第3章 一元一次不等式 知识清单 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

第3章　一元一次不等式 依据浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共五节：3.1认识不等式；3.2不等式的基本性质；3.3一元一次不等式及其解法；3.4一元一次不等式的应用；3.5一元一次不等式组。本章从现实生活中的不等关系入手，建立不等式的概念，探究不等式的三条基本性质，类比一元一次方程学习一元一次不等式（组）的解法，并把解集表示在数轴上，最后运用不等式解决简单的实际问题。 【考点地位】不等式的基本性质（尤其是两边同乘或同除一个负数时必须改变不等号方向）、解一元一次不等式（组）并在数轴上表示解集、列不等式解实际问题，是中考的高频考点，也是后续学习一次函数与不等式的关系、函数取值范围的重要基础，常与方程、函数综合考查。 【学习目标】①了解不等式的意义，会用不等式表示数量之间的不等关系；②掌握不等式的三条基本性质，特别注意两边都乘（或都除以）同一个负数时不等号方向必须改变；③理解一元一次不等式及其解、解集的概念，会解一元一次不等式并把解集表示在数轴上；④会列一元一次不等式解决简单的实际问题；⑤理解一元一次不等式组及其解集的概念，会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并用数轴确定其公共部分。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下图按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第3章　一元一次不等式 3.1　认识不等式 不等式与不等号的意义；根据数量关系列不等式；数轴上表示简单不等式的解集 3.2　不等式的基本性质 性质1（传递性）；性质2（两边同加同减同一个数）；性质3（同乘同除：正数不变号、负数必变号） 3.3　一元一次不等式及其解法 一元一次不等式及其解、解集、解不等式；去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；数轴表示解集 3.4　一元一次不等式的应用 列一元一次不等式解实际问题：设未知数、找不等关系、列不等式、解不等式、检验作答 3.5　一元一次不等式组 一元一次不等式组及其解集；在数轴上取各不等式解集的公共部分；无解的情形 二、核心公式定理 【速查表】本章核心概念与结论集中列表如下，复习时逐条对照教材，以表代翻书。 名称 规律·内容 说明 不等式 用“＜”（或“≤”）、“＞”（或“≥”）、“≠”连接而成的数学式子 连接符号统称不等号 性质1（传递性） a＜b，b＜c ⇒ a＜c 同向不等式可传递 性质2 两边都加（减）同一个数：a＞b ⇒ a±c＞b±c 不等号方向不变 性质3（乘除正数） a＞b，且 c＞0 ⇒ ac＞bc，＞ 不等号方向不变 性质3（乘除负数） a＞b，且 c＜0 ⇒ ac＜bc，＜ 不等号方向必须改变 解一元一次不等式步骤 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 系数化为1时若系数为负要变号 不等式组的解集 组成不等式组的各不等式解集的公共部分 无公共部分时不等式组无解 三、考点知识梳理 （一）3.1　认识不等式 【不等式】像 v≤80，t≥6000，3x＞5，p＜q＋2，x≠3 这样，用符号“＜”（或“≤”）、“＞”（或“≥”）、“≠”连接而成的数学式子，叫作不等式。这些用来连接的符号统称不等号。 【列不等式】先把题目中的数量关系翻译成代数式，再抓住关键词选用不等号：“不大于、不超过、至多”对应“≤”，“不小于、不低于、至少”对应“≥”，“超过、大于”对应“＞”，“不足、小于”对应“＜”。 【数轴上表示解集】x＜a 表示小于 a 的全体实数，在数轴上对应点 A 左边的所有点，不包括点 A（画空心圈）；x≥a 表示大于或等于 a 的全体实数，对应点 A 右边的所有点，包括点 A（画实心点）；b＜x＜a（b＜a）表示大于 b 而小于 a 的全体实数。 图1　数轴上表示不等式的解集 （二）3.2　不等式的基本性质 【性质1】a＜b，b＜c ⇒ a＜c。这个性质也叫作不等式的传递性。 【性质2】不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。 【性质3】不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。 【特别提醒】不等式两边同乘（或除以）同一个含字母的式子时，要先判断这个式子是正数还是负数，再决定是否改变不等号方向；这一点与等式两边可以随意同乘一个数不同。 （三）3.3　一元一次不等式及其解法 【一元一次不等式】不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫作一元一次不等式。 【解与解集】使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解；所有这些解的全体称为这个不等式的解集；求不等式解集的过程叫作解不等式。 【解法步骤】①去分母（不要漏乘不含分母的项）；②去括号；③移项（移项要变号，移项法则与方程相同）；④合并同类项；⑤系数化为1（两边同除以未知数的系数，当系数为负数时不等号方向要改变）。最后把解集在数轴上表示出来。 【数轴表示】含有等号（≥、≤）在分界点处画实心点，不含等号（＞、＜）画空心圈；大于向右画，小于向左画。 图2　含等号画实心点、不含等号画空心圈 （四）3.4　一元一次不等式的应用 【列不等式解应用题】一般步骤：①审题，设未知数；②找出题目中的不等关系（抓住“至少、最多、不超过、不低于”等关键词）；③列不等式；④解这个不等式；⑤检验所得解是否符合实际意义并写出答案。与列方程解应用题的区别在于列出的是不等式，最后常需结合实际取整数解。 （五）3.5　一元一次不等式组 【一元一次不等式组】一般地，由几个含同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫作一元一次不等式组。 【不等式组的解集】组成不等式组的各个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集；当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解。 【解法与口诀】先分别解出不等式组中各个不等式的解集，再把它们表示在同一条数轴上，公共部分即为不等式组的解集。取公共部分可记口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】不等式性质要记牢：同加同减不变号，同乘同除看符号；正数乘除不变号，负数乘除必变号。解不等式组取公共部分：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找。 【对比记忆】不等式与一元一次方程对比如下表。 比较项 一元一次方程 一元一次不等式 相同点 都只含一个未知数、未知数次数都是一次 都只含一个未知数、次数都是一次 变形依据 等式的两条性质 不等式的三条基本性质 系数化为1 两边同除以系数，不等号方向不变 系数为负时不等号方向必须改变 解的个数 一般只有一个解 解集是满足条件的全体数（无数个） 【易混对比】“不等式的解”是使不等式成立的某个具体未知数的值，是个别数值；“解集”是所有解的全体，是一个范围。数轴上含等号画实心点、不含等号画空心圈，二者不要混淆。 五、解题方法总结 题型1　判断不等式的变形是否正确 【解题方法】①对照不等式的三条基本性质逐条检查；②重点检查两边同乘（或除以）一个负数时不等号方向是否已经改变；③同乘含字母的式子时先判断它的正负再下结论。 【数学思想】分类讨论思想：按不等式两边同乘除的数为正、为负分类讨论不等号方向。 题型2　解一元一次不等式（组）并在数轴上表示 【解题方法】①按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1五步求解；②系数化为1时若系数为负要改变不等号方向；③解不等式组时把各不等式的解集画在同一条数轴上，取公共部分。 【数学思想】数形结合思想：借助数轴直观地表示解集、找出公共部分。 题型3　列一元一次不等式解实际问题 【解题方法】①设未知数；②抓“至少、最多、不超过、不低于”等关键词找出不等关系；③列出不等式并求解；④结合实际检验（如人数、件数取正整数）后作答。 【数学思想】数学建模思想：把实际问题抽象成一元一次不等式模型加以解决。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 两边同乘（除以）负数时忘记改变不等号方向 乘除负数必须改变不等号方向，乘除正数方向不变 去分母时漏乘不含分母的项 不等式两边每一项都要乘各分母的最小公倍数 把“不等式的解”与“解集”混为一谈 解是个别数值，解集是所有解的全体范围 数轴表示时空心圈与实心点用错 含等号（≥、≤）画实心点，不含等号（＞、＜）画空心圈 移项时忘记变号 移项法则与方程相同，移到不等号另一边必须变号 把不等式组无解与某个解集相混淆 各不等式解集没有公共部分时，不等式组无解 七、高频考点速记 ①不等式是用“＜、≤、＞、≥、≠”连接而成的式子。 ②性质1（传递性）：a＜b，b＜c ⇒ a＜c。 ③性质2：两边同加（减）同一个数，不等号方向不变。 ④性质3：两边同乘（除）正数方向不变；同乘（除）负数方向必须改变。 ⑤解一元一次不等式五步：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 ⑥数轴表示解集：含等号画实心点，不含等号画空心圈，大于向右、小于向左。 ⑦不等式组的解集取各不等式解集的公共部分，没有公共部分则无解。 ⑧取公共部分口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。 八、学情自测 （一）选择题 1．下列式子中，属于不等式的是（ ） A．2a＋3b B．3x−1＝5 C．m−n≠0 D．4y 2．若a＞b，则下列变形正确的是（ ） A．a−5＜b−5 B．−2a＞−2b C．3a＞3b D．＜ 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 4．关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则k的值为（     ） A． B． C．3 D．4 5．x与3的和的一半是正数，用不等式表示为（ ） A．＞0 B．x＋＞0 C．≥0 D．x＋3＞0 6．不等式3x−6＜0的正整数解共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 7．若关于x的不等式(a−1)x＞a−1的解集为x＜1，则a的取值范围是（ ） A．a＞1 B．a＜1 C．a＝1 D．a＜0 8．不等式−2x＞6的解集是（ ） A．x＞−3 B．x＜−3 C．x＞3 D．x＜3 9．小明用100元买笔记本和钢笔，笔记本每本5元，钢笔每支8元。他买了6本笔记本后，最多还能买钢笔（ ） A．7支 B．8支 C．9支 D．10支 10．若a＜b＜0，则下列结论正确的是（ ） A．a²＜b² B．＜1 C．|a|＞|b| D．ab＜0 11．不等式组2x−1≥3，x＜5的整数解共有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．某商品进价为50元，标价为80元，打折销售后要保证利润不低于进价的20%，则出售时最低可以打（ ） A．6折 B．7折 C．7.5折 D．8折 13．若不等式组x−a＞0，2x＜4无解，则a的取值范围是（ ） A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜2 （二）填空题 14．用不等式表示：“x的3倍与5的差不大于8”，即__________。 15．不等式组x＋1＞0，x−2≤0的解集是__________。 （三）解答题 16．解不等式3(x−1)≥2x−3，并把它的解集在数轴上表示出来。 17．某校组织师生春游。若租用45座客车若干辆，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则恰好多出一辆车，且其余客车恰好坐满。 （1）求该校参加春游的师生共有多少人； （2）已知45座客车每辆租金220元，60座客车每辆租金300元。若只租用同一种车，要使每个师生都有座位，租用哪种客车更合算？ 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】C 解题步骤： ①A是代数式、B是等式、D是代数式，都不是不等式；C用“≠”连接，是不等式，故选C。 【知识点睛】不等式是用不等号（＜、≤、＞、≥、≠）连接而成的式子，不含不等号的不是不等式。 2．【答案】C 解题步骤： ①由性质2，两边同减5不等号方向不变，应为a−5＞b−5，A错； ②由性质3，两边同乘−2是乘负数，应变号，应为−2a＜−2b，B错； ③两边同乘正数3方向不变，3a＞3b正确，故选C； ④两边同除以正数2应为＞，D错。 【知识点睛】不等式变形先看加减（方向不变），再看乘除正负：乘除正数不变号、乘除负数必变号。 3．【答案】A 解题步骤： ①移项，得x<1； ②在数轴上，x<1表示在数1处画空心圆圈，并向左画射线； ③对照各选项的数轴表示，只有选项A符合，故选A。 【知识点睛】不等式的解集在数轴上表示：大于向右画、小于向左画；不含等号的端点画空心圆圈，含等号的端点画实心圆点。 4．【答案】B 解题步骤： ①解不等式①2x≥x−3，移项得x≥−3； ②解不等式②−x+1>k，移项、系数化为1，得x<1−k； ③由数轴可知解集为−3≤x<2，故1−k=2，解得k=−1，故选B。 【知识点睛】由不等式组的数轴表示反求参数：先分别解出两个不等式，再与数轴所示的端点值建立方程，求出参数后对照选项。 5．【答案】A 解题步骤： ①x与3的和为x＋3，它的一半为； ②“是正数”即大于0，故选A。 【知识点睛】列不等式先把文字翻译成代数式，再按关键词选不等号。 6．【答案】A 解题步骤： ①3x＜6，得x＜2； ②小于2的正整数只有x＝1，共1个，故选A。 【知识点睛】求整数解先求解集，再在解集中按整数条件逐个列举。 7．【答案】B 解题步骤： ①两边同除以(a−1)后不等号方向由“＞”变成了“＜”，说明除以的是负数； ②故a−1＜0，即a＜1，故选B。 【知识点睛】系数化为1时不等号变向，说明系数为负，由此反求字母范围。 8．【答案】B 解题步骤： ①两边同除以−2（负数），不等号方向必须改变，得x＜−3，故选B。 【知识点睛】两边同除以负数时不等号方向一定要改变。 9．【答案】B 解题步骤： ①买6本笔记本用去6×5＝30元，还剩70元； ②设买钢笔x支，8x≤70，x≤8.75，钢笔支数取整数最多8支，故选B。 【知识点睛】购物类问题先列不等式，再结合“件数为正整数”取最大整数解。 10．【答案】C 解题步骤： ①取a＝−3，b＝−2检验； ②|a|＝3＞|b|＝2，C正确；a²＝9＞b²＝4，A错；＝1.5＞1，B错；ab＝6＞0，D错，故选C。 【知识点睛】两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可取具体负数代入检验。 11．【答案】B 解题步骤： ①2x−1≥3得x≥2； ②与x＜5取公共部分为2≤x＜5； ③整数解为2、3、4，共3个，故选B。 【知识点睛】先分别解不等式，再取公共部分，最后列举其中的整数。 12．【答案】C 解题步骤： ①利润不低于进价的20%，即售价不低于50×(1＋20%)＝60元； ②设打x折，80×≥60，解得x≥7.5，即最低打7.5折，故选C。 【知识点睛】销售打折问题先由“利润率不低于多少”求最低售价，再列折扣不等式。 13．【答案】A 解题步骤： ①x−a＞0得x＞a，2x＜4得x＜2； ②要使它们没有公共部分，需a≥2，故选A。 【知识点睛】大大小小找不到：下界不小于上界时不等式组无解。 【填空题】 14．【答案】3x−5≤8 解题步骤： ①x的3倍为3x，与5的差为3x−5； ②“不大于8”对应不等号“≤”，故为3x−5≤8。 【知识点睛】“不大于、不超过、至多”都对应“≤”，列不等式时不要写成“＜”。 15．【答案】−1＜x≤2 解题步骤： ①由x＋1＞0得x＞−1； ②由x−2≤0得x≤2； ③取公共部分为−1＜x≤2。 【知识点睛】不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，端点开闭看原不等号。 【解答题】 16．【答案】解集为x≥0 解题步骤： ①去括号，得3x−3≥2x−3； ②移项，得3x−2x≥−3＋3； ③合并同类项，得x≥0。在数轴上0处画实心点，向右画线。 【知识点睛】解一元一次不等式按五步进行，移项要变号；系数为正数时不等号方向不变。 17．【答案】（1）师生共240人；（2）租用60座客车更合算 解题步骤： （1）设租用45座客车x辆，由题意45x＋15＝60(x−1)，解得x＝5，故师生共有45×5＋15＝240人； （2）只租45座：240÷45≈5.33，需6辆，费用6×220＝1320元；只租60座：240÷60＝4辆，费用4×300＝1200元。 因为1200＜1320，所以租用60座客车更合算。 【知识点睛】租车类问题先由座位关系列等式求车辆数，再分别按“每车坐满且不留空位”的最少车辆数比较费用。 学科网（北京）股份有限公司 $