精品解析：四川成都市树德中学怡心湖学校2026-2027学年高一上学期10月阶段性质量检测数学试题

成都市树德中学怡心湖学校2026级高一上学期10月阶段性质量检测 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：李东 审题人：牟秀锦 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的不等式有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. ，或 C. D. 7. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，，用表示有限集合中元素的个数，若，则的范围为（ ） A. ，或 B. ，或 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ， B. 是的充分不必要条件 C. 集合与集合表示同一集合 D. 设全集为，若，则 10. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是1 C. 的最小值是 D. 的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，请用列举法表示集合______． 13. 某班所有同学都参加了语文和数学两个学科的兴趣考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有43人，该班共有______个同学． 14. 定义，已知，且，则的最小值______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，求下列各式的范围： （1）求与的范围； （2）求的范围． 16. 已知集合，非空集合． （1）若，求m的取值范围； （2）设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 17. 为了促进我校初中部与高中部之间的便利往来，学校计划在两部之间修建电梯．根据公司的报价，购买并安装电梯的费用为25万元，每年电力、安保等常规管理支出为3万元，使用年时，电梯保养的总维护费用为万元． （1）设电梯的年平均使用费用为万元，求关于的表达式（注：年平均使用费用，单位：万元／年）； （2）考虑到电梯使用年限和经济效益，求年平均使用费用的最小值． 18. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 19. 某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设，是任意两个非空集合，则称集合，为“与的笛卡尔积”，并记集合中的元素个数为． （1）若，，求与； （2）若，，求； （3）若，，为素数，且对任意的恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市树德中学怡心湖学校2026级高一上学期10月阶段性质量检测 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：李东 审题人：牟秀锦 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集运算求解结果. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】因为命题，，由全称量词命题的否定可得，. 3. 函数的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为8， 故选：C. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，当且仅当时，不等式取等号． 5. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得到不等式的解集，由解集中恰有2个整数，得到的范围，进而求出的范围. 【详解】当时，，则不等式的解集为， 由解集中恰有2个整数，得整数解为和0，因此，解得． 6. 关于的不等式有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. ，或 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为不等式有解， 因此，解得或， 所以实数的取值范围为或． 7. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得， 即，解得， 因为提价销售故，又， 这批台灯的销售单价的取值范围是． 8. 已知集合，，用表示有限集合中元素的个数，若，则的范围为（ ） A. ，或 B. ，或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析集合中元素的个数，进而得到，再分类讨论即可. 【详解】∵集合，恒成立， ∴集合有两个元素，， 若，因为，所以． 在集合中， ，解得或．当时，有2个不同的根；当时，有1个根． ．当，即或，此时方程有2个不同的根； 当，即或，此时方程有1个根；当，即，此时方程无实根． 由于对于的任意值，方程的根与的根不会相等， 所以当或时，两个方程共有4个实数根，即． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ， B. 是的充分不必要条件 C. 集合与集合表示同一集合 D. 设全集为，若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，当时，,故A是真命题； 对于B，若，则或,若，则,所以是的必要不充分条件，故B不正确； 对于C，集合与集合不表示同一集合，前者为点集，后者为数集，故C错误； 对于D，由，可得若则，则，故D是真命题. 10. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据，取特殊值即可排除错误选项，再根据不等式性质，利用作差法可得到正确选项． 【详解】对于A，取，满足，同时，故错误； 对于B：取，满足，此时，故错误； 对于C：由，可得，正确； 对于D：由，的得，由不等式的性质可得：，正确； 故选：CD 11. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是1 C. 的最小值是 D. 的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.用乘 1 法配凑定值，结合基本不等式求最小值，验证等号可取；B.直接用和定积最大的基本不等式，得 xy 最大值为；C.将平方和转化为含 xy 的表达式，结合 xy 的最大值反向求平方和的最小值；D.代入消元转化为单变量二次函数，通过配方法求开口向下抛物线的最大值. 【详解】由题知，对于选项A，，（当且仅当，即，等号成立） 对于B，，当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故B错误； 对于C，由，得，即，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，由C知，， 所以， 所以当时，取得最大值是，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，请用列举法表示集合______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意是的正约数， 所以． 13. 某班所有同学都参加了语文和数学两个学科的兴趣考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有43人，该班共有______个同学． 【答案】50 【解析】 【分析】根据题意设出对应的集合，利用容斥原理即可求解． 【详解】设集合表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素， 集合表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素， 表示两科均在90分以上的学生，则集合中有43个元素， 表示至少有一科成绩在90分以上的学生， 由题意可知中有个元素， 又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以该班共有50人． 14. 定义，已知，且，则的最小值______． 【答案】 【解析】 【分析】通过设，得到的不等式约束，结合基本不等式求出的下界，再验证等号成立的条件，从而得到的最小值. 【详解】设，由的定义，得且， 将两式相加，得， 由基本不等式可得：（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）， 因此，故，即， 当时，，此时，等号成立． 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，求下列各式的范围： （1）求与的范围； （2）求的范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 由，可得，且， 因为，则，， 所以和的范围分别为和. 【小问2详解】 因为，可得，则， 可得，所以， 所以的范围. 16. 已知集合，非空集合． （1）若，求m的取值范围； （2）设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1），分析区间位置，B和A无公共部分，分B在A左侧、B在A右侧两类讨论，再结合B是非空集合列出不等式组，求出m的范围. （2）由p是q的必要不充分条件，转化为集合关系，且，列出相应的不等式组，求出m的范围. 【小问1详解】 . ，且，， 则或， 的解为，无解， 故m的取值范围为． 【小问2详解】 p是q的必要不充分条件，即，，则是的真子集，且， ，解得， 又时，，满足题意，时，，满足题意， 综上，m的取值范围为． 17. 为了促进我校初中部与高中部之间的便利往来，学校计划在两部之间修建电梯．根据公司的报价，购买并安装电梯的费用为25万元，每年电力、安保等常规管理支出为3万元，使用年时，电梯保养的总维护费用为万元． （1）设电梯的年平均使用费用为万元，求关于的表达式（注：年平均使用费用，单位：万元／年）； （2）考虑到电梯使用年限和经济效益，求年平均使用费用的最小值． 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，即可求得年平均使用费用关于的表达式； （2）由，结合基本不等式，即可求解． 【小问1详解】 由题意，电梯安装费用是25万元，使用年时，管理支出为万元，电梯的保养维修费用为万元， 所以关于的表达式为． 【小问2详解】 由于，当且仅当，即时等号成立， 所以年平均使用费用的最小值为万元． 18. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）通过讨论的正负，结合判别式即可求解； （2）通过讨论，，，，，即可求解. 【小问1详解】 由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意， 当时，则需满足，解得， 综上所述，. 【小问2详解】 由，可得， ①当时，即，解集为； ②当时，，不等式即为，解集为； ③当时，，不等式即为，解集为； ④当时，可得，解集为； ⑤当时，，不等式即为，解集为. 综上可得，的解集如下， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 19. 某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设，是任意两个非空集合，则称集合，为“与的笛卡尔积”，并记集合中的元素个数为． （1）若，，求与； （2）若，，求； （3）若，，为素数，且对任意的恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的，． 【答案】（1），，，，，，，，，，，． （2） （3）6，，． 【解析】 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）根据所给定义计算可得； （3）首先分析可得，，或，，分两种情况讨论，分别求出或的最小值，即可求出的取值范围，进而可得出符合题意的.. 【小问1详解】 因为，，且，， 所以，，，，，， ，，，，，． 【小问2详解】 因为，，所以，，，， 所以，，，， 故． 【小问3详解】 因为，，且为素数， 所以，或，． 当，时，，又， 当且仅当，即时，取等号， 又为素数，所以等号不成立； 当，时，， 当且仅当，即时，取等号． 所以当时，取得最大值6． 此时符合条件的一组集合是：，． （答案不唯一，只要满足，即可）． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $