精品解析：辽宁沈阳市第二中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

沈阳二中2026——2027学年度上学期10月月考 高三（27届）数学试题 说明：1．测试时间：120分钟总分：150分 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为（　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】由 得 ，故 ； 由 得 ，故 . 所以 ，元素个数为 . 2. 已知复数满足，是的共轭复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 所以. 所以的虚部为. 3. 在AI数据处理中，某误差函数是定义在上的奇函数，用于模拟模型预测值与真实值的偏差．当时，该函数的表达式为（单位：百分比），则模型在处的误差值（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数性质 ，将求  转化为求 ，再代入求值即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以. 故选：A 4. 已知是非零平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义和运算律，结合充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由，得，故必要性成立； 由，得，得， 不一定成立，故充分性不成立. 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质计算即可. 【详解】对等式左边提取公因式得：. 等式两边同时加2，整理得：，即. 由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求. 将目标式变形为：， 根据基本不等式的性质可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为7. 6. 函数的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图像，若是奇函数，则图中的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象求出，的图象上的所有点向左平移个单位长度后得为奇函数，得函数的图象过点，求出，进而得到函数的解析式，求解参数即可. 【详解】由得，的图象上的所有点向左平移个单位长度后得为奇函数， 所以图象关于原点对称，得函数的图象过点， 所以，所以， 故，又，得， 所以，， 故选：A. 7. 若成等比数列，则公比为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项得到变量之间的关系，再求公比即可. 【详解】成等比数列．， 即， ． ，公比为， 故选：B． 8. 已知函数，若，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，解得，分和三种情况讨论，推出，得，构造函数，利用导数即可求解. 【详解】函数， 由，得， 当时，由，得或，由，得， 不满足； 当时，由，得或，由，得， 不满足； 当时，函数成立，符合条件， 因此，则， 令，求导得，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，故. 所以最大值为. 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，则下列说法正确的有（ ） A. 若 ，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为锐角，则实数的范围为 D. 当时，在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据判断A，根据向量共线的坐标表示判断B，根据且不同向判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：当与夹角为锐角时，则，解得， 又时，，此时向量夹角为0， 所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为且，故C错误； 对于D：当时，，所以，， 所以在上的投影向量为，故D正确； 故选：ABD． 10. 已知函数，则（ ） A. 为周期函数 B. 存在，使得的图象关于对称 C. 在区间上单调递减 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】证明，结合周期函数定义判断A，证明函数为奇函数，结合周期性证明若函数存在对称轴，则为其对称轴，推出矛盾，判断B，利用导数判断指定区间函数的单调性，判断C，结合正弦函数性质可得，进一步说明等号不成立，判断D. 【详解】由于，故，所以为的周期，A正确； 函数的定义域为，定义域关于原点对称，， 所以为奇函数， 假设图象关于对称，则函数为偶函数， 所以，故， 所以，又，所以为函数的对称轴， 所以， 但，， 所以，矛盾，所以图象不关于对称，B错误； 因为，化简整理得， 当时，， 函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线， 若，则， 所以当时，， 故在区间上单调递减，C正确； 因为，当且仅当时取等号， 但当，即时，，所以，D不正确． 故选：AC. 11. 若数列满足为常数，则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，，则 C. 若中各项均为正数，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】使用等差中项的性质分析选项A，使用等差数列的定义分析选项B，使用基本不等式分析选项C，使用导数分析选项D. 【详解】依题意可得为等差数列， 由，可得，，，所以A错误; 由，且，，可得，， ，， ，所以B正确; 由为等差数列，可得， ，所以C正确; 由，，，则，可求得， 令，，， 当时，，是减函数， 当时，，是增函数， 所以恒成立，即在时恒成立， 恒成立，，，， 则，所以D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角的终边经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题可知，点，则, ， ，， ， ， 则. 13. 已知向量、、，且，，，，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，建立直角坐标系，写出、、坐标，求出终点轨迹，数形结合即可求解. 【详解】不妨设，，， ，则起点在原点，终点轨迹为单位圆， ∴当与同向时，最小，为. 故答案为：. 14. 已知等边的边长为1，在边，上分别取，两点，使沿直线对折，顶点正好落在边上，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】记点正好落在边上的点处，设，，由正弦定理可得，计算可求得的最小值. 【详解】记点正好落在边上的点处，由题意可得两点关于直线对称. 在图2中，可得，则有， 设，则， 再设，则有， 在中，， 所以，又， 在中，由正弦定理得，所以， 所以， 又因为，所以， 当，即时，， 此时取得最小值为，且， 所以的最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对 作三角恒等变换，得到单一的三角函数解析式，根据解析式运用整体法即可得到其单调递减区间； （2）根据（1）的结果，运用整体法即可得出 在 区间的单调性，再计算出其最大值和最小值. 【小问1详解】 ， 所以，令， 则，所以函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以函数 在区间上的最大值为，最小值为-2， 即在区间上的值域为； 综上，单调递减区间为；在区间上的值域为. 16. 已知正项数列，是的前项和，且满足． （1）求的通项公式； （2）数列满足，是的前项和，求． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用进行求解，结合等差数列的性质求出通项公式； （2）化简得到，相加可得 【小问1详解】 ①， 则②， 故②-①得， 因为，所以，所以， 所以当时，为等差数列，公差为1， 中，令得，即， 其中，则，解得或（舍去）， 所以时，， 显然满足， 综上：； 【小问2详解】 ， 故 . 17. 在中，内角的对边分别是，，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得，利用正弦定理得，然后利用角的范围，结合正弦函数的性质求解范围即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. 【小问2详解】 由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. 【小问3详解】 因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． 18. 已知函数（其中a为常数）． （1）当a=1时，求f（x）在上的值域； （2）若当x∈[0，1]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，是否存在正数a，使得对于区间上的任意三个实数m，n，p，都存在以f（g（m）），f（g（n）），f（g（p））为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）[2，] （2）-＜a＜（3）（-，-）∪（，） 【解析】 【分析】（1）当a=1时，f（x）=x+，结合对勾函数的图象和性质，可得f（x）在[，2]上的值域； （2）若不等式f（2x）＜2x++4在[0，1]上恒成立，即a＜-2（2x）2+1+2x在[0，1]上恒成立，令t=2x，则t∈[1，2]，y=-2t2+t+1，结合二次函数的图象和性质，求出函数的最小值，可得实数a的取值范围； （3）换元，原问题等价于求实数a的范围，使得函数在给定的区间上，恒有2ymin＞ymax 【详解】解：（1）函数， 当a=1时，f（x）=x+，导数为f′（x）=1-=， f（x）在[，1]上为减函数，在[1，2]上为增函数， ∴当x=，或x=2时，函数最最大值，当x=1时，函数取最小值2， 故f（x）在[，2]上的值域为[2，]； （2）若不等式f（2x）＜2x++4在[0，1]上恒成立， 即2x+＜2x++4在[0，1]上恒成立，即a2＜1+4•2x在[0，1]上恒成立， 1+4•2x在[0，1]递增，可得最小值为1+4=5，即a2＜5，解得-＜a＜； （3）设t=g（x）==-1+在x∈[0，]递减，可得t∈[，1]，则y=t+， 原问题转化为求实数a的取值范围，使得y在区间[，1]上，恒有2ymin＞ymax． 讨论：①当0＜a2≤时，y=t+在[，1]上递增，∴ymin=3a2+，ymax=a2+1， 由2ymin＞ymax得a2＞，∴＜a≤；或-≤a＜-； ②当＜a2≤时，y=t+在[，|a|]上单调递减，在[|a|，1]上单调递增， ∴ymin=2|a|，ymax=max{3a2+，a2+1}=a2+1， 由2ymin＞ymax得2-＜|a|＜2+，∴＜|a|≤； ③当＜|a|＜1时，y=t+在[，|a|]上单调递减，在[|a|，1]上单调递增， ∴ymin=2|a|，ymax=max{3a2+，a2+1}=3a2+， 由2ymin＞ymax得＜|a|＜，∴＜|a|＜1； ④当|a|≥1时，y=t+在[，1]上单调递减，∴ymin=a2+1，ymax=3a2+， 由2ymin＞ymax得a2＜，∴1≤a2＜； 综上，a的取值范围是（-，-）∪（，）． 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用问题，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理分类讨论求解函数的最值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和转化思想的应用，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 19. 设函数的定义域为I，若，曲线在处的切线l与曲线有n个公共点，则称为函数的“n度点”，切线l为一条“n度切线”． （1）判断点是否为函数的“2度点”，说明理由； （2）设函数. ①直线是函数的一条“1度切线”，求a的值； ②若，求函数的“1度点”. 【答案】（1）点为函数的“2度点”，理由如下： 因为，所以，， 则函数在点处的切线方程， 将切线l的方程与联立得， 记， ， 当时，，当和时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值， ，因为，所以， 又因为， 所以在上存在唯一零点， 则点为函数的“2度点”． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数在点处的切线方程，将其与联立，利用导数说明函数有两个零点即可； （2）①设，由题意得是函数的零点，利用导数证明有唯一零点且可知，结合满足的条件等式即可得解；②由题意得有唯一零点，利用导数研究该函数的零点情况即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①设直线与曲线相切于点， ，， 则，整理得， 对于给定函数我们定义它的导数为，定义它的导数的导数为. 设，则，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 在R上递增，又，，，经检验符合题意； ②设点，曲线在点P处的切线方程为， 令， 曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，有唯一零点， ，且， ，令，则， ，，单调递减； ，，单调递增； （i）若，由，；，， 在R上单调递增，只有唯一零点； （ii）若，由，单调递增，且， 则当，，， 当，， 其中，， 必存在，使得， ，故在内存在零点，即在R上至少有两个零点； （iii）若，同理利用，可得在R上至少有两个零点； 综上所述，函数的“1度点”为． 【点睛】关键点点睛：第二问①的关键是证明有唯一零点且可知，结合的关系即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳二中2026——2027学年度上学期10月月考 高三（27届）数学试题 说明：1．测试时间：120分钟总分：150分 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为（　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知复数满足，是的共轭复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在AI数据处理中，某误差函数是定义在上的奇函数，用于模拟模型预测值与真实值的偏差．当时，该函数的表达式为（单位：百分比），则模型在处的误差值（ ） A. B. C. 3 D. 5 4. 已知是非零平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 6. 函数的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图像，若是奇函数，则图中的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若成等比数列，则公比为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知函数，若，则最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，则下列说法正确的有（ ） A. 若 ，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为锐角，则实数的范围为 D. 当时，在上的投影向量的坐标为 10. 已知函数，则（ ） A. 为周期函数 B. 存在，使得的图象关于对称 C. 在区间上单调递减 D. 的最大值为 11. 若数列满足为常数，则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，，则 C. 若中各项均为正数，则 D. 若，，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角的终边经过点，则的值为______． 13. 已知向量、、，且，，，，则的最小值为______． 14. 已知等边的边长为1，在边，上分别取，两点，使沿直线对折，顶点正好落在边上，则的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在区间上的值域． 16. 已知正项数列，是的前项和，且满足． （1）求的通项公式； （2）数列满足，是的前项和，求． 17. 在中，内角的对边分别是，，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 18. 已知函数（其中a为常数）． （1）当a=1时，求f（x）在上的值域； （2）若当x∈[0，1]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，是否存在正数a，使得对于区间上的任意三个实数m，n，p，都存在以f（g（m）），f（g（n）），f（g（p））为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存在，请说明理由． 19. 设函数的定义域为I，若，曲线在处的切线l与曲线有n个公共点，则称为函数的“n度点”，切线l为一条“n度切线”． （1）判断点是否为函数的“2度点”，说明理由； （2）设函数. ①直线是函数的一条“1度切线”，求a的值； ②若，求函数的“1度点”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $