专题02 认识有理数 期中复习讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题02认识有理数期中复习讲义 1.概念理解：识别正数、负数，理解负数是用来表示具有相反意义的量；掌握有理数定义，能够对有理数进行分类（按定义、按正负两种分类方式），区分整数与分数。 2.数轴掌握：牢记数轴三要素（原点、正方向、单位长度）；会正确画数轴，能在数轴上标出有理数对应的点，读懂数轴上点表示的数。 3.相反数：理解相反数的概念，知道互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；会求一个有理数的相反数，掌握多重符号化简方法。 4.绝对值：理解绝对值的几何意义与代数意义；会求任意有理数的绝对值，掌握绝对值的非负性；能够利用绝对值比较两个负数的大小。 5.有理数大小比较：掌握有理数比较大小的规则，正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小；也可借助数轴，数轴上右边的数总比左边大。 6.数形结合能力：借助数轴直观理解有理数、相反数、绝对值，利用数轴分析数的符号与距离。 7.易错点辨析：区分有理数的两种分类，明确有限小数、无限循环小数属于分数；注意 0 的特殊性，0 既不是正数，也不是负数；注意绝对值等于本身的数的范围，避免漏掉 0。 题型 考察方向 难度 题型一 正负数的定义 ★ 题型二 相反意义的量 ★ 题型三 正负数的实际应用 ★★ 题型四 有理数的定义与分类 ★★ 题型五 数轴的三要素及其画法 ★ 题型六 用数轴上的点表示有理数 ★ 题型七 利用数轴比较有理数的大小 ★★ 题型八 数轴上点的平移 ★★★★ 题型九 数轴上找原点 ★★★ 题型十 数轴上整点覆盖问题 ★★★★ 题型十一 数轴上的规律探究 ★★★★★ 题型十二 相反数的定义和应用 ★★ 题型十三 绝对值的几何意义 ★★ 题型十四 求一个数的绝对值 ★ 题型十五 绝对值非负性 ★★★ 题型十六 绝对值的其他应用 ★★★ 题型十七 有理数大小比较 ★★ 题型十八 有理数大小比较的实际应用 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:正数与负数的概念 1. 正数 定义：像3、0.5、、+7这样大于 0的数叫做正数。 书写规则：正数前面的 “+”（正号）可以省略不写，如+5可直接写作5。 读法：+5读作 “正五”，省略正号的5直接读 “五”。 2. 负数 定义：在正数前面添上符号 “-”（负号）得到的数叫做负数，如-3、-0.2。 书写规则：负数前面的 “-”绝对不能省略，省略后就变成正数。 读法：-6读作 “负六”，不能读作 “减六”。 3. 数字 0（本节重中之重，易考填空） (1)0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界； (2)0不只有 “没有” 一层含义，还可表示基准、标准： 温度0C：水结冰的标准温度，不是没有温度； 海拔0米：海平面的基准高度，不是没有高度。 4.概念区分对比表 类别 与 0 的大小关系 符号特点 举例 正数 大于 0 可带+，+可省略 2、+1.5、 0 等于 0 无正负号 0 负数 小于 0 必须带-，不可省略 -4、-0.8、- 知识点 02 具有相反意义的量 定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量。 表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示。 例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面 8848.86m，记作 +8848.86m。 知识点03:有理数. 1. 有理数整体划分 有理数分为两大类：整数、分数 (1）整数：正整数、0、负整数； (2）分数：正分数、负分数（有限小数、无限循环小数都属于分数）。 2. 两种分类标准对比表 分类标准 细分种类 包含数字类型 按正负划分（本节课重点） 正数、0、负数 正数：正整数、正分数 负数：负整数、负分数 按整数 / 分数划分（下一节） 整数、分数 整数：正整数、0、负整数 分数：正分数、负分数 知识点04:数轴的定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向、单位长度称为数轴三要素，三者缺一不可。 1. 三要素详解 原点：在直线上任取一点，表示数字 0；原点是正数、负数的分界点。 正方向：一般规定直线向右为正方向，画上箭头；向左为负方向，无箭头。 单位长度：选取适当长度作为统一标准，原点左右每隔相同长度代表 1 个单位；同一数轴单位长度必须一致。 2.画数轴标准步骤 ① 画一条水平直线； ② 在直线中间标出原点，标注数字 0； ③ 向右画出箭头，规定正方向； ④ 从原点向左、右截取相等线段，依次标注整数：(..,-3,-2,-1,0,1,2,3,..)。 3. 画图常见错误 缺少箭头、无原点、单位长度长短不一； 原点左右数字标注顺序颠倒。 4. 判断数轴对错核心标准 只要缺少任意一个要素、单位长度不统一、无向右箭头，都不是规范数轴。 错误数轴常见问题 错误举例 改正要求 缺少原点（无 0 刻度） 直线只有刻度，没有标注 0 在直线中间标注原点 O，写上数字 0 无正方向箭头 直线两端都没有箭头 直线最右端画出向右箭头 单位长度不统一 刻度一格长、一格短 所有相邻刻度间隔长度完全相同 箭头画在左侧 向左画箭头当作正方向 正方向固定向右，只在右端画箭头 知识点05数轴上的点与有理数之间的关系 1. 一一对应关系 每个有理数都可以用数轴上的唯一一点来表示； 也可以说，每个有理数都对应数轴上的唯一一点。 说明： 所有有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）都能在数轴上找到对应的点； 数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理数（如π、），但本节课只研究有理数部分。 2. 正负数在数轴上的位置规律 设a是一个正数，则： 表示数a的点在数轴的正半轴（原点右侧），与原点的距离是a个单位长度； 表示数-a的点在数轴的负半轴（原点左侧），与原点的距离是a个单位长度。 数的符号 所在半轴 与原点的距离 示例 正数 a 正半轴（右） a 个单位 3 在原点右侧，距原点 3 格 负数 -a 负半轴（左） a 个单位 -3在原点左侧，距原点 3 格 0 原点 0 个单位 原点本身 知识点06:利用数轴比较有理数大小（核心应用） 基本规律：数轴上右边的数总大于左边的数。 大小关系推论： 正数＞0，负数＜0； 正数一定大于负数； 多个数比较：从左到右依次从小到大排列。 知识点07:数轴上点的移动问题（本节难点，考试高频） 1.移动规则 (1)点向右移动：数字变大，做加法； (2)点向左移动：数字变小，做减法。 2.通用计算公式 原数 + 向右移动单位长度 -向左移动单位长度 = 移动后对应的数 典型例题 数轴上点 A 表示-2，先向右移动 3 个单位，再向左移动 5 个单位，终点表示多少？ 解：-2 + 3 - 5 = -4，终点数字为-4。 拓展反向题型 已知点移动后的数字，求原来的数：反向移动，右移变减，左移变加。 知识点08:数轴上两点间的距离 定义：数轴上两点之间线段的长度，距离一定是非负数。 计算方法：两点所表示数字大数 − 小数 例：表示-2和3两点距离：3-(-2)=5。 特殊：一个数到原点的距离，就是这个数去掉正负号后的数值，为后续绝对值铺垫。 知识点09:绝对值 1.定义 数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。 记作：|a|，a为任意有理数。 关键点：距离不可能是负数，因此任意数的绝对值一定是非负数，即 |a|0。 举例：数轴上表示-4的点到原点距离为 4，则|-4|=4；表示0的点就在原点，|0|=0。 2,绝对值代数法则（去绝对值核心） 3:绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 知识点10:相反数 (一）两层定义 几何定义：数轴上分别在原点两侧，到原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数，两点关于原点对称。 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 补充规定：0 的相反数是 0，0 是唯一相反数等于自身的数。 (二）求相反数的方法 数a的相反数记作-a，即在这个整体前面添加负号。 正数：5的相反数是-5； 负数：-3.2的相反数是-(-3.2)=3.2； 字母、代数式：x的相反数-x；a-b的相反数-(a-b)。 (三）多重符号化简规则 负号个数决定最终符号，口诀：奇负偶正 式子中所有正号可以直接去掉，不影响结果； 数清楚负号总个数：负号为偶数，结果为正；负号为奇数，结果为负。 例： -[-(+7)]，2 个负号，偶数，结果7； -[-(-5)]，3 个负号，奇数，结果-5。 (四）相反数核心等量关系 若a、b互为相反数，则 a+b=0； 反之，若a+b=0，则a、b互为相反数。 题型一、正负数的定义 1．下列各数中，正数的个数有________个．，3.5，0，10%，，2023，，． 【答案】4 【分析】本题考查对正数和负数定义的理解和运用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，熟练掌握实数分类及先关概念是解决问题的关键． 根据正数和负数的定义判断即可． 【详解】解：正数有：3.5，10%，2023，．共4个， 故答案为：4 2．女排世界杯共12支队伍参赛．东道主日本11场比赛中输6场记为，那么夺得本届世界杯冠军的中国女排11战全胜可记为_____． 【答案】 【分析】此题考查正数和负数的意义，熟知正数和负数表示的意义是解题的关键．根据题意输6场记为，那么赢11场应记为，据此分析即可． 【详解】解：东道主日本11场比赛中输6场记为，那么夺得本届世界杯冠军的中国女排11战全胜可记为， ,故答案为：． 3．下列各式：①；②；③；④，其中值一定是负数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数和负数，绝对值，熟练掌握负数的定义是解题的关键．根据题意进行判断即可． 【详解】解：时，为正数，故①不符合题意； 当时，，故②不符合题意； 当时，，故③不符合题意； 无论取何值，一定为负数，故④符合题意． 故选A． 题型二、相反意义的量 4．神舟十一号飞船于2016年10月17日7时30分在中国酒泉卫星发射中心顺利升空，如果飞船发射前 秒记为秒，那么飞船发射后秒记为____________ 【答案】秒 【分析】发射前和发射后是一对相反意义的量，已知发射前的时间记为负数，则发射后的时间记为正数． 【详解】解：∵规定飞船发射前秒记为秒，发射前与发射后是意义相反的量， ∴飞船发射后秒记为秒． 5．在立定跳远测试中，合格的标准是，小明跳了，记作，小强跳了记作______． 【答案】 【分析】以为合格标准，超出标准的部分记为正，低于标准的部分记为负，计算实际成绩与标准的差值即可． 【详解】解： 超出合格标准的部分记为正数，小明跳，超出，记作， 低于合格标准的部分记为负数， ，小强的成绩比合格标准少， 记作． 6．一个物体做左右方向的运动，规定向右运动3米记作米，那么向左运动4米记作（    ） A．米 B．4米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据具有相反意义的量计算即可； 【详解】∵规定向右运动3米记作米， ∴向左运动4米记作米； 故选A． 【点睛】本题主要考查了具有相反意义的量，准确分析计算是解题的关键． 题型三、正负数的实际应用 7．已知某商品的价格下降记作“”，则“”表示该商品的价格（    ） A．下降 B．上涨 C．下降 D．上涨 【答案】B 【详解】解：∵价格下降记作，即下降记为负， ∴正号表示价格上涨， ∴表示该商品的价格上涨． 8．传统文化中国古代用算筹来记数，算筹的摆放有纵横两种形式（如下表）： 当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算筹需要纵、横相间：个位、百位、万位上的数用纵式表示，十位、千位、十万位上的数用横式表示，“0”用空位来代替，以此类推．在个位数算筹上面斜着放一支算筹表示负数．例如：“”表示，“”表示．由此可知“”表示的数是______． 【答案】 【详解】 解：由题意得，“”表示的数是． 9．一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 【答案】C 【分析】用减去前5次各数与8：00的水位和，然后即可做出判断． 【详解】解：0-（0.5-0.8+0-0.2-0.3-0.1）=0.9． 故选：C． 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 题型四、有理数的定义与分类 10．下列各数中，不是分数的是（     ） A．0.1 B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 0.1是有限小数，是分数；是分数；是无限不循环小数，不是分数； 是分数． 11．把下列各数填入相应的大括号中： 5，﹣20，﹣0.1415，98%，1，﹣0.10，，﹣789，﹣，325，0，10.10，1000.1，﹣0.12，﹣51%． 正数：{___________…}； 负数：{___________…}； 非负整数：{___________…}； 负分数：{___________…}． 【答案】5，98%，1，，325，10.10，1000.1；﹣20，﹣0.1415，﹣0.10，﹣789，﹣，﹣0.12，﹣51%；5，1，325，0；﹣0.1415，﹣0.10，﹣，﹣0.12，﹣51%． 【分析】根据正数、负数、非负整数、负分数的意义逐个进行判断即可． 【详解】解：正数：{5，98%，1，，325，10.10，1000.1…}； 负数：{﹣20，﹣0.1415，﹣0.10，﹣789，﹣，﹣0.12，﹣51%…}； 非负整数：{5，1，325，0…}； 负分数：{﹣0.1415，﹣0.10，﹣，﹣0.12，﹣51%…}． 故答案为：5，98%，1，，325，10.10，1000.1；﹣20，﹣0.1415，﹣0.10，﹣789，﹣，﹣0.12，﹣51%；5，1，325，0；﹣0.1415，﹣0.10，﹣，﹣0.12，﹣51%． 【点睛】本题考查有理数的意义及有理数的分类，理解有理数的意义和分类方法是正确判断的前提 12．在，，，，中是负分数的有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据负分数的定义进行判断即可求解． 【详解】解：在，，，，中是负分数的有：，，一共有两个， 故选：． 【点睛】本题考查了有理数的分类和定义，熟练掌握正数和分数统称为有理数，有理数的分类可以按整数、分数的关系分类，按正数、负数与的关系分类是解答本题的关键． 题型五、数轴的三要素及其画法 13．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：数轴具有原点、单位长度和正方向，A图没有原点；B图单位长度不统一；C图没有正方向；只有D符合三个特征． 14．下列数轴的画法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素，根据数轴的三要素(规定原点、正方向、单位长度)来判断各选项数轴的正确性即可． 【详解】解：A中数轴没有单位长度，不符合数轴的定义，所以选项A错误； B中数轴没有正方向，不符合数轴的定义，所以选项B错误； C 中，，，，的位置标注错误，从左到右应该是，， ，， ，所以选项C错误； D中数轴的原点、正方向、单位长度都符合数轴的定义，所以选项D正确； 故选：D． 15．下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），解题的关键是依据三要素逐一验证选项是否符合数轴的定义． 明确数轴的三要素，依次检查各选项是否包含原点、正方向且单位长度均匀，从而选出符合数轴定义的选项． 【详解】解：选项A：缺少正方向（无箭头），不是数轴； 选项B：单位长度不均匀（“”到“0”的距离与“0”到“1”的距离不一致），不是数轴； 选项C：缺少原点（没有标注“0”），不是数轴； 选项D：包含原点（0）、正方向（右箭头）、单位长度均匀，符合数轴的定义． 故选D 题型六、用数轴上的点表示有理数 16．如图，数轴上表示的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴数轴上表示的点是． 17．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（     ） A． B． C． D．0.3 【答案】C 【详解】解：根据数轴可知被遮挡住的点表示的数在和0之间， 选项中只有在和0之间． 18．如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字（     ）重合． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据圆周长为4个单位长度，利用除以4，进而可得答案． 【详解】解：根据题意得：， ∵圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合， ∴数轴上的0对应圆周上的1，数轴上的对应圆周上的2，数轴上的对应圆周上的3，数轴上的对应圆周上的0， ∴数轴上的数将与圆周上的数字1重合． 题型七、利用数轴比较有理数的大小 19．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据数轴左侧的数据小于右侧的进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，数轴上的点表示的数最小的是点． 20．在数轴上，表示数的点在表示数的点的左侧，且，均不为0．下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵数轴上表示数的点在表示数的点的左侧， ∴，故A正确，B错误； 若，，满足数的点在表示数的点的左侧，且，均不为0， ∴，，故C错误； 若，，满足数的点在表示数的点的左侧，且，均不为0， ∴，故D错误． 21．a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上有理数的大小比较，正负数，解题的关键是熟练掌握数轴上有理数的大小比较法则，根据数轴上的数，以右为正方向时，右边的数永远大于左边的数，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 题型八、数轴上点的平移 22．在数轴上点表示，将点向右移动个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在数轴上点表示，将点向右移动个单位长度得到点， ∴点表示的数为． 23．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 24．已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的动点问题． 点C到点A和点B的距离相等，故点C为线段的中点，利用中点公式即可求解． 【详解】解：∵点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位得到点B， ∴点B对应的数为． ∵点C到点A和点B的距离相等， ∴点C为的中点， ∴点C对应的数为． 故选：A． 题型九、数轴上找原点 25．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 26．如图，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为a，b，c．若点B到点A，C的距离相等，b的绝对值最小，c的绝对值最大，则原点的位置在（    ） A．上，更靠近点A B．上，更靠近点B C．上，更靠近点B D．上，更靠近点C 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义； 根据绝对值表示到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：∵c的绝对值最大， ∴点C距离原点最远， ∴原点在上， ∵b的绝对值最小， ∴点B距离原点最近， ∴原点在上，更靠近点B， 故选：B． 27．如图，数轴上A，B，C 三点所表示的数分别为a，b，c，且点 B到点A，C 的距离相等．如果有，那么该数轴的原点O 的位置应该在（    ） A．点A的左边 B．点B与C之间且离点B近 C．点A与B之间且离点A 近 D．点C的右边 【答案】B 【分析】本题考查了有理数与数轴，绝对值的几何意义，由题意得，即可确定是负数，再由，得到，且，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，且， ∴原点O 的位置在点B与C之间且离点B近， 故选：B． 题型十、数轴上整点覆盖问题 28．如图，王林在写作业时不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的整数不包括（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，墨迹盖住的整数有， 故墨迹盖住的整数不包括． 29．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为．若在数轴上画出一条长的线段，则线段盖住的整点个数为__________． 【答案】2027或2026 【分析】分两种情况：当线段起点在整点时覆盖个数，当线段起点不在整点时覆盖个点，可得答案． 【详解】解：当线段的起点为整点时，覆盖个整点； 当线段的起点不为整点，即在个整点之间时，覆盖个整点． 综上所述，线段盖住的整点个数为或． 30．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整点个数为（     ） A．2025或2026 B．2026或2027 C．2024或2025 D．2027或2028 【答案】B 【分析】分类讨论：①当线段的端点在整点时，②当线段的端点不在整点时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当线段的端点在整点时，盖住的整点个数为个． ②当线段的端点不在整点时，盖住的整点个数为个， ∴线段盖住的整点个数为2026或2027． 题型十一、数轴上的规律探究 31．如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，以及图形类规律探究，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，翻转后数轴上点1，3，5，7，9，11的对应的点分别是A，B，C，D，E，F，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是A， 数轴上点3对应的是B， 数轴上点5对应的是C， 数轴上点7对应的是D， 数轴上点9对应的是E， 数轴上点11对应的是F， …… 则， 所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是E． 故选：C． 32．电子跳蚤从数轴上表示的点出发，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，，按此规律，跳完第次后，它落在数轴上表示的数是______． 【答案】 【详解】解：向右移动个单位长度可表示为，向左移动个单位长度可表示为， ∴当它跳第次落下时，落点在数轴上表示的数是： ． 33．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D分别落在数轴上表示数0和数的点处．现将正方形沿数轴向右连续翻转，翻转一次后，点B落在数轴上表示数1的点处，继续这样翻转下去，落在数轴上表示数2026的点处的是（     ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】根据所给滚动方式，依次求出数轴上表示1，2，3，4，…，的点与正方形的顶点重合情况，据此发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给滚动方式可知， 数轴上表示1的点与点B重合， 数轴上表示2的点与点C重合， 数轴上表示3的点与点D重合， 数轴上表示4的点与点A重合， 数轴上表示5的点与点B重合， …， 由此可见，数轴上表示1，2，3，4，…，的点依次与点B，C，D，A重合． 因为， 所以落在数轴上表示数2026的点处的是C． 题型十二、相反数的定义和应用 34．下列各组数中互为相反数的是（     ） A．4与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】先化简各选项中含绝对值与多重符号的数，再判断是否互为相反数． 【详解】解：A选项：，两数相等，不互为相反数，故A不符合题意； B选项：，与互为相反数，故B符合题意； C选项：与符号相同，不互为相反数，故C不符合题意； D选项：，，两数相等，不互为相反数，故D不符合题意． 35．下列说法不正确的是（　　） A．到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数 B．所有的有理数都有相反数 C．符号相反的两个数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义和应用，根据互为相反数的定义，对各个选项进行判断即可．解题关键是熟练掌握互为相反数的定义并灵活运用． 【详解】解：A．∵互为相反数是到原点距离相等且在原点两旁的两个点表示的数， ∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； B．∵所有的有理数都有相反数， ∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； C．∵只有符合不同的两个数是互为相反数， ∴此选项的说法错误，故此选项符合题意； D．∵在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数， ∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 36．若的相反数是，则______． 【答案】 【分析】根据相反数的性质解答即可． 本题考查了相反数的性质，熟练掌握互为相反数的两个数的和为0，列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 37．下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据0的相反数是0；互为相反数的两个数的和为0，对各说法进行判断作答即可． 【详解】解：若a、b互为相反数，则，正确，故①符合要求； 若，则a、b互为相反数，正确，故②符合要求； 若a、b互为相反数，当时，无意义，故③说法错误，不符合要求； 若，则，即，a、b互为相反数，正确，故④符合要求； 综上，正确的结论是①②④． 题型十三、绝对值的几何意义 38．如果，下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ． 39．若x是有理数，则|x﹣2|＋|x﹣4|＋|x﹣6|＋|x﹣8|＋…＋|x﹣2022|的最小值是______． 【答案】511060 【分析】根据绝对值的几何意义即可得出答案． 【详解】解：|x﹣2|＋|x﹣4|＋|x﹣6|＋|x﹣8|＋…＋|x﹣2022|的最小值，就是求数轴上某点到2、4、6、…、2022的距离和的最小值；根据某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小，当点x在2与2022之间时，到2和2022距离和最小；当点在4与2020之间时，到4和2020距离和最小；…， ∴当x＝1012时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2022|的值最小， 最小值是：2|x﹣2|+2|x﹣4|+2|x﹣6|+…+2|x﹣1012| ＝2020+2016+2012+…+0 ＝（2020+0）×506÷2 ＝2020×506÷2 ＝511060． 故答案为：511060． 【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：|x|表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：|x﹣a|表示数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离． 40．下列各式的结论成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】判断绝对值相关结论时，注意考虑数的正负性，通过举反例排除错误选项． 【详解】解：A选项：取，，满足，但，错误； B选项：∵，∴，正确； C选项：取，，满足，但，错误； D选项：取，，满足，但，错误． 题型十四、求一个数的绝对值 41．若，则a的值是（     ） A．3 B． C．3或 D．9 【答案】C 【详解】解：∵， ∴或． 42．如果m是负数，且，那么______． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义得到的所有可能值，再结合为负数的条件确定最终结果． 【详解】解：， ， 是负数， ． 43．已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 先根据，得到p与q的值，然后结合，选取满足条件的p，q的值，分别计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴当时，； 当时，； ∴的值为10或． 故选：C． 题型十五、绝对值非负性 44．下列说法正确的是（     ） A．一个有理数的绝对值一定大于它本身 B．有理数的绝对值一定比大 C．任何一个有理数的绝对值都是非负数 D．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，利用绝对值的代数意义逐项检验：正数的绝对值是它本身， 的绝对值是 ，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：A．负数的绝对值是它的相反数，大于它本身；但正数与 的绝对值等于它本身，不大于它本身，故 A 错误； B． 的绝对值是 ，不比 大，故 B 错误； C．正数的绝对值是正数，负数的绝对值也是正数， 的绝对值是 ，任何一个有理数的绝对值都是非负数，故 C 正确； D、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，故 D 错误． 45．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而得出的值． 【详解】解：∵，且，，均为整数， ∴和均为非负整数，且和为， ∴可能情况为：且，则， ∴； 且， 则， ∴， 综上，． 46．已知，则的相反数的绝对值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了利用绝对值的非负性求参数，代数式求值．首先根据绝对值的非负性，列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算，再根据相反数和绝对值的定义即可求得． 【详解】解：，，， ，， 解得：，， 则， 的相反数为， 的相反数为． 则的相反数的绝对值为． 故答案为3． 题型十六、绝对值的其他应用 47．老师在课上出了一道有关绝对值的计算题：，若该题的计算结果为，则“”处的数为_____________． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据求一个数的绝对值的逆运算可知 或，进而可求解． 【详解】求有理数的绝对值的方法 解：根据题意可知， ， 所以或， 所以 或， 故答案为：或． 48．若是实数，则的最小值为___． 【答案】 【分析】根据，及三种情况，原式利用绝对值的代数意义化简，确定出的最小值即可．此题考查了绝对值函数的最值，绝对值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 【详解】解：当时，，，此时， ∵， ∴，即； 当时，，，此时； 当时，，，此时， ∵， ∴，即， 综上，，即最小值为． 故答案为：． 49．若有理数、满足，，则的值等于（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据，，得出，再根据绝对值的性质进行解答即可得出答案． 【详解】解：，， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 题型十七、有理数大小比较 50．___（填大于、小于或等于）． 【答案】 小于 【分析】两个负数比较大小，规则为绝对值大的负数更小，先通分比较两个数的绝对值大小，即可得到结果. 【详解】解：∵两个负数比较大小，绝对值大的数更小，计算得，， ∵，即， ∴. 51．已知：，且，则的大小关系是___________． 【答案】 【分析】根据和的正负，结合绝对值的大小关系，先区分四个数的正负，再分别比较同号数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，，，， ∵ ，且，， ∴ ， 对负数、，绝对值越大的负数越小，且， ∴ 可得， ∴ 最终大小关系为 ． 52．已知，则，，之间的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取满足的特殊值代入，计算后比较大小． 【详解】解：取，满足．则 ，． ∵ ， ∴ ． 题型十八、有理数大小比较的实际应用 53．2026年1月份四座城市最低气温如表所示，则这四座城市最低气温最低的是（     ） 城市 哈尔滨 北京 许昌 海口 最低气温（单位） 14 A．哈尔滨 B．北京 C．许昌 D．海口 【答案】A 【详解】解：， ，即最低气温最低的是哈尔滨． 54．一批食品，现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，下列样品中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】比较各选项对应差值的绝对值大小求解. 【详解】解：∵样品与标准质量的差值的绝对值越小，越接近标准质量. ，，，. ∵， ∴差值为的样品最接近标准质量. 55．小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解． 分别列出两数相加为6，8，10，12的所有可能性，设这四个数分别为，其中，分析得出较小的两数之和为6，较大的两数之和为12，可得，分类讨论即可． 【详解】解：相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3． 相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4． 相加得10的两个整数可能为：1，9或2，8或3，7或4，6或5，5． 相加得12的两个整数可能为：1，11或2，10或3，9或4，8或5，7或6，6． 设这四个数分别为，其中，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到， ，， （1）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （2）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （3）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 故这四个数为：或或， ∴卡片上的数最小可以是1，①正确； 卡片上的数最大是可以是8，②错误； 卡片上的数不可以是4个连续的整数，③错误； 卡片上的数有且仅有2个数相等，④正确； 故答案为：①④． 解答题 56．用“”、“”、“”号填空 (1)_________1； (2)_____； (3)__________； (4)___________； (5)__________； (6)___________3.14． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，，， ∴． （3）解：∵，， ∴ （4）解：∵，，， ∴ （5）解：∵，，， ∴． （6）解：∵，， ∴． 57．把下列各数填入相应的大括号里：，，0，，，，2026 (1)正有理数集合： { } (2)整数集合： { } (3)分数集合：      { } (4)非负整数集合：  {    } 【答案】(1){， ，2026 } (2){， 0， 2026 } (3){，，， } (4){0，2026 } 【分析】（1）根据正有理数包括正整数，正分数，解答即可． （2）根据正整数，0，负整数统称整数，解答即可． （3）根据分数包括正分数，负分数，常见表现形式有小数，百分数，分数等解答即可． （4）非负整数包括正整数和零，解答即可． 【详解】（1）解：{， ，2026，… }． （2）解：{， 0， 2026 ，…}． （3）解：{，，，，… }． （4）解：{0，2026，…}． 58．如图，数轴上的相邻两个刻度之间的距离为1个单位长度，点．表示的数互为相反数． (1)点表示的数是__________． (2)在数轴上标出原点的位置，并将，，在数轴上表示出来． (3)将（2）中的各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1) (2)解：∵点，表示的数互为相反数，， ∴原点是线段的中点，画图如下： (3)解：由题意知，． 【分析】（1）首先确定原点，然后解答即可． （2）根据相反数的意义，确定原点，化简，然后再在数轴上表示出来即可． （3）根据数轴上靠近右边的数大于其左边的数，比较解答即可． 【详解】（1）解：∵点，表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点， ∵，之间是4个刻度， ∴点表示的数为， ∴点表示的数为． （2）略； （3）略． 59．已知，等边三角形（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将三角形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），点表示的数是________； (2)将三角形从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2026对应的点与点________重合； (3)将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2，，，，． ①第________次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)B (3)①三；② 【分析】（1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数； （2）根据等边滚动的规律，即可得出答案； （3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次； ②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2026表示的点与点B重合； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 60．（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 【答案】（1）①，小，；②，大，5；（2）或 【分析】本题考查了绝对值的非负性质，绝对值的意义，分类讨论等知识与方法，掌握这些知识与方法是解题的关键； （1）①由绝对值的非负性质即可求解； ②由绝对值的非负性质即可求解； （2）由可得，则原式可化为；不妨假设，分两种情况：；，即可求解． 【详解】解：（1）①由于，则， 当时，， 此时当时，的值最小，最小值为； 故答案为：，小，； ②由于，则，， 当时，， 此时当时，的值最大，最大值为； 故答案为：，大，5； （2）由，得， 原式； 不妨假设， 由于，则，， 分两种情况： 当时； 原式 ； 当时， 原式 ； 综上，的值为或． 61．综合与探究 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且，则点称为点关于点的二次跳跃点． 【初步理解】 (1)如图1，若点表示的数是，点表示的数是6，则点的一次跳跃点表示的数是________，点关于点的二次跳跃点表示的数是________，线段的长度为________． 【深入探究】 (2)如图2，若点是数轴正半轴上的一个点，点是数轴负半轴上的一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究线段的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 (3)若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，，点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)2，10， 12 (2)不变；10 (3) 【分析】（1）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． （2）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． （3）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． 【详解】（1）解： 点表示的数是，点与点表示的数互为相反数， 表示的数是． 表示的数是6， ， ， ， ，（舍去，与重合） 表示的数是． ． （2）解：设为点的第一次跳跃，表示的数是， 表示的数是， 表示的数是，， ， ， ， ，（舍去，与重合） ． 不管怎么变化，为固定值，且是10． （3）解：设为点的第一次跳跃，表示的数是， 表示的数是， 表示的数是， ， ， ，（舍去，与重合） ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02认识有理数期中复习讲义 1.概念理解：识别正数、负数，理解负数是用来表示具有相反意义的量；掌握有理数定义，能够对有理数进行分类（按定义、按正负两种分类方式），区分整数与分数。 2.数轴掌握：牢记数轴三要素（原点、正方向、单位长度）；会正确画数轴，能在数轴上标出有理数对应的点，读懂数轴上点表示的数。 3.相反数：理解相反数的概念，知道互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；会求一个有理数的相反数，掌握多重符号化简方法。 4.绝对值：理解绝对值的几何意义与代数意义；会求任意有理数的绝对值，掌握绝对值的非负性；能够利用绝对值比较两个负数的大小。 5.有理数大小比较：掌握有理数比较大小的规则，正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小；也可借助数轴，数轴上右边的数总比左边大。 6.数形结合能力：借助数轴直观理解有理数、相反数、绝对值，利用数轴分析数的符号与距离。 7.易错点辨析：区分有理数的两种分类，明确有限小数、无限循环小数属于分数；注意 0 的特殊性，0 既不是正数，也不是负数；注意绝对值等于本身的数的范围，避免漏掉 0。 题型 考察方向 难度 题型一 正负数的定义 ★ 题型二 相反意义的量 ★ 题型三 正负数的实际应用 ★★ 题型四 有理数的定义与分类 ★★ 题型五 数轴的三要素及其画法 ★ 题型六 用数轴上的点表示有理数 ★ 题型七 利用数轴比较有理数的大小 ★★ 题型八 数轴上点的平移 ★★★★ 题型九 数轴上找原点 ★★★ 题型十 数轴上整点覆盖问题 ★★★★ 题型十一 数轴上的规律探究 ★★★★★ 题型十二 相反数的定义和应用 ★★ 题型十三 绝对值的几何意义 ★★ 题型十四 求一个数的绝对值 ★ 题型十五 绝对值非负性 ★★★ 题型十六 绝对值的其他应用 ★★★ 题型十七 有理数大小比较 ★★ 题型十八 有理数大小比较的实际应用 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:正数与负数的概念 1. 正数 定义：像3、0.5、、+7这样大于 0的数叫做正数。 书写规则：正数前面的 “+”（正号）可以省略不写，如+5可直接写作5。 读法：+5读作 “正五”，省略正号的5直接读 “五”。 2. 负数 定义：在正数前面添上符号 “-”（负号）得到的数叫做负数，如-3、-0.2。 书写规则：负数前面的 “-”绝对不能省略，省略后就变成正数。 读法：-6读作 “负六”，不能读作 “减六”。 3. 数字 0（本节重中之重，易考填空） (1)0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界； (2)0不只有 “没有” 一层含义，还可表示基准、标准： 温度0C：水结冰的标准温度，不是没有温度； 海拔0米：海平面的基准高度，不是没有高度。 4.概念区分对比表 类别 与 0 的大小关系 符号特点 举例 正数 大于 0 可带+，+可省略 2、+1.5、 0 等于 0 无正负号 0 负数 小于 0 必须带-，不可省略 -4、-0.8、- 知识点 02 具有相反意义的量 定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量。 表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示。 例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面 8848.86m，记作 +8848.86m。 知识点03:有理数. 1. 有理数整体划分 有理数分为两大类：整数、分数 (1）整数：正整数、0、负整数； (2）分数：正分数、负分数（有限小数、无限循环小数都属于分数）。 2. 两种分类标准对比表 分类标准 细分种类 包含数字类型 按正负划分（本节课重点） 正数、0、负数 正数：正整数、正分数 负数：负整数、负分数 按整数 / 分数划分（下一节） 整数、分数 整数：正整数、0、负整数 分数：正分数、负分数 知识点04:数轴的定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向、单位长度称为数轴三要素，三者缺一不可。 1. 三要素详解 原点：在直线上任取一点，表示数字 0；原点是正数、负数的分界点。 正方向：一般规定直线向右为正方向，画上箭头；向左为负方向，无箭头。 单位长度：选取适当长度作为统一标准，原点左右每隔相同长度代表 1 个单位；同一数轴单位长度必须一致。 2.画数轴标准步骤 ① 画一条水平直线； ② 在直线中间标出原点，标注数字 0； ③ 向右画出箭头，规定正方向； ④ 从原点向左、右截取相等线段，依次标注整数：(..,-3,-2,-1,0,1,2,3,..)。 3. 画图常见错误 缺少箭头、无原点、单位长度长短不一； 原点左右数字标注顺序颠倒。 4. 判断数轴对错核心标准 只要缺少任意一个要素、单位长度不统一、无向右箭头，都不是规范数轴。 错误数轴常见问题 错误举例 改正要求 缺少原点（无 0 刻度） 直线只有刻度，没有标注 0 在直线中间标注原点 O，写上数字 0 无正方向箭头 直线两端都没有箭头 直线最右端画出向右箭头 单位长度不统一 刻度一格长、一格短 所有相邻刻度间隔长度完全相同 箭头画在左侧 向左画箭头当作正方向 正方向固定向右，只在右端画箭头 知识点05数轴上的点与有理数之间的关系 1. 一一对应关系 每个有理数都可以用数轴上的唯一一点来表示； 也可以说，每个有理数都对应数轴上的唯一一点。 说明： 所有有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）都能在数轴上找到对应的点； 数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理数（如π、），但本节课只研究有理数部分。 2. 正负数在数轴上的位置规律 设a是一个正数，则： 表示数a的点在数轴的正半轴（原点右侧），与原点的距离是a个单位长度； 表示数-a的点在数轴的负半轴（原点左侧），与原点的距离是a个单位长度。 数的符号 所在半轴 与原点的距离 示例 正数 a 正半轴（右） a 个单位 3 在原点右侧，距原点 3 格 负数 -a 负半轴（左） a 个单位 -3在原点左侧，距原点 3 格 0 原点 0 个单位 原点本身 知识点06:利用数轴比较有理数大小（核心应用） 基本规律：数轴上右边的数总大于左边的数。 大小关系推论： 正数＞0，负数＜0； 正数一定大于负数； 多个数比较：从左到右依次从小到大排列。 知识点07:数轴上点的移动问题（本节难点，考试高频） 1.移动规则 (1)点向右移动：数字变大，做加法； (2)点向左移动：数字变小，做减法。 2.通用计算公式 原数 + 向右移动单位长度 -向左移动单位长度 = 移动后对应的数 典型例题 数轴上点 A 表示-2，先向右移动 3 个单位，再向左移动 5 个单位，终点表示多少？ 解：-2 + 3 - 5 = -4，终点数字为-4。 拓展反向题型 已知点移动后的数字，求原来的数：反向移动，右移变减，左移变加。 知识点08:数轴上两点间的距离 定义：数轴上两点之间线段的长度，距离一定是非负数。 计算方法：两点所表示数字大数 − 小数 例：表示-2和3两点距离：3-(-2)=5。 特殊：一个数到原点的距离，就是这个数去掉正负号后的数值，为后续绝对值铺垫。 知识点09:绝对值 1.定义 数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。 记作：|a|，a为任意有理数。 关键点：距离不可能是负数，因此任意数的绝对值一定是非负数，即 |a|0。 举例：数轴上表示-4的点到原点距离为 4，则|-4|=4；表示0的点就在原点，|0|=0。 2,绝对值代数法则（去绝对值核心） 3:绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 知识点10:相反数 (一）两层定义 几何定义：数轴上分别在原点两侧，到原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数，两点关于原点对称。 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 补充规定：0 的相反数是 0，0 是唯一相反数等于自身的数。 (二）求相反数的方法 数a的相反数记作-a，即在这个整体前面添加负号。 正数：5的相反数是-5； 负数：-3.2的相反数是-(-3.2)=3.2； 字母、代数式：x的相反数-x；a-b的相反数-(a-b)。 (三）多重符号化简规则 负号个数决定最终符号，口诀：奇负偶正 式子中所有正号可以直接去掉，不影响结果； 数清楚负号总个数：负号为偶数，结果为正；负号为奇数，结果为负。 例： -[-(+7)]，2 个负号，偶数，结果7； -[-(-5)]，3 个负号，奇数，结果-5。 (四）相反数核心等量关系 若a、b互为相反数，则 a+b=0； 反之，若a+b=0，则a、b互为相反数。 题型一、正负数的定义 1．下列各数中，正数的个数有________个．，3.5，0，10%，，2023，，． 2．女排世界杯共12支队伍参赛．东道主日本11场比赛中输6场记为，那么夺得本届世界杯冠军的中国女排11战全胜可记为_____． 3．下列各式：①；②；③；④，其中值一定是负数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二、相反意义的量 4．神舟十一号飞船于2016年10月17日7时30分在中国酒泉卫星发射中心顺利升空，如果飞船发射前 秒记为秒，那么飞船发射后秒记为____________ 5．在立定跳远测试中，合格的标准是，小明跳了，记作，小强跳了记作______． 6．一个物体做左右方向的运动，规定向右运动3米记作米，那么向左运动4米记作（    ） A．米 B．4米 C．米 D．米 题型三、正负数的实际应用 7．已知某商品的价格下降记作“”，则“”表示该商品的价格（    ） A．下降 B．上涨 C．下降 D．上涨 8．传统文化中国古代用算筹来记数，算筹的摆放有纵横两种形式（如下表）： 当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算筹需要纵、横相间：个位、百位、万位上的数用纵式表示，十位、千位、十万位上的数用横式表示，“0”用空位来代替，以此类推．在个位数算筹上面斜着放一支算筹表示负数．例如：“”表示，“”表示．由此可知“”表示的数是______． 9．一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 题型四、有理数的定义与分类 10．下列各数中，不是分数的是（     ） A．0.1 B． C． D． 11．把下列各数填入相应的大括号中： 5，﹣20，﹣0.1415，98%，1，﹣0.10，，﹣789，﹣，325，0，10.10，1000.1，﹣0.12，﹣51%． 正数：{___________…}； 负数：{___________…}； 非负整数：{___________…}； 负分数：{___________…}． 12．在，，，，中是负分数的有（    ）个 A． B． C． D． 题型五、数轴的三要素及其画法 13．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 14．下列数轴的画法正确的是（    ）． A． B． C． D． 15．下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 题型六、用数轴上的点表示有理数 16．如图，数轴上表示的点是（     ） A． B． C． D． 17．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（     ） A． B． C． D．0.3 18．如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字（     ）重合． A．0 B．1 C．2 D．3 题型七、利用数轴比较有理数的大小 19．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 20．在数轴上，表示数的点在表示数的点的左侧，且，均不为0．下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 21．a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型八、数轴上点的平移 22．在数轴上点表示，将点向右移动个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 23．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 24．已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 题型九、数轴上找原点 25．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 26．如图，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为a，b，c．若点B到点A，C的距离相等，b的绝对值最小，c的绝对值最大，则原点的位置在（    ） A．上，更靠近点A B．上，更靠近点B C．上，更靠近点B D．上，更靠近点C 27．如图，数轴上A，B，C 三点所表示的数分别为a，b，c，且点 B到点A，C 的距离相等．如果有，那么该数轴的原点O 的位置应该在（    ） A．点A的左边 B．点B与C之间且离点B近 C．点A与B之间且离点A 近 D．点C的右边 题型十、数轴上整点覆盖问题 28．如图，王林在写作业时不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的整数不包括（     ） A． B． C．0 D．1 29．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为．若在数轴上画出一条长的线段，则线段盖住的整点个数为__________． 30．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整点个数为（     ） A．2025或2026 B．2026或2027 C．2024或2025 D．2027或2028 题型十一、数轴上的规律探究 31．如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 32．电子跳蚤从数轴上表示的点出发，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，，按此规律，跳完第次后，它落在数轴上表示的数是______． 33．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D分别落在数轴上表示数0和数的点处．现将正方形沿数轴向右连续翻转，翻转一次后，点B落在数轴上表示数1的点处，继续这样翻转下去，落在数轴上表示数2026的点处的是（     ） A．A B．B C．C D．D 题型十二、相反数的定义和应用 34．下列各组数中互为相反数的是（     ） A．4与 B．与 C．与 D．与 35．下列说法不正确的是（　　） A．到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数 B．所有的有理数都有相反数 C．符号相反的两个数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 36．若的相反数是，则______． 37．下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 题型十三、绝对值的几何意义 38．如果，下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 39．若x是有理数，则|x﹣2|＋|x﹣4|＋|x﹣6|＋|x﹣8|＋…＋|x﹣2022|的最小值是______． 40．下列各式的结论成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型十四、求一个数的绝对值 41．若，则a的值是（     ） A．3 B． C．3或 D．9 42．如果m是负数，且，那么______． 43．已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 题型十五、绝对值非负性 44．下列说法正确的是（     ） A．一个有理数的绝对值一定大于它本身 B．有理数的绝对值一定比大 C．任何一个有理数的绝对值都是非负数 D．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 45．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 46．已知，则的相反数的绝对值为______． 题型十六、绝对值的其他应用 47．老师在课上出了一道有关绝对值的计算题：，若该题的计算结果为，则“”处的数为_____________． 48．若是实数，则的最小值为___． 49．若有理数、满足，，则的值等于（    ） A． B． C． D．以上都不对 题型十七、有理数大小比较 50．___（填大于、小于或等于）． 51．已知：，且，则的大小关系是___________． 52．已知，则，，之间的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十八、有理数大小比较的实际应用 53．2026年1月份四座城市最低气温如表所示，则这四座城市最低气温最低的是（     ） 城市 哈尔滨 北京 许昌 海口 最低气温（单位） 14 A．哈尔滨 B．北京 C．许昌 D．海口 54．一批食品，现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，下列样品中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 55．小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是______． 解答题 56．用“”、“”、“”号填空 (1)_________1； (2)_____； (3)__________； (4)___________； (5)__________； (6)___________3.14． 57．把下列各数填入相应的大括号里：，，0，，，，2026 (1)正有理数集合： { } (2)整数集合： { } (3)分数集合：      { } (4)非负整数集合：  {    } 58．如图，数轴上的相邻两个刻度之间的距离为1个单位长度，点．表示的数互为相反数． (1)点表示的数是__________． (2)在数轴上标出原点的位置，并将，，在数轴上表示出来． (3)将（2）中的各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 59．已知，等边三角形（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将三角形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），点表示的数是________； (2)将三角形从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2026对应的点与点________重合； (3)将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2，，，，． ①第________次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点表示的数是多少？ 60．（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 61．综合与探究 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且，则点称为点关于点的二次跳跃点． 【初步理解】 (1)如图1，若点表示的数是，点表示的数是6，则点的一次跳跃点表示的数是________，点关于点的二次跳跃点表示的数是________，线段的长度为________． 【深入探究】 (2)如图2，若点是数轴正半轴上的一个点，点是数轴负半轴上的一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究线段的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 (3)若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，，点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $