x)>0,所以f()在a,+o）内单调递增： (3)证明：当a=-1时 .f(x)-jx+c-e- 设8()c-l,则8()=c-(>0) 设)=e->0)=e+>0 xao情eK南)-6-30)-e-0 e-1=0→e=1→x=-lnxo 所以存在 当0<x<时，8()<0,8()在(0，x)内单调递减。 当x>时，8(~>0,8()在(，+切)内单调递增， .6oe-+3 所以 ,而 Xo 单调递减， 小*%>号号 所以 Xo 所)r+e> 6 18.(I)由题忘得/'(=cosr-cosx+simr=inr≥0在[0，i成立，故f()=sinx--COS在 x∈[0，上单调递增，故f)≥/(0)=0，证毕， a小gf 为偶函数， 当re0,时. 2 sinr 由O可知xCOSx-sinr≤0在[0，可上恒成立， x2 又2 r≤0，数8s0在e0到上恒成。 sinx≤0 赦8（在r∈[0，可列上单调递减，8(x)=8(0)=1, 结合函数在r∈[-元，风上为偶函数可得，函数的最大值为1. (2)4=1,a=ac0san, ÷c0sac0sa,60sa,…c0sa,=2.4.g481=an a az a3 an ,其中an>0 故只需证 3a+a+g++a,52 am (nEN) a=l,al=a,coSa,,0<anl=a,cosa≤an≤1 1 2an an=a,cosan<a- 1+ an 2+a 由(1)可知， 2 12+a2-1+ 上式两边取倒数得a12a。an2 <22 ,故 an+l an, (2 3a1+a2+a3+…+an<2a1+ 22 2 2 =2a1- 2,22 于是 a2a1a3a2 （an+lan a an+an+l ∴.(3a+a2+a+…+am)cosa,cosa,cosa…cosa<2(neN) 19.1①f()=2x-l在[0，+o)关联：在[0,1不关联：任取-x∈[0，+o）,则 f(x)-f(x)=2(x2-x)∈[0，+o). ∴f(x)=2x-1在[0，+o）关联 取5=0，名=1，则5-=1e[0,, f(s)-f()=2(s-x)=2[0,则 ∴f(x)=2x-1在[0，叫不关联 （2):f(冈是在3)关联的。 对于任意-=3，都有f(G)f(G)=3,对任意x,都有f(x+3)-f()=3, 由r[0,3)时，f)=r-2x,得f(在x∈[0,3)的值该为-H3), f(x在xcB,6)的值碳为[2,6)，2≤f()s3仅在x∈[0,3)或x∈[3,6)上有解， x∈[0,3)时，f(=r-2x,令2≤x-2x≤3，解得3+1sx<3, x∈，6)时，f()=f(x-3)+3=r-8x+18,令2≤x2-8x+18≤3，解得3≤x≤5， 2≤f)3的解为[5+15]. (3)①洗证明：f()是凸关联的。且是在[0，+o）关联的，→f()在L,2]是关联的。 由已知条件可得，f(+1)=f(四+1，f(+川=f()+n,n∈Z, 又“f(是在[0，+切)关联的，任意任取>，f()>f()成立， 若1≤-，≤2，+1≤2≤x+2·f(:+)≤f(G,)≤f(化+2) 即f(s)+1≤f(G)sf(x)+2. 1≤fs)f(x)≤2.f()是[2]关联 ②再证明：f(~在，2]是关联的→f(~是在关联的，且是在[0，+）关联的， :/()是，2]关联，÷任取-，2]，都有)-f()e,2]成立 即满足1≤名-≤2，都有1≤f(3)-f(G)s2」 下面用反证法证明(+1)-f()=1,若f(+)-f()>1,则 f(x+2)-f(x)=f(x+2)f(x+)+f(x+1)-f(x)>2. 与f()在，2习是关联的矛盾，若f(x+)-f()>1,而()在几2]是关联的，则 f(+)-f)21,矛盾，f(x+)-f()=1成立，即f(四是在关联的， 再证明f()是在[0，+o)关联的，任取。-∈[，+on∈N),则存在n∈N,使得任取 x,-x∈[n,n+](neN).:1≤x2-(n-l)-x≤2 .f[x-(n-1]-f()=f()-(n-1)f()e[,2] f()-f()[m,n+1]曰[0，+o） f()是在[0，+o)关联的： 综上所述，f(~是码关联的，且是在[0，+切)关联的，当且仅当f(四在[，2]是关联的”， 高三考试 数学试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1．“”是命题“，”为真命题的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A． B． C． D． 4．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 5．如图，设，，（，），线段与交于点，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．若两个随机事件，相互独立，满足，，则（ ） A． B． C． D． 7．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，，则下列结论不正确的是（ ） A．若，则在上单调递减 B．存在，使得的图象与轴相切 C．存在，使得有极大值 D．若，则 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9．下列命题正确的有（ ） A．若，，则 B．将函数的图象向左平移个单位后，所得图象的解析式为 C．命题“，”的否定为“，” D．若，则 10．已知某图书馆阅读者的日阅读时长（单位：小时）服从正态分布，则（ ） A． B． C．若，则 D．设，若，则 11．如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（ ） A．有对称轴 B．的弦长的最大值为 C．与第三象限的交点横坐标在区间内 D．直线被截得弦长的最大值为 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12．若时，取得最大值，则________． 13．若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是________． 14．记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，数列为牛顿数列，设，已知，，则________，数列的前项和为，则________． 四．解答题（共5小题，15题13分，16、17题15分，18，19题17分） 15．在中，角，，的对边分别为，，．已知，若，，的面积为． （1）求，； （2）设，边上的两条中线，相交于点，求． 16．袋子中有个白球，个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里（，，，…，）． （1）求编号为的抽屉里放的是黑球的概率； （2）记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； （3）记“从左往右数，任意前个抽屉中（，，，…，），白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 17．已知函数． （1）若函数在处的切线与直线平行，求的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，证明：． 18．设函数，． （1）①当时，证明：； ②当时，求的最大值； （2）若数列满足，，，证明： ． 19．已知，，若对任意的，，则有定义：是在关联的． （1）判断和证明是否在关联？是否有关联？ （2）若是在关联的，在时，，求解不等式：． （3）证明：是关联的，且是在关联的，当且仅当“在是关联的”． 学科网（北京）股份有限公司 $