江苏南京市联合体2026-2027学年九年级上学期数学期中自编模拟

2026-2027学年江苏省南京市九年级上学期期末自编 数学模拟卷 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.本试卷分选择题和填空题和简答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写 在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答填空题、简答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.测试范围：新教材苏科版数学1-3章。 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一.选择题：本题共6个小题，每小题2分，共12分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1.某社区超市以4元瓶从厂家购进一批饮料，以6元瓶销售近期计划进行打折销售，若这批饮料的销 售利润不低于 ,则最多可打() A.六折 B.七折 C.七五折 D.八折 【解答】解：设可以打折， 解得， 即最多可打八折， 故选： 2.已知△ 的三边长分别是，，，且关于的一元二次方程 有两个相等的 实数根，则可推断△一定是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形D.钝角三角形 【解答】解：根据题意得△ 所以 第1页（共25页） 所以△为直角三角形， 故选： 3.下列方程中，是一元二次方程的是（) A. B C. D 【解答】解：·方程 是一元二次方程，选项符合题意： 方程 未知数的最高次数为1， 方程 不是一元二次方程，选项不符合题意： .方程 不是整式方程， 方程 不是一元二次方程，选项不符合题意； ·方程 含有2个未知数， 方程 不是一元二次方程，选项不符合题意. 故选： 4.下列解方程 的步骤中，依据是“平方根的意义”的是() A.第一步：两边都除以2，得 B.第二步：配方，得 ，即 C.第三步：开平方，得 D.第四步：移项，得 ，即 【解答】解：根据“平方根的意义”的步骤是选项· 故选：· 5.如图，与相切于点，交于点，点在上，且·若 9 则的长为() 第2页（共25页） B P A.3 B.3.5 C D.4 【解答】解：连接， 0 C 与 相切于点， △ △ 在△中， △ 的面积△ 的面积△ 的面积， 故选：· 6.如图，在三角形中， ， 平分 交于点，且 ,则点 到的距离为() 第3页（共25页） D A.4 B.3 C.2 D 【解答】解：作 于， 平分 ,即点到的距离为 故选： D 二.填空题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡 相应位置上。 7.方程 的根为 【解答】解： 或 解得 故答案为： 8.若关于的方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是一 【解答】解：根据题意得△ 解得 故答案为： 第4页（共25页） 9.如图，点、、、、在上，且为，则 的度数为160. ⊙ A 【解答】解：连接、，则 为 点、、、 在上， 四边形 是圆内接四边形， 故答案为：160. B A 10.某景区六月份游客接待量为300万人次，八月份游客接待量为363万人次.设游客接待量的月平均增 长率是，根据题意可列方程为一 【解答】解：根据题意得： 故答案为： 11.设，是方程 的两个根，且 ,则 2 【解答】解：、 是方程 的两个根， 第5页（共25页） 故答案为：2. 12.如图，是的弦，是 的中点，交于点·若， ，则的半径为 0 D 【解答】解：如图，连接， 是的弦，是 的中点， 在△ 中，设，则 ,由勾股定理得， 即 解得 即半径为， 故答案为： 第6页（共25页） y D B C 13.如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，点在优弧 上，连接，， 若 ,则 的度数为25一· D B 0 E 【解答】解：连接 四边形 是圆内接四边形， 是 的直径， 故答案为：25. D C y B E 第7页（共25页） 14.如图，扇形纸片 所在圆的圆心角 ，半径为4.将扇形纸片折叠，使点落在点处， 折痕与， 分别交于点，·若 与半径相切于点，且是的中点，则的长为 M B B 【解答】解：作点关于 的对称点，连接、、，如图，则 设 ,则 与半径 相切于点， 四边形 为矩形， 是 的中点， 在 △ 中， 解得 即 的长为. 故答案为： 第8页（共25页） .0 15.如图， 分别与 相切，切点分别为，，点在上，过点的切线分别交 于点，·若 ,则△ 的周长为20· D 0 E B 【解答】解： 、 是 的切线，切点分别为、， 过点的切线分别交 、于点、， △ 的周长 故答案为：20. 16.关于的两个方程 有一个解相同，则4· 【解答】解： 或 第9页（共25页） 把代入 中得： 解得： 故答案为：4. 三.解答题（共11小题） 17.解方程： (1) (2) 【解答】解：(1) 或 (2) 或 解得 18.已知关于的一元二次方程 为常数). (1)求证：不论为何值，该方程总有实数根； (2)不论为何值，方程总有一个确定的实数根为 【解答】(1)证明： △ 第10页（共25页） 无论取何实数，该方程总有实数根： (2)解：原方程变形为 由题意可得： 解得 19.如图，， 是 的弦， ，，是 的半径，且 ,求证： 小 D y 【解答】证明：连接， 在△与△ 中， △ △ 第11页（共25页） B D C 20.如图， 是一个圆的两条弦，它们的延长线相交于点，且 (1)用直尺和圆规作出该圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证 D BA\D 【解答】(1)解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 则点即为所求。 B (2)证明：由图可得， △ 21.某商场销售一款服装，当售价为300元时，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售， 增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.如果每件服装每降价1元，商场平均每天可 多售出2件.若商场每天要盈利1200元，每件服装的售价为多少元？ 第12页（共25页） 【解答】解：设每件服装的售价为元，则每件盈利 元，平均每天可售出 件， 根据题意得： 整理得： 解得： 又要尽快减少库存， 答：每件服装的售价为280元. 22.如图，在 中，过，，三点的交于点，且与相切. (1)求证： (2)若 ，求 的半径. A 0 【解答】(1)证明：连接并且延长交于点， 过，，三点的与相切， 四边形 是平行四边形， 垂直平分 第13页（共25页） (2)解：设的半径为，连接，则 解得 的半径长为 D 0 E B C 23.小韦在解方程 时突发奇想，按照如下步骤进行： ①将原方程中一次项系数除以10，常数项除以100，得到新方程 ②解得新方程的两个根分别是和； 第14页（共25页） ③将和分别乘以10，得到原方程的两个根，· (1)直接写出和的值： (2)请你说明其中的道理. 【解答】解：(1) 则 或 解得 ,即 、 或 (2) 令 ，得新方程 新方程的解为 原方程的两根为 24.已知点在上，仅用圆规按下列要求画图： (1)在图①中画出点，使是的直径： (2)在图②中画出点，使是的切线. (要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明) 第15页（共25页） 0 A 0 A ① ② 【解答】解：(1)如图①中，点即为所求； 济Q 0 A y ① ② (2)如图②中，点即为所求 25.一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数 根.基于上述认识，我们继续探索“ “型的方程，都是只含的整式)的根的情况 (1)当 时，该类型方程的根的情况是· ·有三个实数根，它们各不相等 ·有三个实数根，有且只有两个根相等 ·有三个实数根，它们都相等 ,没有实数根 (2)下列“ “型的方程： ① :② ③ ;④ ⑤ 至少有两个相等的实数根的方程是 (填序号). 第16页（共25页） (3)当 是常数)时，请写出该类型方程的根的情况及对应的的取值 范围. 【解答】解：(1) 根据 得： 该类型方程的根的情况是：有三个实数根，有且只有两个根相等， 故答案为：； (2)① ② ③ ④ 第17页（共25页） ⑤ 至少有两个相等的实数根的方程是①②③⑤： 故答案为：①②③⑤： (3) 是常数)， 或 当△ ,即 时，该类型方程有4个实数根（其中时，有3个不相等的实数根）， 它们各不相等： 当△， ,即 时，该类型方程有4个实数根，有两对相等的实根： 当△， ,即 时，该类型方程没有实数根 26.如图①，在 中，劣弧的度数为 ,点是优弧上的动点，且不与点，重合，弦 的垂直平分线分别交射线，弦于点，· (1)求证：△ 是等边三角形： (2)△ 能否为等腰三角形？如果能，求此时 的度数；如果不能，请说明理由； (3)若 的半径为2，则△ 面积的最大值是一 第18页（共25页） 0 0· B ① 备用图 【解答】(1)证明： 垂直平分， 劣弧 的度数为 优孤 的度数为 即 △ 是等边三角形： (2)解：①如图，当 时， P D O A(C) 是半径， 此时 也是半径，点在圆上， 由(1)知△ 是等边三角形， 点与点重合， ②当 时，有两种情况， I,当点靠近点时，如图， 第19页（共25页） B 的垂直平分线经过点，即点、、三点共线， Ⅱ，当点靠近点时，如图， 0 才D 由(1)知△是等边三角形， ③当 时， 当点运动到时，点、、均在上， 第20页（共25页） 点在向下运动时不会构成等腰三角形， 故此情况不存在： 综上， 或或； (3)解：连接 P B E △ △ 因此求出△ 的面积最大值，即可得到△ 的面积最大值， 如图，取劣弧中点，连接 、、, 劣弧 的度数为 △为等边三角形， △ △ 半径为2， 点在以为圆心，2为半径的圆上， 如图，作 于点，当、、三点共线时， 最大，此时 第21页（共25页） D 的面积最大值为 故答案为： 在平面直角坐标系中.对于点和图形，给出如下的定义：若图形上存在点和点，使得 ,则称点是图形的勾股点.如图(1)，己知点 ,连接 :N -L N A-F- t-}---}--- …i (1) (2) (3) (1)①在点 中，线段 的勾股点是 ②如图(2)，以线段 为直径作，若点是 的勾股点，求所有点组成的区域的面积， (2)如图(3)，将点，沿轴正方向向上平移3个单位长度，得到点，，顺次连接点 第22页（共25页） ，得到矩形 ·若点是矩形 的勾股点，请在图中用阴影描出所有点组 成的区域，无须说明理由， 【答案】(1)①，： ② (2) 【考点】圆的综合创新型 【专题】与圆有关的计算；几何直观；模型观念 【分析】(1)①根据 ,得出在为直径的圆上，再根据在上，可以得出 “勾股点”的轨迹，进而判断，，是否满足题意： ②根据垂径定理以及勾股定理，求出到的距离，根据一元二次方程有解的条件求出 的取值范围， 从而确定点组成的区域，根据圆的面积求解即可： (2)根据(1)可知，点覆盖区域就是矩形内所有线段为直径时所作圆的区域总和，画出图形即可· 【解答】解：(1)① 在以为直径的圆上， ，在线段上， 在以 为直径的圆上及圆内， 时，为线段 的“勾股点”； 是线段 的“勾股点”： 第23页（共25页） 故答案为：，： ②设，在上， ，连接，作 于，连接，，如图： P ⊙ A 当 ,,共线时， 最大， 设 ,则 设 ,则 整理得： △ 第24页（共25页） 方程的解在0到2之间， 恒成立， 在以为圆心， 为半径的圆上及圆内， 点 组成的区域面积为： (2)由(1)知，在矩形内所有线段为直径的圆上及圆内， 作出以 为直径的圆，所有圆覆盖的区域即为所求，如图： -1 --1- 第25页（共25页） 2026-2027学年江苏省南京市九年级上学期期末自编 数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和填空题和简答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题、简答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材苏科版数学1-3章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：本题共6个小题，每小题2分，共12分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．某社区超市以4元瓶从厂家购进一批饮料，以6元瓶销售近期计划进行打折销售，若这批饮料的销售利润不低于，则最多可打（　　） A．六折 B．七折 C．七五折 D．八折 2．已知△的三边长分别是，，，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则可推断△一定是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 3．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 4．下列解方程的步骤中，依据是“平方根的意义”的是（　　） A．第一步：两边都除以2，得 B．第二步：配方，得，即 C．第三步：开平方，得 D．第四步：移项，得，即， 5．如图，与相切于点，交于点，点在上，且．若，，则的长为（　　） A．3 B．3.5 C． D．4 6．如图，在三角形中，，平分交于点，且，，则点到的距离为（　　） A．4 B．3 C．2 D． 二．填空题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 7．方程的根为 　　． 8．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 9．如图，点、、、、在上，且为，则的度数为 　　． 10．某景区六月份游客接待量为300万人次，八月份游客接待量为363万人次．设游客接待量的月平均增长率是，根据题意可列方程为 　　． 11．设，是方程的两个根，且，则　　 ． 12．如图，是的弦，是的中点，交于点．若，，则的半径为 　　 ． 13．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点在优弧上，连接，，若，则的度数为 　　． 14．如图，扇形纸片所在圆的圆心角，半径为4．将扇形纸片折叠，使落在处，折痕与，分别交于点，．若与半径相切于点，且是的中点，则的长为 　　 ． 15．如图，，分别与相切，切点分别为，，点在上，过点的切线分别交，于点，．若，则△的周长为　　． 16．关于的两个方程与有一个解相同，则　 　． 三．解答题（共11小题） 17．（8分）解方程： （1）； （2）． 18．（7分）已知关于的一元二次方程为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）不论为何值，方程总有一个确定的实数根为 　　 ． 19．（8分）如图，，是的弦，，，是的半径，且，，求证：． 20．（7分）如图，，是一个圆的两条弦，它们的延长线相交于点，且． （1）用直尺和圆规作出该圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证． 21．（8分）某商场销售一款服装，当售价为300元时，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．如果每件服装每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场每天要盈利1200元，每件服装的售价为多少元？ 22．（7分）如图，在中，过，，三点的交于点，且与相切． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 23．（8分）小韦在解方程时突发奇想，按照如下步骤进行： ①将原方程中一次项系数除以10，常数项除以100，得到新方程； ②解得新方程的两个根分别是和； ③将和分别乘以10，得到原方程的两个根，． （1）直接写出和的值； （2）请你说明其中的道理． 24．（8分）已知点在上，仅用圆规按下列要求画图： （1）在图①中画出点，使是的直径； （2）在图②中画出点，使是的切线． （要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 25．（8分）一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数根．基于上述认识，我们继续探索“ “型的方程，都是只含的整式）的根的情况． （1）当，时，该类型方程的根的情况是 　　 ． ．有三个实数根，它们各不相等 ．有三个实数根，有且只有两个根相等 ．有三个实数根，它们都相等 ．没有实数根 （2）下列“ “型的方程： ①；②； ③；④； ⑤． 至少有两个相等的实数根的方程是 　　 （填序号）． （3）当，是常数）时，请写出该类型方程的根的情况及对应的的取值范围． 26．（9分）如图①，在中，劣弧的度数为，点是优弧上的动点，且不与点，重合，弦的垂直平分线分别交射线，弦于点，． （1）求证：△是等边三角形； （2）△能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； （3）若的半径为2，则△面积的最大值是 　　． 27. （10分）在平面直角坐标系中．对于点和图形，给出如下的定义：若图形上存在点和点，使得，则称点是图形的勾股点．如图（1），已知点，，连接． （1）①在点，，中，线段的勾股点是， ． ②如图（2），以线段为直径作，若点是的勾股点，求所有点组成的区域的面积． （2）如图（3），将点，沿轴正方向向上平移3个单位长度，得到点，，顺次连接点，，，，得到矩形．若点是矩形的勾股点，请在图中用阴影描出所有点组成的区域，无须说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江苏省南京市九年级上学期期末自编 数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和填空题和简答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题、简答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材苏科版数学1-3章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：本题共6个小题，每小题2分，共12分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．． 2．． 3．． 4．． 5．． 6．． 二．填空题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 7．，． 8．． 9．160． 10．． 11．2． 12．． 13．25． 14．． 15．20． 16．4． 三．解答题（共11小题） 17．【解答】解：（1）， ， 或，............................1分 ，；............................4分 （2）， ， ， 或，............................6分 解得，．............................8分 18．【解答】（1）证明：， △， 无论取何实数，该方程总有实数根； ............................4分 （2）解：原方程变形为， 由题意可得：， 解得． ............................8分 19．【解答】证明：连接，，， 在△与△中， ， △△，............................4分 ， ，， ，， ，............................7分 ．............................8分 20．【解答】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 则点即为所求． ............................4分 （2）证明：由图可得，， ． ，， △△， ．............................7分 21．【解答】解：设每件服装的售价为元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：，............................2分 整理得：， 解得：，， 又要尽快减少库存，............................4分 ．............................6分 答：每件服装的售价为280元．............................8分 22．【解答】（1）证明：连接并且延长交于点， 过，，三点的与相切， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 垂直平分， ．...........................................................................4分 （2）解：设的半径为，连接，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，且，， ， 解得， 的半径长为．............................8分 23．【解答】解：（1）， ， 则或， 解得，，即、或、；............................4分 （2）， ， 令，得新方程， 新方程的解为，， ，， 原方程的两根为，．............................8分 24．【解答】解：（1）如图①中，点即为所求； ............................4分 （2）如图②中，点即为所求．............................8分 25．【解答】解：（1），， 根据得：， ， ，， 该类型方程的根的情况是：有三个实数根，有且只有两个根相等， 故答案为：；............................2分 （2）①， ， ； ②， ， ，； ③， ， ，，； ④， ， ，，，； ⑤， ， ，， 至少有两个相等的实数根的方程是①②③⑤； 故答案为：①②③⑤；............................5分 （3），，是常数）， ， 或， △， 当△，，即时，该类型方程有4个实数根（其中时，有3个不相等的实数根），它们各不相等； 当△，，即时，该类型方程有4个实数根，有两对相等的实根； 当△，，即时，该类型方程没有实数根．............................8分 26．【解答】（1）证明：垂直平分， ， 劣弧的度数为， 优弧的度数为， 即， △是等边三角形；............................3分 （2）解：①如图，当时， 是半径， 此时也是半径，点在圆上， 由（1）知△是等边三角形， ， ， 点与点重合， ； ②当时，有两种情况， Ⅰ，当点靠近点时，如图， ， 的垂直平分线经过点，即点、、三点共线， ， ， ， ； Ⅱ，当点靠近点时，如图， 由（1）知△是等边三角形， ， ， ， ； ③当时， 当点运动到时，点、、均在上， ， ， ， ， 点在向下运动时不会构成等腰三角形， 故此情况不存在； 综上，或或；............................6分 （3）解：连接， ，，， △△， 因此求出△的面积最大值，即可得到△的面积最大值， 如图，取劣弧中点，连接、、， 劣弧的度数为， ， ， △为等边三角形， ，， ， ， ， △△， ， 半径为2， ， 点在以为圆心，2为半径的圆上， 如图，作于点，当、、三点共线时，最大，此时， ，， ， ， ， △的面积最大值为； 故答案为：．............................9分 27. 【解答】解：（1）①， 在以为直径的圆上， ，在线段上， ， 在以为直径的圆上及圆内， ，， 时，为线段的“勾股点”； ，，， ，是线段的“勾股点”； 故答案为：，；............................2分 ②设，在上，，连接，作于，连接，，如图： ， ， ， ， 当，，共线时，最大， 设，则， ， ， 设，则， 整理得：， △， ， 方程的解在0到2之间，恒成立， ， ， 在以为圆心，为半径的圆上及圆内， 点组成的区域面积为：；............................7分 （2）由（1）知，在矩形内所有线段为直径的圆上及圆内， 作出以，，，，，为直径的圆，所有圆覆盖的区域即为所求，如图： ．............................10分 ，不得复制发布日期：2026/10/27 10:26:38；用户：许天枢；邮箱：jlhwxx01@xyh.com；学号：38511705 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $