专题31.3 相似三角形的应用（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版九年级数学下册
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精品
内容正文：
简一数理 初中专题讲义
专题31.3 相似三角形的应用
（新教材人教版）
知识点一、核心原理 2
知识点二、相似三角形的常见应用 2
知识点三、解题一般步骤 2
【题型1 平行投影（太阳光）测物体高度】 2
【题型2 镜面反射法测量高度】 6
【题型3 标杆法测量物体高度】 10
【题型4 利用相似测量河宽、池塘宽度】 16
【题型5 视线盲区问题计算】 20
【题型6 利用相似求零件、模型长度】 25
【题型7 动态实际场景中的相似求值】 28
【题型8 相似实际应用综合计算】 30
【探究式学习】 35
【课后检测】 40
【复盘笔记】 52
知识点一、核心原理
相似三角形对应角相等，对应边成比例，利用这一性质，可在无法直接测量长度、高度、宽度的实际场景，构造相似三角形建立比例式求解未知线段。
知识点二、相似三角形的常见应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
知识点三、解题一般步骤
① 审题，找到两组对应三角形；
② 证明两个三角形相似；
③ 找准对应边，列出比例式；
④ 代入已知数据，解方程求出未知长度；
⑤ 检验结果，作答。
【题型1 平行投影（太阳光）测物体高度】
【例1】如图，为了测量校园里一根旗杆的高度，小颖通过调查得知旗杆旁教学楼高，在楼顶端处测得旗杆顶端的俯角为，在某一时刻太阳光照射下，旗杆顶端的影子落在地面上的点处，楼顶端的影子落在地面上的点处，测得，已知旗杆、教学楼均垂直于地面，且点在同一条直线上，求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：
【答案】
【分析】过点A作于点H，则四边形为矩形，设，则，再由相似三角形的判定和性质得出，利用正切函数求解即可．
【详解】解：如图，过点A作于点H，则四边形为矩形，
∴，
设，则，
由题意知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在C处测得A的俯角为，
∴，
解得：．
答：旗杆的高度约为．
【变式1-1】如图，小明和小亮打算用不同的方法测量学校操场边一个垂直于路面的路灯的高度．他们分别在白天和晚上利用太阳光和路灯的灯光进行测量．
(1)如图1，若垂直于地面的标杆的长为，在太阳光下小明测得它的影长为，同一时刻，小亮测得路灯的影长为，求路灯的高度．
(2)如图2，小亮在晚上路灯亮后来到路灯附近，他先蹲在点处，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，接下来小亮站起来，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，求路灯的高度．
【答案】(1)路灯的高度为
(2)路灯的高度为
【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影，也考查了相似三角形的判定与性质．
（1）由题意得，再根据相似的性质求解即可；
（2）根据题意，先证，得到，再代入相关值求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
，即，解得．
答：路灯的高度为.
（2）解：，
，
，
即，
，
，
．
答：路灯的高度为．
【变式1-2】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一百五十寸，同时立一根一十五寸的小标杆，它的影长五寸，则竹竿的长为（ ）
A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
【答案】B
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】解：设竹竿的长度为x寸，
竹竿的影长=150寸，标杆长=15寸，影长=5寸，
,
解得：．
答：竹竿长为450寸，
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
【变式1-3】天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿长2米，在太阳光下，它的影长为米，同一时刻，祈年殿的影长约为米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度约（ ）米．
A．20 B．15 C．28 D．38
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，则，得到，即可解答．
【详解】解：设祈年殿的高度为米，
由题意可得，，
∴，
∴
则，
解得．
所以祈年殿的高度为38米．
故选：D．
【题型2 镜面反射法测量高度】
【例2】综合与实践：利用相似三角形测量距离．
【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧：反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．
【探索活动】淇淇和嘉嘉分别测量两个旗杆高度．
【活动1】如图2所示，淇淇将镜子放在地面上，然后后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为，已知淇淇的身高是，眼睛位置A距离淇淇头顶的距离是，求旗杆的高度．
【活动2】如图3所示，嘉嘉在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（），另一部分落在斜坡上（），他测得落在地面上的影长为，落在斜坡上的影长为，，求旗杆的高度？
【深度思考】在实际测量的过程中，你有哪些措施可以帮助他（她）们减小测量过程中的误差？（写出一条即可）
【答案】活动1：的长为；活动2：旗杆的高度约为；深度思考：在实际测量的过程中，多次测量求平均值，可以减小测量数据产生的误差（答案不唯一）
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
活动1：根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案．
活动2：延长交的延长线于点F，过点D作于点E，根据勾股定理求出的长，再由同一时刻物高与影长关系得出的长，进而求得的长，仍由同一时刻物高与影长关系即可得出的长．
深度思考：在实际测量的过程中，多次测量求平均值，可以减小测量数据产生的误差（答案不唯一）．
【详解】解：活动1：由题意可知：；，
∵，
，
，
∴，
∴即，
∴，
答：的长为．
活动2：延长交的延长线于点F，过点D作于点E，
∵，
，
，
，
∴，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
，
∴，
∴即，
∴，
答：旗杆的高度约为．
深度思考：在实际测量的过程中，多次测量求平均值，可以减小测量数据产生的误差（答案不唯一）．
【变式2-1】小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智和古塔之间，直线上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C，镜子不动，小安看着镜面上的标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地面的高度米，米．同时，在阳光下，古塔的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测得大智身高为1.8米，影长为3.6米，已知，米，A、H、G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔的高度．
【答案】古塔的高度为96米
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，准确判断出相似三角形，理解相似三角形的性质是解题关键．直接利用相似三角形的判定与性质得出，证明，进而得出的长，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：，
，
，
米，米，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：米，
经检验，是上述分式方程的解且符合实际意义，
故米．
答：古塔的高度为96米．
【变式2-2】西安世园会标志性雕塑水龙，内部为钢结构，外包镜面不锈钢，既像一股水花，又似一条飞龙，既蕴含了上善若水的中国传统理念，又有巨龙腾飞的时代精神．小刚同学想利用所学知识测量该雕塑的高度AB，如图，他在距离B点48米的点C处水平放置了一个小平面镜，并沿着BC方向移动，当移动到点E处时，他刚好在小平面镜内看到雕塑的顶端A的像，此时，测得CE=2米，小刚眼睛与地面的距离DE=1.5米．已知点B、C、E在同一水平直线上，且AB⊥BE、DE⊥BE，求雕塑的高度AB．(小平面镜的大小忽略不计)
【答案】雕塑的高度是米．
【分析】证明△ABC∽△DEC，根据相似三角形对应边成比例求出AB即可．
【详解】解：根据题意，得∠ACB=∠DCE．
∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠ABC=∠DEC=90°．
∴△ABC∽△DEC．
∴．
∵BC=48米，CE=2米，DE=1.5米，
∴．
解得AB=36．
答：雕塑的高度AB是36米．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解光的反射定理，属于基础题．
【变式2-3】为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了下面两种测量方法．
(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________；
(2)如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
【答案】(1)11.3
(2)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质，理解题意是解答的关键．
（1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得；
（2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
则，
故答案为：11.3；
（2）解：如图，
由反射定律可知，
又，
∴，
∴，即，
解得，
答：旗杆高度为12米．
【题型3 标杆法测量物体高度】
【例3】【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案．
【思考】两个同学的测量方案如下：
甲同学方案
乙同学方案
测量过程及数据
如图，在距离旗杆底点米远的处竖立一根高米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，，，点、、在同一直线上．
如图，乙同学拿着一根长为厘米的木棒站在离旗杆米的地方（即点到的距离为米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上）时，已知点到木棒的距离为厘米．
示意图
选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度．
【答案】旗杆的高度为米
【分析】过点作的垂线，垂足为，交于点，若选择甲同学方案，利用平行，易得，从而，代入计算即可；若选择乙同学方案，利用平行，易得，，从而可得，代入计算即可．
【详解】解：若选择甲同学方案，
如图，过点作的垂线，垂足为，交于点，
由题可知，，米，米，米，米，米，米，
，，
，
，
，即，
米，
米，
则旗杆的高度为米．
若选择乙同学方案，
如图，过点作，垂足为，交于点，
由题可知，，米，厘米米，厘米米，
，
，，
，，
，即，
米，
则旗杆的高度为米．
【变式3-1】法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物、某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．
(1)请计算标杆与“真身宝塔”的距离的值？
(2)“真身宝塔”的高度是多少？
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）证明，，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解即可；
（2）根据可推出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，将标杆向右平移到点处，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
∴标杆与“真身宝塔”的距离的值为米；
（2）解：由（1）知：，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴“真身宝塔”的高度是米．
【变式3-2】为了测量某金字塔的高度，在太阳光下，先竖一根已知长度的标杆，然后测量标杆和金字塔影子的长度，就可以近似求出金字塔的高度．如图，某时刻测得金字塔的影端A到点B的长，标杆的影长．已知标杆的长度为，求金字塔的高度．
【答案】
【分析】根据题意可证明，则，据此求出的长即可．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
答：金字塔的高度为．
【变式3-3】为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表：
课题
测量教学大楼（）的高度
测量小组
第一组
第二组
第三组
测量示意图
说明
人站在大楼影子的顶端，为人的影长
为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上
点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端
测量数据
，
，，，
，，
说明：图中所有点都在同一平面内
(1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组；
(2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度．
【答案】(1)一
(2)解：选择第二组的方案，
延长交的延长线于点G，如图所示：
根据题意得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴教学大楼的高度为；
选择第三组的方案，
根据题意得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴教学大楼的高度为．
【分析】（1）第一组方案，可证明，得到，已知数据中只有的长，没有的长，无法求出的长，即数据不完整；第二组的方案，延长交的延长线于点G，可证明，根据相似三角形的性质求解即可；第三组的方案，可证明，根据相似三角形的性质求解即可；
（2）选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可；选择第三组的方案，直接利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
【题型4 利用相似测量河宽、池塘宽度】
【例4】如图，为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米（即米），因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半圆（直径米），绳子米，钢架高度米（米），距离防洪堤边缘为米（米）．
(1)西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为多少米？
(2)滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则的长度应大于多少米．
【答案】(1)西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为5米；
(2)的长度应大于米．
【分析】本题考查了勾股定理、圆的切线、相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，学会构造相似三角形求线段长度是解题的关键．
（1）连接，利用勾股定理求解即可；
（2）延长交与点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O，根据勾股定理和等腰三角形的性质求得米，结合吊篮一定不会碰到点C，得出米，再利用可得，设设米，根据比例关系即可求出．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
由题意可知，米，米，
则由勾股定理可得：米．
答：西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为5米．
（2）如图所示，延长交与点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O，
米，
是等腰三角形，
，米，
米，
米；
滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，设切点为J，延长交于点W，
由题意得，，
，
切点为J，
，
，
，
，
，即，
米，
米，
米，
，，
，
，
设米，则米，
米，
又米，
，
解得，
由题意得，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C ，则米．
答：的长度应大于米．
【变式4-1】测量河宽的示意图如图所示，与相交于点，，测得，，，则河宽______
【答案】
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，证明，再根据三角形相似的性质即可求出答案．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式4-2】如图，小文想要测出、间的距离，但是，、两地却被池塘隔开，于是先在外选一点，在，上分别找点，，使得，测量出的长为．由此可知，、间的距离为______．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴,
又∵，
∴，
∴，即，
解得：.
故答案为：．
【变式4-3】如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度的长，可先取一个可以直接到达M和N的点G，连接并延长到F，使，连接并延长到E，使，连接，如果量出的长为25米，请你根据题中提供的相关信息，求出M、N之间的距离．
【答案】75米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．根据已知可得，从而证明8字模型相似三角形，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（米），
∴，之间的距离为75米．
【题型5 视线盲区问题计算】
【例5】汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米．
(1)求车头盲区的长度；
(2)点在上，米，若在处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由．
【答案】(1)米．
(2)驾驶员不能观察到该物体，理由如下：
过作交于．
∵米，米，米，
∴米，米．
∵，
∴，
∴．
∴，即，
，
∵，
∴驾驶员不能观察到该物体．
【分析】（1）明确线段关系（），证明，利用相似三角形对应边成比例列方程求解的长度．
（2）过作交于，证明，求出的长度后与物体高度比较，判断能否观察到．
【详解】（1）解：设米，
∵米，，
∴米，
又∵米，，
∴米．
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∵米，米，
∴，
解得，即米．
（2）略
【变式5-1】汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质．首先过点作于点，交于点，根据、的关系和的长度求出的长度，再根据四边形是矩形可知，从而可得，利用相似三角形对应边成比例可以求出的长度．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点．
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：汽车盲区的长度为．
【变式5-2】如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得．
(1)证明：；
(2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度．
【答案】(1)证明：在四边形中，，
四边形是平行四边形，
．
(2)的长度为．
【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定定理，即可证明四边形是平行四边形，进而得到．
（2）先证明四边形是矩形，再利用相似三角形的判定定理证明出，根据相似三角形的性质建立比例式，最后结合已知数据求出的长度即可．
【详解】（1）略
（2）解：由题意知，墙面地面，，，，
，，
，
四边形是矩形，
，
又，，
，
，
，，
，
．
【变式5-3】（1）如图1，若D、E分别是△ABC的边、上的中点，我们把这样的线段称为是三角形的中位线．你知道中位线与之间有什么关系吗？请同学们大胆地猜想一下，并证明你的结论．
（2）如示意图2，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块长且平行于公路的巨型广告牌（）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路计为．一辆以匀速行驶的汽车经过公路段的时间是，已知广告牌和公路的距离是，求小华家到公路的距离（精确到）．
【答案】
（1），
证明：延长到，使，连接．
，，
．
，．
．
，
．
四边形是平行四边形．
，．
∴三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
（2）133米
【分析】（1）首先要正确画出图形，根据平行四边形的性质进行证明即可．
（2）作射线、分别于相交于点、，然后即可确定盲区；先根据路程速度时间求出的长度，然后过点作，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式，然后求出的长度，也就是小明家到公路的距离．
【详解】解：（1） 略
（2）解：过作于，交于
则，
设则，
答：小华家到公路的距离是133米.
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理及相似三角形的应用，相似三角形对应高的比等于对应边的比的性质，根据题意作出图形构造出相似三角形是解题的关键．
【题型6 利用相似求零件、模型长度】
【例6】如图，工人师傅用卡钳测量某个零件的内孔直径（），测得的长度为，则零件的内孔直径的长度为（ ）．
A．18 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出．
【详解】解：，
，
，
∵，
．
【变式6-1】如图所示，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少？
【答案】这个正方形零件的边长为
【分析】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．
根据正方形的对边平行得到，得到，设正方形零件的边长为，
则，再利用对应边成比例即可求出正方形边长．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
设正方形零件的边长为，
则，
∴，解得，
答：这个正方形零件的边长为．
【变式6-2】2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．某地有一个如图1所示的航天火箭模型、小明和小刚想利用所学知识测量该模型的高度，如图2，与之间的距离无法直接测量，小明在处测得助推器顶部点的仰角，随后他又在处竖立一根长的标杆（即），小刚在点处发现、、三点恰好共线，经测量，下方助推器的高度，已知，，且A、B、C三点共线，、、三点共线，请你帮助他们求出该模型的高度．（参考数据：，，）
【答案】6米
【分析】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
在中，利用求出长，再证明，则，从而求出长．
【详解】解：、，
，
在中，，，
，
，
，，
，
，
解得：，
即该模型的高度为6米．
【变式6-3】无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．无人机镜头距地面的垂直高度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则目标线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
，
．
【题型7 动态实际场景中的相似求值】
【例7】杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明，得到，代入相关数值并求出的值即可．
【详解】解：，，
，
∴，
∵，，
∴
解得．
【变式7-1】雨后初晴，小雅在运动场上运动，从她前面远的一块小积水处看到旗杆的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为，小雅的眼睛距地面高度是，那么旗杆的高度应是（ ）
A． B． C．21m D．
【答案】B
【分析】构造相似三角形，利用对应边成比例求解．
【详解】解：设积水处为点，旗杆底端为，顶端为，小雅脚的位置为，眼睛位置为．
∵ ，，
∴ ．
由光的反射原理得，
∴ ，
∴ ．
代入，，，
得，
解得，
∴旗杆的高度应是．
【变式7-2】阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________．
【答案】36
【分析】首先根据题意证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．
【详解】解：由图可知，，且，
∴，
∴，
∵，，，
∴，即，
解得．
【变式7-3】如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．
【答案】6
【分析】先证，可得，则．由，可得．
【详解】解：动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直，
．
．
．
．
．
，即．
，，
．
【题型8 相似实际应用综合计算】
【例8】游客小张站在地面上观赏眼前的山．山的山体可以看作垂直于地面的线段（为山脚，为山顶）如下图．在小张与山之间有一棵古松（为树顶，为树根），古松恰好遮挡住了山的一部分．已知小张的眼睛距离地面的高度，古松的高度，山的高度．小张站在点处，测得他与古松的水平距离，此时他的视线恰好经过树顶看到山顶．
(1)求小张与山的水平距离．
(2)若小张后退了到达点（三点在同一直线上），此时他的眼睛（）看向山，求这时山被古松遮挡部分的高度．（结果保留一位小数）
【答案】(1)
(2)这时山被古松遮挡部分的高度约为．
【分析】（1）如详解（1）图，过点作于点，交EF于点，利用平行线分线段成比例定理解答即可；
（2）如详解（2）图，设此时视线延长线交于点，过点Ⅰ作于点，交于点，利用得到比例式，代入已知条件解答即可．
【详解】（1）解：（1）如图①，过点作于点，交EF于点．
由题意，得，
，
．
，
，即，
解得，
．
（2）解：如图②，设此时视线IE延长线交于点．
过点作于点，交于点．
由题意，得，，，．
，
，
，
即，
解得，
．
答：这时山被古松遮挡部分的高度约为．
【变式8-1】为响应国家“乡村振兴”与节能减排号召，某乡镇在乡村旅游道路上，安装一批太阳能路灯，既方便村民夜间出行，也助力乡村夜景打造．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的D处时，测得自身影长为1米．
(1)求路灯的高度；
(2)小明沿着走至F处时，头顶的影子刚好落到墙脚O处，则他行走的路程是多少米．
【答案】(1)
(2)他行走的路程米
【分析】（1）根据题意得，得到，代入计算即可；
（2）根据题意得，得到，代入计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
解得（米）；
（2）解：由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴小明沿着走至F处时，头顶的影子刚好落到墙脚O处，则他行走的路程米．
【变式8-2】银杏又叫公孙树，生长缓慢、寿命极长．丹东的百年银杏见证城市百年变迁，每株古树配有保护挂牌，园林部门专门做古树根系养护，每年秋季举办银杏文化月，满城金黄，是东北著名的秋日文旅景观．我校九年级“数学实践小组”赴银杏大道开展研学实践活动，计划运用所学数学知识测量银杏树的高度．某小组经讨论决定采用镜面反射法进行测量，观测数据见“高度测量报告”．
银杏树高度测量报告
课题
利用镜面反射法测量银杏树高度
测量小组
数学实践小组
测量原理
光的反射定律（反射角=入射角），借助镜面构造相似三角形（借鉴《海岛算经》的重差法思想）
测量记录
1．两次观测时，观测者眼睛到地面的高度均为；
2．第一次观测：观测者站在点处，将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到银杏树顶端时，测得；
3．第二次观测：观测者沿大树方向向前走到达点处（即），将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到银杏树顶端时，测得；
4．点位说明：点在同一条水平直线上；（镜子的厚度和大小忽略不计）
测量图示
请根据测量报告中的相关数据，求银杏树的高度．
【答案】大树的高度为19.5米
【分析】先根据光的反射定律，结合观测者身高与地面垂直、树与地面垂直的条件，证明第一次观测对应的和相似，得到对应边成比例的关系式．同理证明第二次观测对应的和相似，得到第二组对应边成比例的关系式．设的高度为未知数，设或的长度为辅助未知数，结合、、的长度，用含未知数的式子表示两个相似三角形比例式中的未知边长．联立两个比例式，消去辅助未知数，求解得到的高度．
【详解】由题意得，
则．
设米，
则米．
由题意，得，
，
．
同理，，
．
，
，即．
解得，
经检验是原方程的解，
即，
，
．
解得．
经检验是原方程的解．
答：银杏树的高度为19.5米．
【变式8-3】小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案：
如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米．
(1)求旗杆的高度．
(2)在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长．
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）由、都垂直得到两直线平行，证出，算出米，代入，利用相似三角形的比例式求出旗杆高度米．
（2）利用镜面反射角相等，结合直角证明，设，，代入列比例方程，解得米．
【详解】（1）解：已知，，
因此，
∵为公共角，且
∴．
∴
∵
代入已知数值，，：
则，
，
，
．
（2）解：根据平面镜面反射的原理，入射角等于反射角，可得；
又∵，
∴．
设米，则米，
∴
代入已知数值，：
解方程：
即米．
【探究式学习】
1．综合与实践
【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像．某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这一古代智慧的项目式学习．
【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2），其中小孔为，烛焰（其中为烛焰顶端，为烛焰底端）在屏幕上的像为，小孔到烛焰的距离为，小孔到屏幕的距离为，烛焰与屏幕上的平行．
【初始实验数据】已知，，．
【直观感知】（1）证明：；
【初步探究】（2）求的高度；
【深入探究】（3）保持不变，将蜡烛向小孔方向靠近，使变为，同时将屏幕远离小孔，使变为，通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当减小、增大时，的高度如何变化？
【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于，现保持，不变，若要求，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）如图，，
∴，
∴，
∴；
（2）；
（3）当减小、增大时，的高度变大；
（4）
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键：
（1）证明，即可得证；
（2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可；
（3）根据相似三角形的性质，求出此时的长，进行判断即可；
（4）求出时，的长，结合（3）中结论，即可得出结论．
【详解】解：（1）略
（2）∵，，，，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴；
∵，
∴当减小、增大时，的高度变大；
（4）当时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
由（3）可知：当减小、增大时，的高度变大，
∴当时，，
又∵烛焰与小孔的距离一般要求不小于，
∴．
2．【问题探究】
（1）与的位置如图所示，连接，，已知．
如图，若，求的值；
如图，分别延长、交于点，交于点，若，，，求的长；
【问题解决】
（2）某建筑设计师计划为一个展览馆设计屋顶结构，其中主支架与辅助支架在图纸上的位置如图所示，且．主支架为等腰三角形，，，连接、，且，连接并延长交于点．实际测量得知支撑杆米，连接杆米．现在需要计算横杆的长度，以便进行材料的切割与安装，请你帮助设计师计算横杆的长度．（支撑杆、连接杆及横杆的宽度均忽略不计）
【答案】（1）；；（2）米
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用，解题关键是发现图中的相似三角形．
（1）根据，得到，，从而得到，，证明，即可得解；通过证明，根据相似三角形的性质即可得解；
（2）通过证明，，根据相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：（1），
，，
，，即，
，
．
由得，
，
又，
，即，
由得，
，
，
，
，
，
，
，即，
（负值已舍去）．
（2），
，即，
，为等腰三角形，
，，
，，即，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
即横杆的长度为米．
【课后检测】
1．如图，在小孔成像问题中，若到的距离是，到的距离是，蜡烛长为，则蜡烛的像的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作于点，延长，交于点，先得出，，再根据相似三角形的对应高的比等于相似比求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，延长，交于点，
∵，
∴，，
∴（相似三角形的对应高的比等于相似比），
由题意得：，，，
∴，
解得．
2．如图，在同一时刻，身高的小丽在阳光下的影长为，一棵大树的影长为，则这棵大树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设这棵树的高度为，根据“同一时刻，影长之比等于对应物体高度之比”可得，求解即可获得答案．
【详解】解：设这棵树的高度为，根据题意可得：
，
解得，
即这棵树的高度是．
3．如图①是一种沙漏计时器，某一时刻该沙漏计时器中沙子的情况如图②所示，一段时间后该沙漏计时器中沙子的情况如图③所示，则此时下半部分沙面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出点O到的距离为，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：根据题意得，点O到的距离为，和之间的距离为，
∴点O到的距离为，
根据题意得，，
∴，
∴．
4．无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，即，
∴（米）．
5．如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点A作垂直地面于点H，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点A作垂直地面于点H，则，
∴，
∴，
，
由题意地面知，
，即，
．
6．如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得出及，判定，利用对应边成比例求解．
【详解】解：由题意知：，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴ ．
7．如图，小明利用平面镜测量旗杆的高度．他的眼睛到地面的距离m，他与镜子的水平距离m，镜子到旗杆底部的水平距离m，镜面反射满足“入射角等于反射角”．则旗杆的高度为（ ）
A．12m B．10m C．15m D．18m
【答案】A
【分析】由镜面反射满足“入射角等于反射角”，可得，再由小明和旗杆垂直地面可得，由两组角对应相等得，然后由相似三角形对应边成比例求解即可．
【详解】解：由题意可知：，，
∴，
∴即，
解得．
故选A．
8．如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（ ）
A．15米 B．22.5米 C．35米 D．37.5米
【答案】B
【分析】设河宽米，则点P到北岸的距离为米，证明，得到，即，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
设河宽米，则点P到北岸的距离为米，
由题意得，米，米，
∴，
∴，即，
解得，
∴河宽为米．
9．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗高，那么窗口底边离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
设，则，
∵太阳光线是平行的，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
10．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网的位置上．已知网高为，击球点到网的水平距离为，若球的运动路线为直线的一部分，则球拍击球的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，可得，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如下图，
根据题意，可得，且，
∴，
∴，即，
∴，解得，
即球拍击球的高度为．
11．如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 _______ ．
【答案】
【分析】过作于，交于，根据矩形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：过作于点，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴．
12．如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度_______．
【答案】
【分析】根据已知易得，可得，即可得出，证明，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．
【详解】解：∵和表示两根立于地面的柱子，点离地面的高度为，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
13．如图，小亮自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为．他测得蜡烛的火焰所成的像为，蜡烛到纸筒小孔端的距离为，蜡烛的火焰高度是________．
【答案】
【分析】先根据题意得出，再利用相似三角形的性质得到，即可解答．
【详解】解：如图所示，
设蜡烛的火焰为，像为，小孔为点，蜡烛到小孔的距离为的长，纸筒长度为的长，
由题意得，，，，，，，
，
∴，
∴，
∴，
即蜡烛的火焰高度是．
14．某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地，如图，这两条小道、之间的距离为米，表示这块空地，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上．如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长．
【答案】这时矩形花坛的两条邻边的长为米和米
【分析】设米，则米，由矩形的性质可得，，过点作于点，交于点，则米，证明四边形为矩形，得出米，则米，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴设米，则米，
∵四边形是矩形，
∴，，
过点作于点，交于点，则米，
∴，
∴四边形为矩形，
∴米，
∴米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴这时矩形花坛的两条邻边的长为米和米．
15．某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量铁塔的高度，如图，在地面上取、两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且铁塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处，从处观察点，、、三点成一线，从标杆走到处，从处观察点，、、三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实验小组求出铁塔的高度．
【答案】铁塔的高度为
【分析】由题意可得，，，，，，，则，，证明，，由相似三角形的性质计算即可得出结果．
【详解】解：由题意可得，，，，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴铁塔的高度为．
16．【问题情境】10月1日，成都市在广场举行了“十一”升国旗仪式，广场上鲜花绽放、红旗飘扬，在属于全国人民的节日里用庄严的升国旗仪式向全体市民致敬，某校把“测量旗杆高度”作为一项课题活动，利用课余时间进行实地测量，可选用工具：测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：m）的皮尺、标杆、平面镜等．（注：以下数据为多次测量的平均值）
【实践探究】某小组测量方案及数据如下表：
项目
测量民族广场旗杆的高度
工具
标杆、测量距离（单位：m）的皮尺
测量示意图及说明
说明：用标杆测量旗杆的高度、线段表示观测者的眼睛到地面的距离，线段EF表示标杆，线段BC表示旗杆，D，F，C三点共线，，，，点A，E，B在同一平面内．
测量数据
平均值
【问题解决】请运用所学知识，根据上表中的测量数据，求出旗杆的高度；
【答案】
【分析】过点D作交于点H，交于点G，则，，由题意得到，从而有，代值求解即可得到答案．
【详解】解：如图，过点D作交于点H，交于点G，
∵，，，，
∴，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴旗杆的长度．
【复盘笔记】
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简一数理 初中专题讲义
专题31.3 相似三角形的应用
（新教材人教版）
知识点一、核心原理 2
知识点二、相似三角形的常见应用 2
知识点三、解题一般步骤 2
【题型1 平行投影（太阳光）测物体高度】 2
【题型2 镜面反射法测量高度】 4
【题型3 标杆法测量物体高度】 7
【题型4 利用相似测量河宽、池塘宽度】 9
【题型5 视线盲区问题计算】 11
【题型6 利用相似求零件、模型长度】 13
【题型7 动态实际场景中的相似求值】 15
【题型8 相似实际应用综合计算】 15
【探究式学习】 18
【课后检测】 21
【复盘笔记】 26
知识点一、核心原理
相似三角形对应角相等，对应边成比例，利用这一性质，可在无法直接测量长度、高度、宽度的实际场景，构造相似三角形建立比例式求解未知线段。
知识点二、相似三角形的常见应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
知识点三、解题一般步骤
① 审题，找到两组对应三角形；
② 证明两个三角形相似；
③ 找准对应边，列出比例式；
④ 代入已知数据，解方程求出未知长度；
⑤ 检验结果，作答。
【题型1 平行投影（太阳光）测物体高度】
【例1】如图，为了测量校园里一根旗杆的高度，小颖通过调查得知旗杆旁教学楼高，在楼顶端处测得旗杆顶端的俯角为，在某一时刻太阳光照射下，旗杆顶端的影子落在地面上的点处，楼顶端的影子落在地面上的点处，测得，已知旗杆、教学楼均垂直于地面，且点在同一条直线上，求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：
【变式1-1】如图，小明和小亮打算用不同的方法测量学校操场边一个垂直于路面的路灯的高度．他们分别在白天和晚上利用太阳光和路灯的灯光进行测量．
(1)如图1，若垂直于地面的标杆的长为，在太阳光下小明测得它的影长为，同一时刻，小亮测得路灯的影长为，求路灯的高度．
(2)如图2，小亮在晚上路灯亮后来到路灯附近，他先蹲在点处，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，接下来小亮站起来，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，求路灯的高度．
【变式1-2】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一百五十寸，同时立一根一十五寸的小标杆，它的影长五寸，则竹竿的长为（ ）
A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
【变式1-3】天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿长2米，在太阳光下，它的影长为米，同一时刻，祈年殿的影长约为米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度约（ ）米．
A．20 B．15 C．28 D．38
【题型2 镜面反射法测量高度】
【例2】综合与实践：利用相似三角形测量距离．
【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧：反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．
【探索活动】淇淇和嘉嘉分别测量两个旗杆高度．
【活动1】如图2所示，淇淇将镜子放在地面上，然后后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为，已知淇淇的身高是，眼睛位置A距离淇淇头顶的距离是，求旗杆的高度．
【活动2】如图3所示，嘉嘉在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（），另一部分落在斜坡上（），他测得落在地面上的影长为，落在斜坡上的影长为，，求旗杆的高度？
【深度思考】在实际测量的过程中，你有哪些措施可以帮助他（她）们减小测量过程中的误差？（写出一条即可）
【变式2-1】小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智和古塔之间，直线上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C，镜子不动，小安看着镜面上的标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地面的高度米，米．同时，在阳光下，古塔的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测得大智身高为1.8米，影长为3.6米，已知，米，A、H、G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔的高度．
【变式2-2】西安世园会标志性雕塑水龙，内部为钢结构，外包镜面不锈钢，既像一股水花，又似一条飞龙，既蕴含了上善若水的中国传统理念，又有巨龙腾飞的时代精神．小刚同学想利用所学知识测量该雕塑的高度AB，如图，他在距离B点48米的点C处水平放置了一个小平面镜，并沿着BC方向移动，当移动到点E处时，他刚好在小平面镜内看到雕塑的顶端A的像，此时，测得CE=2米，小刚眼睛与地面的距离DE=1.5米．已知点B、C、E在同一水平直线上，且AB⊥BE、DE⊥BE，求雕塑的高度AB．(小平面镜的大小忽略不计)
【变式2-3】为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了下面两种测量方法．
(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________；
(2)如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
【题型3 标杆法测量物体高度】
【例3】【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案．
【思考】两个同学的测量方案如下：
甲同学方案
乙同学方案
测量过程及数据
如图，在距离旗杆底点米远的处竖立一根高米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，，，点、、在同一直线上．
如图，乙同学拿着一根长为厘米的木棒站在离旗杆米的地方（即点到的距离为米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上）时，已知点到木棒的距离为厘米．
示意图
选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度．
【变式3-1】法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物、某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．
(1)请计算标杆与“真身宝塔”的距离的值？
(2)“真身宝塔”的高度是多少？
【变式3-2】为了测量某金字塔的高度，在太阳光下，先竖一根已知长度的标杆，然后测量标杆和金字塔影子的长度，就可以近似求出金字塔的高度．如图，某时刻测得金字塔的影端A到点B的长，标杆的影长．已知标杆的长度为，求金字塔的高度．
【变式3-3】为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表：
课题
测量教学大楼（）的高度
测量小组
第一组
第二组
第三组
测量示意图
说明
人站在大楼影子的顶端，为人的影长
为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上
点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端
测量数据
，
，，，
，，
说明：图中所有点都在同一平面内
(1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组；
(2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度．
【题型4 利用相似测量河宽、池塘宽度】
【例4】如图，为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米（即米），因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半圆（直径米），绳子米，钢架高度米（米），距离防洪堤边缘为米（米）．
(1)西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为多少米？
(2)滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则的长度应大于多少米．
【变式4-1】测量河宽的示意图如图所示，与相交于点，，测得，，，则河宽______
【变式4-2】如图，小文想要测出、间的距离，但是，、两地却被池塘隔开，于是先在外选一点，在，上分别找点，，使得，测量出的长为．由此可知，、间的距离为______．
【变式4-3】如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度的长，可先取一个可以直接到达M和N的点G，连接并延长到F，使，连接并延长到E，使，连接，如果量出的长为25米，请你根据题中提供的相关信息，求出M、N之间的距离．
【题型5 视线盲区问题计算】
【例5】汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米．
(1)求车头盲区的长度；
(2)点在上，米，若在处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由．
【变式5-1】汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度．
【变式5-2】如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得．
(1)证明：；
(2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度．
【变式5-3】（1）如图1，若D、E分别是△ABC的边、上的中点，我们把这样的线段称为是三角形的中位线．你知道中位线与之间有什么关系吗？请同学们大胆地猜想一下，并证明你的结论．
（2）如示意图2，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块长且平行于公路的巨型广告牌（）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路计为．一辆以匀速行驶的汽车经过公路段的时间是，已知广告牌和公路的距离是，求小华家到公路的距离（精确到）．
【题型6 利用相似求零件、模型长度】
【例6】如图，工人师傅用卡钳测量某个零件的内孔直径（），测得的长度为，则零件的内孔直径的长度为（ ）．
A．18 B．12 C．10 D．8
【变式6-1】如图所示，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少？
【变式6-2】2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．某地有一个如图1所示的航天火箭模型、小明和小刚想利用所学知识测量该模型的高度，如图2，与之间的距离无法直接测量，小明在处测得助推器顶部点的仰角，随后他又在处竖立一根长的标杆（即），小刚在点处发现、、三点恰好共线，经测量，下方助推器的高度，已知，，且A、B、C三点共线，、、三点共线，请你帮助他们求出该模型的高度．（参考数据：，，）
【变式6-3】无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．无人机镜头距地面的垂直高度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则目标线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 动态实际场景中的相似求值】
【例7】杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】雨后初晴，小雅在运动场上运动，从她前面远的一块小积水处看到旗杆的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为，小雅的眼睛距地面高度是，那么旗杆的高度应是（ ）
A． B． C．21m D．
【变式7-2】阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________．
【变式7-3】如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．
【题型8 相似实际应用综合计算】
【例8】游客小张站在地面上观赏眼前的山．山的山体可以看作垂直于地面的线段（为山脚，为山顶）如下图．在小张与山之间有一棵古松（为树顶，为树根），古松恰好遮挡住了山的一部分．已知小张的眼睛距离地面的高度，古松的高度，山的高度．小张站在点处，测得他与古松的水平距离，此时他的视线恰好经过树顶看到山顶．
(1)求小张与山的水平距离．
(2)若小张后退了到达点（三点在同一直线上），此时他的眼睛（）看向山，求这时山被古松遮挡部分的高度．（结果保留一位小数）
【变式8-1】为响应国家“乡村振兴”与节能减排号召，某乡镇在乡村旅游道路上，安装一批太阳能路灯，既方便村民夜间出行，也助力乡村夜景打造．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的D处时，测得自身影长为1米．
(1)求路灯的高度；
(2)小明沿着走至F处时，头顶的影子刚好落到墙脚O处，则他行走的路程是多少米．
【变式8-2】银杏又叫公孙树，生长缓慢、寿命极长．丹东的百年银杏见证城市百年变迁，每株古树配有保护挂牌，园林部门专门做古树根系养护，每年秋季举办银杏文化月，满城金黄，是东北著名的秋日文旅景观．我校九年级“数学实践小组”赴银杏大道开展研学实践活动，计划运用所学数学知识测量银杏树的高度．某小组经讨论决定采用镜面反射法进行测量，观测数据见“高度测量报告”．
银杏树高度测量报告
课题
利用镜面反射法测量银杏树高度
测量小组
数学实践小组
测量原理
光的反射定律（反射角=入射角），借助镜面构造相似三角形（借鉴《海岛算经》的重差法思想）
测量记录
1．两次观测时，观测者眼睛到地面的高度均为；
2．第一次观测：观测者站在点处，将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到银杏树顶端时，测得；
3．第二次观测：观测者沿大树方向向前走到达点处（即），将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到银杏树顶端时，测得；
4．点位说明：点在同一条水平直线上；（镜子的厚度和大小忽略不计）
测量图示
请根据测量报告中的相关数据，求银杏树的高度．
【变式8-3】小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案：
如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米．
(1)求旗杆的高度．
(2)在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长．
【探究式学习】
1．综合与实践
【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像．某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这一古代智慧的项目式学习．
【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2），其中小孔为，烛焰（其中为烛焰顶端，为烛焰底端）在屏幕上的像为，小孔到烛焰的距离为，小孔到屏幕的距离为，烛焰与屏幕上的平行．
【初始实验数据】已知，，．
【直观感知】（1）证明：；
【初步探究】（2）求的高度；
【深入探究】（3）保持不变，将蜡烛向小孔方向靠近，使变为，同时将屏幕远离小孔，使变为，通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当减小、增大时，的高度如何变化？
【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于，现保持，不变，若要求，请直接写出的取值范围．
2．【问题探究】
（1）与的位置如图所示，连接，，已知．
如图，若，求的值；
如图，分别延长、交于点，交于点，若，，，求的长；
【问题解决】
（2）某建筑设计师计划为一个展览馆设计屋顶结构，其中主支架与辅助支架在图纸上的位置如图所示，且．主支架为等腰三角形，，，连接、，且，连接并延长交于点．实际测量得知支撑杆米，连接杆米．现在需要计算横杆的长度，以便进行材料的切割与安装，请你帮助设计师计算横杆的长度．（支撑杆、连接杆及横杆的宽度均忽略不计）
【课后检测】
1．如图，在小孔成像问题中，若到的距离是，到的距离是，蜡烛长为，则蜡烛的像的长为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，在同一时刻，身高的小丽在阳光下的影长为，一棵大树的影长为，则这棵大树的高度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图①是一种沙漏计时器，某一时刻该沙漏计时器中沙子的情况如图②所示，一段时间后该沙漏计时器中沙子的情况如图③所示，则此时下半部分沙面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
4．无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，小明利用平面镜测量旗杆的高度．他的眼睛到地面的距离m，他与镜子的水平距离m，镜子到旗杆底部的水平距离m，镜面反射满足“入射角等于反射角”．则旗杆的高度为（ ）
A．12m B．10m C．15m D．18m
8．如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（ ）
A．15米 B．22.5米 C．35米 D．37.5米
9．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗高，那么窗口底边离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网的位置上．已知网高为，击球点到网的水平距离为，若球的运动路线为直线的一部分，则球拍击球的高度为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 _______ ．
12．如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度_______．
13．如图，小亮自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为．他测得蜡烛的火焰所成的像为，蜡烛到纸筒小孔端的距离为，蜡烛的火焰高度是________．
14．某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地，如图，这两条小道、之间的距离为米，表示这块空地，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上．如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长．
15．某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量铁塔的高度，如图，在地面上取、两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且铁塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处，从处观察点，、、三点成一线，从标杆走到处，从处观察点，、、三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实验小组求出铁塔的高度．
16．【问题情境】10月1日，成都市在广场举行了“十一”升国旗仪式，广场上鲜花绽放、红旗飘扬，在属于全国人民的节日里用庄严的升国旗仪式向全体市民致敬，某校把“测量旗杆高度”作为一项课题活动，利用课余时间进行实地测量，可选用工具：测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：m）的皮尺、标杆、平面镜等．（注：以下数据为多次测量的平均值）
【实践探究】某小组测量方案及数据如下表：
项目
测量民族广场旗杆的高度
工具
标杆、测量距离（单位：m）的皮尺
测量示意图及说明
说明：用标杆测量旗杆的高度、线段表示观测者的眼睛到地面的距离，线段EF表示标杆，线段BC表示旗杆，D，F，C三点共线，，，，点A，E，B在同一平面内．
测量数据
平均值
【问题解决】请运用所学知识，根据上表中的测量数据，求出旗杆的高度；
【复盘笔记】
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