2026-2027学年江苏省无锡市九年级上学期期中考试数学模拟卷(苏科版)

2026-2027学年无锡市九年级上学期期中考试 数学模拟卷 1、 选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（    ） A．1 B．5 C．10 D．11 3．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 4．若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（     ） A． B． C． D． 5．固态电池被视为下一代动力电池的核心方向．假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为(     ) A． B． C． D． 6．在上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若，则弧的度数为（     ） A． B． C． D． 7．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而增大 8．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 第9题 第10题 10．如图，矩形中，是的中点，过、、三点的圆与边、分别交于点、点，给出下列说法：（1）与的交点是圆的圆心；（2）与的交点是圆的圆心；（3）与圆相切，其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本题有8个小题，每小题3分，共24分. 11．若是方程的一个根，则的值为__________． 12．已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为_________． 13．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 14．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则________． 15．用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为______． 16．若点，都在函数的图象上，且，则________（填“，或”）． 17．如图，为的直径，C、D为直径两侧上两点，连接，，过C点作于点E，若，则的度数为______． 第17题 第18题 18．如图，为的一条弦，为等边三角形，圆心O在内部，的延长线交于点D，连接，过点O作的垂线分别交，于点E，F．若，，则的长为_____． 三、解答题：本大题有10个小题，共96分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本题8分）解方程 (1)； (2) 20．（本题10分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意的实数k，该方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程的两个根满足，求k的值． 21．（本题8分）如图，在中，弦与直径相交于点E，，且，，求的长． 22．（本题10分）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆．求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 23．（本题10分）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)已知是反比例函数图象上一点，求的面积； (3)结合图象，直接写出当时，不等式的解集为________． 24．（本题10分）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，写清楚结论句） (1)过外一点作的切线． (2)给定和长度为的线段，过圆外一点作一条直线交于，两点，使得弦长度为． 25．（本题10分）如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； (2)生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 26．（本题10分）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 27．（本题10分）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”______； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根______，______；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为______，请证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 28．（本题10分）如图，在中，，，．点D是边上一动点（不与点B重合），设，过A、B、D三点作，设的半径为r．解决下列问题： (1)【特殊情形】当时，直接写出r的值； (2)【一般情形】过点O作于点E，直线于点G．设，用含m的代数式表示h； (3)【深入研究】当与直线相交时，设另一交点为F． ①随着m的变化，点O的运动路径是 的一部分（从“圆”、“直线”、“双曲线”中选择填写）； ②用含m的代数式表示，并求出当与直线相切时m的值． 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年无锡市九年级上学期期中考试 数学模拟卷 1、 选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先排除含两个未知数的选项，再排除未知数最高次数为1的选项，即可得到答案． 【详解】解： A选项中含两个未知数，不是一元二次方程． B选项中整理为，只含一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程． C、D选项中的方程整理后未知数最高次数均为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 2．已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（    ） A．1 B．5 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了圆的性质中弦长的性质，根据圆的弦的性质，弦的长度不能超过直径，半径为5，直径为10，因此弦长不可能大于10． 【详解】解：∵的半径为5， ∴直径长为10， ∵弦的长度满足， ∴的长度不可能为11， 故选：D． 3．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， ． 4．若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数的性质，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，验证各选项即可得到结果． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即反比例函数图象上的点满足横纵坐标乘积为， 依次验证选项： 选项A ，不在该图象上； 选项B ，在该图象上； 选项C ，不在该图象上； 选项D ，不在该图象上． 5．固态电池被视为下一代动力电池的核心方向．假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵初始能量密度为，每轮平均增长率为， ∴第一轮迭代后能量密度为， ∴第二轮迭代后能量密度为， 又∵两轮迭代后能量密度为， ∴可列方程为. 6．在上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若，则弧的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用圆的内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴弧的度数为． 7．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】代入验证A，由的符号判断B、D，结合对称性判断C． 【详解】解：∵ 当时，， ∴ A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴ B错误； ∵ 反比例函数的图象关于原点对称， ∴ C正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小， ∴ D错误． 8．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求方程整理为与已知方程结构一致的形式，通过换元利用已知解求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为， ∴. 整理方程， 移项得， 提取公因式得， 令，则方程变为，与原方程结构完全相同， ∴该方程的一个解为， 即.解得． 9．如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，可得，从而得阴影部分的面积，结合扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵在中，， ∴是的中线， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 10．如图，矩形中，是的中点，过、、三点的圆与边、分别交于点、点，给出下列说法：（1）与的交点是圆的圆心；（2）与的交点是圆的圆心；（3）与圆相切，其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质和三角形外心，切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，解题的关键是掌握以上知识点． 连接、，作于，连接，如图，先确定，则垂直平分，则可判断点在上，再根据可判定与圆相切；接着利用可判断圆心不是与的交点；然后根据四边形为的内接矩形可判断与的交点是圆的圆心． 【详解】解：连接、，作于，连接，，如图， 是的中点， ， 垂直平分， ， ， ， ， ，， 点O位于的垂直平分线上， 点，，三点共线， ， ， 与圆相切； ， 点不是的中点， 圆心不是与的交点； ， ， 四边形为的内接矩形， 与的交点是圆的圆心； （1）错误，（2）（3）正确． 故选：C． 二、填空题：本题有8个小题，每小题3分，共24分. 11．若是方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【分析】将代入原方程，解关于的一元一次方程，即可得出的值． 【详解】解：是方程的一个根， ， 整理得，即， 解得． 12．已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为_________． 【答案】 【分析】设反比例函数解析式为，利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于比例系数列等式求解即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数图象经过点和， ， 整理得 ， 解得 ． 13．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 且 【分析】该方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0；方程有实数根，因此根的判别式大于等于0，结合两个条件即可求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，得， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 将，，代入得：， 解得， 综上，的取值范围是且． 14．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则________． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义和根与系数的关系得到，则可求出，再根据代入求值即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 15．用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【分析】根据扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，利用这个关系列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，根据题意，得：， 解得 ， 所以圆锥底面圆的半径为． 16．若点，都在函数的图象上，且，则________（填“，或”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数k的符号判断图象所在象限，结合两点横坐标的正负确定两点位置，通过纵坐标的正负比较大小． 【详解】解：反比例函数，比例系数， 函数图象分布在第一、三象限， ， 点在第三象限，点在第一象限， 第三象限内的点的纵坐标为负，第一象限内的点的纵坐标为正， ． 17．如图，为的直径，C、D为直径两侧上两点，连接，，过C点作于点E，若，则的度数为______． 【答案】65 【分析】本题主要考查了圆的直径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据直径得出的度数为，根据垂直得出，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴， 故答案为：65． 18．如图，为的一条弦，为等边三角形，圆心O在内部，的延长线交于点D，连接，过点O作的垂线分别交，于点E，F．若，，则的长为_____． 【答案】7 【分析】由题意易得，则有，，然后可得，过点A作，进而根据等边三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵，点O在线段上， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 过点A作，如图所示： ∴ ∴，， ∴． 三、解答题：本大题有10个小题，共96分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本题8分）解方程 (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可； （2）通过提取公因式、移项后，再根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 配方，得：， ∴， 直接开平方，得：， ∴，； （2）解：， 提取公因式，得：， 移项，得：， 因式分解，得：， ∴，． 20．（本题10分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意的实数k，该方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程的两个根满足，求k的值． 【分析】（1）将方程化为一元二次方程一般形式，计算判别式，结合平方的非负性证明判别式恒正； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，联立已知等式求出方程的根，进而求解. 【详解】（1）证明：将原方程整理为一般形式得， ∵， 又∵对任意实数，， ∴，即， ∴对于任意的实数，该方程总有两个不相等的实数根. （2）解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系，得，， 联立， 解得， 代入，得，解得. 21．（本题8分）如图，在中，弦与直径相交于点E，，且，，求的长． 【答案】 【分析】先求解，过作于F，连接，进一步结合含的直角三角形的性质与勾股定理求解即可. 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 过作于F，连接，如图所示： ∴， ∵， ， ，， ∵， ， . 22．（本题10分）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆．求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1)从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为 (2)该店下调后每辆汽车的售价为万元 【分析】（1）设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，根据月份的销售量和月份的销售量列一元二次方程求解即可； （2）设每辆汽车的售价降低万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周售出辆，根据平均每周的销售利润为万元列一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设每辆汽车的售价降低万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周售出辆， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 此次销售尽量让利于顾客， ， （万元） 答：该店下调后每辆汽车的售价为万元． 23．（本题10分）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)已知是反比例函数图象上一点，求的面积； (3)结合图象，直接写出当时，不等式的解集为________． 【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为： (2) (3) 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，即可求得反比例函数解析式；再利用待定系数法求—次函数的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，再构建矩形，用矩形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据函数图象直接确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于， ∴反比例函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：． 把点A、点B的坐标代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵是反比例函数图象上一点， ∴， 即， 如图：过B作轴，过A作轴，过B作轴，则， ∴， ∴的面积为 ． （3）解：由函数图象可得的解集为在的下方图象对应x的取值范围，即． 24．（本题10分）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，写清楚结论句） (1)过外一点作的切线． (2)给定和长度为的线段，过圆外一点作一条直线交于，两点，使得弦长度为． 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交于，以点为圆心，为半径画弧，交于，作直线，即为的切线； （2）以上任意一点为圆心，为半径画弧，交于，过点作于，以为圆心为半径画圆，过点作所画圆的切线，交原于、，弦即为所求． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线，交于，以点为圆心，为半径画弧，交于，作直线，即为所求． 如图所示：， 证明：连接、， 由作图可知，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是的切线． （2）解：以上任意一点为圆心，为半径画弧，交于，过点作于，以为圆心，为半径画圆，过点作所画圆的切线，交原于、，弦即为所求． 如图所示， 证明：由作图可知，，，， ∵为所作圆的切线， ∴， ∴． 25．（本题10分）如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； (2)生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 【答案】(1)加热阶段的函数表达式为，水温下降阶段的函数表达式为 (2)同学们能喝到不高于的温水 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）判断出时，饮水机处于第4个周期的第10分钟，则此时处于水温下降阶段，将代入反比例函数表达式求出函数值，再与比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，加热阶段与是一次函数关系． 设加热阶段的函数表达式为． 因为初始水温为， 所以． 因为每分钟上升， 所以． 所以加热阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以加热阶段的函数表达式为． 由题意可知，水温下降阶段与成反比例关系． 设水温下降阶段的函数表达式为． 因为图象经过点， 所以， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 综上：加热阶段的函数表达式为， 水温下降阶段的函数表达式为； （2）解：从到经过的时间为：1小时10分钟分钟． 由（1）可知，一个周期的时间为20分钟．． 所以时，饮水机处于第4个周期的第10分钟． 因为， 所以此时处于水温下降阶段． 将代入，得． 因为， 所以同学们能喝到不高于的温水． 答：同学们能喝到不高于的温水． 26．（本题10分）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，由等弧所对的圆周角相等得，再由等腰三角形三线合一知，从而说明，结论得证； （2）由勾股定理可求的长，根据面积法即可求． 【详解】(1)证明：为的直径， ，， ， 点为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：，，， ， ， ， ， 27．（本题10分）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”______； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根______，______；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为______，请证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 【答案】(1) (2)，（两空顺序可互换）；特殊关系为：一元二次方程（，）的两根与其“友好方程”的两根互为倒数. 证明：设是方程的根. ∵， ∴. 将两边同时除以，得 ， ∴是方程的根. 同理可证，“友好方程”的任意一个根的倒数也是原方程的根. ∴两方程的两根互为倒数. (3)方程的两根为，. 【分析】（1）根据“友好方程”的定义，互换原方程的二次项系数与常数项，保持一次项系数不变即可得到结果； （2）先求解“友好方程”的两根，对比原方程根的特征得到倒数关系的猜想，再利用方程根的定义证明结论； （3）将待求方程变形为“友好方程”的结构，通过换元结合（2）的倒数关系求解． 【详解】（1）解：根据“友好方程”的定义，方程中，，， 互换与的值，保持不变，得到其“友好方程”为； （2）解：方程的“友好方程”为， 整理得， 因式分解得， 解得，； 证明部分略； （3）解：整理方程，得 ， 设，则方程变为， 两边乘得， ∵方程的两根为，，且是的“友好方程”， 根据（2）的结论，“友好方程”的两根是原方程两根的倒数， ∴，， 当时，，解得； 当时，， 解得， 综上所述，方程的两根为，． 28．（本题10分）如图，在中，，，．点D是边上一动点（不与点B重合），设，过A、B、D三点作，设的半径为r．解决下列问题： (1)【特殊情形】当时，直接写出r的值； (2)【一般情形】过点O作于点E，直线于点G．设，用含m的代数式表示h； (3)【深入研究】当与直线相交时，设另一交点为F． ①随着m的变化，点O的运动路径是 的一部分（从“圆”、“直线”、“双曲线”中选择填写）； ②用含m的代数式表示，并求出当与直线相切时m的值． 【答案】(1) (2) (3)①直线；②；当与直线相切时 【分析】（1）当时，点D、C重合，，由直径所对圆周角逆定理得是直径，求出长后除以2得到半径； （2）由垂径定理得到，结合矩形性质表示、，在和中利用勾股定理结合化简求出； （3）①建立平面直角坐标系，写出圆心O坐标用m表达，消去参数m得到一次函数关系式，判断O的运动路径为直线的一部分；②根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，得到，代入线段表达式化简得，再根据直线和圆相切的判定：圆心到直线距离等于半径，列方程求解得到． 【详解】（1）解：， 点C与点D重合， ， 是的直径， ，， ， ； （2）解：如图，连接、， 点B、D都在上，且， 点O在的垂直平分线上， ， 又， ， ，直线AC，， 四边形是矩形， ，，， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ； （3）解：①如图，以点C为原点、为x轴、为y轴建立坐标系，则，，， 由（2）知点O到的距离为，到直线的距离为，即， 设， ， ， ， 点O在直线上运动，其路径是直线的一部分； ②直线AC，且A、F都在上， G是弦的中点，， 由（2）知，，，， ， ， 当与直线相切时， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， ． 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年无锡市九年级上学期期中考试 数学模拟卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的， 1.下列方程中，是一元二次方程的是（) A.x-x=0 B.x-2=x2 C.2026(x+1)=x D.2x-5=0 2.已知⊙O的半径为5，则O0中弦AB的长度不可能是() A.1 B.5 C.10 D.11 3.用配方法解方程x2-4x-7=0时，原方程应变形为（) A.(x-2)=11 B.(x-2=3 C.(x-4)=23 D.(x-4)=9 4.若点(2,5)在反比例函数y=《的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上() A.(-2,5) B.(-5,-2) C.(2,-5) D.（-5,2) 5.固态电池被视为下一代动力电池的核心方向.假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为 300Wh/kg·经过两轮技术迭代后，能量密度达到600Wh/kg,且每轮技术迭代后，电池能量密 度的平均增长率相同.设电池能量密度每轮的平均增长率为x,则可列方程为() A,300(1+x)=600 B.300(1+x)=600 C.300(1+2x)=600 D.300(1+x2)=600 6,在OO上，点A,B,C,D,E的位置如图所示，若∠B+∠D=160°，则弧AE的度数为 () D B E A.20° B.40° C.60° D.80° 第1页，共8页 7,对于反比例函数y=12.下列说法正确的是() A·图象经过点(3，-4) B.图象位于第二、四象限 C.图象关于原点对称 D.当x>0时，y随x的增大而增大 8.若关于x的一元二次方程m2+bx+2=0(a≠0)有一解为x=2026,则一元二次方程 a(x-2)}+bx=2b-2必有-解为() A.x=2022 B.x=2024 C.x=2026 D.x=2028 9.如图，在△ABC中，AB=AC,AB、BC分别交OO于点D、E,AC为OO的直径，连接 AE,若∠BED=45°，AB=8,则阴影部分的面积为(） A.π B. 2π C.2π D.4π G B E B 第9题 第10题 I0.如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点 E、点F,给出下列说法：(1)AC与BD的交点是圆O的圆心；(2)AF与DE的交点是圆O的圆 心；(3)BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题：本题有8个小题，每小题3分，共24分 11.若x=2是方程(2x-m)x+1)=0的一个根，则m的值为 12.已知一个反比例函数的图象经过点(-1,4)，若该反比例函数的图象也经过点(m,2),则m的值 为 13.关于x的一元二次方程2x2+6x-3=0有实数根，则m的取值范围是 14.已知a,b是一元二次方程x2+x-2027=0的两个实数根，则ad+2a+b= 15.用半径为30m,圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆 的半径为一 16.若点45，，B6,)都在函数y=2026的图象上，且<0<X,则y为（填 >,<或=”）· 第2页，共8页 I7.如图，AB为OO的直径，C、D为直径两侧OO上两点，连接CD,BD,过C点作CE⊥AB 于点E,若∠BCE=65°，则∠D的度数为_° D B 第17题 第18题 18.如图，AB为⊙O的一条弦，△ABC为等边三角形，圆心O在△ABC内部，BC的延长线交 OO于点D,连接AD,过点O作BC的垂线分别交BC,AC于点E,F.若CE=1,CD=3,则 AD的长为 三、解答题：本大题有10个小题，共96分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 19.(本题8分)解方程 (1)x2-6x+1=0 (2)(x-2)=3x-6 20.(本题10分)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=k2. (1)求证：对于任意的实数k,该方程总有两个不相等的实数根· (2)若方程的两个根满足2x1+5x2=7,求k的值· 第3页，共8页 21·(本题8分)如图，在OO中，弦CD与直径AB相交于点E,∠AEC=60°，且AE=5c, EB=lcm,求CD的长. ○ 22.(本题10分)新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放.达到保护环境的 目的，其市场需求逐年上升 (1)某品牌新能源汽车9月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售 量逐月递增，11月份的销售量达到36.3万辆.求从9月份到11月份该品牌新能源汽车销售量的月平 均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为15万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发 现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出 1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元.为了推广新能源汽车，并且此次销售 尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价， 第4页，共8页 23.(本题10分)如图，一次函数y=:+b与反比例函数y=心在第一象限内的图象相交于 A(2,3).与x轴交于点B(-1,0) (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)已知C(4,n)是反比例函数图象上一点，求△ABC的面积； 3)结合图象，直接写出当x>0时，不等式x+b≤”的解集为 24.(本题10分)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，写清楚结论句） m 0 ò B 图(1) 图(2) (1)过⊙0外一点P作⊙0的切线. (2)给定⊙O和长度为m的线段，过圆外一点P作一条直线交OO于M,N两点，使得弦MN长度 为m. 第5页，共8页 25.(本题10分)如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加 热，水温开始下降，此时水温y(℃)与通电时间x(mn)成反比例关系.当水温降至20℃时，饮水机 再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示· 个y/℃ 100 20 x/min (1) (2) (1)求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式： (2)生活委员7：40到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时(8：50)，同学们能否喝到 不高于50℃的温水. 26.(本题10分)如图，四边形ABCD内接于OO,AD为OO的直径，点B为AC的中点，对角 线AC,BD交于点E,AE=AF· (1)求证：AF是OO的切线， (2)若AF=6,DF=10,求AB的长. 第6页，共8页 27.(本题10分)“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考 查阅读理解能力、应变能力和创新能力 定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2+bx+a=0（ac≠0,1≠c)称为一对“友 好方程”.如2x2-7x+3=0的友好方程”是3x2-7x+2=0. (1)写出一元二次方程x2+2x-8=0的友好方程” (2)已知一元二次方程x2+2x-8=0的两根为x1=2,x2=-4,它的“友好方程”的两根x3=一 x4=;根据以上结论，猜想2+bx+c=0的两根x1,x2与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根 x3,x4之间存在的一种特殊关系为一，请证明你的结论 3)已知关于x的方程2026x2+m-1=0的两根是名=-1，名F2026 1 请利用(2)中的结论，求出 关于x的方程(x-1)2-bx+b=2026的两根. 第7页，共8页 28.(本题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,BC=4·点D是边BC上一动点 (不与点B重合)，设BD=m(0<m≤4)，过A、B、D三点作OO,设OO的半径为r.解决下列 问题： A 小 (1)【特殊情形】当m=4时，直接写出r的值； (2)【一般情形】过点O作OE⊥BC于点E,OG⊥直线AC于点G.设OE=h,用含m的代数式表 示h, (3)【深入研究】当OO与直线AC相交时，设另一交点为F. ①随着的变化，点O的运动路径是的一部分（从“圆”、“直线”、“双曲线”中选择填写）： ②用含的代数式表示AF,并求出当OO与直线AC相切时m的值. 第8页，共8页