31.3相似三角形的应用（第2课时）（教学设计）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形的应用（第2课时），核心是运用判定与性质解决跨学科情境及几何内接图形问题。课堂导入通过复习上节课建模流程搭建方法支架，衔接前后知识，助力学生快速进入新课学习。 此资料特色为跨学科融合与数学建模，如凸透镜成像、三角形内接正方形实例，培养模型观念与推理意识。通过追问、彩色标注突破难点，融入中考真题对接考情，提升学生分析解决问题能力，为教师提供高效教学资源。

31.3相似三角形的应用（第2课时） 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 运用相似三角形的判定定理和性质定理，解决跨学科情境、几何内接图形等实际问题，能够将科技、光学以及几何综合情境抽象转化为相似三角形的几何模型。 2. 内容分析 本节课安排在相似三角形判定、性质学习完成之后，是相似三角形应用的第二课时。在第一课时生活测量的基础上，进一步拓展到凸透镜光学成像、三角形内接正方形等跨学科综合问题。要求学生剥离题目中的非几何信息，从文字与示意图中挖掘垂直、平行等隐含条件，判定三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例、面积比等于相似比的平方建立方程求解。本节课既是对相似三角形知识的深度综合，持续发展学生数学模型观念，也加强了数学与物理学科之间的融合联系，同时进一步为后续解直角三角形的综合应用打下方法基础。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：利用相似三角形解决实际问题。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）能够利用相似三角形的知识，解决跨学科等实际问题。 （2）能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力，发展模型观念。 2. 目标解析 （1）学生可以读懂凸透镜成像、三角形内接正方形、镜面反射、小孔成像等综合题型，能在复杂图形中准确找出相似三角形；可以精准识别相似三角形的对应边、对应高，熟练列出比例式或者方程，求解像物高度、内接正方形边长等线段长度。 （2）学生再次完整经历“实际问题抽象成数学问题，构建相似三角形模型，通过计算得到数学结果，还原得到实际问题答案”的解题流程，深化数学建模思想；面对跨学科情境，能够主动过滤非几何背景，挖掘平行、垂直等隐藏条件完成相似推理，提升综合分析复杂问题的能力。 三、教学问题诊断分析 学情分析：学生已经可以处理基础测量类的相似应用题，掌握相似三角形的基础判定与性质。但面对本节课综合题型依旧存在困难：第一，容易被凸透镜、小孔成像等物理名词干扰，难以剥离跨学科背景提取几何条件；第二，三角形内接正方形模型，不能正确识别相似三角形对应的高，容易直接使用原三角形的高参与列式；第三，图形线条多，容易找错相似三角形对应顶点、对应高，造成比例式列写错误；第四，推导、计算结束后忽略实际意义，答题步骤书写不完整。 应对策略：教学中带领学生在图形上标记平行、垂直符号，区分原三角形与缩小之后的三角形的对应高；设置系列追问，让学生口头表述：哪两个三角形相似？判定依据是什么？对应高、对应边分别是哪几条，外化思考过程；利用彩色粉笔标注区分对应线段，反复强化易错点。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：将实际问题转化为相似三角形的数学模型。 四、教学过程设计 （一）复习引入 利用相似三角形解决实际问题的一般步骤： 设计意图：回顾上节课利用相似三角形解决实际问题的建模完整流程，唤醒已有的建模解题经验，为本节课难度更高的跨学科、几何综合问题搭建方法支架，实现课时之间知识的衔接过渡，让学生快速进入新课学习状态。 （二）合作探究 例3 凸透镜是芯片制造设备——光刻机中用来缩小电路图的重要零件.如图是凸透镜缩小电路图的示意图.根据光学原理，平行于凸透镜主光轴BB₁的入射光线AC通过凸透镜时，其折射光线CA₁经过凸透镜右焦点F2； 而经过凸透镜左焦点F1的入射光线AD通过凸透镜时，其折射光线DA₁平行于凸透镜主光轴BB₁. 已知电路图物高AB、像高A₁B₁和凸透镜CD都垂直于主光轴BB₁，OF₁=OF₂， =，求电路图像高A₁B₁与物高AB的比. 追问 图中含有相似三角形吗？如何证明？ 答：△ABF1∽△DOF1；△A1B1F2∽△COF2；△ACD∽△F1OD；△A1DC∽△F2OC. 利用“三角形相似的预备定理”证明两个三角形相似. 追问2 请选择合适的相似三角形，求出A₁B₁与AB的比. 解：∵ AB，CD，A₁B₁ 都垂直于BB₁，DA₁//BB₁， ∴ AB//CD//A₁B₁，四边形ODA₁B₁是矩形. ∴ A₁B₁=OD. ∵ AB//CD，∴ △ABF₁∽△DOF₁ . ∴ = = ， ∴ = . 因此，电路图像高A₁B₁与物高AB 的比为. 例4 如图，△ABC表示一块锐角三角形木板，边BC=120 cm, 高AM=80 cm. 现要在其上裁出 一块正方形木板，使正方形的一条边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，裁出的正方形木板的边长是多少？ 分析：用正方形EFGH表示裁出的正方形木板，则△AHG的高可以表示为△ABC的高AM与正方形EFGH的边长的差.再由 △AHG ∽ △ABC ，即可找 到正方形EFGH的边长与已知条件的关系. 解：如图，用正方形EFGH表示裁出的正方形木板 ，边EF在BC上，顶点G， H分别在AC，AB上 . 记HG与AM相交于点N，则AN为△AHG的高. 设正方形的边长为x cm. ∵HG//BC, ∴△AHG∽△ABC. ∴ = ， 即 = ，解得 x=48. 因此，裁出的正方形木板的边长为48 cm. 设计意图：选取光刻机凸透镜这一现代科技情境，拓宽学生视野，感受数学在高新技术当中的应用价值。通过连续追问，引导学生挖掘平行条件找出多组相似三角形；借助矩形完成线段等量转化，突破本题难点。三角形内接正方形例题，重点聚焦“相似三角形的对应高”，示范利用相似建立一元一次方程求解几何量，层层拆解问题，降低综合题思维门槛。 （三）典例分析 例1 如图，平行于BC的直线DE分别交AB，AC于点D，E，它把△ABC分成面积相等的两部分，试确定点D（或E）的位置. 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∵S△ADE=S四边形DBCE， ∴S△ABC=2S△ADE. ∴()2= = ， ∴ = . 例2 如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，河宽36米，在河的南岸边每隔几米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边24米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则每两棵树间的间隔___5___米． 例3 在图中，已知凸透镜的焦距OF₁=OF₂=f，物距OB=u(u>f)，像距OB₁=v.求证： + = . 分析：△AF1O∽△ADA1 → = △A1F2O∽△A1CA→ = . + =1. 解：连接AA1，则AA1经过点O. ∵F1O∥DA1，∴△AF1O∽△ADA1 ，∴ = ∵F2O∥AC，∴△A1F2O∽△A1CA，∴ = . ∴ + = =1， 两边同时除以f， 得： + = . 设计意图：选取面积等分、河宽测量、凸透镜成像公式推导多种题型，覆盖面积比等于相似比的平方、视线遮挡、跨学科公式推导等几类重要模型。生活与物理例题相结合，巩固建模解题的完整步骤，训练学生在线条繁多的复合图形中筛选相似三角形的能力，体会数学可以推导物理规律，强化模型观念。 （四）巩固练习 1．如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 2．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____． 3．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． （1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 答：旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴，解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 设计意图：练习题涵盖填空、解答多种题型，梯度由浅入深。既覆盖基础必考模型，又训练规范答题书写；通过当堂练习及时检验学生对知识的掌握程度。 （5） 归纳总结 归纳 利用相似三角形解决实际问题的一般步骤： （六）感受中考 1．（2026年四川南充）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（  C   ） A． B． C． D． 2．（2024年江苏扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 3．（2023年四川南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（  B  ） A． B． C． D． 4．（2026年广西）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 设计意图：选用小孔成像、平面镜反射测量物体高度的中考真题，对接中考命题趋势，让学生熟悉跨学科背景下相似应用的中考考法；设置基础题与综合大题，兼顾基础巩固与能力提升，锻炼学生读长题干、提取条件的应考能力。 （七）小结梳理 设计意图：借助单元思维导图，将本节课内容放回整章知识体系，让学生清晰知道本课时在整章的地位，构建完整单元知识网络。 （八）布置作业 1.必做题：习题31.3 第4，5题. 2.探究性作业：复习题31 第13题. 五、教学反思 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $