专题31.2 相似三角形（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 专题31.2 相似三角形 （新教材人教版） 知识点一、相似三角形的性质 2 知识点二、相似三角形的判定 2 知识点三、黄金分割 3 【题型1 由平行判断成比例的线段】 3 【题型2 由平行截线求相关线段的长或比值】 4 【题型3 利用平行判定相似】 5 【题型4 利用两角对应相等判定相似】 6 【题型5 黄金分割】 6 【题型6 利用两边对应成比例且夹角相等判定相似】 7 【题型7 利用三边对应成比例判定相似】 8 【题型8 选择或补充条件使得三角形相似】 9 【题型9 相似三角形判定综合】 10 【题型10 证明相似三角形的对应边成比例】 11 【题型11 利用相似三角形的性质求解】 13 【题型12 利用相似求坐标】 14 【题型13 相似三角形动点问题】 17 【题型14 相似三角形判定与性质综合】 19 【探究式学习】 22 【课后检测】 25 【复盘笔记】 31 知识点一、相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点二、相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF. 推论：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似（A 型、X 型） 1. A 型：DE// BC，则△ADE∽△ABC 2. X 型（8 字型）：AB//CD,则△AOB∽△DOC 知识点三、黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 【题型1 由平行判断成比例的线段】 【例1】如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知线段a， b， c， 求作线段x， 使那么正确的作法是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，直线，直线交，，于点，，，直线交，，于点，，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知线段、、，求作线段，使得的是（     ） A． B． C． D． 【题型2 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例2】如图是一架人字梯的侧面示意图，已知，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，直线，直线和被所截，，则的长为（     ） A． B．3 C．4 D．2 【变式2-2】如图，在中，O是边的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交于点M．下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A．2 B． C． D．3 【题型3 利用平行判定相似】 【例3】图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，，点到的距离为4米，点到的距离为2米．若像的高度米，则物体的高度为（    ） A．2.4米 B．2米 C．1.6米 D．1.2米 【变式3-1】如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式3-3】如图，在中，，，则的值为______． 【题型4 利用两角对应相等判定相似】 【例4】如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，，点E在上，点F在上，相交于点O，则图中相似三角形共有（     ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【变式4-3】以下命题，错误的是（     ） A．底角相等的两个等腰三角形一定相似 B．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似 C．两边之比是的两个等腰三角形一定相似 D．两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似 【题型5 黄金分割】 【例5】如图，点P为线段的黄金分割点，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】相同的瓶子里装入不同的水量，用木棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过不断尝试发现，如图所示的瓶子中，当水面高度与瓶高之比为黄金比（即，点在线段上）时，可以发出特定的音符．若，则水面高度是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】两千多年前，古希腊数学家发现了“黄金分割”的美妙比例：将一条线段分为两部分，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，如图，点P为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知线段，点C是线段的黄金分割点，则的长为（      ） A． B． C． D． 【题型6 利用两边对应成比例且夹角相等判定相似】 【例6】下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（     ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【变式6-3】下列条件中，不能判定和相似的是（     ） A．，， B．，， C．，，，， D．，，，， 【题型7 利用三边对应成比例判定相似】 【例7】已知的三边长分别为，的一边长为．要使这两个三角形相似，则的另两边长可以为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知两个直角三角形的一条直角边和斜边分别为1，4和3，12，则这两个直角三角形（     ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．以上都不对 【变式7-2】如图，方格网的小方格是边长为1的正方形，四个三角形的顶点都在格点上，则下列选项中是相似三角形的是（     ）． A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④ 【变式7-3】观察下列每组三角形，不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【题型8 选择或补充条件使得三角形相似】 【例8】可以判定的条件是（     ） A． B．且 C．且 D． 【变式8-1】如图，在中，，垂足为，添加以下条件后，不能推出为直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是嘉嘉和琪琪的做法．下列说法不正确的是（    ） 嘉嘉的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． 琪琪的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． A．嘉嘉的证明过程没有问题 B．琪琪的证明过程没有问题 C．嘉嘉添加的条件没有问题 D．琪琪添加的条件有问题 【题型9 相似三角形判定综合】 【例9】已知：如图，在中，对角线，相交于点O，．求证：． 【变式9-1】如图，在中，，垂足为． (1)请写出图中所有的相似三角形； (2)以此图为背景编制一道与三角形相似有关的题目，并与同伴进行交流． 【变式9-2】如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式9-3】如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 【题型10 证明相似三角形的对应边成比例】 【例10】某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①______________；②_____________； (2)如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 【变式10-1】如图，在平行四边形中， 求证： (1) (2) 【变式10-2】已知：如图，，为的两条高，，为的两条高，且，．求证：． 【变式10-3】如图，是等边三角形，点D，B，C，E在同一条直线上，且．    (1)求证：． (2)判断是否成立？请说明理由． 【题型11 利用相似三角形的性质求解】 【例11】如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，中，，，，则（     ） A．9 B．10 C．21 D．25 【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴轴交于点和点，将直线绕点顺时针旋转后，所得直线与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式11-3】如图，在和中，，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型12 利用相似求坐标】 【例12】材料一：课本47页告诉我们一个基本结论——平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 材料二：数学兴趣小组成员小虹同学，结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作图将线段三等分”的方法． 已知：线段，如图1． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线AO．（如图2）； ②在射线上依次截取线段，使，连接； ③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 【问题解决】 (1)如图3，在中，点D、F在上，E、G在上，．若，，，则______，=______，=______． (2)数学兴趣小组小海同学将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图4，再将图4沿着对角线对折一次，得到图5，对角线分别与折痕的交点K、L、M即为对角线的四等分点．请在图5中画出的三等分点N（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图6，是的一条中线．用与上面不同的方法，用尺规作图作出的一个三等分点N，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (4)如图7，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．设点P是线段的一点，且，请直接写出点P的坐标（用含k的代数式表示）． 【变式12-1】有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ， ， ， ， ， （依据②）， ， ． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． (2)如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． (3)如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长． 【变式12-2】如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点C从点B出发，以每秒1个单位的速度沿方向匀速运动，同时动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿方向向点O匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（）． (1)求的面积； (2)用含有t的代数式表示C点的坐标； (3)直接写出t为何值时，面积为； (4)直接写出与相似时t的值． 【变式12-3】如图，点O为坐标原点，菱形的边在x轴的正半轴上，对角线，交于点D，反比例函数的图象经过点A和点D，若菱形的面积为，则点A的坐标为________． 【题型13 相似三角形动点问题】 【例13】如图所示，点坐标为，点坐标为，动点从点开始沿以每秒1个单位长度的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒2个单位长度的速度向点移动．如果、分别从、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当为何值时，四边形是梯形，此时梯形的面积是多少？ (2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为，，，．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．作于点G，则运动过程中，AG的最大值为（    ） A． B． C． D．8 【变式13-2】在平面直角坐标系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），点P在y轴的正半轴上运动，若以点O、B、P为顶点的三角形与三角形ABC相似，则点P的坐标为 ____． 【变式13-3】如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒时，解答下列问题： (1)直接写出点B的坐标；用含x的代数式表示ON，OM的长度； (2)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使得以O、M、N为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 【题型14 相似三角形判定与性质综合】 【例14】如图，直线与双曲线交于点．并分别与轴、轴交于点、． (1)直接写出________，________； (2)根据图像直接写出不等式的解集为________； (3)若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、构成的三角形与相似？若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式14-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B．直线经过A，B两点，点A是x轴正半轴上一点，且． (1)求直线的解析式； (2)点P是直线上一动点，在坐标平面内有一点Q，当以B、P、C、Q为顶点的四边形是菱形时（为边），求出点Q的坐标； (3)在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1）？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式14-2】如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点．若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，若与的边垂直，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式14-3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D在直线下方的抛物线上； ①如图2，连接，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标； ②如图3，连结，交于点E，若∽，求点D的横坐标． 【探究式学习】 1．综合与探究：如图，点在的平分线上，于点A，且． (1)如图1，过点P作于点，根据题意在图1中画出，图中的度数为________； 【问题探究】 (2)如图2，点在线段上，连接，过点P作交射线于点，判断线段，，之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 (3)点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值． 2．【方法回顾】 (1)如图1，正方形中，点E是边上一点（不与点B，C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数． 方法1：如图2，过点作边延长线的垂线，垂足为点；方法2：如图3，在边上截取，使得，连接；以上两种方法都是构造全等三角形来解决问题，都可以得出________； (2)【类比探究】如图4，点E是菱形的边上一点（不与点B，C重合），，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数； (3)【拓展应用】如图5，在平行四边形中，，，且，点E，F，G分别为边，，上的点（且都不与平行四边形的顶点重合），，，． ①线段的长为； ②在①的结论下，线段的长． 3．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（） 【初步感知】 (1)如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，求的值； 【深入探究】 (2)如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 (3)在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，构成以为直角边的直角三角形时，直接写出线段的长度． 【课后检测】 1．在平面直角坐标系中，直角三角板摆放如图所示，，直角顶点与原点重合，点在反比例函数的图象上．若点坐标为，则的值是（  ）． A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，将平移得到．若，，则点E的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，矩形的顶点，，点C在y轴正半轴上，D是上一点，连接，作点A关于的对称点E，连接，，当时，的延长线恰好经过点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，其坐标分别为、，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，连接并延长，得到射线，连接，，将沿射线方向平移，平移的距离为的长，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，点，，将线段平移得到线段，则点D的坐标是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，菱形的对角线交于点P，且过原点O，轴，点C的坐标为，反比例函数的图象经过A，P两点，则k的值是（　　） A．12 B．9 C．8 D．2 9．如图，矩形的顶点O在坐标原点上， 相交于点 D，已知点若矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转次后，矩形的对角线交点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．如图，平面直角坐标系中，A（0，6），B（8，0），点C，D为OA，OB的中点，连接AB，CD，作以下操作：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA，AB于点E，F；②分别以点E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线AG，交CD于点M，作射线OM交AB于点N，则点N的坐标为（    ） A． B． C．（4，3） D． 11．把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点A、C是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点B，连接．若，，在x轴上取一点P，使的值为“黄金比”，则点P的坐标为___． 12．如图，放置在平面直角坐标系中，轴，轴，点B坐标为，点C坐标为，把绕点A逆时针旋转一个角度后得到，若边经过点则点E的坐标是______． 13．如图，点，，连接，点为轴上点左侧的一点，点，分别为线段，线段上的点，点，关于直线对称． （1）若，则四边形的形状是_______； （2）当最长时，点的坐标为____________________． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若线段，的长是一元二次方程的两个根，且． (1)求对角线的长； (2)连结，若点E为x轴正半轴上的点，当与相似时，求点E的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点D及点，与x轴交于点B． (1)求m的值； (2)若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及的面积； (3)在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点E，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在射线上取一点B，使得，过点B作轴于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出点B的坐标_______； (3)在x轴上存在一点P，使最小，求点P坐标． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 92 页 第 1 页 共 92 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题31.2 相似三角形 （新教材人教版） 知识点一、相似三角形的性质 2 知识点二、相似三角形的判定 2 知识点三、黄金分割 3 【题型1 由平行判断成比例的线段】 3 【题型2 由平行截线求相关线段的长或比值】 5 【题型3 利用平行判定相似】 7 【题型4 利用两角对应相等判定相似】 10 【题型5 黄金分割】 12 【题型6 利用两边对应成比例且夹角相等判定相似】 15 【题型7 利用三边对应成比例判定相似】 17 【题型8 选择或补充条件使得三角形相似】 19 【题型9 相似三角形判定综合】 21 【题型10 证明相似三角形的对应边成比例】 24 【题型11 利用相似三角形的性质求解】 28 【题型12 利用相似求坐标】 31 【题型13 相似三角形动点问题】 40 【题型14 相似三角形判定与性质综合】 46 【探究式学习】 55 【课后检测】 66 【复盘笔记】 92 知识点一、相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点二、相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF. 推论：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似（A 型、X 型） 1. A 型：DE// BC，则△ADE∽△ABC 2. X 型（8 字型）：AB//CD,则△AOB∽△DOC 知识点三、黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 【题型1 由平行判断成比例的线段】 【例1】如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理及其推论，结合相似三角形的性质，逐项判断比例式是否成立； 【详解】解：对于A，， ， ，故A不符合题意； 对于B，， ，， ，， ， ，故B符合题意； 对于C，， ， 又， ，故C不符合题意； 对于D，， ，故D不符合题意． 【变式1-1】已知线段a， b， c， 求作线段x， 使那么正确的作法是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，则，故A选项错误； B、由平行线分线段成比例可得，则，故B选项正确； C、由平行线分线段成比例可得，则,故C选项错误； D、由平行线分线段成比例可得，则，故D选项错误． 【变式1-2】如图，直线，直线交，，于点，，，直线交，，于点，，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线分线段成比例定理得出，结合求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 【变式1-3】已知线段、、，求作线段，使得的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系，找出符合即的图形． 【详解】解：A、选项中，即，不符合题意； B、选项中，即，即，符合题意； C、选项中，即，不符合题意； D、选项中，即，不符合题意． 【题型2 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例2】如图是一架人字梯的侧面示意图，已知，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，结合已知条件，可建立等价比例关系求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】如图，直线，直线和被所截，，则的长为（     ） A． B．3 C．4 D．2 【答案】A 【详解】解：， ， ，，， ， 解得． 【变式2-2】如图，在中，O是边的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交于点M．下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 【变式2-3】如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理，解答即可． 【详解】解：， ， ，，， 解得． 【题型3 利用平行判定相似】 【例3】图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，，点到的距离为4米，点到的距离为2米．若像的高度米，则物体的高度为（    ） A．2.4米 B．2米 C．1.6米 D．1.2米 【答案】C 【分析】过点O分别作于点E，延长交于点F，推导出，继而得出，得到，即可解答． 【详解】解：过点O分别作于点E，延长交于点F，如图 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴物体的高度为． 【变式3-1】如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据平行投影性质得与相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ． 由题意得：，， ． ． ． 故选：A． 【变式3-2】如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定，掌握好利用平行线判定相似三角形的方法是关键． 根据平行线构成的相似模型来判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， 则和构成“A”字模型，故；和构成“8”字模型，所以， ∵，， ∴， ∴一共有3对相似三角形． 故选：C． 【变式3-3】如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型4 利用两角对应相等判定相似】 【例4】如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形相似的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，对应边成比例，但是不是夹角相等，不能确定，符合题意． 选项，添加，对应边成比例，且，两边夹角也相等，确定，不符合题意． 【变式4-1】如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， A、，与的大小无法判定，无法判定，故本选项符合题意； B、，，可以得到，故本选项不符合题意． C、，，可以得到，故本选项不符合题意． D、，，可以得到，故本选项不符合题意． 【变式4-2】如图，，点E在上，点F在上，相交于点O，则图中相似三角形共有（     ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式4-3】以下命题，错误的是（     ） A．底角相等的两个等腰三角形一定相似 B．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似 C．两边之比是的两个等腰三角形一定相似 D．两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似 【答案】D 【详解】解：A、等腰三角形两底角相等，若底角对应相等，则三个内角对应相等，两三角形相似，故A正确； B、直角三角形有一个直角，若再有一个锐角对应相等，则两角对应相等，两三角形相似，故B正确； C、设等腰三角形两边长分别为和，若腰长为，底边长为，则，不满足三角形三边关系，不能构成三角形；故只能是底边长为，腰长为，此时三边比为，化简得，所有满足条件的三角形三边对应成比例，一定相似，故C正确； D、举反例：第一个等腰三角形顶角为，腰长为，腰上的高在三角形内部，由直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，得高为，高与腰的比为； 第二个等腰三角形顶角为，腰长为，腰上的高在腰的延长线上，顶角的外角为，同理得高为，高与腰的比为， 两三角形腰上的高与腰的比相等，但顶角分别为和，内角不对应相等，故不相似，故D错误． 【题型5 黄金分割】 【例5】如图，点P为线段的黄金分割点，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据黄金分割点的定义：较长线段是全线段与较短线段的比例中项，且较长线段与全线段的比值为，逐项判断即可． 【详解】解：点P为线段的黄金分割点，且，则： ，即，故①正确； 设，则， ∴， ∴，故②错误； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴, ∴,故④正确， 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 【变式5-1】相同的瓶子里装入不同的水量，用木棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过不断尝试发现，如图所示的瓶子中，当水面高度与瓶高之比为黄金比（即，点在线段上）时，可以发出特定的音符．若，则水面高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干中给出的黄金比定义及的长度，列式计算 即可． 【详解】解：，， ． 【变式5-2】两千多年前，古希腊数学家发现了“黄金分割”的美妙比例：将一条线段分为两部分，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，如图，点P为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解题的关键是掌握黄金分割比为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：由条件可知：， ， 解得：． 【变式5-3】已知线段，点C是线段的黄金分割点，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型6 利用两边对应成比例且夹角相等判定相似】 【例6】下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两三角形相似需满足两组对应边的比值相等，并且这两组边的夹角相等，依据此标准逐个判断即可． 【详解】解：题干给出的三角形两边比为，夹角为， 选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意； 选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意； 选项C，三角形两边比为，夹角为，符合三角形相似的判定定理，故与原三角形相似，C符合题意； 选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意． 【变式6-1】如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，将选项中的乘积式转化为比例式，结合公共角进行判断即可． 【详解】 解： 由可得， ， ， 只有选项D符合题意． 【变式6-2】如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（     ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【答案】B 【分析】由对顶角相等及已知线段比例，利用相似三角形判定定理即可得出结论． 【详解】解：由图可知 即①和③相似． 【变式6-3】下列条件中，不能判定和相似的是（     ） A．，， B．，， C．，，，， D．，，，， 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定条件逐一验证，注意两边成比例时相等的角需为夹角． 【详解】解：A、，， ， ， ，不符合题意； B、，，， ， ，不符合题意； C、，， ， 又， ，不符合题意； D、，， ，但是与的夹角，是与的夹角，不是与的夹角，不能判定与相似，符合题意． 【题型7 利用三边对应成比例判定相似】 【例7】已知的三边长分别为，的一边长为．要使这两个三角形相似，则的另两边长可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】中边的对应边未明确，需分三种情况结合相似三角形三边成比例求解． 【详解】解：设的另两边长为，， 若边的对应边为， 则， 解得，； 若边的对应边为， 则， 解得，； 若边的对应边为， 则， 解得，， 所以另外两边可以是． 【变式7-1】已知两个直角三角形的一条直角边和斜边分别为1，4和3，12，则这两个直角三角形（     ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．以上都不对 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出第三边，再根据三边成比例的两个三角形相似得出答案． 【详解】解：∵第一个直角三角形的一条直角边为，斜边为， ∴另一条直角边为，其三边为，，. ∵第二个直角三角形的一条直角边为，斜边为， ∴另一条直角边为，其三边为，，. ∵，即两个直角三角形三边对应成比例， ∴两个直角三角形一定相似． 【变式7-2】如图，方格网的小方格是边长为1的正方形，四个三角形的顶点都在格点上，则下列选项中是相似三角形的是（     ）． A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】分别求出四个三角形的三边长，再根据三角形相似的判定定理，即可求解． 【详解】解：①中的三角形的三边长分别为； ②中的三角形的三边长分别为； ③中的三角形的三边长分别为； ④中的三角形的三边长分别为； ∵， ∴相似三角形是①和④． 【变式7-3】观察下列每组三角形，不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理，对四个选项中的条件进行逐一分析，判断是否满足相似条件 【详解】解：A、，三边成比例，能判定两三角形相似，不符合题意； B、，且夹角均为，两边对应成比例且夹角相等，能判定两三角形相似，不符合题意； C、仅有一组角为相等，缺少其他条件，不能判定两三角形相似，符合题意； D、有一组相等的角为，还有一组对顶角相等，两角分别相等，能判定相似，不符合题意． 【题型8 选择或补充条件使得三角形相似】 【例8】可以判定的条件是（     ） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【分析】结合相似三角形判定条件验证选项，注意两边成比例需对应夹角相等. 【详解】解：A选项中，仅一组角相等，不满足相似判定条件，不符合题意； B、C选项中，的对应夹角为与，选项给出的角不是两边的夹角，不满足相似判定条件，不符合题意； D选项中，三组对应边成比例，可判定，符合题意． 【变式8-1】如图，在中，，垂足为，添加以下条件后，不能推出为直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， A、∵， ∴， 即为直角三角形，故选项A不符合题意． B、∵，， ∴，即， 即为直角三角形，故选项B不符合题意． C、∵，， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故选项C不符合题意． D、∵，， ∴， ∴， ∴，即只能说明为等腰三角形，不能证明为直角三角形，故选项D符合题意． 【变式8-2】如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 【变式8-3】如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是嘉嘉和琪琪的做法．下列说法不正确的是（    ） 嘉嘉的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． 琪琪的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． A．嘉嘉的证明过程没有问题 B．琪琪的证明过程没有问题 C．嘉嘉添加的条件没有问题 D．琪琪添加的条件有问题 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故嘉嘉的做法以及过程没有问题， 琪琪的做法添加的条件有问题，应为， 故B选项符合题意． 【题型9 相似三角形判定综合】 【例9】已知：如图，在中，对角线，相交于点O，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】证出，由相似三角形的判定可得出结论． 【详解】略 【变式9-1】如图，在中，，垂足为． (1)请写出图中所有的相似三角形； (2)以此图为背景编制一道与三角形相似有关的题目，并与同伴进行交流． 【答案】(1)，， (2)求证：， 证明：由（1）可知，， ， ． 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似，得到，，根据相似于同一三角形的两三角形相似可得． （2）根据两三角形相似对应边成比例，即可得证结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， ； （2）略． 【变式9-2】如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． (2) 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 【详解】（1）略． （2）解：， ． 由（1）可知， ， ． 【变式9-3】如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在和中， ，， ， 【分析】先由勾股定理求出，再证明，最后由斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似证得． 【详解】略 【题型10 证明相似三角形的对应边成比例】 【例10】某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①______________；②_____________； (2)如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 【答案】(1)，． (2)①； ②证明：由①知， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴． 【分析】（1）证明即可解答； （2）①证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可；②由①知，得出．再结合（1）即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． （2）解：①如图：连接， ∵，， ∴， ∴． ②略． 【变式10-1】如图，在平行四边形中， 求证： (1) (2) 【答案】(1)证明：如图所示：过作，交于， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， ． (2) 证明：由（1）可知，是平行四边形， ， ， ， 即， ， ． 【分析】（1）过作，交于，则四边形是平行四边形，再通过，利用对应边成比例求成即可； （2）根据平行得出，，．再通过桥梁和，把要求证的两个比连接了起来． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】证明线段比例，借助平行线构造相似；多组比例证明相等，常用等量代换搭桥． 【变式10-2】已知：如图，，为的两条高，，为的两条高，且，．求证：． 【答案】证明：∵、分别是、的高， ∴、是直角三角形， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴， ∵、分别是、的高，， ∴． 【分析】先证得 ，再证得，最后，根据相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比即可证得结论． 【详解】略 【变式10-3】如图，是等边三角形，点D，B，C，E在同一条直线上，且．    (1)求证：． (2)判断是否成立？请说明理由． 【答案】(1) 证明：是等边三角形， ， ，， ， ， ，， ； (2) 解：成立，理由如下： ， ， 是等边三角形， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由相似三角形的判定可证； （2）由相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【题型11 利用相似三角形的性质求解】 【例11】如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件说明，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ， ． 【变式11-1】如图，中，，，，则（     ） A．9 B．10 C．21 D．25 【答案】D 【分析】由平行线得出三角形相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴轴交于点和点，将直线绕点顺时针旋转后，所得直线与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与坐标轴的交点坐标，将直线绕点A顺时针旋转后，利用互余角关系证明，由相似三角形对应边成比例求出长度，结合点D在y轴负半轴，得到交点坐标． 【详解】解：当时，；当时，，解得， ，， 如图，将直线绕点顺时针旋转后得到直线与轴交于点， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 点的坐标为，故选B． 【变式11-3】如图，在和中，，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质解决问题的关键是能证明两三角形相似． 根据题目条件可以利用“两组对应边成比例并且夹角相等的两个三角形相似”证明，进而得到对应角相等． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴． 【题型12 利用相似求坐标】 【例12】材料一：课本47页告诉我们一个基本结论——平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 材料二：数学兴趣小组成员小虹同学，结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作图将线段三等分”的方法． 已知：线段，如图1． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线AO．（如图2）； ②在射线上依次截取线段，使，连接； ③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 【问题解决】 (1)如图3，在中，点D、F在上，E、G在上，．若，，，则______，=______，=______． (2)数学兴趣小组小海同学将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图4，再将图4沿着对角线对折一次，得到图5，对角线分别与折痕的交点K、L、M即为对角线的四等分点．请在图5中画出的三等分点N（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图6，是的一条中线．用与上面不同的方法，用尺规作图作出的一个三等分点N，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (4)如图7，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．设点P是线段的一点，且，请直接写出点P的坐标（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)3，， (2) (3)如图3.1，点N即为所求； (4) 【分析】（1）通过平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质得出所求线段的长度比即可解决； （2）连接，分别过点K、L作的平行线，交于点，； （3）先作线段垂直平分线得到中点M，再连接交于N点，即为所求；根据为的中位线，得出，再利用相似比即可得证； （4）过点A作轴，过点B作于点C，过点作于点D，得出，根据相似三角形性质求出，设，从而求解点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 得； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴，， ∴； （3）证明：如图3.2，连接， ∵O，M分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图， 过点A作轴，过点B作于点C，过点作于点D， ∴， ∴， ∴， 设， ∵和， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，平行线截线段成比例，相似三角形判定与性质，坐标与图形，三角形中线的定义，三角形中位线的性质等，熟练掌握这些知识点是解题关键． 【变式12-1】有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ， ， ， ， ， （依据②）， ， ． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． (2)如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． (3)如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长． 【答案】(1)；两角分别相等的两个三角形相似； (2) (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，根据两角分别相等的两个三角形相似得到，继而根据相似三角形对应线段成比例得到，即． （2）根据勾股定理得到，继而根据得到，继而得到点的坐标． （3）通过证明，得到，继而根据，得到，继而得到，得到，利用勾股定理得到的长． 【详解】（1）略； （2）解：由题意，得，， ， 由（1）可得， ， ， 点的坐标为； （3）解：，， ， ， ，                                 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ． 【变式12-2】如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点C从点B出发，以每秒1个单位的速度沿方向匀速运动，同时动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿方向向点O匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（）． (1)求的面积； (2)用含有t的代数式表示C点的坐标； (3)直接写出t为何值时，面积为； (4)直接写出与相似时t的值． 【答案】(1)的面积为24 (2)C点坐标为 (3)t的值为3时，的面积为 (4)与相似时t的值为 【分析】（1）求出A，B的坐标计算即可． （2）过点C作轴，轴，利用勾股定理及相似解题即可． （3）利用（2）的结论及面积计算公式解题即可． （4）分当时，，或当时，，两种讨论，利用相似的性质解题即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，， 解得：， ∴， 即， ∴， 即的面积为24； （2）解：如图： 过点C作轴，轴， ∴轴，轴， 在中，， 由题意可得，，则， ∴，即， 解得：， ，即， 解得：， ∴C点坐标为； （3）解：由题意可得：， ∵， ∴， 又∵当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动， ∴点C在线段AB上， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）． ∴t的值为3时，的面积为； （4）解：①当时，， 又∵， ∴∽， ∴，即， 解得：， ②当时，， 又∵， ∴∽， ∴，即， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上，与相似时． 【点睛】本题主要考查相似的判定及性质的运用，能够熟练通过相似的性质写出边长之间的比值是解题关键． 【变式12-3】如图，点O为坐标原点，菱形的边在x轴的正半轴上，对角线，交于点D，反比例函数的图象经过点A和点D，若菱形的面积为，则点A的坐标为________． 【答案】 【分析】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点，根据题意将点D的坐标表示出来，即可求出所在直线的函数表达式，再求出点C的坐标；根据菱形的性质可得，结合勾股定理即可表示出，最后根据菱形的面积求出m即可． 【详解】解：如图，过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F， 设点， ∵四边形为菱形，对角线，交于点D， ∴，， ∵轴，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即点D的纵坐标为， ∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， ∴， ∴， 设所在的直线函数表达式为：， 将，代入得：， 解得：， ∴所在的直线函数表达式为：， 当时，解得， ∴， ∴， 在中，， ∵菱形的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【题型13 相似三角形动点问题】 【例13】如图所示，点坐标为，点坐标为，动点从点开始沿以每秒1个单位长度的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒2个单位长度的速度向点移动．如果、分别从、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当为何值时，四边形是梯形，此时梯形的面积是多少？ (2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)当时，四边形是梯形，此时梯形的面积为27 (2)的值为秒或3秒 【分析】（1）当，四边形是梯形，此时易证，根据三角形相似得到，即，即可得到t，利用梯形的面积的面积的面积求面积； （2）讨论：当，即，此时，由（1）得；当，则，，即可得到t． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 当，四边形是梯形， ， ∴，即， ∴， ∴， ∴梯形的面积的面积的面积 ， 当时，四边形是梯形，此时梯形的面积为27； （2）解：， 当，则， ， 由（1）得； 当，则， ∴，即， ∴， 当的值为秒或3秒时，以点P、Q、B为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了坐标与图形，梯形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握分类讨论思想的运用以及三角形的相似的判定定理是解题的关键． 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为，，，．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．作于点G，则运动过程中，AG的最大值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接OB交PQ于F，过点F作FH⊥OC于H，连接AF，设运动时间为t秒，则由已知易证明△BFQ∽△OFP，则可得PQ过定点F；再证明△OFH∽△OBC，则可求得点F的坐标，进而求得AF的长，则由垂线段最短可确定AG的最大值． 【详解】连接OB交PQ于F，过点F作FH⊥OC于H，连接AF，如图． 设运动时间为t秒，则BQ=2t，OP=3t， ∵B、C的纵坐标相同， ∴BC∥OA， ∴△BFQ∽△OFP， ∴， ∴PQ恒过定点F． ∵FH∥BC， ∴△OFH∽△OBC， ∴， 即， ∴， ∴． ∴由勾股定理得：． ∵PQ恒过定点F，且AG⊥PQ， ∴AG≤AF， ∴AG的最大值为AF，即AG的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题是动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，确定PQ过定点是问题的关键． 【变式13-2】在平面直角坐标系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），点P在y轴的正半轴上运动，若以点O、B、P为顶点的三角形与三角形ABC相似，则点P的坐标为 ____． 【答案】（0，）或（0，）． 【分析】利用点A、B、C的坐标特征得到∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3，设P点坐标为（0，t），由∠POB＝∠ACB，推出当时，△OPB∽△CBA，即；当时，△OPB∽△CAB，即，分别求出t的值，从而得到点P的坐标. 【详解】∵B（1，0）、A（3，﹣3）、C（3，0）， ∴∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3， 设P点坐标为（0，t）， ∵∠POB＝∠ACB＝90°， ∴当时，△OPB∽△CBA，即，解得t＝±，此时P点坐标为（0，）， 当时，△OPB∽△CAB，即，解得t＝±，此时P点坐标为（0，）， 综上所述，若以O、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标为（0，）或（0，）． 故答案为（0，）或（0，）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，根据比例线段列出方程是解题的关键. 【变式13-3】如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒时，解答下列问题： (1)直接写出点B的坐标；用含x的代数式表示ON，OM的长度； (2)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使得以O、M、N为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)B(4，3)；ON=2x，OM=4-x (2)存在，x=或x= 【分析】（1）根据勾股定理计算AB=，根据坐标的定义，写出点B的坐标；利用路程等于速度乘以时间，计算即可． （2）解答时，分MN∥AB时，三角形相似和MN与AB不平行时，三角形相似两种情形求解． 【详解】（1）∵，，∠OAB=90° ∴AB==3， ∴点B(4，3)； ∵动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿OB向终点B移动， ∴ON=2x，MA=x， ∴OM=4-x． （2）存在，x=或x=，理由如下： 当MN∥AB时， ∴△OMN∽△OAB， ∴， ∴， 解得x=， 当MN与AB不平行时， ∴△OMN∽△OBA， ∴， ∴， 解得x=， 故当x=或x=时，以O、M、N为顶点的三角形与△OAB相似． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形相似的判定和性质，分类思想，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【题型14 相似三角形判定与性质综合】 【例14】如图，直线与双曲线交于点．并分别与轴、轴交于点、． (1)直接写出________，________； (2)根据图像直接写出不等式的解集为________； (3)若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、构成的三角形与相似？若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，5 (2)或 (3)存在以点、、构成的三角形与相似，点的坐标为或 【分析】（1）把交点分别代入直线解析式和反比例函数解析式，直接列方程求出b，m的值； （2）先联立直线与反比例函数方程求出两个交点横坐标，结合函数图像，找到直线在双曲线下方对应的x范围，注意反比例，写出不等式解集； （3）先求出B、C坐标，算出线段长度，识别是对应等角，分两组不同顶点对应关系列相似比例式求出长，结合D在x正半轴求出点D的坐标． 【详解】（1）解：直线与双曲线交于点， ，， ，； （2）解：令， 两边同时乘得， 因式分解得， 解得或， 的解集为或； （3）解：令得， 令得，解得， ，， ， ， ， ， ， ， 要使点、、构成的三角形与相似， 则有， 当时，，， 此时，点的坐标为； 当时，，， 此时，点的坐标为， 综上所述，存在以点、、构成的三角形与相似，点的坐标为或． 【变式14-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B．直线经过A，B两点，点A是x轴正半轴上一点，且． (1)求直线的解析式； (2)点P是直线上一动点，在坐标平面内有一点Q，当以B、P、C、Q为顶点的四边形是菱形时（为边），求出点Q的坐标； (3)在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1）？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）当时，，即，当时，，可求，即，，待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设，则，，，由四边形为菱形分，，分别列出方程，进而可得点坐标，由中点坐标公式可求对应的点坐标； （3）设，则，，由勾股定理得，，由题意知，点与三点中的某两点构成的三角形与相似时，分，两种情况；当时，，可求，即，计算求出满足要求的解，进而可得的坐标；当时，同理求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵， 则，， 设， ①当时， ∴， 解得，， ∴， ∴， 解得： ∴， 当时， ∴ 解得：或， ∴或 当时，根据中点坐标公式得，解得：，则； 当时，根据中点坐标公式得，解得：，则， 综上所述，或或； （3）解：设， ∵， ∴，， 由勾股定理得，， 由题意知，点与三点中的某两点构成的三角形与相似时，分，两种情况； 当时，，即， 解得，， ∴， 解得，（舍负）， ∴； 当时，，即， 解得，， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 综上所述，存在，点的坐标为或． 【变式14-2】如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点．若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，若与的边垂直，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠性质，坐标与图形，直角三角形斜边上的中线性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 如图2中，设交于点．先利用勾股定理求出，利用相似三角形的性质求出，再求出、，可得结论． 【详解】解： 如图中，设交于点． 在中，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为 故选A． 【变式14-3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D在直线下方的抛物线上； ①如图2，连接，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标； ②如图3，连结，交于点E，若∽，求点D的横坐标． 【答案】(1) (2)①  ②2 【分析】（1）根据抛物线交点式，得到、两点坐标，再根据正切值求出点坐标，代入抛物线解析式求出的值即可； （2）①设点，分别用含的式子表示出、，进而得出，再利用二次函数的最值求解即可； ②求出直线的解析式，连结，交于点E，设，根据∽，则求出过点E作于F，则证得∽，根据对应边成比例求出，得，求出直线的解析式，联立得方程组，即可求出点D的横坐标为2． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点 ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 将代入抛物线得： 解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：①如图，设点 ∵点D在直线下方的抛物线上，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴当时，的值最大为12 此时点D的坐标为； ②设直线的解析式为，则   ，解得： ∴直线的解析式为 连结，交于点E，设 若∽，则，即 ∴，则 过点E作于F，则 ∴∽ ∴ 即 解得： ∴ 设直线的解析式为，则   解得 ∴直线的解析式为 联立得方程组   整理得：，解得：（舍）， ∴点D的横坐标为2． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的最值问题，解直角三角形的应用，一次函数的与二次函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，坐标与图形等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 【探究式学习】 1．综合与探究：如图，点在的平分线上，于点A，且． (1)如图1，过点P作于点，根据题意在图1中画出，图中的度数为________； 【问题探究】 (2)如图2，点在线段上，连接，过点P作交射线于点，判断线段，，之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 (3)点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值． 【答案】(1)， (2) 证明：连接，过点作于点，如图所示， 平分， ， ， ，， ，， 为矩形，， 为正方形， ，． ， ，， ， ，， ， ． ，， ， ， ． (3)或4 【分析】（1）根据垂直的性质，利用三个角都是的四边形是矩形，从而求出的度数． （2）利用垂直的性质和等腰直角三角形的判定推出正方形，从而证明，再根据角边角证明推出，最后通过等量代换求出，，之间的数量关系． （3）分两种情况：①当点在线段上时，设，则，，，先证出，根据相似三角形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得；②当点在的延长线上时，利用第（2）问的方法证明 ，设，则，，，先证出，根据相似三角形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：图略， ，，， ， 为矩形， ． （2）略 （3）解：①当在线段上时，延长交于点， 由（2）可知， ， 设，则， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ． ②当在线段的延长线上时，过点作交于点，交于点，如图所示， 由（2）可知，四边形为正方形， ，，， ， ， ，， ， ，， ， ． ，， ， ， ． ， 设，则， ， ． ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．【方法回顾】 (1)如图1，正方形中，点E是边上一点（不与点B，C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数． 方法1：如图2，过点作边延长线的垂线，垂足为点；方法2：如图3，在边上截取，使得，连接；以上两种方法都是构造全等三角形来解决问题，都可以得出________； (2)【类比探究】如图4，点E是菱形的边上一点（不与点B，C重合），，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数； (3)【拓展应用】如图5，在平行四边形中，，，且，点E，F，G分别为边，，上的点（且都不与平行四边形的顶点重合），，，． ①线段的长为； ②在①的结论下，线段的长． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）方法一：由“”可证，可得，可得，由等腰直角三角形的性质可求解；方法二：由“”可得，可得，即可求解； （2）由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可求解； （3）①如图，在上取点K，使，易得，即可得出； ②延长交延长线于点Q，由，易证，进而利用特殊角求出和，再利用相似求出，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：方法一：如图，过点作边延长线的垂线，垂足为点， ∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：如图，在边上截取，使得，连接， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，在边上截取，使得，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①如图，在上取点K，使， ∵，在平行四边形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，设， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得（负值舍去）， ∴； ②如图，延长交延长线于点Q， 由①知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 3．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（） 【初步感知】 (1)如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，求的值； 【深入探究】 (2)如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 (3)在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，构成以为直角边的直角三角形时，直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似得，即可得出答案； （2）先延长交于点H，连接交于点M，由（1）得，即可得出，再根据“角边角”证明，即可说明四边形是矩形，可得，然后说明，可得，接下来证明，可得，最后根据勾股定理求出，进而得出答案； （3）当时，作，作，可得四边形是矩形，再设，再说明，可表示出，然后根据勾股定理求出答案； 当时，作，可得四边形是矩形，再根据勾股定理求出． 【详解】（1）解：∵， 根据勾股定理得， ∴． 由旋转得， ∴， ∴； （2）解：如图所示，延长交于点H，连接交于点M， 由（1）得， ∴． ∵是的中线，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴； （3）解：如图，当时，过点B作于点Q，过点D作于点P，则， ∴四边形是矩形， ∴． 设， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去）， 所以； ②如图所示，，过点B作于点Q，则， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或． 【课后检测】 1．在平面直角坐标系中，直角三角板摆放如图所示，，直角顶点与原点重合，点在反比例函数的图象上．若点坐标为，则的值是（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作轴于，过作轴于，先证，利用得到相似比结合坐标求出点横纵坐标乘积，即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ， ， 又， ， ， 在中，， ， ∴， 已知，则，， ， 解得：，， ． 在上， ． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，将平移得到．若，，则点E的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，坐标与图形，平移的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 过点作轴的垂线l，分别过点作直线l的垂线，垂足分别为，．证明，根据相似三角形的性质和，即可得，再根据，即可求得，即可求解． 【详解】如图，过点作轴的垂线l，分别过点作直线l的垂线，垂足分别为，． ∵点， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 4．如图，矩形的顶点，，点C在y轴正半轴上，D是上一点，连接，作点A关于的对称点E，连接，，当时，的延长线恰好经过点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，正切的定义，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等知识， 接，先利用正切的定义求出，可证明，得出，然后求解即可． 【详解】解∶连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵A，E关于， ∴，，， ∵的延长线恰好经过点B， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 故选∶B． 5．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，其坐标分别为、，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转的规律型，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，过点作轴于点，先根据勾股定理求得，再利用相似三角形的性质求出点的坐标，结合绕点顺时针旋转探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点． 矩形的顶点、分别在轴、轴上，其坐标分别为、， ，， ， ， ，， ， ∴， ，即， ，， ， ， 矩形绕点顺时针旋转，每次旋转， 则第次旋转结束时，点的坐标为； 则第次旋转结束时，点的坐标为； 则第次旋转结束时，点的坐标为； 则第次旋转结束时，点的坐标为； 发现规律：旋转次一个循环， ， 则第次旋转结束时，点的坐标为． 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明，求出，连结，设与交于点F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题． 【详解】解：∵矩形的边，， ∴，，， 由题意知， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴，即， 连接，设与交于点F， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴点的坐标是， 故选：D．    【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键． 6．如图，平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，连接并延长，得到射线，连接，，将沿射线方向平移，平移的距离为的长，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，设平移后为，分别过点作轴的垂线段，在中，由勾股定理得，由已知平移知：，在中，由勾股定理得，从而得到，证明，得到：，从而得到，再根据平移的规律可得，得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设平移后为，分别过点作轴的垂线段，如图： 则，，，， 在中，由勾股定理，得 ∵将沿射线方向平移，平移的距离为的长， ， 在中，由勾股定理，得 ， ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点向左平移个单位长度、再向上平移3个单位长度得到点， ∴点向左平移个单位长度、再向上平移个单位长度得到点， ∴，即平移后点的坐标为， 故选：B． 7．如图，点，，将线段平移得到线段，则点D的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图：过D作，先求出；再根据平移的性质可得四边形是平行四边形，再结合可得四边形是矩形，即；然后证明，利用相似三角形的性质求出，进而求出，则点的坐标是． 【详解】解：如图：过D作于点E， ∵，， ∴， ∵将线段平移得到线段， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 故选D．    【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、矩形的判定与性质、平移的性质，坐标与图形等等等知识点，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 8．如图，菱形的对角线交于点P，且过原点O，轴，点C的坐标为，反比例函数的图象经过A，P两点，则k的值是（　　） A．12 B．9 C．8 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的性质，由菱形的性质得出，结合反比例函数的性质得出，作轴于，轴于，则，由相似三角形的性质得出点的坐标为，即可得解． 【详解】解：四边形为菱形，对角线、交于点， ， 反比例函数的图象经过、两点 ， ， 如图，作轴于，轴于， 则， ， ， 点的坐标为， ，， ，， 点的坐标为， ， 故选：C． 9．如图，矩形的顶点O在坐标原点上， 相交于点 D，已知点若矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转次后，矩形的对角线交点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，由题意可得矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转次后，相当于绕点O顺时针旋转，过点，作轴，轴，轴，证明，得到，根据相似三角形可得，，即可得出答案，掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴8次一个循环， ∵， ∴矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转次后，相当于绕点O顺时针旋转，如图： ∵点的坐标为 ∴， ∵四边形是矩形顺时针旋转所得， ∴，， 过点，作轴，轴，轴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 10．如图，平面直角坐标系中，A（0，6），B（8，0），点C，D为OA，OB的中点，连接AB，CD，作以下操作：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA，AB于点E，F；②分别以点E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线AG，交CD于点M，作射线OM交AB于点N，则点N的坐标为（    ） A． B． C．（4，3） D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质证明OM=MN，推出△OAN是等腰三角形，求得BN=AB-AN=4，再利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵点C，D为OA，OB的中点，∴CD是△OAB的中位线， ∴CD∥AB， ∴=1， ∴OM=MN， 由作图知，AM平分∠OAB， ∴△OAN是等腰三角形，且OA=ON， ∵A（0，6），B（8，0）， ∴OA=ON=6，OB=8， 由勾股定理得AB=10， ∴BN=AB-AN=4， 过点N作NH⊥x轴于点H， ∴NH∥OA， ∴△BNH∽△BAO， ∴， ∴NH=，BH=， ∴OH=OB- BH=， ∴点N的坐标为（，）． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例中位线定理，三角形中位线定理，坐标与图形的性质，证明△OAN是等腰三角形是解题的关键． 11．把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点A、C是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点B，连接．若，，在x轴上取一点P，使的值为“黄金比”，则点P的坐标为___． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，黄金分割，正确理解题意是解题的关键．根据题意可得，再把代入反比例函数解析式中计算求解即可；可得，根据题意可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵轴，，， ∴， ∵反比例函数解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴（已检验）或（舍去）； 即， ∵的值为“黄金比”， ∴， ∴， ∵点P在x轴上， 当在x轴的负半轴上，则点P的坐标为， 当在x轴的正半轴上，则点P的坐标为， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或 12．如图，放置在平面直角坐标系中，轴，轴，点B坐标为，点C坐标为，把绕点A逆时针旋转一个角度后得到，若边经过点则点E的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转、三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定的性质、勾股定理，解题的关键是构建相似三角形建立等式进行求解，添加辅助线，证明，设，，利用勾股定理解出，再利用三角形相似建立等式求解． 【详解】解：过点作轴的垂线，交于，如下图： 由题意得：，， ， 设，， 根据勾股定理：，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 解得：， ， 则点， 故答案为：． 13．如图，点，，连接，点为轴上点左侧的一点，点，分别为线段，线段上的点，点，关于直线对称． （1）若，则四边形的形状是_______； （2）当最长时，点的坐标为____________________． 【答案】 菱形 【分析】本题考查了轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）垂直平分，可得，，再根据，可得四边形是菱形． （2）连结，的延长线交于，当点和重合时最长，根据勾股定理求出，，求出的长，可得的坐标． 【详解】解：点，关于直线对称， 垂直平分， ，， ，， ，， ∴， ， ， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱形； （2）连结，的延长线交于． 当点和重合时最长， ，， ， ． ， ， ， ， ，， ． ， ， ， ， ， 的坐标为． 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若线段，的长是一元二次方程的两个根，且． (1)求对角线的长； (2)连结，若点E为x轴正半轴上的点，当与相似时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先解方程得到的长，再用勾股定理求得菱形的边长，进而求出的长，再用勾股定理求出的长； （2）利用相似三角形的性质，分两种位置讨论，得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， 解得：或， 线段，的长是一元二次方程的两个根，且， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 四边形是菱形， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：． （2）解：如图，连接， 设点的坐标为， 点E为x轴正半轴上的点， ， ， ， 当与相似时，分两种情况： ①， 可得， ， ， ． ②， 可得， ， ， ． 综上所述：点的坐标为或． 15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点D及点，与x轴交于点B． (1)求m的值； (2)若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及的面积； (3)在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点E，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)，24 (3)或 【分析】（1）把代入可求出a的值，然后把A的坐标代入求解即可； （2）根据待定系数法求出直线解析式，然后联立直线解析式与反比例函数解析式，求出方程组的解，即可求出点C的坐标，根据求解即可； （3）先判断，然后分，两种情况讨论，然后构建相似三角形求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 解得； （2）解：设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 由（1）知反比例函数解析式为， 联立方程组， 解得（舍去）或， ∴， 对于，当时，， 解得， ∴， ∴ ； （3）解：联立方程组， 解得（舍去）或， ∴， 设， 连接 并延长至点F，如图， 则，， ∴，即， 又， ∴， 当时，如图，过A作轴，过E作于M，过D作于N， 则，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，如图，过D作轴，过E作于M，过A作于N， 则，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 综上，当点E的坐标为或时，为直角三角形． 16．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在射线上取一点B，使得，过点B作轴于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出点B的坐标_______； (3)在x轴上存在一点P，使最小，求点P坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数关系式可得答案； （2）作轴，作轴，再根据平行线分线段成比例得，然后代入求出点B的横坐标，最后代入关系式求出纵坐标可得答案； （3）先求出点，作点C关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后求出直线的关系式为，最后令求出答案即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点． ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为； （2）解：过点A作轴，于点E，过点B作轴，于点D， ∵， ∴ 设点B的横坐标为a，根据题意，得则， ∴， 解得， 当时，， ∴点； （3）解：∵点，轴， ∴点， 作点C关于x轴对称的点，连接交x轴于点P， ∴， 根据两点之间线段最短可得， ∴的最小值为． 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 92 页 第 1 页 共 92 页 学科网（北京）股份有限公司 $