精品解析：四川省达州市第一中学2026～2027学年高一上学期第一次月考数学试题

达州一高2026级2026年秋季第一次月考 数　学　试　题 （时间：120分钟　满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的概念直接求得结果. 【详解】由题可知：全集，集合 所以 故选：C 【点睛】本题考查补集的概念，属基础题. 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】命题的否定形式是，. 故选：B. 3. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求解出方程的根，然后根据互相推出关系判断出结果. 【详解】由解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 对于任意实数，以下四个命题：①若，，则；②若，则；③若，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用不等式的基本性质和取特殊值逐一分析判断即可． 【详解】①由同向不等式可加性可知，若，，则，故①正确； ②当时，，故②错误； ③当时，，故③错误； ④取，，，，则，故④错误． 所以正确的命题只有1个． 5. 若，，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 6. 函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得，由，解得． 而两条件同时成立，得，即定义域为，故A正确． 7. 已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以变为． 又在上是减函数，解得，即解集为，故B正确. 8. 已知函数，若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意,在定义域内,不是单调函数,结合二次函数图像的性质与分段函数的单调性即可. 【详解】依题意,在定义域内,不是单调函数,由为增函数,且当时,得,当时,二次函数对称轴小于1或者. 即或,解得或 故选：A 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用,分类讨论的思想等,属于中等题型. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A选项，函数与的定义域均为， 又因为，这两个函数的对应法则不一样， A中的两个函数不是同一函数； 对于B选项，函数的定义域为，且， 函数的定义域为，这两个函数的对应法则相同， B选项中的两个函数是同一函数； 对于C选项，对于函数，有，解得， 对于函数，有，解得或， 所以函数的定义域为，函数的定义域为或， 这两个函数的定义域不同，C选项中的两个函数不是同一函数； 对于D选项，，， 这两个函数的定义域均为，且对应关系相同，D选项中的两个函数是同一函数. 10. 下列函数中，在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A：根据基本不等式判断； 选项B：，根据一次函数以及反比例函数判断； 选项C：定义域判断； 选项D：分段函数结合每段与整体三方面判断； 【详解】选项A：根据基本不等式，，当且仅当，时等号成立，在区间上不单调，选项错误； 选项B：，根据一次函数以及反比例函数在区间上是增函数，选项正确； 选项C：定义域选项错误； 选项D：当时，函数单调递增，当时，单调递增，且，故函数在区间上是增函数，选项正确； 故选：. 11. 已知，，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的最小值为 C. 的取值范围为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由得，对于A，将代入后即可验证得解；对于B，将代入再利用基本不等式即可；对于C，将代入化简得，再利用基本不等式即可；对于D，将式子转化为，再利用基本不等式即可. 【详解】由得，又，，所以． 对于选项A，，故A正确； 对于选项B，，当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于选项C，， 当且仅当，即时取等号. 又因为，故的取值范围为，故C错误； 对于选项D，， 当且仅当，即时取等号，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】令，则， 所以， 即． 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分段函数在上单调递增，需满足：每段分别递增，且衔接处左段的函数值最大不超过右段的最小值． 【详解】当时，需单调递增，故； 当时，的对称轴为， 由在上单调递增可得，即； 衔接处：，而，需，解得． 综上，，即的取值范围是． 14. 已知都是正实数，满足，记，设，则的最小值为_____________. 【答案】2 【解析】 【分析】将用表示，写出分段函数的表达式，利用函数的单调性求最小值即可求解. 【详解】由，因为， 由可得，因为，所以， 所以当，即时，， 当，即时，， 所以，因为， 所以， 当时，， 当时，单调递减， 所以， 所以的最小值为2， 故答案为:2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，． （1）当时，求，； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）时写出，再根据交集与补集的定义求解； （2）是的充分条件即，根据集合包含关系求解，注意可能为空集． 【小问1详解】 当时，，又， 所以； 又或，所以． 【小问2详解】 因为是的充分条件，所以． 当，即时，，符合题意； 当时，需且，解得，故． 综上，． 16. 已知一次函数在上单调递减，且满足，． （1）求的解析式； （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设（），由得出系数； （2）转化为二次不等式恒成立，利用判别式求解； （3）代入函数解析式化简，将问题转化，分离参数利用函数的单调性分析最值即可. 【小问1详解】 设（），则， 由得：，解得：或， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 由，即， 整理得对任意恒成立， 所以，解得：， 所以实数的取值范围为：. 【小问3详解】 不等式在上有解， 即，在上有解， 由，则 ， 令，所以问题转化为求在上的最大值， 因为，所以对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以在上的最大值为， 所以又，解得：，即实数的取值范围为：. 17. 已知函数． （1）当时，求出函数在上的值域； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）将代入，得到，根据二次函数的性质，结合给定的区间，求出函数的最值，进而得出函数的值域； （2）先对分解因式，然后根据与4的大小关系进行讨论分别求解的解集. 【小问1详解】 当时，，其对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， 所以在区间上的值域为. 【小问2详解】 ，由， 即， 当时，得， 当时，得，不等式无解， 当时，得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 18. 已知函数对任意的，，都有，，且当时，． （1）求，的值； （2）求证：是上的减函数； （3）若关于的方程在区间上有2个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）设，则，所以． 由， 所以是上的减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）在中赋值； （2）结合“时”，利用单调性定义证明； （3）由及在上单调递减，把方程化为，再数形结合数根的个数． 【小问1详解】 令，得，所以； 令，得，即，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 方程即， 因为在上单调递减，所以，即． 设，， 当时，； 当时，． 如图所示，作出函数图象 要使方程有2个不等实根：时只有一解； 时，左右两支各有一解，共2解； 时，一解为，另一解为，共2解； 时，只有右支一解． 综上，． 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点． （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，，求的取值范围； （3）若函数有两个不相等的不动点，，且，设，判断并证明与的大小关系． 【答案】（1）和； （2）； （3），证明如下： 因为，是的不动点，所以，， 即，是方程的两根，故． 所以，从而 ． 因为且，所以， 又， 所以，即． 【解析】 【分析】（1）由不动点定义可知方程，的解即不动点； （2）由有两不等实根得判别式大于零，再用韦达定理化简所求式子； （3）由，把分解后判断符号． 【小问1详解】 由得，即， 所以不动点为和． 【小问2详解】 由得， 因为有两个不相等的不动点， 所以，即或； 由韦达定理，， 所以， 由或得或， 故的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州一高2026级2026年秋季第一次月考 数　学　试　题 （时间：120分钟　满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 对于任意实数，以下四个命题：①若，，则；②若，则；③若，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 下列函数中，在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的最小值为 C. 的取值范围为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______． 14. 已知都是正实数，满足，记，设，则的最小值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，． （1）当时，求，； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知一次函数在上单调递减，且满足，． （1）求的解析式； （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）当时，求出函数在上的值域； （2）求关于的不等式的解集． 18. 已知函数对任意的，，都有，，且当时，． （1）求，的值； （2）求证：是上的减函数； （3）若关于的方程在区间上有2个不等实根，求实数的取值范围． 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点． （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，，求的取值范围； （3）若函数有两个不相等的不动点，，且，设，判断并证明与的大小关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $