31.2.2三角形相似的判定（第2课时）（教学设计）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦三角形相似的判定（第2课时），核心内容为三边成比例的两个三角形相似、斜边和一直角边成比例的直角三角形相似及综合应用。通过复习已学相似判定定理，类比全等三角形研究路径，搭建前后知识桥梁，延续“猜想—证明”的几何探究模式。 本资料亮点在于类比全等SSS、HL进行定理猜想，用构造中间三角形的转化思想完成证明，直角三角形判定结合勾股定理体现代数证几何，培养推理意识与几何直观。典例含网格计算边长、多解分类讨论等，提升应用意识，帮助学生构建完整知识体系，助力教师高效开展教学。

31.2.2三角形相似的判定（第2课时）教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 三边成比例的两个三角形相似；斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似，相似三角形判定定理的综合应用。 2. 内容分析 本节课是三角形相似判定的第2课时，在学生已经掌握两角分别相等、两边成比例且夹角相等判定三角形相似的基础之上，继续类比全等三角形SSS、HL的探究思路，得到“三边成比例”的一般三角形相似判定，以及直角三角形专属的“斜边、直角边成比例”相似判定。 两个定理证明依旧沿用“截取线段，作平行线构造中间三角形”的转化思想，借助预备定理完成演绎证明；直角三角形专属相似判定方法结合勾股定理完成推导，体现代数手段解决几何问题。至此三角形相似全部判定定理学习完毕，为后续几何综合、圆、解直角三角形打下推理基础。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并证明三角形相似的判定定理（三边、斜边直角边）。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）了解相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似；斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似。 （2）会综合利用相似三角形的判定定理进行证明或计算。 2. 目标解析 （1）学生能够复述两个判定定理，读懂定理证明过程；理解三边成比例证明中构造中间三角形的桥梁作用，理解直角三角形专属的相似判定方法借助勾股定理推导的逻辑；能区分普通三角形与直角三角形判定条件的异同，规范书写定理对应的符号语言。 （2）能根据题目条件灵活选择合适的相似判定方法，网格题中会借助勾股定理计算边长，使用三边成比例证相似；直角三角形能辨析多种判定条件；能处理多解类几何问题；可以综合利用判定定理完成证明、线段求值。 三、教学问题诊断分析 学情分析：学生已经学习了前两个三角形的相似判定，会运用勾股定理计算线段长度。但是存在难点：①运用三边成比例判定时，容易搞错对应边，比例式对应关系写反；②直角三角形相似判定条件多，学生容易混淆，分不清普通判定和直角三角形特有的判定方法；③遇到多解问题，容易漏解；④多个判定定理学完之后，不会根据已知条件快速挑选最合适的判定方法，综合推理能力不足。 应对策略：类比全等SSS、HL进行猜想，建立新旧知识联系，明确对应边要“长短对应”，训练学生先排序再写比例式；对比梳理普通三角形、直角三角形全部的相似判定，表格归纳，区分通用条件和直角三角形专属条件；针对多解题型，引导学生分类讨论，标注不同对应情况，训练完整审题。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：综合利用相似三角形的判定定理进行证明或计算。 四、教学过程设计 （一）复习引入 问题 对于三角形相似的判定，我们是如何研究的? 类比判定三角形全等的研究思路，我们分情况讨论：两个三角形满足 1.一角相等；2.两边成比例；3.两角(三角)相等；4.两边成比例一角相等；5.三边成比例. 得到了三角形相似的判定定理： （1）两角分别相等的两个三角形相似. （2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 本节课我们继续讨论“三边成比例”的情况. 设计意图：回顾上一节课得到的两个相似判定定理，延续类比全等三角形的研究路径，引出本节课要探究的三边成比例的情形，搭建前后课时知识的桥梁，让学生延续“猜想—证明”的几何探究模式，为本节课新知探究做好铺垫。 （二）合作探究 探究3 类比判定三角形全等的“边边边”，三边满足什么条件的两个三角形相似?能证明你的结论吗? 答：与“三边分别相等的两个三角形全等”相对应， 我们猜想：三边成比例的两个三角形相似. 如图，在△ABC和△ A′B'C′中， = = . 求证：△ABC∽△A'B'C′. 证明： 如图，在△A'B'C′的边A′B′ ( 或其延长线)上截取A′D=AB，过点D 作DE//B'C′，交A'C′于点E. 根据上一节的定理，可得△A′DE∽△A′B'C′. ∴ = = ， 又 = = ，A′D=AB， ∴DE=BC，A'E=AC. ∴△A'DE≌△ABC. ∴△ABC∽△A'B'C'. 注意：△A'DE是联系△ABC和△A′B′C′的桥梁. 三角形相似的判定定理 （3）： 三边成比例的两个三角形相似. 符号语言 ∵ = = ， ∴△ABC∽△A'B'C′. 归纳 三角形相似的判定定理 预备定理：平行于三角形一边的直线，与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. 判定1：两角分别相等的两个三角形相似 判定2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 判定3：三边成比例的两个三角形相似 根据三角形相似的判定定理可知，如果一个三角形的两角、或两边的比及其夹角、或三边的比确定了，那么这个三角形的形状也就确定了. 探究2 类比判定直角三角形全等的“斜边、直角边”，满足什么条件的两个直角三角形相似?能证明你的结论吗? 答：与“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”相对应， 我们猜想：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似. 如图，在Rt△ABC和Rt△ A′B'C′中， ∠C=∠C′=90°， = . 求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 证明： 设 = =k，则 AB=kA'B′，AC= kA'C′. 由勾股定理，得 BC=，B'C′=. ∴ = = = =k. ∴ = = . ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. 三角形相似的判定定理 （4）： 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 符号语言 ∵ ∠C=∠C′=90°， = ，∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 思考 结合直角三角形相似的判定方法，你能说一说如何确定一个直角三角形的形状吗? 归纳 直角三角形相似的判定定理 判定1：一个锐角相等的两个直角三角形相似 判定2：两组直角边成比例的两个直角三角形相似 判定3：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似 根据直角三角形相似的判定定理可知，如果一个直角三角形的一个锐角、或两条直角边的比、或斜边和一直角边的比确定了，那么这个直角三角形的形状也就确定了. 设计意图：类比全等SSS猜想三边成比例的两个三角形相似，沿用构造辅助三角形的方法完成证明，巩固转化的数学思想；再类比直角三角形全等HL，结合勾股定理推导出直角三角形特有的相似判定定理，实现代数运算证明几何命题。最后归纳全部的相似判定方法，完善学生的知识框架。 （三）典例分析 例1 如图，在由相同的小正方形组成的网格中，点 A，B，C，D，E都在格点上.求证：△ABC∽△CED. 分析：根据勾股定理可以求出这两个三角形的各边长，进而可以利用三边成比例证明这两个三角形相似. 证明：设小正方形的边长为a，根据勾股定理， AB=a，BC=3a，AC=2a； CE=2a，ED=6a，CD=4a. ∴ = = = ， ∴ △ABC∽△CED. 例2 已知在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，则不能使两直角三角形相似的条件为（ D ） A. ∠A=∠A′ B．AC:A′C′=BC:B′C′ C．AC:AB=A′C′:A′B′ D．AC:AB=B′C′:A′C′ 例3 如图，已知：∠ACB=∠ABD=90°，BC=3，AC=4，当BD=_或_时，图中的两个直角三角形相似． 提示：当BD:BC=AB:AC时，△ABC∽△ADB.当BD:AC=AB:BC时，△ABC∽△DAB. 设计意图：例1是网格背景下的格点三角形，训练用勾股定理求边长，运用三边成比例证明相似，规范找对应边的方法；例2以选择题辨析直角三角形相似的各个判定条件，排查易错点；例3设置分类讨论多解问题，训练学生识别直角三角形相似中的对应关系，克服漏解问题；三道例题分别落实本节课两个核心定理，同时兼顾综合运用，示范答题书写格式。 （四）巩固练习 1．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ B ） A． B． C． D． 2．下列条件中，不能判定的是（  D   ） A．， B． C．，且 D．，且 3．下列说法不正确的是（  A ） A．有一组角对应相等的两个直角三角形相似 B．有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似 C．两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 4．一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（  B  ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 5.在△ABC与△A'B'C′中，AB=4，BC=6，AC=8，A'B′=12，B′C'=18，A'C′=24. 这两个三角形相似吗?请说明理由，如果相似，相似比是多少? 解：这两个三角形相似，理由如下： ∵AB:A'B′=4:12=1:3，BC:B′C'=6:18=1:3，AC:A'C′=8:24=1:3， ∴ = = = . ∴△ABC∽△A'B'C′，相似比为 . 6.如果Rt△ABC的一条直角边和斜边长分别为3，5，那么一条直角边和斜边长分别为3k和5k(k是正数)的直角三角形一定与Rt△ABC相似吗?为什么? 解：相似，理由如下： 设在Rt△ABC和Rt△A'B'C′中， ∠C=∠C′=90°，AB=5，BC=3，A′B′=5k，B′C′=3k， ∴AB:A′B′=1:k，BC:B′C′=1:k， ∴ = ， ∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 设计意图：练习包含多种题型，覆盖三边成比例判定、直角三角形相似判定，既有基础概念辨析，也有实际模型计算；由浅入深巩固新知，强化对应边的识别，训练学生根据已知条件选择合适判定定理，及时发现学生的知识漏洞。 （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2020年云南昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫作格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　C　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．（2020年黑龙江大庆）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（  A  ） A．或 B．15 C． D． 分析：在第一个直角三角形中，若m是直角边，则，若m是斜边，则； 在第二个直角三角形中，若n是直角边，则，若n是斜边，则； 又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10，m= 和n=不能同时取， 即当m=5，，， 当，n=10，. 设计意图：选用中考真题，设置网格作图、多解计算等高频考点，对接中考命题方向；训练学生在复杂情境中灵活选用相似判定定理，训练分类讨论思想，提升综合解题能力。 （七）小结梳理 设计意图：借助思维导图完整梳理本章知识脉络，汇总全部三角形相似的判定定理，把预备定理和判定定理串联，帮助学生建立完整知识体系，厘清知识生成逻辑。 （八）布置作业 1.必做题：习题31.2 第4(3)，7题. 2.探究性作业：习题31.2 第10题. 五、教学反思 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $