专题31.1 图形的相似（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 专题31.1 图形的相似 （新教材人教版） 知识点一、相似图形 2 知识点二、相似三角形 2 知识点三、相似多边形 2 知识点四、比例线段 2 知识点五、比例的基本性质 2 知识点六、平行线分线段成比例定理 3 【题型1 相似图形】 3 【题型2 相似多边形】 6 【题型3 比例的性质】 8 【题型4 比例线段】 10 【题型5 成比例线段】 12 【题型6 相似多边形的性质（边长、周长）】 14 【题型7 相似多边形的性质（面积）】 17 【题型8 图形的相似综合计算】 21 【探究式学习】 28 【课后检测】 31 【复盘笔记】 39 知识点一、相似图形 相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形. 要点： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 知识点二、相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于” 知识点三、相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 知识点四、比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点五、比例的基本性质 (1)基本性质：⇔ ad＝bc；（b、d≠0） (2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0） (3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔ ＝k.（b、d、···、n≠0） 知识点六、平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 【题型1 相似图形】 【例1】学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应边成比例，对应角相等的两个图形是相似图形，分别对A、B、C、D各选项的图形进行判断即可得答案. 【详解】解：A.设A选项图形的内边框长为，宽为，内外边框之间的宽为，则外边框长为，宽为， ∴内、外边框的边长比为：，， 当时，， ∴， 此时A选项图形内外边框的图形对应边不成比例，不是相似图形. 当时，， ∴， 此时A选项图形的内外边框的图形对应边成比例， ∵A选项图形的内外边框的图形是矩形， ∴A选项图形的内外边框的图形对应角相等， ∴此时A选项图形的内外边框的图形是相似图形， 综上所述，A选项图形的内、外边框的图形不一定相似，故A符合题意. B. 根据B选项图形的内、外边框的图形是正方形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴B选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴B选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故B不符合题意. C. 根据C选项图形的内、外边框的图形是等边三角形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴C选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴C选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故C不符合题意. D. 根据D选项图形的内、外边框的图形是圆，设内边框的半径为，内外边框之间的宽为，则外边框的半径为， ∴D选项图形的内、外边框的图形的周长比为：，对应角为，也相等， ∴D选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故D不符合题意. 【变式1-1】如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似多边形“对应角相等，对应边成比例”的性质判定即可． 【详解】A选项，两个正方形对应角相等，且对应边成比例，两个正方形相似； B选项：两个等边三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等边三角形相似； C选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等腰直角三角形相似； D选项：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，两个矩形不相似． 【变式1-2】下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，解题的关键是掌握相似图形的判定方法． 相似图形需对应角相等且对应边成比例． 【详解】解：①∵两个等边三角形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ②∵两个等腰直角三角形角均为、、，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ③∵两个正方形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ④∵两个菱形对应角不一定相等， ∴不一定相似，不符合题意； ⑤∵两个正六边形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ∴一定相似的有①、②、③、⑤，共4组， 故选：A． 【变式1-3】下列命题正确的是（   ） A．等边三角形都是相似图形； B．矩形都是相似图形； C．菱形都是相似图形； D．等腰三角形都是相似图形． 【答案】A 【分析】本题考查相似图形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．根据相似图形的定义，对各选项逐一判断即可得答案． 【详解】解：A、等边三角形都是相似图形，故该选项符合题意； B、矩形的长和宽不能确定，不一定相似，故该选项不符合题意； C、菱形各角不能确定，不一定相似，故该选项不符合题意； D、等腰三角形的底角与顶角均不能确定，边长也不确定，不一定相似，故该选项不符合题意； 故选：A． 【题型2 相似多边形】 【例2】已知四边形与四边形相似，相似比为，四边形与四边形相似，相似比为，则四边形与四边形的相似比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将转化为，将转化为，然后求得四边形与四边形相似比即可． 【详解】解：∵四边形与四边形的相似比为，四边形与四边形的相似比为， ∴四边形与四边形的相似比为． 【变式2-1】如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 【变式2-2】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为2，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为2，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形以及相似多边形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据相似三角形的判定可得甲对，根据相似多边形的判定可得乙错，由此即可求解． 【详解】解：甲：如图所示， ∴，， ∴，故甲对； 乙：如图所示，设， ∴，， ∵， ∴原矩形与新矩形不相似，故乙错； 综上所述，甲对，乙错， 故选：A ． 【变式2-3】下列说法正确的是（   ） A．任意两个菱形都相似 B．对角线相等的四边形是矩形 C．在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的判定，矩形的性质，菱形的性质，平行投影．逐项判断：A菱形角不一定相等，故不都相似；B对角线相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是矩形；C菱形面积应为对角线乘积的一半，计算得而非；D太阳光下相似三角形原理成立，身高与影长比相等． 【详解】解：A：∵菱形的对应角不一定相等，∴任意两个菱形不一定相似，故A错误． B：∵等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，∴B错误． C：∵菱形的面积公式为，∴，故C错误． D：∵太阳光线平行，形成相似三角形，∴身高与影长之比相等，故D正确． 故选：D． 【题型3 比例的性质】 【例3】已知三条线段的长分别为、、，则下列长度的线段中，不能与这三条线段构成成比例线段的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例性质：比例的内项之积与外项之积相等求解即可． 【详解】解：设第四条线段长为， 若四条线段构成成比例线段，则两线段的乘积等于另两线段的乘积，分三种情况： ，解得； ，解得； ，解得； 则长度为的线段无法与已知三条线段构成成比例线段． 【变式3-1】如果（a，b，c，d，e，f均为正数），那么下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知多个比值相等，可设参数k表示各量，代入各选项验证． 【详解】解：∵， ∴设，，，，，（均为正数）， ∵，，， ∴选项 A，B，C中结论均正确，不符合题意， ∵， ∴ 选项D中结论错误，符合题意． 【变式3-2】已知a，b，c为的三边，且，则的形状为（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】设，转化为整式关系推导三边相等即可． 【详解】解：设，则，，， 三式相加得，即， ∵，，为的三边， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形． 【变式3-3】若成立，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项的比例式转化为等积式，与已知推导的对比，判断等式是否成立； 【详解】解：∵， ∴，且均不为0. ∵， ∴ ，与已知一致， ∴ A成立； 设，则，， 当时， ∴， ∴ B成立； ∵，，， ∴， ∴C成立； ∵， ∴，与不一定相等， ∴ D不成立； 【题型4 比例线段】 【例4】下列四组数作为长度的线段中，是比例线段的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【详解】解：A、由于，则四条线段成比例线段，故A选项符合题意； B、由于，则四条线段不成比例线段，故B选项不符合题意； C、由于，则四条线段不成比例线段，故C选项不符合题意； D、由于，则四条线段不成比例线段，故D选项不符合题意． 【变式4-1】如果D，E分别在的两边，上，由下列哪一组条件可以推出（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】若能推出，即可证明 ，得到同位角相等，进而推出 ． 【详解】解：A 由可得，结合，得，不能推出 ，A错误； B 仅知道和，无法保证三角形相似，不能推出 ，B错误； C ，，又，， ， ， ， ，C正确； D ，，又，，不能推出 ，D错误； 【变式4-2】有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙的长度之比是．如果将甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的长度之比是，而它们留在墙外的部分一样长．则甲、乙、丙的长度比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设甲的长度是“1”，即可得出乙的长度，再求出甲，丙入墙的长度，然后求出丙的长度，最后求出比即可． 【详解】解：设甲的长度为“1”，则乙的长度为， 甲留在墙外的长度为，丙入墙的长度为， 由题意可知，丙留在墙外的长度与甲相同，也为，则丙的长度为， 所以． 【变式4-3】在和中，，且和的周长之差为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由相似三角形的周长比等于相似比，设的周长为x，则的周长为，根据周长差列方程求解． 【详解】解：∵， ∴，且相似比为. ∴的周长的周长， 设的周长为，则的周长为， ∵和的周长之差为， ∴，即，解得， ∴的周长为， 故选：D． 【题型5 成比例线段】 【例5】下列a，b，c，d四条线段不成比例的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】把a，b，c，d四条线段按从小到大排序后，再根据线段成比例的定义分别对A、B、C、D各选项的线段进行判断即可得答案． 【详解】解：A．把，，，按从小到大排序为： ，， ，， ∵，， ∴， ∴，， ，成比例，故A错误． B．把，，，按从小到大排序为： ，， ， ， ∵，， ∴， ∴，， ， 成比例，故B错误． C．把，，，按从小到大排序为： ， ，，， ∵，， ∴， ∴， ，，不成比例，故C正确． D．把，，，按从小到大排序为：，， ，， ∵，， ∴， ∴，， ，，成比例，故D错误． 【变式5-1】已知线段、，求作线段，使，正确的作法是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知等式变形为比例式，结合平行线分线段成比例定理及尺规作图中先作已知线段的原则进行判断． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵用平行线分线段成比例作线段的核心逻辑是：两条从同一点出发的射线，先在射线上依次截取全部已知的定长线段，再作平行线，最后截出的未知线段是作图的结果，不能一开始就去画还没求出来的， ∴选项错误， 根据平行线分线段成比例定理，图中对应线段成比例，满足，符合题意． 【变式5-2】下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项错误． 【变式5-3】一块矩形绸布的长米，宽米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同列出关于的比例式，最终解得的值． 【详解】解：由题意得，，解得或（舍去）． 故选：B． 【题型6 相似多边形的性质（边长、周长）】 【例6】矩形中，，点E、F分别在边、上，四边形是正方形，四边形四边形，则线段的长是（     ） A． B． C． D．无法计算 【答案】C 【分析】设，根据正方形性质及相似多边形对应边成比例列方程求解． 【详解】解：设， 四边形是正方形，四边形是矩形，， ，，， ， 四边形四边形， ，即， 整理得， 解得， ， ． 【变式6-1】如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠性质得到，再根据相似多边形的性质得到，即，然后利用比例的性质计算即可． 【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式6-2】两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的性质． 利用相似多边形面积比与相似比的关系求出周长比，再结合周长差列方程求解即可． 【详解】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，且两个相似多边形的面积之比为， ∴它们的相似比为． ∵相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为． 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴， 解得， ∴较大多边形的周长为． 故选：A． 【变式6-3】已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似矩形，先求出小矩形的长都是，宽都是，再根据每个小矩形都和矩形相似，列方程求解即可． 【详解】解：将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，则三个相同的小矩形的长都是，宽都是， ∵每个小矩形都和矩形相似， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， 故选：B． 【题型7 相似多边形的性质（面积）】 【例7】在一张比例尺为1：50 000的地图上，一块多边形地区的面积是320cm2，这个地区的实际面积是（　　） A．8×107m2 B．8×108m2 C．8×1010m2 D．8×1011m2 【答案】A 【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，即可求出该区域的实际面积，然后根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：设这个地区的实际面积是，由题意得， 320：＝(1：50000， 解得：＝8×， 8× ＝8× ， 故选：A． 【点睛】此题考查的是相似多边形的性质和科学记数法，掌握相似多边形面积的比等于相似比的平方和科学记数法的定义是解决此题的关键． 【变式7-1】小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他手绘了如图2所示的图形．图2中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形．若，，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键， 两个正六边形为相似图形，所以我们要求面积比，则可求边长比，因此只需求出小正六边形的边长即可，根据这一特殊角，解即可得解． 【详解】解：设小正六边形的边长为，则， ∵是小正六边形的外角， ∴， 将作简化图如下， 过作于点， 在中，，， ∴ 在中，， ， 整理得． 解得，（舍）， ．．小正六边形得边长为5， 小正六边形与圆内接正六边形是相似图形， ∴相似比为， ∴面积比为， 故选：D． 【变式7-2】如图，已知中，点，，，分别为，，，上的点，且，，分别与，相交于点，，若，则的面积一定可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，过作于，设，设，，，由，得，，再证，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边性质，得，，，，，进而利用面积公式即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过作于，设，设，，，    ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边性质， ∴，，，， ∴， ∵于，， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，即，． ∵， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质，平行四边形的判定及性质，解直角三角形，相似形的性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 【变式7-3】如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是25，则四边形的面积是（　　） A．4 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质，比例的性质，相似多边形的性质；先根据位似的性质得到，四边形与四边形相似，，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可；掌握性质，能根据性质求出相似比是解题的关键. 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心， ， 四边形与四边形相似， ， ， ， ， 解得：； 故选：A． 【题型8 图形的相似综合计算】 【例8】某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去． 【概念理解】定义：“圆心角相等的两个扇形叫做相似扇形”，其半径的比叫做相似比；相似扇形有性质：弧长比等于相似比、面积比等于相似比的平方……例如：如图1，分别以线段，为直径作半圆O与半圆，即可得到一对相似扇形，其相似比为． 【初步应用】（1）如图2，已知扇形与扇形，，求证：扇形与扇形是相似扇形； 【拓展提升】（2）①如图3，扇形、是相似扇形，点P是上一点，且点P在的垂直平分线上，求的度数； ②在①的条件下，若的长为a，求的长（用字母a的代数式表示）． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， 解得：， ∴扇形与扇形是相似扇形． （2）①；② 【分析】（1）由，再代入弧长公式即可得到结论； （2）①证明，利用三角形内角和定理列式计算即可求解； ②先证明，，可得，设，，可得，再进一步解答即可. 【详解】（1）略 （2）解：①∵扇形与扇形相似， ∴， ∵，， ∴， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由题意得， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∵的长为a， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是相似多边形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，弧长，扇形面积的计算，一元二次方程的解法，理解题意是关键. 【变式8-1】框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 【答案】(1)小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， (2)． 【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可； （2）由使矩形矩形，利用相似多边形的性质，可得＝ ，然后利用比例的性质． 【详解】（1）解：小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， 解：设温室的宽为xm，则长为，则矩形蔬菜种植区域的宽为m，长为m． ∵， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以温室的长为， 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． （2）解：要使矩形矩形， 就要＝，即， 即， 即， ∴， ． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质及比例的性质，与图形有关的一元二次方程的应用；如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 【变式8-2】学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形与四边形相似，点分别与点对应 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． 【答案】探究：证明：连接，如图所示： ∵四边形 与四边形相似， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 运用： 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质是解题的关键． 【探究】连接，证明，得出，，则可得出答案；【运用】由矩形的性质得出，证出，由结论“四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似”证明四边形四边形，则可得出答案． 【详解】【探究】略 【运用】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形四边形， ∴． 【变式8-3】向阳中学有一块正方形的空地，边长为，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为，中间小正方形的边长为． 小芳：如图，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为．    (1)求小明的方案中矩形①的面积． (2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设矩形①的长为，宽为．根据矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为，得到矩形②的长为，宽为，解方程即可得到结论； （2）根据小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为，得到正方形的边长为，设，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：设矩形①的长为，宽为． 矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为， 矩形②的长为，宽为， 由图可知，，， 解得，， 矩形①的面积为； （2）小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为， 正方形的边长为， 设，， ，， ， 整理可得， 解得， 负数舍去， ， 小直角三角形的周长是． 每个小三角形的实际周长为．    【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，二元一次方程组的应用，勾股定理，解一元二次方程，综合运用以上知识是解题的关键． 【探究式学习】 1．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”） (1)①三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题） ②两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图，在凸四边形和凸四边形中，，=， = = ， 求证：四边形和四边形相似． 【答案】(1)假，真 (2) 证明：连接， ∵，， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，，，， ∴四边形和四边形相似． 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识． （1）根据相似多边形的定义即可判断； （2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可． 【详解】（1）解：根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，可得： ①三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例； ②两个大小不同的正方形四个角分别相等，四条边对应成比例，所以两个大小不同的正方形相似，是真命题； 故答案为：假，真； （2）略 2．在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段被点C、D白银分割，点C、D叫做线段的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． (1)以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设，．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． (2)如图3，点C为线段靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1) 解：，， ， ， 解得：，（舍去）； (2) 如图所示：点P即为所求． 【分析】本题考查了白银分割的概念及应用、一元二次方程的求解以及尺规作图，解题关键是理解白银分割的比例关系并据此列出方程求解，同时利用尺规作图的基本原理作出符合要求的图形． （1）根据线段设定及白银分割定义，用含x的式子表示各线段长度，依据白银分割比例关系列出方程，将方程化为一元二次方程标准形式，利用求根公式求解，根据线段长度非负性舍去不合理的值． （2）连接，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、 ；以点为圆心，同样的半径画弧，交于点，用圆规量取的长度，以点为圆心，长为半径画弧，交之前所画弧于点，用直尺连接并延长，与相交于点，此时，根据同位角相等，两直线平行，可得，点就是线段靠近点的白银分割点． 【详解】（1）略 （2）略 【课后检测】 1．如果，，，，那么（     ） A．a，b，c，d成比例 B．a，c，d，b成比例 C．a，c，b，d成比例 D．a，b，d，c成比例 【答案】B 【分析】分析四个数据，判断能否满足两内项之积等于两外项之积，再将其写成比例式形式即可． 【详解】解：，，，， ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即，，，成比例． 2．已知线段a、b、c、d依次成比例，其中线段，，，那么线段d的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵线段、、、成比例， ∴. 将，，代入上式，得， ； . 3．已知，下列变形错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴选项变形正确，选项变形错误． 4．已知、、、四条线段成比例，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式，代入已知长度计算的值． 【详解】解：∵、、、四条线段成比例， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 5．已知（），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例关系，将和分别用和表示，然后代入所求分式化简即可求值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 6．若，且，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将待求分式变形为含的形式，代入已知比例值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 7．如图所示，四边形四边形，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似多边形的性质得到，进而求出的度数． 【详解】解：四边形四边形， ． 四边形的内角和为， ． 8．我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设，由折叠的性质可得，根据相似的性质得到，，据此求解即可． 【详解】解：设， 由折叠的性质可得， ∵这两种规格的矩形纸片相似， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴“白银”比为． 9．如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明四边形是正方形，得到，根据勾股定理求出，进而计算的值即可． 【详解】解：∵正方形，点E是对角线上的一点，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设， 则， ， ， ． 10．如图，将一张矩形纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．则与的比值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点定义得到线段倍数关系，然后利用矩形相似得到对应边成比例，再设未知数代入比例建立等式，最后化简计算求出线段比值． 【详解】解：，分别是，的中点， ． 矩形与矩形相似， ． 设，，则． 代入比例式： ， ． ， ． ． 11．如图所示的各组图形中，是相似图形的是______（填序号）． 【答案】②③ 【分析】明确相似图形的判定依据：形状相同，大小可以不同，对应角相等、对应边成比例．依次分析每组的两个图形：先判断形状是否完全一致，再看对应元素的特征是否匹配．如果两个图形满足形状相同，那么这组图形是相似图形． 【详解】①中两个圆形脸部，一个是微笑的上扬嘴形，一个是难过的下弯嘴型，形状不一致，不是相似图形； ②中的两个正五边形，形状完全相同，仅大小不同，符合相似图形的要求； ③中的两个标志，内部的斜向图案朝向虽有差异，但整体形状细节一致，是相似图形． 因此是相似图形的是②③． 12．在比例尺为的地图上A、B两处的距离是，那么A、B两处实际距离为________m． 【答案】24 【分析】设A、B两处实际距离为，根据比例尺的定义计算即可． 【详解】解：设A、B两处实际距离为， 比例尺为，A、B两处的图上距离是， ， 解得（）， ， 、B两处实际距离为． 13．若，则________． 【答案】/ 【分析】根据比例性质，设，，代入中求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 14．如果，那么直线必过______象限． 【答案】第一、四 【分析】由连等比设公共比值为，列出关于的等式；分与两种情况求出，再分别讨论直线经过的象限． 【详解】解：由题意，得 ． ∴，，． 三式相加，得． 当时，，直线为，经过第一、三、四象限； 当时，，则，直线为，经过第一、二、四象限． ∴直线一定经过第一、四象限． 15．如图四边形四边形，依据所标数据，解答下列问题． (1)求的度数． (2)求边x，y的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据相似图形对应角相等，即可求解； （2）根据相似图形对应边成比例，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴， ∴． （2）解：∵四边形四边形， ∴，即， ∴，． 16．已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)，， (2)线段的长为 【分析】（1）设连等式的比值为，用含的代数式表示，代入求解即可； （2）根据比例中项的定义列出等式，结合线段的长度为正数求解即可． 【详解】（1）解：设， 则， 代入得：， 解得：， ． （2）解：线段是线段，的比例中项， ，即， ， ， 线段的长度为正数， ． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 39 页 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题31.1 图形的相似 （新教材人教版） 知识点一、相似图形 2 知识点二、相似三角形 2 知识点三、相似多边形 2 知识点四、比例线段 2 知识点五、比例的基本性质 2 知识点六、平行线分线段成比例定理 3 【题型1 相似图形】 3 【题型2 相似多边形】 4 【题型3 比例的性质】 5 【题型4 比例线段】 5 【题型5 成比例线段】 6 【题型6 相似多边形的性质（边长、周长）】 7 【题型7 相似多边形的性质（面积）】 7 【题型8 图形的相似综合计算】 8 【探究式学习】 13 【课后检测】 15 【复盘笔记】 18 知识点一、相似图形 相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形. 要点： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 知识点二、相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于” 知识点三、相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 知识点四、比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点五、比例的基本性质 (1)基本性质：⇔ ad＝bc；（b、d≠0） (2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0） (3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔ ＝k.（b、d、···、n≠0） 知识点六、平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 【题型1 相似图形】 【例1】学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（     ）. A． B． C． D． 【变式1-1】如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 【变式1-3】下列命题正确的是（   ） A．等边三角形都是相似图形； B．矩形都是相似图形； C．菱形都是相似图形； D．等腰三角形都是相似图形． 【题型2 相似多边形】 【例2】已知四边形与四边形相似，相似比为，四边形与四边形相似，相似比为，则四边形与四边形的相似比为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【变式2-2】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为2，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为2，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【变式2-3】下列说法正确的是（   ） A．任意两个菱形都相似 B．对角线相等的四边形是矩形 C．在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【题型3 比例的性质】 【例3】已知三条线段的长分别为、、，则下列长度的线段中，不能与这三条线段构成成比例线段的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如果（a，b，c，d，e，f均为正数），那么下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知a，b，c为的三边，且，则的形状为（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式3-3】若成立，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【题型4 比例线段】 【例4】下列四组数作为长度的线段中，是比例线段的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式4-1】如果D，E分别在的两边，上，由下列哪一组条件可以推出（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙的长度之比是．如果将甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的长度之比是，而它们留在墙外的部分一样长．则甲、乙、丙的长度比是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】在和中，，且和的周长之差为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【题型5 成比例线段】 【例5】下列a，b，c，d四条线段不成比例的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式5-1】已知线段、，求作线段，使，正确的作法是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】一块矩形绸布的长米，宽米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【题型6 相似多边形的性质（边长、周长）】 【例6】矩形中，，点E、F分别在边、上，四边形是正方形，四边形四边形，则线段的长是（     ） A． B． C． D．无法计算 【变式6-1】如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 【变式6-3】已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【题型7 相似多边形的性质（面积）】 【例7】在一张比例尺为1：50 000的地图上，一块多边形地区的面积是320cm2，这个地区的实际面积是（　　） A．8×107m2 B．8×108m2 C．8×1010m2 D．8×1011m2 【变式7-1】小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他手绘了如图2所示的图形．图2中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形．若，，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，已知中，点，，，分别为，，，上的点，且，，分别与，相交于点，，若，则的面积一定可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【变式7-3】如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是25，则四边形的面积是（　　） A．4 B．10 C． D． 【题型8 图形的相似综合计算】 【例8】某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去． 【概念理解】定义：“圆心角相等的两个扇形叫做相似扇形”，其半径的比叫做相似比；相似扇形有性质：弧长比等于相似比、面积比等于相似比的平方……例如：如图1，分别以线段，为直径作半圆O与半圆，即可得到一对相似扇形，其相似比为． 【初步应用】（1）如图2，已知扇形与扇形，，求证：扇形与扇形是相似扇形； 【拓展提升】（2）①如图3，扇形、是相似扇形，点P是上一点，且点P在的垂直平分线上，求的度数； ②在①的条件下，若的长为a，求的长（用字母a的代数式表示）． 【变式8-1】框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 【变式8-2】学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形与四边形相似，点分别与点对应 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． 【变式8-3】向阳中学有一块正方形的空地，边长为，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为，中间小正方形的边长为． 小芳：如图，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为．    (1)求小明的方案中矩形①的面积． (2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ 【探究式学习】 1．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”） (1)①三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题） ②两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图，在凸四边形和凸四边形中，，=， = = ， 求证：四边形和四边形相似． 2．在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段被点C、D白银分割，点C、D叫做线段的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． (1)以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设，．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． (2)如图3，点C为线段靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 【课后检测】 1．如果，，，，那么（     ） A．a，b，c，d成比例 B．a，c，d，b成比例 C．a，c，b，d成比例 D．a，b，d，c成比例 2．已知线段a、b、c、d依次成比例，其中线段，，，那么线段d的长度为（     ） A． B． C． D． 3．已知，下列变形错误的是（     ） A． B． C． D． 4．已知、、、四条线段成比例，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．已知（），则的值为（     ） A． B． C． D． 6．若，且，则的值为（      ） A． B． C． D． 7．如图所示，四边形四边形，，则（     ） A． B． C． D． 8．我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为（     ） A． B． C．2 D． 9．如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，将一张矩形纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．则与的比值是（     ） A． B． C． D． 11．如图所示的各组图形中，是相似图形的是______（填序号）． 12．在比例尺为的地图上A、B两处的距离是，那么A、B两处实际距离为________m． 13．若，则________． 14．如果，那么直线必过______象限． 15．如图四边形四边形，依据所标数据，解答下列问题． (1)求的度数． (2)求边x，y的长． 16．已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 39 页 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $