第2章 特殊三角形 知识清单 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

第2章 特殊三角形 依据浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共八节：2.1图形的轴对称；2.2等腰三角形；2.3等腰三角形的性质定理；2.4等腰三角形的判定定理；2.5逆命题和逆定理；2.6直角三角形；2.7探索勾股定理；2.8直角三角形全等的判定。在三角形的基础上，系统研究轴对称、等腰三角形与直角三角形的性质、判定及勾股定理。 【考点地位】等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理及其应用是中考几何的核心内容，常与全等三角形、四边形等综合考查，属于必考重点。 【学习目标】①认识轴对称图形，会找对称轴；②掌握等腰三角形的性质定理与判定定理；③了解逆命题与逆定理的含义；④掌握直角三角形的性质（两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半）；⑤探索勾股定理并会进行简单计算；⑥掌握直角三角形全等的判定方法（斜边、直角边，即HL）。 【知识结构图】按“章→节→核心内容”三层呈现，节序与教材目录一致。 节次 核心内容 2.1 图形的轴对称 轴对称图形、对称轴、对称点的概念 2.2 等腰三角形 等腰三角形的概念；腰、底边、顶角、底角 2.3 等腰三角形的性质定理 等边对等角；三线合一；等边三角形各内角都等于60° 2.4 等腰三角形的判定定理 等角对等边 2.5 逆命题和逆定理 互逆命题；逆定理的含义 2.6 直角三角形 直角三角形的概念；两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半 2.7 探索勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；勾、股、弦 2.8 直角三角形全等的判定 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL） 二、核心公式定理 【速查表】集中列出本章必须掌握的定理与公式，复习时逐条对照教材原文。 名称 定理·性质内容 说明与易错提示 等腰三角形性质定理1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 在同一个三角形中 等腰三角形性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合（三线合一） 三条线段重合于同一条 等边三角形性质 等边三角形的各个内角都等于60° 三边相等，三角相等 等腰三角形判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 在同一个三角形中 直角三角形性质1 直角三角形的两个锐角互余 两锐角和为90° 直角三角形性质2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 由中点构造倍分关系 勾股定理 直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方 仅适用于直角三角形 HL判定定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 只用于直角三角形 三、考点知识梳理 （一）2.1 图形的轴对称 【轴对称图形】如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点叫作对称点。 （二）2.2 等腰三角形 【等腰三角形】有两边相等的三角形叫作等腰三角形。相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。 （三）2.3 等腰三角形的性质定理 【性质定理1】等腰三角形的两个底角相等，简单地说成“等边对等角”。 图1 等腰三角形三线合一 【性质定理2】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称“等腰三角形三线合一”。 【等边三角形】等边三角形的各个内角都等于60°。 （四）2.4 等腰三角形的判定定理 【判定定理】有两个角相等的三角形是等腰三角形，简单地说成“等角对等边”。 （五）2.5 逆命题和逆定理 【互逆命题】对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。把其中一个叫作原命题，另一个就叫作它的逆命题。 【逆定理】如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理。 （六）2.6 直角三角形 【概念】有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，直角三角形可以用符号“Rt△”表示。 【性质】直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （七）2.7 探索勾股定理 【勾股定理】直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。我国古代称直角三角形中较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，因此这一性质也称为勾股定理。 图2 勾股定理弦图 （八）2.8 直角三角形全等的判定 【HL定理】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL”。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】等腰三角形两底角，等边对等角；顶角平分底边中，三线合一是一家；等边三角六十度，等角对等边来判；直角三角两锐角，互余相加九十度；斜边中线半斜边，勾股定理a方加b方等于c方。 【对比记忆】性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”要成对对照：一个由边相等推出角相等，一个由角相等推出边相等。 比较对象 内容要点 等腰三角形性质 等边对等角；三线合一 等腰三角形判定 等角对等边 勾股定理 两直角边平方和等于斜边平方 【易混对比】“等边对等角”与“等角对等边”方向相反，不要混淆。 五、解题方法总结 题型1 等腰三角形的性质与判定 【解题方法】见到等腰三角形，立刻联想“等边对等角”求底角、“三线合一”得垂直与平分；反过来，见到一个三角形有两个角相等，用“等角对等边”判定它是等腰三角形。 【数学思想】转化思想：边角互化。 题型2 直角三角形与勾股定理 【解题方法】在直角三角形中，已知两边用勾股定理求第三边；见到斜边中点，联想“斜边上的中线等于斜边的一半”构造倍分关系。 【数学思想】方程思想：设未知数用勾股定理列方程。 题型3 直角三角形全等的判定 【解题方法】两个直角三角形全等，除可用一般方法外，还可使用HL。注意HL只适用于直角三角形。 【数学思想】分类讨论：先判定是否为直角三角形，再选判定方法。 六、易错点清单 【清单】逐条对照自查，复习时先判断再对照下表。 常见易错点 正确做法 混淆“等边对等角”与“等角对等边”的方向 前者由边相等推角相等，后者由角相等推边相等 勾股定理用到非直角三角形 勾股定理只适用于直角三角形 忘记等腰三角形需分类讨论顶角、底角 已知一个内角时要判断它是顶角还是底角 把HL用到一般三角形全等判定 HL只适用于直角三角形 忽视“斜边上的中线等于斜边的一半”的倍分关系 见到斜边中点立刻联想该性质 七、高频考点速记 ①等腰三角形两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（三线合一）。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 ③等边三角形的各个内角都等于60°。 ④直角三角形两个锐角互余。 ⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ⑥勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 ⑦斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）。 八、学情自测 （一）选择题 1．如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 2．如图，在中，，以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点和点，连接，再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，则的大小为（     ）． A． B． C． D． 3．等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为（ ） A．16 B．20 C．16或20 D．18 4．等边三角形的每个内角都等于（ ） A．60° B．90° C．120° D．30° 5．如图，在中，，，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点；③作直线，与边 相交于点．则的大小为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．已知直角三角形两条直角边长为5和12，则斜边上的中线长为（ ） A．13 B．6.5 C．6 D．25 8．下列关于等腰三角形的说法中，错误的是（ ） A．等腰三角形是轴对称图形 B．等腰三角形的两底角相等 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．等边三角形是特殊的等腰三角形 9．如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边长为（ ） A．7 B．9 C．10 D．14 12．命题“对顶角相等”的逆命题是（ ） A．真命题 B．假命题 C．不一定是真命题 D．以上都不对 13．如图，点在射线上，在射线上截取，分别以、为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点．连接，，则的大小为（ ） A． B． C． D． （二）填空题 14．等腰三角形的一个顶角为80°，则它的一个底角为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 15．直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边长为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 16．命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿命题（填“真”或“假”）。 （三）解答题 17．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点。求证：AD⊥BC。 18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。求AB的长。 九、参考答案 （一）选择题 1．【答案】B 解题步骤： ①由筝形定义及作图可知，筝形的两组邻边分别相等，其对角线互相垂直。 【知识点睛】筝形的性质：两组邻边分别相等，对角线互相垂直。 2．【答案】C 解题步骤： ①由作图痕迹可知，射线是角平分线；结合等腰三角形两底角相等，利用三角形内角和求解。 【知识点睛】尺规作角平分线的本质是SSS全等，结合等腰三角形性质求角度。 3．【答案】B 解题步骤： ①若三边为4，4，8，则4+4=8，不能组成三角形；只能是4，8，8，周长=4+8+8=20。 【知识点睛】等腰三角形求周长要先判断三边能否组成三角形。 4．【答案】A 解题步骤： ①等边三角形三个内角相等且和为180°，每个角=60°。 【知识点睛】等边三角形三个内角相等且和为180°，故每个内角都等于60°，计算时不要与等腰三角形底角混淆。 5．【答案】B 解题步骤： ①由作图痕迹可知，所作射线是角平分线；结合等腰三角形两底角相等，利用三角形内角和求解。 【知识点睛】角平分线作法与等腰三角形性质结合求角度。 6．【答案】B 解题步骤： ①由作图痕迹可知，所作直线是线段的垂直平分线；根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，结合三角形内角和求解。 【知识点睛】线段垂直平分线的作法与性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等。 7．【答案】B 解题步骤： ①两直角边为5、12，斜边为13；斜边上的中线等于斜边的一半，即13÷2=6.5。 【知识点睛】先求斜边，再用“斜边中线等于斜边一半”。 8．【答案】C 解题步骤： ①等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，不一定是锐角。 【知识点睛】等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，不一定是锐角，判断顶角形状时要按顶角范围分类讨论。 9．【答案】B 解题步骤： ①等边三角形每个内角为60°，结合平行线的性质（内错角相等）及三角形内角和求解。 【知识点睛】等边三角形内角为60°，结合平行线性质求角度。 10．【答案】C 解题步骤： ①由折叠性质可知，折痕前后对应角相等；结合平行线的内错角相等，建立角度关系求解。 【知识点睛】折叠问题中，折痕前后对应角相等，结合平行线性质求角度。 11．【答案】C 解题步骤： ①两直角边为6、8，由勾股定理得斜边为10。 【知识点睛】勾股定理求斜边：两直角边的平方和等于斜边的平方，6²＋8²＝10²，斜边长为10。 12．【答案】B 解题步骤： ①逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题。 【知识点睛】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角。 13．【答案】A 解题步骤： ①由作图痕迹可知，两弧交点与射线端点构成等边三角形，故所求角为60°。 【知识点睛】由尺规作图痕迹判断构成等边三角形，等边三角形内角为60°。 （二）填空题 14．【答案】50° 解题步骤： ①底角=(180°-80°)÷2=50°。 【知识点睛】等腰三角形两底角相等，用内角和求底角。 15．【答案】10 解题步骤： ①两直角边为6、8，由勾股定理得斜边为10。 【知识点睛】勾股定理：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方。 16．【答案】对应边相等的两个三角形全等；真 解题步骤： ①原命题条件为“两个三角形全等”，结论为“对应边相等”，交换后得逆命题“对应边相等的两个三角形全等”，即SSS，是真命题。 【知识点睛】交换原命题的条件与结论即得逆命题，再判断真假。 （三）解答题 17．【答案】AD⊥BC。 解题步骤： ①因为D是BC的中点，所以BD=CD。 ②在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD，AD=AD，所以△ABD≌△ACD（SSS）。 ③由全等三角形对应角相等，得∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC。 【知识点睛】本题也可直接用等腰三角形“三线合一”说明：AD是底边BC的中线，故AD也是底边上的高。 18．【答案】AB=10cm。 解题步骤： ①在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，AB的平方等于AC的平方与BC的平方之和。 ②代入得AB的平方=36+64=100，所以AB=10cm。 【知识点睛】勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 学科网（北京）股份有限公司 $