第5章 一次函数 知识清单 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

第5章　一次函数　知识清单　2026-2027学年八年级上册（浙教版） 依据浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共五节：5.1常量与变量；5.2认识函数；5.3一次函数的意义；5.4一次函数的图象与性质；5.5一次函数的简单应用。本章从常量与变量出发建立函数概念，研究一次函数（含正比例函数）的解析式、图象与性质，并运用一次函数模型解决简单实际问题。 【考点地位】函数是中学数学的核心概念，一次函数是学生第一次系统研究的函数。它的解析式、图象、增减性以及用待定系数法求解析式，是中考必考内容，也为后续学习反比例函数、二次函数打下基础。 【学习目标】①了解常量、变量与函数的概念，会识别自变量与函数；②理解一次函数与正比例函数的意义，能确定其系数；③会画一次函数的图象，掌握k的正负对图象位置和增减性的影响；④会用待定系数法求一次函数解析式，并解决简单实际问题。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下图按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第5章　一次函数 5.1　常量与变量 固定不变的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量 5.2　认识函数 函数、自变量、函数表达式；解析法、图象法、列表法三种表示法 5.3　一次函数的意义 一次函数y＝kx＋b（k≠0）；正比例函数y＝kx（k≠0），比例系数k 5.4　一次函数的图象与性质 图象是一条直线，两点法画图；与y轴交于(0,b)；k＞0递增、k＜0递减 5.5　一次函数的简单应用 建立一次函数模型，用待定系数法求解析式解决实际问题 二、核心公式定理 【速查表】本章核心关系式与规律集中列表如下，复习时逐条对照教材，以表代翻书。 名称 关系式·规律 说明 一次函数 y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0） k≠0是一次函数的必要条件 正比例函数 y＝kx（k为常数，且k≠0） 一次函数当b＝0时的特例，k叫比例系数 与y轴交点 令x＝0，得y＝b，交点为(0,b) b即图象与y轴交点的纵坐标 与x轴交点 令y＝0，解关于x的方程，求出的x即为交点横坐标 交点在x轴上，纵坐标为0 增减性 k＞0时y随x增大而增大；k＜0时y随x增大而减小 只与k的符号有关 待定系数法 将已知点坐标代入y＝kx＋b，得到关于k、b的方程组求解 求一次函数解析式的基本方法 三、考点知识梳理 （一）5.1　常量与变量 【常量与变量】在一个过程中，固定不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量。判断一个量是常量还是变量，要看在这个过程中它的取值是否改变。 （二）5.2　认识函数 【函数】一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x叫作自变量。 【函数表达式】用等式表示函数与自变量之间的关系，这种等式叫作函数表达式（也叫函数式），用函数表达式表示函数的方法叫解析法。 【函数的表示法】常用的有三种：解析法（用函数表达式）、图象法（在直角坐标系中用图象表示）、列表法（把自变量取值与对应函数值列成表格）。 （三）5.3　一次函数的意义 【一次函数】一般地，函数y＝kx＋b（k，b都是常数，且k≠0）叫作一次函数。 【正比例函数】当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx（k是常数，且k≠0），叫作正比例函数，常数k叫作比例系数。 （四）5.4　一次函数的图象与性质 【图象】一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是直角坐标系中的一条直线，画图象时只要取两个点，过这两点画直线即可（两点法）。 图1　一次函数的图象是一条直线 【与坐标轴的交点】令x＝0得y＝b，图象与y轴交于点(0,b)；令y＝0，解关于x的方程求出横坐标，即得图象与x轴的交点。 【性质】对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 图2　k＞0递增、k＜0递减示意图 （五）5.5　一次函数的简单应用 【待定系数法】先设所求一次函数的表达式为y＝kx＋b，再把已知图象上点的坐标代入，得到关于k、b的方程组，解出k、b，即可确定函数表达式。 【应用步骤】把实际问题抽象为一次函数模型：设变量→根据已知条件列方程（组）求k、b→写出函数表达式→结合实际意义求出自变量取值范围并求解。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】一次函数y＝kx＋b，k不为零是关键；b等于零变正比例。图象直线两点画，y轴交点是(0,b)。k正上坡递增，k负下坡递减。 【对比记忆】k、b符号与图象位置对比如下表。 k、b符号 增减性 经过的象限 k＞0，b＞0 直线由左向右上升 经过第一、二、三象限 k＞0，b＜0 直线由左向右上升 经过第一、三、四象限 k＜0，b＞0 直线由左向右下降 经过第一、二、四象限 k＜0，b＜0 直线由左向右下降 经过第二、三、四象限 【易混对比】一次函数要求k≠0，不要漏掉；正比例函数是b＝0的特殊一次函数，不要把二者对立；增减性只由k的符号决定，与b无关。 五、解题方法总结 题型1　识别一次函数与正比例函数 【解题方法】看表达式能否化为y＝kx＋b（k≠0）的形式；其中b＝0时是正比例函数。注意自变量次数必须为1且系数k≠0。 【数学思想】模型思想：把实际数量关系抽象为一次函数模型。 题型2　求图象与坐标轴交点、判断图象经过的象限 【解题方法】令x＝0求与y轴交点(0,b)，令y＝0求与x轴交点；再由k的符号定升降、由b的符号定与y轴交点在y轴正半轴还是负半轴，综合判断经过的象限。 【数学思想】数形结合思想：由数（k、b符号）定形（直线位置），由形读数。 题型3　用待定系数法求一次函数解析式 【解题方法】设y＝kx＋b，把图象上两个已知点坐标代入得到二元一次方程组，解出k、b即可；正比例函数只需求一个点定k。 【数学思想】方程思想：把求系数问题转化为解方程组。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 忽略k≠0的条件 一次函数y＝kx＋b中必须k≠0，否则不是一次函数 把正比例函数排除在一次函数之外 正比例函数是b＝0的特殊一次函数 增减性记错 k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小 与坐标轴交点坐标求反 与y轴交点为(0,b)，与x轴交点令y＝0求解 用待定系数法时只代一个点求k、b 求k、b两个系数需要两个点，列二元一次方程组 图象经过的象限判断错误 先看k定升降，再看b定与y轴交点位置 七、高频考点速记 ①在一个过程中固定不变的量是常量，可以取不同数值的量是变量。 ②对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，就说y是x的函数。 ③一次函数y＝kx＋b（k≠0）；当b＝0时为正比例函数y＝kx，k叫比例系数。 ④一次函数的图象是一条直线，用两点法画出；与y轴交于(0,b)。 ⑤k＞0时y随x的增大而增大，k＜0时y随x的增大而减小。 ⑥求解析式用待定系数法：设y＝kx＋b，代入两个已知点列方程组求k、b。 八、学情自测 （一）选择题 1．下列关系式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A．y＝2x(x＋1) B．y＝−3x＋1 C．xy＝2 D．y＝|x| 2．下列函数中，属于正比例函数的是（ ） A．y＝2x＋1 B．y＝−3x C．y＝2x(x−1) D．xy＝4 3．一次函数y＝2x−4的图象与y轴的交点坐标是（ ） A．(0,−4) B．(−4,0) C．(2,0) D．(0,4) 4．一次函数y＝−x＋2的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．下列一次函数中，y随x的增大而减小的是（ ） A．y＝3x B．y＝x−1 C．y＝−2x＋3 D．y＝0.5x 6．若一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限，则（ ） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 7．函数y＝3x−6的图象与x轴的交点坐标是（ ） A．(0,−6) B．(2,0) C．(0,2) D．(−6,0) 8．已知正比例函数y＝kx的图象经过点(1,−2)，则k的值为（ ） A．2 B．−2 C．1 D．−1 9．将直线y＝2x向上平移3个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ） A．y＝2x＋3 B．y＝2x−3 C．y＝5x D．y＝2(x＋3) 10．一次函数y＝kx＋b中，已知当x＝0时y＝2，且y随x的增大而减小，则k、b的符号为（ ） A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＜0 D．k＜0，b＜0 11．已知一次函数的图象经过点(0,1)和(1,3)，则这个一次函数的表达式为（ ） A．y＝2x＋1 B．y＝2x−1 C．y＝x＋1 D．y＝3x 12．已知点(−1,a)和(2,b)都在直线y＝−3x＋1上，则a与b的大小关系是（ ） A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定 13．某水池原有水10立方米，每分钟匀速注水2立方米，蓄水量V（立方米）与注水时间t（分钟）的函数表达式为（ ） A．V＝2t＋10 B．V＝10t＋2 C．V＝2t D．V＝10−2t （二）填空题 14．函数y＝−5x＋2中，k＝__________，b＝__________。 15．已知一次函数y＝kx＋3，当x＝2时y＝7，则k＝__________。 （三）解答题 16．已知一次函数的图象经过点A(1,5)和点B(−1,1)。 （1）求这个一次函数的表达式； （2）判断点C(2,7)是否在这个函数的图象上，并说明理由。 17．某水果店销售一种水果，销售总收入y（元）与销售量x（千克）成一次函数关系。已知卖出20千克时收入300元，卖出50千克时收入600元。 （1）求y关于x的函数表达式； （2）卖出80千克时，销售收入是多少元？ 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】B 解题步骤： ①一次函数可化为y＝kx＋b（k≠0）； ②A展开后含x的二次项，C为xy＝2，D是绝对值函数，都不是一次函数；只有B符合，故选B。 【知识点睛】一次函数自变量x的次数必须为1且k≠0。 2．【答案】B 解题步骤： ①正比例函数是b＝0的一次函数y＝kx（k≠0）； ②A有常数项，C次数为2，D不是y＝kx的形式；只有B符合，故选B。 【知识点睛】正比例函数是b＝0的一次函数y＝kx（k≠0）：常数项为0且比例系数k不为0，是判定正比例函数的关键。 3．【答案】A 解题步骤： ①求与y轴交点令x＝0；②x＝0时y＝2×0−4＝−4，交点为(0,−4)，故选A。 【知识点睛】与y轴交点横坐标为0，纵坐标即常数b。 4．【答案】C 解题步骤： ①y＝−x＋2中k＝−1＜0，b＝2＞0； ②直线由左向右下降，与y轴交于正半轴，经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选C。 【知识点睛】k＜0下降，b＞0交y轴正半轴，不过第三象限。 5．【答案】C 解题步骤： ①y随x增大而减小即k＜0； ②选项中只有y＝−2x＋3的k＝−2＜0，故选C。 【知识点睛】增减性由k的符号决定，k＜0时递减。 6．【答案】A 解题步骤： ①图象由左向右上升需k＞0； ②经过第二象限说明与y轴交于正半轴，即b＞0，故选A。 【知识点睛】直线过第一、二、三象限时k＞0且b＞0：先由图象升降定k的符号，再由与y轴交点位置定b的符号。 7．【答案】B 解题步骤： ①求与x轴交点令y＝0； ②3x−6＝0，得x＝2，交点为(2,0)，故选B。 【知识点睛】与x轴交点纵坐标为0，解方程求横坐标。 8．【答案】B 解题步骤： ①把(1,−2)代入y＝kx； ②−2＝k×1，得k＝−2，故选B。 【知识点睛】正比例函数过一个已知点即可求比例系数k。 9．【答案】A 解题步骤： ①直线上下平移时k不变，只改变常数项b； ②向上平移3个单位，b由0变为3，得y＝2x＋3，故选A。 【知识点睛】上下平移斜率k不变，上加下减常数项。 10．【答案】B 解题步骤： ①x＝0时y＝2，即b＝2＞0； ②y随x增大而减小，说明k＜0，故选B。 【知识点睛】由y轴截距定b的符号，由增减性定k的符号。 11．【答案】A 解题步骤： ①设y＝kx＋b； ②过(0,1)得b＝1；过(1,3)得k＋1＝3，k＝2；故y＝2x＋1，选A。 【知识点睛】用待定系数法求k、b：把图象上两个已知点的坐标代入y＝kx＋b，列二元一次方程组求解。 12．【答案】A 解题步骤： ①直线y＝−3x＋1中k＝−3＜0，y随x增大而减小； ②因为−1＜2，所以x＝−1对应的函数值较大，即a＞b，故选A。 【知识点睛】k＜0时y随x的增大而减小，横坐标越小对应的函数值越大；比较两点函数值先看横坐标大小。 13．【答案】A 解题步骤： ①原有水量10立方米为b＝10； ②每分钟注水2立方米，斜率k＝2；故V＝2t＋10，选A。 【知识点睛】截距表示初始量，斜率表示单位时间变化量。 【填空题】 14．【答案】k＝−5，b＝2 解题步骤： ①对照一次函数y＝kx＋b的形式； ②y＝−5x＋2中对应系数k＝−5，常数项b＝2。 【知识点睛】在y＝kx＋b中，x的系数是k，常数项是b。 15．【答案】k＝2 解题步骤： ①把x＝2，y＝7代入y＝kx＋3； ②得2k＋3＝7，解得k＝2。 【知识点睛】已知一组对应值代入表达式即可列方程求系数。 【解答题】 16．【答案】（1）y＝2x＋3；（2）点C在这个函数的图象上 解题步骤： （1）设一次函数为y＝kx＋b。把A(1,5)、B(−1,1)代入，得方程组k＋b＝5，−k＋b＝1；两式相加得2b＝6，b＝3，进而k＝2，所以表达式为y＝2x＋3； （2）把x＝2代入y＝2x＋3，得y＝2×2＋3＝7，与点C的纵坐标7相等，所以点C(2,7)在这个函数的图象上。 【知识点睛】点在函数图象上的判定：把点的横坐标代入，看所得函数值是否等于点的纵坐标。 17．【答案】（1）y＝10x＋100；（2）收入为900元 解题步骤： （1）设y＝kx＋b。把(20,300)、(50,600)代入，得20k＋b＝300，50k＋b＝600；两式相减得30k＝300，k＝10，再代入得b＝100，所以y＝10x＋100； （2）当x＝80时，y＝10×80＋100＝900，所以卖出80千克时销售收入为900元。 【知识点睛】实际问题先建一次函数模型求解析式，再代入自变量求函数值。 学科网（北京）股份有限公司 $